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LOGICA
Il primo passo della LOGICA MATEMATICA è la formalizzazione del linguaggio naturale
con un linguaggio simbolico.
Proposizione o enunciato : è una frase elementare, sintatticamente corretta, che può
essere vera o falsa.
Per costruire delle frasi del linguaggio più complesse si combinano tra loro le proposizioni
con dei simboli detti connettivi.
Le proposizioni semplici unite con i connettivi formano le proposizioni composte.
I connettivi sono operazioni che hanno come operandi le proposizioni.
Ad ogni connettivo è associata una tavola di verità. La tavola di verità ci dice come opera il
connettivo. I connettivi sono: , , , ,  .
ATTENZIONE: sul connettivo  : sottolineare la non piena corrispondenza con il
ab
linguaggio naturale. Inoltre introdurre:
b  a inversa
a  b contraria
b  a controinversa
Definizione induttiva di formula ben formata (f.b.f.) del linguaggio delle proposizioni
1. Sono f.b.f. tutte le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, d, ….., p, q, ……
2. Se A è una f.b.f. anche A è una f.b.f.
Se A e B sono f.b.f lo è anche A  B
Se A e B sono f.b.f lo è anche A  B
Se A e B sono f.b.f lo è anche A  B
Se A e B sono f.b.f lo è anche A  B
3. Niente altro è una f.b.f
Un po’ di nomenclatura: gli enunciati semplici, senza connettivi, si chiamano anche
enunciati atomici.
Le lettere minuscole dell’alfabeto, usate per simboleggiarli, si chiamano lettere
enunciative.
Una f.b.f. (formula ben formata) si chiama anche formula enunciativa o formula
proposizionale.
PRIORITA’ DEI CONNETTIVI LOGICI: per non inserire troppe parentesi nelle f.b.f., è
opportuno stabilire la seguente priorità nei connettivi logici: , , , ,  .
Se si trova ripetuto più volte lo stesso connettivo, avrà priorità quello più a sinistra.
ESERCIZI: tavole di verità di espressioni complesse.
OSSERVAZIONE: ogni f.b.f. determina una funzione, detta funzione di verità. Infatti se
rappresenta una funzione
A  V , F  ad esempio la f.b.f.  a  b   a  b


 : AxA  A (il dominio è AxA perché le variabili sono due, a e b).
Equivalenze logiche
Due f.b.f del linguaggio delle proposizioni si dicono logicamente equivalenti se hanno la
stessa tavola di verità.
(sinonimi per logicamente equivalenti: equiveridiche, uguali logicamente).
Una f.b.f sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che la
compongono, viene dette tautologia, mentre una sempre falsa viene detta
contraddizione.
Per indicare che A è una tautologia, si può scrivere | A , per indicare che A è una
contraddizione si può scrivere | A , oppure | A .
N.B. Il simbolo per rappresentare l’equivalenza tra due formule è: F1  F2.
Con esso si vuole indicare che se F1 e F2 sono logicamente equivalenti il connettivo 
(doppia implicazione) è una tautologia, infatti  dà risultato vero quando antecedente e
conseguente hanno lo stesso valore di verità.
EQUIVALENZE LOGICHE:
1. p  p  p
2. p  p  p
idempotenza
"
3. p  p  Vero
tautologia
4. p  p  Falso
5. p  Vero  Vero
6. p  Vero  p
7. p  Falso  p
8. p  Falso  Falso
9. p  q  q  p
10. p  q  q  p
11. (p  q  r)  (p  q)  r
12. (p  q  r)  (p  q)  r
13 (p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
14.(p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
contraddizione
15. p  q  p  q
commutativa
"
associativa
"
distributiva
"
De Morgan
16. p  q  p  p
"
17. p  q  p  q
implicazione
18. p  q  q  p
contronominale
19. p   p  q   p
20. p   p  q   p
21. p  p
22. p  q   p  q    q  p 
leggi di assorbimento
legge della doppia negazione
IMPORTANTE
Le tautologie della logica degli enunciati vengono assunte come principi.
1. | p  p (la numero 3 della nostra lista) si chiama principio del terzo escluso
(un’affermazione o la sua negazione deve essere per forza vera).
2. | p  p (la numero 4) si chiama principio di non contraddizione (un’affermazione e
la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere.
3. |  a  b    b  c    a  c  proprietà transitiva dell’implicazione (si presta


ad esprimere schematicamente un tipo di ragionamento deduttivo detto sillogismo
ipotetico).
4. |  a  b   a  b esprime un ragionamento deduttivo, detto modus ponens.




5. |  a  b  b  a





esprime un ragionamento deduttivo, detto modus tollens.

6. |  a  b  b   a esprime un ragionamento, detto reductio ad absurdum.


E’ bene ricordare anche che:
p  q  q  p (l’implicazione diretta è logicamente equivalente alla sua contro inversa)
(fare esempi pratici)
q  p  p  q (l’implicazione inversa è logicamente equivalente alla contraria. D’altra
parte osserviamo che l’inversa e la contraria sono una la contro inversa
dell’altra)
Ora osserviamo che l’introduzione di cinque connettivi è sovrabbondante: ad esempio,
sarebbe stato molto più sintetico introdurre solamente “  ” (non) e “  ” (se… allora).
Avremmo allora ricondotto gli altri connettivi a combinazioni di questi; si verifica infatti che:
A  B ha la stessa tavola di verità di   A   B  
A  B ha la stessa tavola di verità di  A  B


A  B ha la stessa tavola di verità di   A  B     B  A .
Alla luce di quanto osservato, possiamo dire che i connettivi binari sono 16 in tutto (tanti
quante le tavole di verità), ma sono interdefinibili. In realtà, dal momento che di un
connettivo interessa soltanto la tavola di verità, questa si può ottenere da una
combinazione di altri connettivi. Ad esempio, l’insieme , ,  è sufficiente a definirli tutti,
ma anche ,  lo è. Tali insiemi si dicono basi di connettivi.
Un lavoro interessante è la semplificazione delle f.b.f., mediante l’utilizzo delle equivalenze
logiche.
Esercizi sulle equivalenze logiche
Applicando le equivalenze logiche, semplificare le seguenti f.b.f. :
1.(a  a )  a
2. (a  b)  (b  a)
Tautologia
Tautologia
3. (a  b)  (a  b)
4. ((a  b)  a)  b
Contraddizione
Tautologia
5. (a  b)  (a  b)
6. ((a  b)  b)  a
7. (a  b)  a)  a
Contraddizione
Tautologia
Tautologia
ESERCIZI: sul testo a pag. 117-118.
ESERCIZI sui ragionamenti logici corretti oppure no:
ESERCIZIO SVOLTO
Stabilisci la validità o meno del seguente ragionamento, dopo averne individuato le
proposizioni elementari, le premesse, la conclusione ed averne scritto il corrispondente
schema di ragionamento.
“ Se non ti sbrighi perdi l’autobus. Non ti sei sbrigato, quindi hai perso l’autobus.”
Proposizioni elementari p:”ti sbrighi” q:”perdi l’autobus”.
Le premesse sono p  q e p . La conclusione è q.
Lo schema utilizzato è quello del modus ponens e rappresenta un ragionamento corretto.
ALTRI ESERCIZI
1. Se hai 14 anni puoi guidare il motorino. Hai 14 anni. Puoi guidare il motorino.
2. Se sei stato promosso ti regalo il motorino. Non sei stato promosso, quindi non ti
regalo il motorino.
3. Se non mangio gelati, allora dimagrisco. Non dimagrisco, quindi mangio gelati.
4. Se vado in vacanza, parto per il mare. Non vado in vacanza, allora non parto per il
mare.
5. Se un numero è multiplo di 12 allora è multiplo di 6 e se un numero è multiplo di 6
allora è multiplo di 3. Quindi se un numero è multiplo di 12, allora è multiplo di 3.
6. Se Rosa va al mercato compera i pinoli e se compera i pinoli allora prepara la torta.
Rosa prepara la torta, quindi è andata al mercato.
Considerazione finale
Riesaminiamo il percorso seguito per la costruzione di questo linguaggio:
a partire dalle espressioni vere o false del linguaggio naturale, abbiamo fissato l’attenzione
sulle proposizioni ed abbiamo cercato un modo per rappresentarle simbolicamente.
Una volta costruito questo linguaggio simbolico, non ci interessa più il luogo da cui siamo
partiti: il linguaggio simbolico ha una sua autonomia formale, è costituito di oggetti con
proprie regole costruttive ed un valore di verità.
Il linguaggio naturale diventa pertanto uno dei possibili modi in cui tali oggetti formali
possono venire interpretati. E’ un modello del linguaggio formale introdotto.
ESEMPIO INTERESSANTE
Non è difficile verificare (ed il lettore lo farà facilmente) che gli enunciati
composti (AB) e (A)(B) hanno gli stessi valori di verità. Questa osservazione
(legge di De Morgan) ha delle conseguenze interessanti: in particolare, riflettendo su di
essa possiamo renderci conto che il corretto uso della simbologia comunemente usata in
matematica presuppone un’effettiva conoscenza delle relazioni tra i connettivi logici.
Consideriamo ad esempio l’equazione:
x2  1
Le sue soluzioni si trovano spesso espresse compattamente nella forma
x = 1
intendendo con ciò che la x può assumere sia il valore +1 che il valore –1. Dunque,
utilizzando i connettivi logici, la precedente scrittura può essere espressa, più
correttamente, da
x = 1 x = –1
Consideriamo ora la scrittura:
x2 1 che porta alla x 1
In questo caso, al simbolo “” non è direttamente legato un connettivo “”; ovvero, la
precedente scrittura non deve essere tradotta in
x 1 x –1
in quanto questa richiederebbe il verificarsi di almeno una delle condizioni x 1 e x –1
(quindi alla x potrebbe essere sostituito… un qualsiasi numero reale!), mentre x 1
richiede il contemporaneo verificarsi di entrambe tali condizioni.
Ricordiamo piuttosto che x2 1 deve essere interpretata come la negazione di x2 = 1;
dunque essa corrisponde a
( x2 = 1) cioè (x = 1 x = –1) e infine (x = 1) (x = –1)
CONSISTENZA
Verificare la consistenza di un insieme di proposizioni relative ad un determinato
universo, significa vedere la loro compatibilità, cioè se esiste la possibilità che siano tutte
vere contemporaneamente. In altre parole se messe insieme non danno una
contraddizione.
In simboli: se la tavola di verità di p1  p2  ...  pn ha almeno una riga vera.
Per questa verifica si può applicare una tecnica molto semplice detta dei tableaux
semantici
 le formule devono contenere solo in connettivi , ,  (si utilizzano le equiv. logiche)
 le negazioni devono riferirsi a proposizioni atomiche o elementari.
 Partendo da una proposizione qualsiasi, si dispongono le proposizioni una sotto l’altra,
secondo una struttura ad albero
 Le proposizioni legate con il connettivo  vengono messe una sotto l’altra secondo un
percorso obbligato
 Le proposizioni legate con il connettivo  vengono messe una in fianco all’altra
secondo percorsi alternativi
 Quando in un percorso si riscontra una contraddizione, esso viene chiuso.
 Le proposizioni vanno aggiunte solo nei percorsi rimasti aperti
 Se al termine tutti i percorsi vengono chiusi l’insieme di proposizioni è inconsistente
Esempio
 P1: Il signor Zak è una spia russa
 P2: Il signor Zak non è sia una spia russa sia una spia della Cia
 P3: Il signor Zak è una spia della Cia e un mascalzone
Formalizziamo:
P1: a
P2: ( a  b)  a  b
P3: b  c
Costruiamo l’albero:
a
______|_________
|
|
a
b
__
|
__
c
Insieme Inconsistente
|
_b_
Altri esempi
___
1.
 Almeno uno tra Augusto e Bruno vive a Verona
 Almeno uno tra Bruno e Carlo è calciatore
 Bruno non è calciatore e non vive a Verona
2.
 Questo libro mi è stato dato martedì scorso da Tiziana o da Maria
 Se questo libro mi è stato dato da Tiziana, allora martedì scorso mi trovavo a Genova
 Per tutto il martedì sono stato lontano da Genova e Maria non mi ha dato nulla.
3.
 Se Marco mangia molto non potrà correre bene domani.
 Se Marco non potrà correre bene domani, la sua squadra non vincerà.
 Se Marco riposa bene la sua squadra vincerà.
 Marco mangia molto e riposa bene.