SCOPERTA UNA NUOVA FORMULA PER LE PARTIZIONI
DI NUMERI
(Notizia e connessioni con i nostri risultati precedenti)
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show as a new formula of Prof .Ken Ono and
others concerning the partitions of numbers, is connected with
Fibonacci’s numbers and fractals.
Riassunto
Abbiamo letto sul web la notizia che tre ricercatori hanno
recentemente scoperta una formula per il calcolo delle partizioni
di numeri (funzione p(n), e che tali numeri sono connessi ai
frattali, come i numeri di Fibonacci. Questa connessione con i
frattali, tramite i numeri di Fibonacci (entrambi connessi alle
simmetrie dei numeri di Lie e ai numeri Triangolari T),
l’avevamo constatata anche noi in un lavoro precedente (Rif.1),
insieme ad alcune considerazioni numeriche.
Notizia
Riportiamo per intero la notizia data dal sito di Maddmaths:
maddmaths.simai.eu/...di.../dietro-le-partizioni-dei-numeri-sinascondo-i- frattali
1
Dietro le partizioni dei numeri si nascondo….i
frattali!
Per secoli alcuni dei matematici più famosi si sono interessati allo studio delle partizioni dei
numeri, senza riuscire a definire una teoria completa e lasciando irrisolte molte domande.
In un recente studio, il matematico Ken Ono dell’Università di Emory, ha ideato una nuova
teoria che è in grado di rispondere ad antiche e note domande sulle partizioni di un numero,
(ovvero sequenze di numeri positivi che sommati danno quel numero).
Ken Ono e il suo gruppo di ricerca, hanno infatti scoperto che le partizioni dei numeri primi
si comportano in realtà come frattali. Le proprietà di divisibilità delle partizioni individuate,
hanno permesso di vedere come la loro sovrastruttura si ripeta infinitamente.
Inoltre hanno ideato la prima formula finita per calcolare le partizioni di qualsiasi numero.
“Il nostro lavoro si basa su idee completamente nuove per questi problemi” ha detto Ono.
“Noi abbiamo provato che le partizioni dei numeri primi sono “frattali”. Il nostro
procedimento di ingrandimento risolve molte delle congetture ancora aperte e può cambiare il
modo in cui i matematici studiano le partizioni.”
Questo lavoro è stato finanziato dall’American Institute of Mathematics (AIM) e dal National
Science Foundation. Lo scorso anno l’AIM ha raggruppato i maggiori esperti mondiali sulle
partizioni, incluso Ono, per risolvere alcuni dei più importanti problemi aperti in questo
campo. Ono, professore sia dell’Università di Emory che dell’Università del Wisconsin a
Madison, ha guidato il gruppo formato da: Jan Bruinier della Technical University di
Darmstadt in Germania, Amanda Folsom dell’Università di Yale e Zach Kent post doc
dell’Università di Ermony.
“Ken Ono ha ottenuto scoperte assolutamente straordinarie nella teoria delle partizioni”, ha
affermato George Andrews, professore alla Pennsylvania State e presidente della American
Mathematical Society. “Ha dimostrato le proprietà di divisibilità della funzione partizione e
ciò è stupefacente. Ha fornito un sovrastruttura a cui nessuno prima di lui aveva pensato. E’
un fenomeno.”
La partizione di un numero può sembrare quasi un gioco per la sua semplicità. Ad esempio
4=3+1=2+2=1+1+1+1. Esistono quindi 5 partizioni del numero 4. Fin qui tutto è semplice ma,
2
le partizioni dei numeri aumentano con un tasso incredibile. Ad esempio il numero totale delle
partizioni del numero 10 è 42. Mentre per il numero 100, le partizioni superano 190.000.000.
“Le partizioni dei numeri sono folli sequenze di interi che vanno verso l’infinito” ha affermato
Ono “tale successione suscita meraviglia ed ha affascinato i matematici per molto tempo”.
Nonostante la semplicità della definizione, fino alle scoperte del gruppo di Ono, nessuno era
stato in grado di svelare il segreto della complessa struttura che si nascondeva dietro questa
rapida crescita.
Nel diciottesimo secolo il matematico Eulero ha sviluppato una prima tecnica ricorsiva per
calcolare il valore delle partizioni dei numeri. Il metodo però era lento e comunque non
praticabile per numeri grandi.
Nei successivi 150 anni tale metodo è stato implementato con successo per calcolare solo
partizioni dei primi 200 numeri. “Nell’universo matematico ciò significa di non essere in
grado di vedere oltre Marte” ha detto Ono.
Agli inizi del ventesimo secolo Srinivasa Ramanujan e G. H. Hardy hanno inventato il metodo
circolare che è in grado di ottenere una prima approssimazione delle partizioni per i numeri
oltre 200. Ma tale metodo essenzialmente non aspirava a cercare una risposta esatta,
“accontentandosi” di un’approssimazione.
Anche Ramanujan aveva osservato strane strutture nella partizione dei numeri. Nel 1919
aveva notato che il numero di partizioni del numero 5n+4 (rispettivamente 7n+5, 11n+6) era
un multiplo di 5 (rispettivamente 7, 11).
Nel 1937 Hans Rademacher trovò una formula esatta per calcolare il valore delle partizioni.
Anche se questo metodo era un grande miglioramento rispetto alla formula esatta di Eulero,
richiedeva la somma di una serie di numeri che avevano infinite cifre decimali.
Nei decenni successivi, diversi matematici hanno continuato a studiare tale problema,
aggiungendo dei tasselli mancanti a questo puzzle. Ma, nonostante i progressi fatti, non sono
stati in grado di trovare una formula finita per la partizione dei numeri.
Il “dream team” di Ono ha studiato il problema per mesi. “Qualsiasi cosa provavamo non
funzionava” ha detto il leader del gruppo. Il punto di svolta è avvenuto inaspettatamente lo
scorso settembre, quando Ono e Zach Kent stavano facendo un’ escursione alle cascate
Tallulah in Georgia. Mentre stavano camminando attraverso i boschi, hanno notato la
struttura dei gruppi di alberi, ed hanno iniziato a pensare a come potesse essere camminare
attraverso le partizioni dei numeri. “Eravamo in cima a delle enormi rocce dove potevamo
vedere tutta la valle ed ascoltare il rumore delle cascate, quando abbiamo realizzato che le
partizioni dei numeri sono frattali” ha detto Ono “ed entrambi abbiamo iniziato a ridere”.
Il termine frattale fu inventato nel 1980 da Benoit Mandelbrot, per descrivere ciò che sembra
irregolare nella geometria delle forme naturali. Un frattale è un oggetto geometrico che si
ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto
anche se visto con una lente d'ingrandimento.
Con la loro semplice camminata nei boschi Ono e Kent hanno ideato una teoria che rivela una
nuova classe di frattali “E’ come se non avessimo bisogno di vedere tutte le stelle nell’universo
3
perché la struttura continua a ripetersi per sempre, e quindi può essere vista in una
camminata di 3 miglia alle cascate Tallulah” ha detto Ono.
Con questa teoria dei frattali è possibile provare le congruenze di Ramanujan. Il gruppo ha
dimostrato che le proprietà di divisibilità delle partizioni dei numeri sono frattali per ogni
numero primo. “Le successioni sono tutte eventualmente periodiche e si ripetono più e più
volte ad intervalli precisi”, ha affermato Ono, aggiungendo “E’ come ingrandire in un insieme
di Mandelbrot” riferendosi al più famoso frattale.
Ma questa straordinaria visione dentro la sovrastruttura della partizione dei numeri non era
sufficiente per il gruppo di ricercatori, determinato ad andare oltre la teoria e trovare una
formula che potesse essere implementata.
L’altro episodio fondamentale per la loro ricerca, è avvenuto in un altro noto luogo della
Georgia, la “spaghetti junction”. Ono e Jan Bruinier erano bloccati nel traffico nei pressi del
noto scambio per Atlanta. Mentre stavano chiacchierando in macchina, cercavamo di trovare
un modo per eliminare l’infinita complessità del metodo di Rademache. Il loro obiettivo era
quello di provare una formula che richiedesse solo un numero finito di numeri.
“Abbiamo trovato una funzione, P, che è una sorta di oracolo magico” ha affermato Ono.
“Posso prendere qualsiasi numero, inserirlo dentro P ed istantaneamente calcolare le
partizioni di quel numero. P non da come risultato un numero terribile con infinite cifre
decimali. E’ quella formula algebrica finita che stavamo tutti cercando.”
Il lavoro di Ono e dei suoi colleghi è descritto in due lavori che saranno presto disponibili sul
sito del AIM.
Attenderemo la pubblicazione definitiva dei lavori
contenenti la suddetta formula, poiché potrebbe essere
interessante per i nostri lavori di fisica teorica nei quali sono
coinvolte le partizioni di numeri
Ricordiamo le nostre connessioni tra partizioni di numeri,
fenomeni naturali e serie di Fibonacci, esposte in Rif. 1.
Ricordiamo anche il rapporto successivo tra un numero di
partizioni e il precedente: tale rapporto, per numeri sempre
più grandi, tende a 1, mentre per la serie di Fibonacci, com’è,
noto, tende a 1,618… cosa che vedremo più avanti.
Inoltre, c’è qualcosa di analogo, almeno inizialmente, anche
con il paradosso dei quadrati di Fibonacci: data una terna di
4
numeri di Fibonacci, il prodotto dei due numeri esterni della
terna è uguale al quadrato del numero centrale, più o meno 1
In generale, per la terna di Fibonacci a,b,c, a*c = b^2 +1, con
i segni + e - alternati da una terna alla successiva
Esempi:
Terna 1, 2, 3
1*3 = 3
2^2 = 4 = 3 + 1
terna 2, 3, 5
2*5 = 10
3*3 = 9 = 10 - 1
terna 3, 5, 8
3*8 = 24 ; 5^2 = 25 = 24 +1
terna
5, 8, 13
5*13 = 65, 8^2 = 64 = 65 - 1
terna
8,13,21
8*21 = 168
13^2 = 169 = 168 +1
E cosi via all’infinito.
5
Qualcosa di simile succede con le terne di partizioni;
esempi:
( la parte iniziale serie della partizioni è 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22,
30, 42, ...)
Per le prime terne è come per Fibonacci, essendo 1,2,3,e 5
numeri di Fibonacci: Ma per le terne successive le differenze
tra a*c e b^2 aumentano sempre più, e costeggiano da vicino
la serie di Fibonacci: 6 = 5 + 1, 17 = media tra 13 e 21, 34
numero di Fibonacci esso stesso, 24 = 21 + 3, ecc. anche se non
in ordine progressivo. Questa potrebbe essere una prima
relazione con Fibonacci.
terna 3, 5, 7
3*7 = 21
5^2 = 25 = 21 + 4
terna successiva
5, 7, 11
5*11 = 55,
7^2 = 49 = 55 - 6
terna successiva
7, 11, 15
7*15 = 115
11^2 = 121 = 115+6
terna successiva
11, 15, 22
6
11*22 = 242
15^15 = 225 = 242 - 17
terna successiva
15,22,30
15*30= 450
22^2 = 484 = 450+ 34
terna successiva
22,30, 42
22*42= 924
30^2=900 = 924 – 24
Un’altra relazione è il rapporto tra un numero di partizione e
il precedente: mentre nella serie di Fibonacci tale rapporto
tende al numero aureo 1,618…, per le partizioni invece tende a
1, con una media iniziale di 1, 3… Infatti
2/1=
2/2=
3/2=
5/3=
7/5=
11/=
22/15=
30/22=
42/30=
2
1
1,5
1,66 (il valore più vicino al numero aureo, essendo 3 e
5 anche numeri di Fibonacci)
1,40
1,57
1,46
1,36
1,4
Totale 13,35, media =13.35/9 =1,48…. Ma in seguito scende
ancora di più fino a tendere sempre più a 1 per (pn) tendente
all’infinito. Questo significa che per n molto grandi, p(n)
7
aumenta molto lentamente , e le differenze p(n+1) –p(n) (come
il rapporto successivo tende a 1)) sono anch’esse sempre più
cioè tendono a zero Il grafico delle partizioni, quindi, è una
curva logaritmica, come la funzione π(n) (numero di numeri
primi minori di n) E quindi un’altra connessione, ora con il
numero e = 2,71828…
Qui inseriamo la sequenza OESIS A000041 e due grafici, ecc,,
prima di continuare:
da Wikipedia, voce “partizione di un intero”
Grafico
8
A000041 as a graph:
A000041 as a simple table:
n
0
1
a(n)
1
1
9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
2
3
5
7
11
15
22
30
42
56
77
101
135
176
231
297
385
490
627
792
1002
1255
1575
1958
2436
3010
3718
4565
5604
6842
8349
10143
12310
14883
17977
21637
26015
31185
37338
44583
53174
63261
10
44
45
75175
89134
[1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,
297,385,490,627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010,
3718,4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977,
21637,26015,31185,37338,44583,53174,63261,75175,
89134]
Altri esempi con numeri p(n) più grandi (in blu sulla
sequenza):
63261/53174 = 1,1896
75175/63261 = 1,1883
89134/75175 = 1,1856
…
…
…
Come si vede, il rapporto p(n)/p(n-1) decresce lentamente
sempre più al crescere di n.
Quindi, la serie numerica delle partizioni non è una
progressione geometrica non è molto perfetta, poiché il
rapporto successivo (pn) / p(n-1) non è sempre lo stesso, ma
progressivamente decrescente: la serie di Fibonacci è invece
più perfetta, poiché tale rapporto F(n)/Fn-1) è sempre più
vicino a 1,618. Una progressione perfetta è infatti del tipo
2,4,8,16,32,64, ecc. dove il rapporto successivo è sempre 2. In
terne successive perfette,cioè appartenenti a progressioni
geometriche perfette, è già noto che il prodotto a*c è sempre
perfettamente uguale a b^2 ; per esempio , con la terna 2,4,8,
abbiamo l’uguaglianza 2*8=16 =4^2=16, mentre per 8,16,32,
per fare un altro esempio, abbiamo 8*32=256= 16^2=256
Noi abbiamo capito che , per quanto riguarda due numeri
primi p e q (ma anche non primi ) e il loro prodotto N = p*q ,
p, n =√N e q sono sempre una terna di progressione
geometrica, con rapporto progressivo (ragione della
11
progressione) uguale a √r = √q/p, per cui p = n /√r e q = n*√r,
quindi vale la relazione vista con la serie di Fibonacci : a*c=
c^2, ora scrivibile come p*q= n^2.
Un esempio con i numeri
interi
p= 5, q=45, N= 5*45=225 , n = 15 q/p = 45/5=9 , √9=3 ; da
cui p= 15/3=15, q = 15*3=45.
Un esempio con i numeri primi, per i quali si ottengono dei
numeri decimali e quindi p e q sono approssimati ma molto
vicini ai valori reali.
p = 11, q = 179 , N = 1969, n = 44,37, q/p = 179/11 = 16,27,
√16,27 = 4,03 , da cui p = 44,37/ 4,03 = 11,0099 ≈ 11,
q = 44,37*4,03 = 178,81 ≈ 179
Purtroppo non si può ricavare il rapporto q/p conoscendo solo
N = p*q, dal quale si può ricavare solo n come elemento
centrale della terna p, n e q, in progressione quasi perfetta;
così com’è difficile trovare p e q conoscendo solo N, da qui la
difficoltà di fattorizzare numeri molto grandi , e si deve
procedere con tentativi (dividere N per tutti i numeri primi
fino a p, con aiuto di computers e algoritmi vari per farlo nel
minor tempo possibile).
Ma torniamo al numero delle partizioni, non essendo questi in
progressione geometrica perfetta, e quindi non interessati alla
fattorizzazione ma solo al presente lavoro
riepilogativo/divulgativo.
Attendiamo ora la pubblicazione definitiva del lavoro
contenente la nuova formula di Ken Ono e compagni (per la
vecchia formula vedi nota finale), per poterla eventualmente
12
utilizzare in futuri lavori di fisica teorica che comportino
questa funzione p(n), poiché una serie di numeri emersi è
connessa alla parte iniziale della serie dei numeri p(n). Il più
recente di questi lavori è quello sulle serie di Eisentein, sul
nostro sito (Rif.2), alla fine del quale mostriamo tabelle con le
connessioni tra partizioni e numeri di Fibonacci, entrambi
connessi a loro volta ai frattali, come ora hanno scoperto i tre
matematici dell’Università di Emory per le partizioni, insieme
alla formula per il loro calcolo più rapido rispetto alle
precedenti formule.
In matematica, un oggetto auto-simile è esattamente o
approssimativamente simile a una sua parte (cioè il tutto ha la
stessa forma di una o più delle sue parti). Molti oggetti nel mondo
reale, come ad esempio le coste, sono statisticamente auto-simili:
parti di questi oggetti mostrano le stesse proprietà statistiche a
molte scale[1]. L'auto-similarità è una proprietà tipica dei frattali.
L'invarianza di scala è una forma esatta di auto-similarità, dove ad
ogni ingrandimento c'è una parte dell'oggetto che è simile al tutto.
Per esempio, un lato del fiocco di Koch è sia simmetrico che
invariante di scala: può essere ingrandito di un fattore 3 senza
cambiare forma.
Riferimenti
1) “Le partizioni di un numero in matematica e in natura
(possibili connessioni con i numeri triangolari T)”
Gruppo Eratostene “( su l sito www.gruppoeratostene.com,
sezione”Articoli sulla Matematica Generale”
13
2) “ On some applications of the Eisenstein series in String
Theory. Mathematical connections
with some sectors of Number Theory and with Φ and π.”
Michele Nardelli 1,2 , Christian Lange3, in sezione “Articoli
sulla Fisica –Matematica”, sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/, e sul sito del Prof
Mattew Watkins :
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/newm
aterial.htm
Nota 1
La vecchia formula per calcolare il numero di p(n) è la
seguente, alquanto complicata (sempre dalla stessa voce
“Partizione di un intero”di Wikipedia):
“Nel 1937, Hans Rademacher migliorò la formula di
Hardy e Ramanujan, elaborando una serie convergente che tende a p(n):
dove
con la somma effettuata sui numeri naturali compresi tra 0 e k che sono coprimi con k e con
s(m,k) che indica una somma di Dedekind”.
Mentre la formula asintotica di Hardy e Ramanujan era
quest’altra :
14
“Fino agli inizi del XX secolo si credeva che non fosse possibile trovare una formula per la
funzione di partizione, ma nel 1918 Ramanujan e Hardy pubblicarono una formula asintotica
per la funzione di partizione:
J.V. Uspensky ritrovò la stessa formula, indipendentemente, nel 1920.”
Nota 2
Tabella con i rapporti (pn)/n e n/(p)n
Riprendiamo parzialmente i valori della tabella OESIS
A000041, e aggiungiamo due colonne con i rapporti p(n) /n e
n/p(n), per cercare qualche regolarità.
[1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,
297,385,490,627,792,1002,1255,1575,1958,2436,3010,
3718,4565,5604,6842,8349,10143,12310,14883,17977,
21637,26015,31185,37338,44583,53174,63261,75175,
89134]
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
39
40
41
p(n)
1
1
2
3
5
7
11
15
22
30
42
R =n/p(n)
0
1
1
1
0,8
0,71
0,54
0,46
0,36
0,3
0,23
r’=p(n) /n
0
1
1
1
1,25
1,4
1,83
2,14
2,75
3,33
4,2
31185
37338
44583
0,0012
0,0010
0,00091
799,61
933,45
1087,39
15
42
43
44
45
53174
63261
75175
89134
0,00078
0,00067
0,00058
0,00050
1266,04
1471,18
1708,5227
1980,75
Da cui p(n) ≈ n/r ≈ n*r’
Occorrerebbe una formula indipendente per trovare r con
una certa approssimazione ma è difficile, e ora anche inutile,
vista la scoperta della nuova equazione di Ken Ono ed altri, e
che sarà pubblicata tra pochi mesi.
Un altro esempio è
4328363658647
N = 200, p(200) = 3972999029388
N = 201, p(201) = 4328363658647
n/p(n) = 200/3972999029388 =
5,0339805904963425378394219323929e-11
n/p(n)201/4328363658647 =
4,6437872566102831013496017190307e-11
Valore più piccolo del precedente
p(201)/p(200)=
n = 200 p(200) = 3972999029388
n = 201 p(200) = 4328363658647
16
p(200)/p(201) = 4328363658647/3972999029388 = 1,0894449…
Napoli, 23/05/2011____________
17
