PRINCIPIO DI INDUZIONE O EFFETTO DOMINO?

Unità di apprendimento per competenze.
PRINCIPIO DI INDUZIONE O EFFETTO DOMINO?
Un approccio concreto all'algebra con la Torre di Hanoi
Elena Venturini
Scuola secondaria di I grado di Mortegliano
IC Mortegliano-Castions
Principio di induzione o effetto domino?
Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
INTRODUZIONE
Il presente percorso didattico è pensato per una classe terza di una Scuola Secondaria di
primo grado.
Il percorso prevede un approccio ludico: il gioco rappresenta un mezzo fondamentale per
divertirsi e al tempo stesso indagare e comprendere la realtà circostante.
L’attività ludica può essere sfruttata per attivare l’interesse degli studenti e guidarlo
successivamente
al
raggiungimento
di
significativi
livelli
di
apprendimento
e
comprensione.
Nello specifico, un gioco all’apparenza semplice e quasi infantile come la Torre di Hanoi
nasconde per la sua risoluzione un procedimento matematico di grande interesse. Si tratta
di un procedimento per iterazione utile anche allo studio dell’informatica e ai primi approcci
alla programmazione.
Questo percorso prevedere di guidare gli studenti alla deduzione di una formula risolutiva
del rompicapo di Hanoi e si conclude con una dimostrazione per induzione della formula
stessa. Molti ragionamenti matematici trattati nella scuola secondaria di I grado riguardano
dei meccanismi induttivi, quindi è particolarmente interessante un approccio che porti gli
alunni ad un loro riconoscimento. Inoltre una competenza matematica da perseguire nel
corso della scuola secondaria di I grado consiste nella capacità di generalizzare formule,
partendo dall’osservazione di situazioni particolari e sfruttando gli strumenti offerti
dall'algebra.
Il percorso permette anche di favorire la concettualizzazione di “infinito”. Nel classico
approccio alla didattica della matematica l'infinito è proposto come punto di partenza nelle
definizioni di elementi primitivi e assiomi. Diverse ricerche hanno dimostrato che questo
approccio non favorisce l'apprendimento mentre risulta più efficace partire da situazioni
reali, appartenenti all'esperienza degli alunni, per arrivare a dei concetti astratti.
PREREQUISITI
- Conoscere i numeri naturali e i numeri interi
- Conoscere il concetto di potenza e le sue applicazioni
- Saper trasformare numeri nel sistema posizionale da base 10 a una base diversa da10.
- Operare con espressioni polinomiali
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
COMPETENZE

Acquisire competenze di concettualizzazione metodologiche attraverso categorie
quali l'ordinamento, la serialità.

Saper sfruttare un processo induttivo per arrivare alla generalizzazione di una
formula

Saper distinguere tra ragionamento induttivo empirico e ragionamento induttivo
matematico
STRATEGIE E METODI
Per lo svolgimento di questo percorso didattico si ritiene molto importante l’utilizzo di una
torre di Hanoi in legno, oppure l'utilizzo di giochi interattivi disponibili on-line. Le
rappresentazioni alla lavagna non possono essere sufficienti,in quanto richiedono uno
sforzo di astrazione notevole per visualizzare le situazioni delle mosse successive.
Si ritiene migliore un approccio che prevede la suddivisione in piccoli gruppi (2-3 studenti
per gruppo) in cui ciascun gruppo abbia a disposizione una torre di Hanoi da almeno
quattro anelli (solitamente quelle in commercio ne hanno sette o otto) oppure un pc con
gioco interattivo disponibile.
PERCORSO DIDATTICO
La Torre di Hanoi è formata da dischi sovrapposti, di dimensioni decrescenti, bucati al
centro e infilati in una delle tre colonnine fissate su una tavoletta. I dischi, che formano la
cosiddetta torre, devono essere spostati su una delle altre due colonnine libere, seguendo
regole precise: si può spostare soltanto un disco alla volta ed è proibito collocare uno
qualsiasi dei dischi su uno di diametro più piccolo.
Il gioco venne inventato nell'Ottocento dal matematico Edouard Lucas.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
Indichiamo con A, B e C le tre colonnine.
Nel caso banale di un unico disco, è necessario un solo movimento per risolvere il gioco.
Basta infatti spostare il disco dalla colonnina A alla C. Con due dischi, sono necessari 3
movimenti: si deve spostare il disco più piccolo su B, il disco più grande sul C ed infine il
disco piccolo sempre su C.
Quali sono gli spostamenti minimi necessari per trasferire la torre a tre dischi da A a C?
In questo caso è necessario spostare il disco superiore su C e quello di mezzo su B, sul
quale viene poi spostato il disco più piccolo. In seguito, il disco più grande viene spostato
su C, quello più piccolo su A e, per finire, il disco da B a C e da A a C.
Sono, in totale, sette movimenti. Con un po' di pratica si arriva facilmente a capire il
procedimento da seguire con un numero qualsiasi di dischi.
Se gli studenti si dimostrano capaci di risolvere con tre dischi, saranno presto, in grado di
risolverlo anche con quattro: sarà sufficiente trasportare dapprima i tre dischi superiori
sulla seconda colonnina, con il procedimento già noto, successivamente il quarto disco
sulla terza e infine si collocheranno su questo gli altri tre dischi, sempre con procedimento
già utilizzato in precedenza.
A questo punto si stimoleranno gli studenti a costruire una tabella a doppia entrata in cui
indicheranno per ciascuna torre il numero di dischi di partenza (n) e il minimo numero di
mosse necessario a portarle da A a C: M(n).
In tale tabella gli studenti potranno indicare gli M(n) verificati empiricamente per 1 n  4.
Saranno quindi guidati a individuare la formula che permette di calcolare ciascun M(n)
conoscendo M(n-1), completando la tabella anche per gli M(n) con n >4.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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n
(dischi)
M(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
7
15
31
63
127
255
2M(6)+1
2M(7)+1
M(1)
2M(1)+1 2M(2)+1 2M(3)+1 2M(4)+1 2M(5)+1
Una funzione definita in modo tale che il suo valore per un numero qualsiasi si ottiene
eseguendo operazioni note sul valore della funzione per il numero precedente, è definita
ricorsivamente.
Dalla tabella si stimolerà la deduzione della formula generale: con n dischi si hanno 2n - 1
movimenti.
Qualora gli studenti mostrino difficoltà a dedurre la funzione ricorsiva, è possibile guidarli
alla formula con un altro metodo. Si può chiedere agli studenti di costruire una tabella
analoga alla precedente, in questo caso si chiederà loro di effettuare una trasformazione
del numero di mosse minimo nel sistema posizionale dalla base 10 alla base 2.
n
M(n) in
base 10
M(n) in
base 2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
7
15
31
63
127
255
1
11
111
1111
11111
111111 1111111
11111111
Si guideranno i ragazzi dapprima ad osservare che mettendo in evidenza i valori in base
due della tabella, si crea una successione di grande semplicità: ogni volta che si aggiunge
un disco alla torre, basta aggiungere una cifra "1" al numero dei movimenti necessari,
espresso in base 2. Dalla tabella si stimolerà ancora una volta la deduzione della formula
generale: con n dischi si hanno 2n - 1 movimenti.
In questo modo, per arrivare alla soluzione matematica del problema, si segue la strada
più semplice e lineare.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
La Torre di Brahma
Per rendere ancora più affascinante il percorso didattico si può riportare la leggenda della
Torre di Brahma.
“Narra la leggenda che, all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di
Benares,sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e
64 dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo
in alto al più grande in basso. E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e
notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza
colonna. Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso,
che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra
uno più piccolo. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi
saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del
mondo.”
Si possono stimolare gli studenti a utilizzare la formula dimostrata per calcolare il numero
dei movimenti necessari per spostare i dischi: (264- 1). Infine si riporteranno i risultati
ottenuti dallo stesso Lucas che aveva calcolato per i 18.446.744.073.551.615 movimenti
necessari un tempo di cinque miliardi di secoli (considerando un secondo, come tempo
necessario per ciascun movimento e considerando che ogni movimento richieda un tempo
costante) per il trasporto di tutti i dischi da una colonnina all'altra.
Principio di induzione o effetto domino?
Il principio di induzione e il concetto di infinito possono essere proposti agli alunni della
scuola secondaria di I grado ricorrendo al paragone con una situazione concreta: una
successione di pezzi di domino.
Ogni pezzo di domino rappresenta un numero naturale (n).
Ogni pezzo di domino ha un pezzo successivo (n + 1).
Quindi si tratta di una successione infinita di pezzi di domino.
La proprietà che prendo in considerazione è P(n): il pezzo n cade.
E' vero che se n cade allora anche n+1 cade: quindi P(n) implica P(n+1)
Se a questo aggiungiamo che si realizza il primo evento P(0), cioè se cade il primo pezzo,
allora potremo dire che P(n) è vera, si verifica per tutti i pezzi di domino che sono i miei
numeri naturali.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
VALUTAZIONE
Si prevede di effettuare la valutazione con due modalità.
Una volta che gli studenti hanno
raggiunto la formula ottenuta per generalizzazione
dall'osservazione delle successive mosse, si chiede loro di proporre una breve relazione
scritta che ripercorra i ragionamenti seguiti. In questa relazione si chiede anche una
riflessione sul principio di induzione.
Per la valutazione di questa prova si propone una rubrica di valutazione che faciliti
l'individuazione dei diversi livelli di competenza raggiunti.
Successivamente il percorso può essere valutato proponendo una prova scritta in cui si
richiede di generalizzare formule a partire da situazioni reali diverse. Molti di questi quesiti
sono proposti nelle prove INVALSI. Nella prova scritta si possono introdurre anche degli
esempi di ragionamento per induzione empirica e per induzione matematica, chiedendo
agli alunni di distinguere le due situazioni.
NOTE PER L'INSEGNANTE
Prendendo in considerazione una Torre di Hanoi di n dischi, con M(n-1) mosse si possono
muovere n-1 dischi su un piolo libero, con una mossa spostiamo il disco base sull’altro
piolo e con M(n-1) mosse riposizioniamo su di esso la torre degli n-1 dischi. Da questo
ragionamento è possibile dedurre la relazione ricorsiva M(n)=2M(n-1)+1.
Per passare dalla relazione ricorsiva alla formula esplicita per M(n) si può procedere per
iterazione:
M(n)= 2M(n-1)+1 =
= 2 ( 2M(n-2) + 1) + 1=
= 22 M(n-2) + 2 +1 =
= 22 (2M(n-3) + 1) + 2 +1=
=23 M(n-3) + 22 +2 + 1 =
……………………….
=2 n-1 M(n-(n-1)) + 2n-2 + … + 2 2 +2 + 1=
=2 n-1 + 2 n-2 + ….+ 2 2 +2 +1
=2 n -1
L’ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una
successione geometrica.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
In questo percorso didattico gli studenti arrivano alla generalizzazione matematica
spontaneamente per induzione, in realtà la formula può essere dimostrata in modo
rigoroso per induzione matematica per ogni n  IN, in modo che non rimanga una
semplice congettura dedotta dall’osservazione; questo passaggio di dimostrazione, però, è
indicato per la scuola secondaria di II grado.
Il principio di induzione è una proprietà degli interi che fornisce un procedimento generale
per verificare affermazioni che riguardano tutti i numeri naturali.
La successione dei numeri interi non ha termine poiché, dopo qualunque numero intero n,
si può scrivere il numero intero seguente n+1. Questa proprietà della successione dei
numeri interi si può esprimere dicendo che ci sono infiniti numeri interi. La successione dei
numeri interi rappresenta l’esempio più semplice e più naturale di infinito matematico. Nel
corso dello studio della matematica gli studenti della scuola secondaria di primo grado
incontrano spesso insiemi contenenti infiniti enti come l’insieme di tutti i punti di una retta o
di tutti i triangoli di un piano…La successione dei numeri interi è il più semplice esempio di
insieme infinito.
Il procedimento che consiste nel passaggio da n a n+1 e che genera, passo per passo, la
successione dei numeri interi costituisce anche la base di uno degli schemi fondamentali
del ragionamento matematico: il principio di induzione matematica.
L’induzione empirica nelle scienze naturali procede da una particolare serie di
osservazioni di un certo fenomeno alla formulazione di una legge generale che governa il
verificarsi di tale fenomeno. Il grado di certezza con cui la legge, in tale modo, è stabilita
dipende dal numero delle singole osservazioni e delle conferme. Questo tipo di
ragionamento induttivo è spesso in tali ambiti del tutto convincente, ma non ha la stessa
valenza di un teorema dimostrato con un ragionamento strettamente logico o matematico.
L’induzione matematica, in maniera completamente diversa, si usa per stabilire la verità di
un teorema matematico in una successione infinita di casi.
Il principio di induzione matematica , in generale, viene enunciato nel modo seguente:
Sia P(n) una proposizione che abbia senso per ogni intero nn0. Se
a)P(n0) è vera
b)Se P(n) è vera, allora P(n+1) è vera per ogni nn0
allora P(n) è vera per ogni nn0 in Ζ
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
E’ possibile applicare il principio di induzione al problema di Hanoi, indicando ancora una
volta con M(n)= ”il numero minimo di mosse necessarie per spostare una pila di n dischi
rispettando le regole del gioco” .
Si vede immediatamente che la formula dedotta dall’osservazione è vera con un solo
disco (n0=1). Abbiamo infatti:M(1) = 21 - 1 = 1. Quindi M(n0) è vera (a).
Supponiamo ora la proposizione vera per n dischi , cioè che sia M(n) = 2n – 1 e proviamo
che è vera anche nel caso di (n+1) dischi: M(n+1) = 2 n+1 – 1 .
Nel caso di n + 1 dischi, incominciamo a spostare gli n dischi superiori dalla colonnina A
alla B e, per questo, abbiamo supposto che siano necessari M(n) = 2n – 1 movimenti.
Spostiamo poi il disco più grande dalla colonnina A alla C, con un movimento. Infine,
spostiamo gli n dischi dalla colonnina B alla C, sul disco più grande, e questo richiede altri
M(n) = 2n – 1 movimenti. In totale, i movimenti che abbiamo compiuto, per spostare gli n +
1 dischi, sono: M(n+1) = M(n) + 1 + M(n) = 2n – 1 + 1 + 2n – 1 = 2 x 2n - 1 = 2n+1 – 1.
Quindi abbiamo verificato che se M(n) è vera, allora M(n+1) è vera per ogni nn0 (b).
In questo modo abbiamo dimostrato per induzione che M(n) è vera per ogni nn0 in Ζ e
viene confermata con semplici passaggi la formula individuata empiricamente.
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Un’approccio all’algebra con la Torre di Hanoi
BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
Childs L Algebra. Un’introduzione concreta. ETS editrice.
Courant R. & Robbins H. (2000), Che cos’è la matematica? Introduzione elementare ai
suoi concetti e metodi, Boringhieri editore.
Ferrario D e P, Gallo C, Grassi C. La matematica per … comprendere applicare risolvere.
Per la scuola media. Ghisetti e Corvi editori.
Piacentini Cattaneo G.M. (1996), Algebra, un approccio algoritmico, Zanichelli editore.
Roghi R, Bonfanti F, Artusi L, Dehò G, Gasperi C. L’insegnamento della matematica e la
scuola media. Le Monnier editore.
http://proooof.blogspot.com/2008/09/verso-linfinito-ma-con-calma-i-numeri_08.html
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