Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni Regolato da

Università degli Studi di Genova
Facoltà di Ingegneria
D.I.B.E.
Simulazione dello Sviluppo
di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici
Dipendenti dall’Attività Elettrica
Relatore:
Chiar.mo Prof. Massimo Grattarola
Correlatore:
Dott. Ing. Marco Bove
Allievo:
Michele Giugliano
Ad Arcangelo e Teresa…
..le persone più importanti della mia vita
Be careful…
…be cautious…
…but be adventurous…
…‘cause it pays off!
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Indice
• Introduzione
• Capitolo 1: Meccanismi di Trasporto Attraverso una Membrana
Biologica
1.1 Elettrochimica delle Membrane Biologiche
1.2 Energia Libera di Gibbs
1.3 Potenziale Elettrochimico di una Sostanza
1.4 Modello Circuitale Equivalente di Membrana
1.5 Equazione del Potenziale Elettrico di Membrana
1.6 Dinamica delle Conduttanze di Membrana e Modello di HodgkinHuxley
1.7 Descrizione Discreta di un Canale Ionico
1.8 Cinetica Stocastica
1.9 Tempo di Vita di uno Stato
1.10 Variabile di Attivazione del Gate
1.11 Canale Ionico Multi-Stato
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a
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Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.12 Confronto con il Modello Deterministico
1.13 Convergenza in Probabilità
1.14 Rumore di Membrana e Attività Spontanea
1.15 Algoritmi di Simulazione al Calcolatore della Cinetica Stocastica
1.16 Analogia con l’Equazione di Langevin
1.17 Formula di Kramers
• Capitolo 2: Modello di Neurone Integra-e-Spara
2.1 Riduzione della Complessità
2.2 Analisi del Modello Biofisico Deterministico
2.3 Analisi nel Piano delle Conduttanze Massime di Membrana
2.4 Derivazione del Modello Integra-e-Spara
2.5 Introduzione delle Non-Linearità
2.6 Analisi del Modello Integra-e-Spara
2.7 Stimolazione Tempo-Variante
2.8 Modello Integra-e-Spara Stocastico
2.9 Formula di Kramers e Attività Spontanea
2.10 Previsione dell’Intervallo inter-spike
• Capitolo 3: Processi Dipendenti dall’Attività Elettrica: la Sintesi
Proteica
3.1 Espressione Proteica e Conduttanze di Membrana
3.2 La Dinamica del Calcio Intracellulare
3.3 Introduzione della Regolazione Dinamica
3.4 Proprietà del Modello Regolato
3.5 Analisi della Regolazione Dinamica
3.6 Robustezza del Modello Regolato Dinamicamente
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b
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3.7 Dinamica del Calcio Approssimata
3.8 Introduzione della Regolazione Dinamica nel Modello Integra-e-Spara
3.9 Attività Elettrica Strutturata e Robustezza
• Capitolo 4: Modello Matematico di una Rete di Neuroni
4.1 La Sinapsi
4.2 Cinetica Stocastica per una Sinapsi Chimica
4.3 Dinamica Deterministica per la Sinapsi Chimica
4.4 Il Fenomeno della Sincronizzazione dell’Attività
4.5 Simulazione di Reti Estese
4.6 Sintesi Proteica e Sinapsi Eccitatoria
4.7 Sintesi Proteica nel Modello Integra-e-Spara
4.8 Integratore o Rilevatore di Coincidenze?
• Capitolo 5: Crescita Cellulare e Auto-organizzazione
5.1 Sviluppo del Sistema Nervoso
5.2 Il Modello di Crescita
5.3 Evoluzione dell’Efficacia Sinaptica
5.4 Simulazione del Modello di Crescita
5.5 Risultati delle Simulazioni
5.6 Auto-organizzazione della Topologia
• Conclusioni e Prospettive Future
• Appendice A
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c
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• Appendice B
• Riferimenti Bibliografici
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d
I miei ringraziamenti vanno
al Prof. Massimo Grattarola, per avermi dato la possibilità di approfondire
questi argomenti, tracciando la strada… e permettendomi di trovarla anche
dentro di me. Senza la sua guida avrei sicuramente smarrito la rotta,
perdendomi nei miei slanci meno intelligenti.
Al Dott. Marco Bove, il cui inestinguibile entusiasmo e la brillante curiosità
sono state per me vero motivo di crescita. Quelle conversazioni
..improvvise, ..sincopate.. e così emozionanti hanno arricchito e stimolato la
mia mente.
alla mia famiglia , perché ha creduto nei miei interessi e mi ha consentito di
svilupparli, “sopportando” il mio freddo nervosismo per trasformarlo in
meraviglioso affetto.
al Prof. Mauro Parodi, Ing. Martinoia, Walter, e ancora Ivano, Roberto,
Davide, Marco, Simona, Fabia,
e ..in particolare a Laura.. piacevolissima compagna di ..nuotata!
In questi mesi moltissime altre persone mi hanno dato conforto e aiuto,
anche solo regalandomi un sorriso in una giornata di pioggia: se ho
dimenticato di citare qualche nome, la colpa è della mia testa.. non del mio
cuore.
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Introduzione
Lo studio della dinamica di una rete di neuroni è un problema fondamentale
di ricerca nelle neuroscienze. Questa disciplina di recente definizione, tende
ad unire aree scientifiche dalle tradizioni assai differenti, come la
neurofisiologia e la neuroanatomia, la biochimica e la genetica, la
psicologia cognitiva, l’intelligenza artificiale e la teoria formale delle reti
neurali, nel tentativo di elaborare una rappresentazione completa e
soddisfacente della fisiologia del sistema nervoso di un essere vivente, di
modificare situazioni patologiche oltreché di progettare sistemi artificiali
forniti di comportamenti ispirati dalla neurobiologia.
Figura I.1: Confronto fra le dimensioni di un neurone piramidale e un
microelettrodo, per misurazioni elettrofisiologiche.
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i
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Lo scopo di questa tesi è stato quello di indagare le proprietà di autoorganizzazione e di differenziamento funzionale del sistema nervoso di un
essere vivente, tipiche dell’embriogenesi. Attraverso la semplificazione
della descrizione matematica di alcuni fenomeni bioelettrochimici
dipendenti dall’attività elettrica, quali la sintesi proteica, l’elongazione
neuritica e la sinaptogenesi, sono stati ridotti drasticamente i tempi richiesti
per la simulazione al calcolatore della dinamica di una rete di neuroni in fase
di
organizzazione,
con
la
prospettiva
di
mantenere
un’elevata
corrispondenza e consistenza con i risultati sperimentali.
Con il progredire delle tecniche di misura elettrofisiologica (Neher et al.,
’83) e con le recenti scoperte sull’elaborazione dell’informazione per alcune
modalità sensoriali (Hubel, ‘89), si stanno delineando sempre più
chiaramente i contorni di una caratterizzazione delle proprietà di autoorganizzazione delle popolazioni di neuroni, e delle basi cellulari di forme
elementari di comportamento, quali la generazione di attività ritmica per il
controllo motorio, e semplici forme di apprendimento. Gli aspetti formali di
questi studi hanno contribuito a delineare una nuova area di ricerca
identificata come neuroscienza computazionale, il cui scopo è quello di
riconoscere, attraverso la modellistica matematica e la simulazione al
calcolatore del sistema nervoso, il contenuto di informazione dei segnali
biologici a differenti livelli.
Il comportamento estremamente ricco e complesso manifestato dalle cellule
nervose reali, rende molto complessa la formulazione di descrizioni
dettagliate e precise del funzionamento anche di un singolo neurone, e in
questi ultimi anni vari modelli sono stati sviluppati, dei quali un’ampia
classe gode delle stesse caratteristiche qualitative. Esistono due approcci per
lo studio dei fenomeni dell’eccitabilità e dell’elaborazione neuronale
dell’informazione afferente: il primo descrive con precisione i fenomeni di
trasporto ionico attraverso una membrana biologica, mentre il secondo
individua relazioni fra ingresso e uscita, per un insieme arbitrario di
grandezze misurabili. Con riferimento al primo dei due, la maggior parte dei
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ii
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modelli descritti in letteratura (Morris et al., ’81; Chay, ’90; Buchholtz et al.,
‘92) mantiene lo stesso formalismo originalmente proposto da Hodgkin e
Huxley (Hodgkin et al., ’52), premi Nobel per la fisiologia negli anni '50: il
repertorio comune a molti fenomeni eccitabili o oscillatori viene
brillantemente descritto dall’ipotesi di una dipendenza non lineare delle
caratteristiche di permeabilità ionica di membrana, dal potenziale elettrico
ai capi della stessa (si veda il primo capitolo).
Esistono naturalmente moltissimi livelli intermedi di descrizione: quando lo
scopo è ottenere una più approfondita comprensione delle strategie usate dal
sistema nervoso per elaborare l’informazione afferente ed efferente, la scelta
del modello è fortemente condizionata dalla disponibilità di dati
sperimentali neurobiologici, dal momento che non tutte le caratteristiche e le
grandezze
fisiche
di
interesse
sono
direttamente
accessibili
macroscopicamente.
In questa tesi sono state ignorate le fenomenologie spazio-varianti e la
propagazione dei segnali nervosi e i meccanismi di trasduzione,
elaborazione e trasmissione dell’informazione associata ai segnali biologici
sono stati riguardati come fenomeni puntuali e localizzati.
Nel primo capitolo, è stata approfondita la natura stocastica e discreta dei
processi che governano il trasporto ionico, la generazione e la propagazione
del segnale nervoso (DeFelice et al., ’83). La ricchezza di questa descrizione
consente di giustificare in modo molto semplice alcune proprietà e
fenomenologie di ordine superiore, quale l’attività elettrica spontanea
(DeFelice et al., ’93; Chow et al., ’96). Tale caratteristica emerge
naturalmente dalla dinamica collettiva e dalle fluttuazioni spontanee dello
stato conformazionale dei canali ionici, e se in un sistema sensoriale quasi
certamente potrebbe risultare dannosa, il suo ruolo in altre parti di un
sistema nervoso preposte alla pianificazione, alla coordinazione e al
controllo motorio potrebbe addirittura essere indispensabile, in vista di una
inibizione di comportamenti riflessi non appropriati o la generazione di
risposte di tipo completamente nuovo.
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iii
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Nel secondo capitolo è stata esaminata una procedura matematica
formalmente giustificata, di riduzione dei modelli biofisici verso un modello
semplificato noto in letteratura come modello integra-e-spara (Destexhe,
'97; Amit et al., '96; Hopfield et al., '95; Abbott et al., '90). Questo
procedimento ha permesso di mantenere una stretta correlazione con i
parametri e con i comportamenti previsti dalle descrizioni più dettagliate,
guadagnando diversi ordini di grandezza relativamente ai tempi richiesti per
la simulazione al calcolatore, specie nel caso di reti estese e densamente
interconnesse. La stessa attività spontanea è stata recuperata in questa
descrizione ridotta, insieme agli strumenti di analisi sviluppati per i modelli
completi, e nella maggior parte dei casi si è potuto giungere alla derivazione
di risultati significativi in forma chiusa.
Esiste però, una vasta evidenza sperimentale che l’interpretazione comune a
questi modelli matematici sia imprecisa, quando si consideri una scala
temporale caratteristica dei processi metabolici, quali l’espressione genetica
e la sintesi proteica (Abbott et al., ’93). I neuroni biologici mantengono le
proprie caratteristiche elettriche in una varietà di condizioni diverse,
nonostante la crescita cellulare, la rimozione proteica dei canali di
membrana e la variabilità della composizione ionica extracellulare. Pertanto
sembra pertinente l’estensione dei modelli di membrana eccitabile verso una
comprensione più dettagliata dei processi metabolici che caratterizzano
l’evoluzione di una singola cellula nervosa. Dai punti di vista
embriogenetico e ontogenetico, la sintesi proteica e quindi il meccanismo di
controllo della distribuzione dei recettori di membrana e dei canali ionici,
deve per esempio garantire una stazionarietà di comportamento, in
condizioni di grande variabilità. Queste proprietà sono state analizzate e
trasposte nel modello ridotto, completando la sua descrizione con le stesse
equazioni approssimate, descriventi i fenomeni di sintesi proteica.
Nel quarto e nel quinto capitolo vengono poste le basi per lo sviluppo di
simulazioni di reti estese, e di modelli complessi di descrizione della
connettività tempo-variante delle stesse. La maggior parte delle cellule
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nervose di un essere vivente si organizza in reti neuronali funzionalizzate
nel corso dell’embriogenesi. Fra gli innumerevoli fattori che influenzano la
struttura definitiva, è ormai chiaro che l’attività elettrica gioca un ruolo
predominante (Nelson et al., ’89; Fields et al., ’92). Molti meccanismi che
determinano la connettività sinaptica, come la crescita neuritica, il
comportamento del cono di crescita (struttura progenitrice delle sinapsi), la
morte cellulare, la sinaptogenesi e le variazioni dell’efficacia sinaptica sono
processi modulati dall’attività elettrica. Questa per esempio, è in grado di
arrestare la crescita delle arborizzazioni neuritiche, e di generare delle
retrazioni o delle alterazioni morfologiche nel cono di crescita (Fields et al.,
’92; van Ooyen et al., ’94).
Il risultato di questi processi è una reciproca influenza fra lo sviluppo della
struttura, della funzione e della connettività e l’attività della rete stessa,
caratteristica dei sistemi auto-organizzanti. La particolare forma delle
equazioni che descrivono il modello integra-e-spara consente l’impiego
dello stesso schema di connettività utilizzato nei modelli complessi,
garantendo l’ottimizzazione delle procedure di simulazione e rendendo
possibile lo studio di reti dinamiche auto-organizzanti.
In tale prospettiva, appare delinearsi più chiaramente l’idea che in
condizioni diverse, una cellula nervosa possa modificare le proprie
caratteristiche intrinseche, al fine di mantenere un particolare programma di
attività elettrica. Sperimentalmente, è stata data dimostrazione di una
quantità di meccanismi dipendenti dall’attività elettrica, quali plasticità
sinaptica (Nelson et al., ’89), meccanismi dipendenti dalla concentrazione di
calcio intracellulare (Fields et al., ‘92; van Ooyen, ’94), l’attivazione
neuronale di geni regolatori, variazioni strutturali (Turrigiano et al., ’95) e
reattività ai fattori neurotrofici durante la sinaptogenesi (Barinaga, ’95), e la
simulazione di questi processi al calcolatore, permette di giungere ad una
comprensione più profonda delle relazioni e dipendenze causali fra le varie
grandezze elettriche e biochimiche.
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Capitolo 1
Meccanismi di Trasporto Attraverso
una Membrana Biologica
1.1
Elettrochimica delle Membrane Biologiche
Come ogni altra cellula di un organismo vivente, un neurone è dotato di una
membrana plasmatica. Negli anni ‘70, fu avanzata l’ipotesi che i due strati
costituenti tale membrana fossero formati dalla giustapposizione di
molecole fosfolipidiche orientate in senso opposto. E’ infatti proprietà di tali
sostanze assumere in soluzione acquosa, un’organizzazione tridimensionale
di questo tipo, in virtù delle caratteristiche idrofobiche e idrofiliche delle
code lipidiche e delle teste fosforilate, rispettivamente, che le compongono.
Di notevole rilevanza, è la capacità di questa struttura di ostacolare il
passaggio di sostanze elettricamente cariche. Mentre i dipoli di acqua, dotati
di piccole dimensioni e privi di carica elettrica netta, possono attraversare
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facilmente tale barriera, così non avviene per i sali e per i composti
insolubili in acqua.
Se da un lato l’insorgenza di questa proprietà garantisce la segregazione
spaziale del citoplasma della cellula dall’ambiente esterno, dall’altro
richiede opportuni meccanismi funzionali per il trasporto dei vari tipi di ioni
e molecole, indispensabili per il metabolismo cellulare. In generale, questi
meccanismi possono essere classificati in due famiglie: meccanismi di
trasporto attivo e passivo. Nei primi è indispensabile la presenza di reazioni
chimiche esoergoniche, ovvero è necessaria una spesa energetica per
mantenere un flusso di materia da un estremità all’altra della membrana. Al
contrario, il trasporto passivo non richiede spesa energetica alcuna, e lo
scambio avviene in virtù di gradienti elettrochimici indotti dalla particolare
composizione chimica del citoplasma e del fluido intercellulare.
L’instaurarsi di una differenza di potenziale elettrico fra l’interno e l’esterno
della membrana, così importante per la trasduzione, l’elaborazione e la
trasmissione dell’informazione nervosa, è riconducibile proprio ai sistemi di
trasporto. E’ importante allora caratterizzare quantitativamente la dinamica
del potenziale elettrico, attraverso lo studio delle caratteristiche di
permeabilità della membrana e dei gradienti di concentrazione degli ioni,
unici portatori di carica elettrica in ambiente liquido.
1.2
Energia Libera di Gibbs
Per studiare più in dettaglio gli scambi ionici che avvengono attraverso una
membrana biologica, è necessario fare alcune semplificazioni e assunzioni.
E’ possibile riguardare la soluzione interna alla membrana plasmatica come
un sistema termodinamico aperto, ossia una parte di spazio soggetta a
scambi di energia e materia con l’ambiente circostante. In prima
approssimazione, l'interno e l'esterno della membrana cellulare sono
assimilabili a due compartimenti semi-infiniti, costituiti da soluzioni ioniche
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variamente concentrate. Si definisce energia libera di Gibbs la seguente
funzione di stato per tale sistema:
(1.1)
G = E tot + p ⋅ V − T ⋅ S
dove Etot è l’energia totale (inclusa l’energia interna U e tutti i termini
energetici di tipo macroscopico), p è la pressione del soluto nella soluzione,
V è il volume totale disponibile, T è la temperatura assoluta e S l’entropia.
Attraverso il primo e il secondo principio della termodinamica, può essere
dimostrato che una variazione isoterma e isobara di G, equivale ad uno
scambio energetico di tipo lavoro, a meno di una generazione di entropia
δSgen (eq. 1.2).
(1.2)
− (dG ) T,p = dL e + T ⋅ δS gen
δS gen ≥ 0
Se il soluto esercita un lavoro positivo sull’ambiente esterno, secondo la
convenzione classica, l’energia libera di Gibbs decresce, mentre aumenta in
conseguenza di una somministrazione energetica dall’esterno sul sistema
(metabolismo cellulare). Tale grandezza rappresenta quindi la potenzialità
del sistema a compiere lavoro, benché data la inevitabile generazione
entropica delle trasformazioni reali, una sua variazione è sempre maggiore
della quantità di lavoro effettivamente compiuto.
1.3
Potenziale Elettrochimico di una Sostanza
Un tipico esempio di scambio energetico di tipo lavoro dLe è il lavoro speso
per spostare una mole di uno ione generico, attraverso la membrana. Un
fenomeno di questo tipo richiede l’instaurarsi di una driving-force, ossia un
campo di forze agente sulle molecole, in generale dotate di carica elettrica.
Si definisce ψ il potenziale elettrico in un punto e µh il potenziale chimico
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per la specie chimica h-esima nello stesso punto. Intendendo con de, la
carica infinitesima associata ad una quantità di moli infinitesima dnh della
sostanza di tipo h-esimo, il lavoro dLe assume la forma indicata
dall’equazione 1.3:
(1.3)
dL e = ψ ⋅ de +
∑µ
h
⋅ dn h
h
Questa espressione può ovviamente essere riscritta (eq. 1.5), ricordando che
se zh è la valenza chimica della specie h-esima, allora la carica elementare
associata ad una quantità dnh di sostanza è proporzionale a dnh e a zh. In
totale vale che:
(1.4)
de = ∑ z h ⋅ F ⋅ dn h ,
dove F è la costante di Faraday
h
(1.5)
dL e =
∑( µ
h
+ z h ⋅ F ⋅ ψ) ⋅ dn h
h
Sostituendo l’equazione 1.5 nella 1.2, risulta che una variazione di G =
G(T, p, n1, n2, ...) è pari a
(1.6)
dG = −S ⋅ dT + V ⋅ dp −
∑( µ
h
+ z h ⋅ F ⋅ ψ) ⋅ dn h
h
ovvero risulta, per il teorema di derivazione delle funzioni composte, che la
componente del gradiente di G, relativa a nh , fissate temperatura assoluta,
entropia, pressione e concentrazione di ogni altra nk con k ≠ h, è il
coefficiente che moltiplica dnh nella 1.6. Formalmente, si può allora
definire:
(1.7)
 ∂G 
= µh


 ∂n h  T , S , p , n
µh = µh + zh ⋅ F ⋅ ψ
k
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Questa quantità prende il nome di energia libera molare parziale o
potenziale elettrochimico, e rappresenta la variazione dell’energia libera del
sistema, a seguito dello scambio di una mole di sostanza di tipo h-esimo,
quando T, S, p e la composizione di ogni altra sostanza sono fissate.
Sarà chiaro inoltre che un gradiente d µ h fra due punti qualsiasi dello spazio,
induce un flusso netto della sostanza h-esima, dal momento che a parità di
ogni altra quantità del sistema, G non può che variare a spese di uno
scambio di materia, cioè una variazione dnh. Allora l’energia libera molare è
il descrittore termodinamico a cui riferire i fenomeni di diffusione in
soluzione, sia nel caso di composti elettroneutri, sia nel caso di cationi e
anioni.
Esplicitando le dipendenze funzionali di tale grandezza, in un sistema ideale
infinitamente diluito, la variazione di energia libera molare parziale può
pure essere espressa come
(1.8)
dµ h = z h ⋅ F ⋅ dψ + R ⋅ T ⋅ d( ln c h )
ch =
nh
V
dove ch è per definizione, la concentrazione molare della specie ionica hesima, R è la costante dei gas perfetti e T la temperatura assoluta. Un tale
gradiente elettrochimico induce quindi un campo di forze conservativo che
per mole di sostanza h-esima assume, nel caso monodimensionale, la forma
dell’equazione 1.9.
(1.9)
fx = −
∂µ h
∂x
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1.4
Modello Circuitale Equivalente di Membrana
Numerosi studiosi di biofisica delle membrane cellulari, fra cui i premi
Nobel Hodgkin e Huxley, hanno basato la formulazione dei modelli di
descrizione
del
potenziale
elettrico
di
membrana,
essenzialmente
sull’assunzione che i processi di permeazione ionica possano essere
approssimati da fenomeni di tipo continuo e deterministico (Hodgkin et al.,
‘52). In altri termini, se consideriamo un problema monodimensionale di
attraversamento di una membrana di spessore ∆x in una direzione, e di
estensione infinita in tutte le altre direzioni, possiamo assumere che le
proprietà di permeabilità ionica siano uniformemente distribuite su tutta la
superficie, e definire il flusso molare monodimensionale per unità di
superficie, nel modo seguente:
(1.10) J h =
1
⋅
A
∫∫ c
h
⋅ w h ⋅ dA
A
Nella definizione 1.10, la doppia integrazione è estesa ad una generica
superficie di area A. Se la superficie è sufficientemente piccola, tale da poter
considerare la velocità di attraversamento wh di uno ione uniforme in ogni
punto, si può scrivere la seguente equazione:
(1.11) J h ≅
1
⋅ c ⋅ w h ⋅ A = ch ⋅ w h
A h
wh ∝ −
∂µ h
∂x
dove si è assunta l’esistenza di attriti viscosi, nell’esprimere la velocità di
uno ione generico wh proporzionale all’intensità del campo di forze e quindi
al gradiente di potenziale, in condizioni isotermobariche.
Le condizioni necessarie per il trasporto di massa attraverso una membrana
quindi, sono una differenza di potenziale elettrico dψ e/o una differenza di
concentrazione di una stessa specie ionica, ai capi opposti della membrana.
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Sotto l’ipotesi che le proprietà di permeabilità della membrana plasmatica
siano uniformi, possiamo integrare ai capi della membrana l’equazione 1.12,
che rappresenta il flusso ionico totale, ottenendo l’equazione 1.13.
(1.12)
∑J
h
(1.13)
h
=
∑u
h
⋅ ch ⋅
h




d
( R ⋅ T ⋅ ln c h + z h ⋅ F ⋅ ψ)
dx
∑ z h ⋅ F ⋅ J h = ∑ ∫0
h
h
∆x
−1
 

c h IN
R ⋅T
 ⋅
⋅
ln
EXT − ∆ψ
2
ch

u h ⋅ c h ⋅ ( z h ⋅ F)   z h ⋅ F
dx
Nell’ultima equazione, si è indicata con uh la mobilità della specie chimica
h-esima attraverso un punto generico della membrana.
L’equazione 1.13 identifica un circuito elettrico equivalente, dal momento
che formalmente, essa può essere riguardata come la condizione di
solenoidalità dei flussi di densità di corrente di conduzione, attraverso la
membrana. In altri termini, essa corrisponde all’equazione di Kirchoff ad un
nodo di un circuito, nella topologia indicata in figura 1.1.
∆ψ
IN
EXT
Fig. 1.1: Trasporto ionico e circuito elettrico equivalente.
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I generatori indipendenti di tensione rappresentano il potenziale di equilibrio
c h IN
R ⋅T
di Nernst, ossia il termine
⋅ ln EXT coincidente con quel valore di
zh ⋅ F
ch
∆ψ per il quale non si ha alcun flusso netto della specie ionica h-esima. Le
conduttanze




∫0
∆x
(per
unità
di
superficie)
di
valore
pari
a
−1

dx

2  per ogni h, poste in serie a ciascun generatore di
u h ⋅ c h ⋅ ( z h ⋅ F) 
tensione, dipendono in prima approssimazione dal termine di mobilità uh
attraverso la membrana, per ciascuno ione.
Se da un lato l’approccio modellistico elettrico ha il pregio di rappresentare
in modo immediato i contributi al potenziale di membrana dovuti alle
singole specie ioniche, dall’altro deve essere adoperata molta cautela
nell’interpretazione di alcuni risultati. A rigore infatti i formalismi
elettrotecnici e le equazioni fondamentali di Kirchoff non fanno alcuna
distinzione fra le diverse specie ioniche. Queste leggi non discriminano fra
un elettrone trasportato da uno ione Cl- e un elettrone trasportato da HCO3-,
come pure non possono distinguere fra la corrente elettrica dovuta ad un
flusso di un anione monovalente in una direzione o la corrente dovuta ad un
flusso di un catione monovalente nella direzione opposta (Schultz).
Riassumendo, il circuito equivalente schematizzato in figura 1.1,
rappresenta l’equivalente di un patch di membrana di estensione A, dotata di
proprietà di
permeabilità spazialmente uniformi,
che separa
due
compartimenti semi-infiniti in cui le concentrazioni molari delle specie
ioniche sono ch IN e ch
EXT
, per ogni h-specie. Molto interessante è la forma
matematica di queste correnti ioniche: queste sono ohmiche, ovvero
proporzionali alla differenza di potenziale, attraverso un termine di
conducibilità
elettrica
equivalente.
Questa
descrizione
costituisce
un’approssimazione particolarmente accurata, quando la concentrazione
degli ioni in soluzione non sia troppo elevata.
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8
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Dal punto di vista sperimentale comunque, anche nel caso di una membrana
completamente impermeabile al passaggio di ioni può essere rilevata una
corrente elettrica, a seguito di una variazione del potenziale elettrico.
L’effetto di una variazione della carica, accumulata ai capi della membrana,
è quello di generare una corrente di spostamento, dovuta essenzialmente alle
caratteristiche strutturali del doppio strato lipidico. La regione idrofoba,
come già osservato, può essere pensata con ottima approssimazione come un
dielettrico ideale, interposto a due strati conduttori. Sotto l’ipotesi di
sovrapposizione lineare di tale corrente di spostamento, alle correnti ioniche
ohmiche definite prima, la distribuzione di carica elettrica è la medesima
che si instaura sulle armature di un condensatore posto in parallelo al
circuito elettrico precedente (figura 1.2).
∆ψ
IN
EXT
Fig. 1.2: Modello circuitale equivalente completo di effetti capacitivi.
1.5
Equazione del Potenziale Elettrico di Membrana
Sono state chiarite le modalità con le quali è possibile un flusso di corrente
ionica attraverso una membrana, quando esistano condizioni di permeabilità
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9
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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per quella specie ionica. E’ allora possibile analizzare la dinamica temporale
e spaziale del potenziale elettrico ai capi della membrana plasmatica di una
cellula nervosa e studiarne le proprietà di eccitabilità. Consideriamo ancora
l’equazione 1.13. Questa equazione può essere completata dal principio di
conservazione della carica elettrica, partendo dalle equazioni fondamentali
dell’elettromagnetismo. Si scriva la prima equazione di Maxwell:
(1.14) ∇ ∧ H = J + ε ⋅
∂E
∂t
Al primo membro compare il rotore di H , vettore campo magnetico, mentre
al secondo membro, J rappresenta il vettore densità di corrente di
conduzione, E il vettore campo elettrico e ε la permettività elettrica del
mezzo. Per le proprietà dell’operatore rotore, applicando la divergenza ad
ambo i membri si ottiene la seguente:

∂E 

(1.15) 0 = ∇ ⋅ ( ∇ ∧ H ) = ∇ ⋅  J + ε ⋅

∂t 
Infine per il teorema di Gauss in forma locale, ∇ ⋅ E =
ρ
, con ρ la densità di
ε
carica volumetrica, e per la linearità dell'operatore divergenza, segue che la
variazione temporale della carica libera contenuta in una qualunque
superficie chiusa è la risultante algebrica delle correnti che la attraversano
(eq. 1.16):
(1.16)
dQ
=
dt
∫∫ J ⋅ ds = I tot
Il secondo membro di tale equazione, coincide con il primo termine della
1.13. Vengono così inclusi gli effetti capacitivi del doppio strato
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fosfolipidico, in prima approssimazione modellati da un condensatore a
facce piane parallele, di capacità C.
Si può allora scrivere un’equazione differenziale per il potenziale di
membrana del tipo seguente, essendo Q = C ⋅ ∆ψ per definizione di capacità
elettrica:
(1.17)
dC ⋅ ∆ψ
=
dt
∑z
h
⋅F⋅Jh =
h
∑g ⋅(E
h
h
− ∆ψ)
h
c IN
R⋅T
(1.17a) E h =
⋅ ln hEXT
zh ⋅ F
ch

g h = 

∫0
∆x


2
u h ⋅ c h ⋅ ( z h ⋅ F) 
−1
dx
Per come è stato definito, ∆ψ è pari alla differenza del potenziale elettrico
intracellulare e di quello extracellulare, ossia ∆ψ = ψ IN - ψ EXT, in accordo
con la convenzione biofisica, e d’ora in avanti si chiamerà V = ∆ψ. Giacché
la struttura del doppio strato fosfolipidico è stabile nel tempo, alla superficie
della membrana le caratteristiche geometriche dell’equivalente chimico
delle armature di un condensatore sono tempo-invarianti e di conseguenza
pure il valore della capacità C. Riscriviamo allora l’equazione 1.17,
portando C fuori dal segno di derivata temporale:
(1.18) C
dV
=
dt
∑g ⋅(E
h
h
− V)
h
Occorre chiarire che V è il valore del potenziale ai capi della membrana
cellulare all’istante t, posseduto da ogni punto del patch di membrana. In
altri termini, l’equazione 1.18 vale solo nell’ipotesi in cui tutti i punti in
esame siano caratterizzati dallo stesso valore di V (ipotesi di space clamp).
Una formulazione più generale dell’equazione 1.18, che tenga conto delle
disomogeneità della distribuzione del potenziale, oltreché degli eventuali
fenomeni di propagazione, è formalizzabile come un’equazione alle derivate
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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parziali in cui si includono i termini di permeabilità ionica citoplasmatica
(rint-1) e le dipendenze spaziali dei parametri (1.19).
(1.19)
1
∂ 2 V( x , t )
∂V( x, t)
⋅
= C(x) ⋅
−
2
rint (x)
∂t
∂x
∑g
h ( x) ⋅
( E h ( x ) − V ( x , t ))
h
Questa rappresenta l’evoluzione dinamica di un circuito elettrico a parametri
distribuiti e deve essere impiegata quando siano rilevanti gli effetti
propagativi e le disomogeneità spaziali. La determinazione del valore della
velocità di propagazione di una perturbazione di V(x,t), fu condotta per la
prima volta nelle fibre nervose di rana, da Helmholtz, personalità centrale
nello sviluppo dell'elettromagnetismo. Non a caso, dunque, l’equazione 1.19
discende direttamente dalla teoria elettromagnetica delle linee di
trasmissione che riesce a descrivere con successo, la trasmissione nervosa
anche in configurazioni geometriche complesse dei processi neuritici.
Per semplicità, verranno trascurati fenomeni di questo tipo, e sarà presa in
considerazione soltanto l’ipotesi di space clamp. Dal punto di vista della
consistenza con la realtà, molti processi naturali di interesse neurobiologico
sono caratterizzati dalle condizione di space clamp: varie strutture
dell’anatomia di una cellula nervosa, come la parte iniziale dell’assone
(hillock)
e
i
nodi
di
Ranvier,
sono
di
piccole
dimensioni
e
approssimativamente isopotenziali (Strassberg et al., ‘93).
Si inizia la caratterizzazione dei parametri che compaiono nella 1.18: si
osserva sperimentalmente che le specie ioniche tipiche sono il cloro, il
potassio, il sodio, il calcio e il magnesio, anche se il ruolo preponderante
viene unanimemente attribuito alle prime tre. La tabella 1.1 riporta i valori
indicativi delle concentrazioni di queste specie ioniche all’interno e
all’esterno della membrana citoplasmatica.
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Ione
Interno
Esterno
K+
400mM
(10)mM
50mM
460mM
Ca
(.4)mM
10mM
Mg2+
10mM
54mM
Cl-
40 - 150mM
560mM
Na+
2+
Tabella 1.1: Concentrazioni saline per l’assone gigante di calamaro
(Shepard, ‘88) .
Per definizione, il potenziale di equilibrio per ciascuna delle specie ioniche è
calcolabile secondo la 1.17a, e i valori indicativi sono riportati di seguito.
Ione
Eh
K+
96mV
Na+
58mV
Ca2+
84mV
Mg2+
44mV
Cl-
46mV
Tabella 1.2: Valori dei potenziali di equilibrio ionico.
Questi valori sono tutti diversi da zero, dal momento che esistono gradienti
di concentrazione fra l’interno e l’esterno della membrana. Se il sistema si
portasse all’equilibrio con il suo ambiente esterno, in un tempo più o meno
lungo (tempo di rilassamento) i valori delle concentrazioni
si
eguaglierebbero annullando il rispettivo potenziale d’equilibrio. Questo non
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avviene essenzialmente per due ragioni: in condizioni normali la membrana
è impermeabile al passaggio di ioni sodio, mentre ammette il trasporto di
ioni potassio dall’interno all’esterno, in accordo con il potenziale
elettrochimico presente. Questa condizione di stazionarietà si oppone alla
naturale tendenza all'equilibrio termodinamico, e non è chiaramente
deducibile dall’analisi svolta fino a questo momento. E’ indispensabile, per
completare la trattazione, includere quei meccanismi di trasporto attivo,
capaci di mantenere lontano dall’equilibrio il sistema, a spese di energia
metabolica. Più in dettaglio, fra questi meccanismi deve esistere un processo
di trasporto ionico, contro i gradienti elettrochimici, ovvero un meccanismo
di pompa metabolica. Nell’equazione 1.13, dovrebbero allora comparire
nuovi termini al secondo membro, elettricamente equivalenti a dei
generatori indipendenti di corrente. Secondo questo schema, la condizione
di sbilanciamento nelle concentrazioni ioniche può essere mantenuta
indefinitamente. Tipicamente comunque, i fenomeni di quest’ultimo tipo,
interessano una scala temporale più lenta rispetto alle costanti di tempo
elettriche e chimiche dell’equazione 1.13. Sotto questa ipotesi è possibile,
assumere assente, sul breve termine, l'effetto delle variazioni nella
concentrazione intracellulare ed extracellulare, assumendo il valore dei
potenziali nernstiani come fissato nel tempo.
1.6 Dinamica delle Conduttanze di Membrana e
Modello di Hodgkin-Huxley
Fino a questo punto le proprietà di una cellula nervosa sono le stesse di una
qualunque altra cellula di un organismo vivente. Infatti, la quasi totalità
delle membrane cellulari prevede i meccanismi di trasporto citati, ed è
soggetta a gradienti ionici del tipo descritto. La caratteristica essenziale che
distingue un neurone dalle altre cellule, è la capacità di variare
transitoriamente il potenziale di membrana, in risposta ad un’alterazione
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
nelle concentrazioni o ad uno stimolo esterno. Si dirà allora che un neurone
è una cellula eccitabile, ovvero il potenziale di membrana non resta fissato
nel tempo. Altri esempi di cellule eccitabili sono dati dalle fibre muscolari e
dalle cellule pancreatiche β.
La proprietà di eccitabilità fu studiata nel dettaglio da Hodgkin e Huxley
attorno agli anni '50, e per primi compresero che l’insorgenza di una rapida
depolarizzazione
della
membrana,
seguita
da
una
immediata
iperpolarizzazione, era consistentemente riconducibile ad una variazione nel
tempo dei valori di conduttanza elettrica: le permeabilità ioniche indicate
nella
1.18
dovevano
essere
necessariamente
tempo-varianti.
Essi
ipotizzarono che il campo elettrico indotto dal potenziale di membrana,
dovesse avere un qualche effetto sulla distribuzione superficiale o sulla
struttura interna di molecole cariche, o dotate almeno di un momento di
dipolo elettrico, e che queste fossero responsabili del passaggio degli ioni
attraverso la membrana: i canali ionici. Il sistema di equazioni differenziali
proposto per descrivere V(t), considera ogni gh, come una quantità
proporzionale alla frazione dei canali permeabili in un dato istante. Hodgkin
e Huxley supposero che a regime, la popolazione di tali canali dovesse
trovarsi all’equilibrio termodinamico, ovvero seguire la distribuzione di
Boltzmann (1.20). Se indichiamo a regime con n d ∞ , la frazione
deterministica di canali nello stato permeabile, e quindi con (1- n d ∞ ) la
frazione di essi nello stato che rende impossibile il passaggio ionico,
possiamo scrivere che:
(1.20) n d ∞ = (1 − n d ∞ ) ⋅ e
−
∆G
KT
all’equilibrio termodinamico.
A meno di una costante arbitraria, ∆G rappresenta l’energia libera di Gibbs,
che può essere pensata funzionalmente dipendente dal potenziale V,
attraverso la dipendenza dal lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico.
In altri termini possiamo scrivere la seguente equazione.
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(1.21) ∆G = − ∆L e + T ⋅ ∆S gen ≅ − ∆L e
∆L e = z ⋅ q ⋅ V + ∆W
Questa equazione segue dalla 1.2, trascurando i processi dissipativi e gli
attriti (∆Sgen = 0), che comunque spostano solo l’efficienza del sistema e
non ne modificano la dinamica. ∆W < 0 è il lavoro speso quando V = 0, q è
la carica elementare dell’elettrone e z la valenza chimica equivalente delle
molecole ipotizzate da Hodgkin e Huxley. Se z < 0 e V è sufficientemente
grande, si può considerare ∆G ≈ z ⋅ q ⋅ V , e riscrivendo la 1.20, si ottiene
una nota dipendenza sigmoidale (1.22) dal potenziale di membrana,
rappresentata in figura 1.3.
(1.22) n d ∞ = (1 − n d ∞ ) ⋅ e
−
z⋅q⋅ V
K⋅T
1
⇒ nd∞ =
1+ e
−
z⋅q ⋅V
K⋅T
In queste ipotesi si è pertanto dimostrato che a regime, per ogni h-specie
ionica g ∞ è proporzionale a n d ∞ , ovvero ad una quantità che dipende dal
tempo attraverso V(t).
0.8
0.4
0.0
-4
0
4
V
Fig. 1.3: Dipendenza sigmoidale dal potenziale elettrico, delle conduttanze
di membrana a regime.
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16
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Questa particolare dipendenza, dedotta con considerazioni termodinamiche,
chiarisce come la permeabilità della membrana ad una data specie ionica
possa essere elevata ad un dato valore del potenziale di membrana, e
trascurabile per un altro valore, rendendo verosimile l'ipotesi di Hodgkin e
Huxley, che le transizioni di V(t) siano il risultato di fenomeni
autorigeneranti e legati solo alle proprietà di permeabilità ionica.
Comunque, si comprende presto che una dipendenza funzionale istantanea
dal potenziale di questo tipo non è sufficiente a modellare il fenomeno
transitorio che si osserva sperimentalmente a seguito di una stimolazione in
corrente del patch di membrana: il potenziale d’azione (fig. 1.4).
40
20
0
-20
V (mV)
-40
-60
-80
0
10
20
t (msec)
Fig. 1.4: Potenziale d’azione.
Ipotizzando uno schema cinetico del primo ordine per l’evoluzione
temporale della frazione di canali ionici permeabili, e mediante tecniche di
interpolazione numerica dei dati sperimentali ottenuti nel caso dell'assone
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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gigante del calamaro, Hodgkin e Huxley derivarono il primo modello
matematico di eccitabilità nervosa (Hodgkin et al., ‘52) (eq. 1.23 - 1.26).
(1.23) C
dV
= g l ⋅ ( E l − V) + g K ⋅ n d 4 ⋅ ( E K − V) + g Na ⋅ m d 3 ⋅ h d ⋅ ( E Na − V) + I ext
dt
L'ultima equazione discende dalla 1.18 e dalle ipotesi e assunzioni sulla
dipendenza delle conduttanze di membrana. Vi figurano i valori massimi
delle stesse, insieme con opportune variabili di attivazione e inattivazione
deterministica (nd, md, hd), che riassumono il concetto di frazione di
elementi di una popolazione di canali ionici nello stato permeabile. Queste
compaiono elevate alla terza e quarta potenza, per ragioni di interpolazione
dei risultati sperimentali, anche se sussistono motivazioni più profonde che
verranno esaminate nel paragrafo 1.13 (si veda l'equazione 1.89). Lo schema
cinetico del prim’ordine citato (eq. 1.24 - 1.26) dispone di coefficienti di
reazione dipendenti dal potenziale V (eq. 1.27 - 1.29).
(1.24)
dn d
= α n ( V) ⋅ ( 1 − n d ) − β n ( V) ⋅ n d
dt
(1.25)
dm d
= α m ( V) ⋅ ( 1 − m d ) − β m ( V) ⋅ m d
dt
(1.26)
dh d
= α h ( V) ⋅ ( 1 − h d ) − β h ( V) ⋅ h d
dt
(1.27) α n (V) =
0.01 ⋅ ( V + 55)
1− e
(1.28) α m (V) =
−
V+55
10
01
. ⋅ (V + 40)
1− e
−
V+40
10
β n (V) = 0125
. ⋅e
β m ( V) = 4 ⋅ e
−
−
V+65
80
V+65
18
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18
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(1.29) α h ( V) = 0.07 ⋅ e
−
V+65
20
1
β h ( V) =
1− e
−
V+35
10
Nella 1.23, compare inoltre una conduttanza identicamente costante nel
tempo. Tale è la conduttanza di perdita (leakage), e rappresenta il flusso
attraverso la membrana, di ioni Cl- e di altre specie ioniche di minore
importanza. I valori dei parametri non ancora esplicitati sono infine i
seguenti:
Parametro
Valore
1µF/cm2
C
Capacità di membrana
El
Potenziale di eq. di perdita
-54.4mV
+
ENa
Potenziale di eq. per Na
50mV
EK
Potenziale di eq. per K+
-77mV
gl
Conduttanza di perdita
0.3mS/cm2
g Na
Conduttanza massima per Na+
120mS/cm2
gK
Conduttanza massima per K+
36mS/cm2
Tabella 1.3: Valore dei parametri del modello di Hodgkin-Huxley.
Si osserva, come era stato anticipato, che i valori di regime di nd, md, e hd
hanno dipendenza sigmoidale dal potenziale di membrana, dal momento che
annullando il primo membro delle equazioni 1.24 - 1.26, si ottiene
rispettivamente:
(1.30) n d ∞ =
αn
αn + βn
md ∞ =
αm
αm + βm
hd ∞ =
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αm
α m + β mg
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Il formalismo dalle equazioni 1.18 e 1.23 - 1.26 definisce una classe molto
ampia di modelli biofisici di membrana eccitabile (Morris et al., ‘81; Chay,
‘90; Buchholtz et al., ‘92; Turrigiano et al. ‘95). Caratteristica comune è la
dinamica
associata
alle
variabili
che
controllano
l’attivazione
e
l’inattivazione eventuale delle conduttanze ioniche. I vari modelli proposti
per numerosi tipi di membrana eccitabile (fibre muscolari, neuroni del
ganglio stomatogastrico, neuroni di sanguisuga, neuroni piramidali, cellule
pancreatiche β, eccetera) si distinguono dal numero di correnti ioniche che
vengono incluse, oppure dalla descrizione di fenomeni di ordine superiore
(Rinzel et al.) come il bursting, i fenomeni di accumulo, la sintesi proteica,
di cui si può tenere conto complicando le dipendenze dei coefficienti di
reazione α e β e la forma delle conduttanze massime di membrana (si veda
il capitolo 3).
1.7
Descrizione Discreta di un Canale Ionico
E’ già stato sottolineato che le assunzioni di base della trattazione biofisica
esaminata sono l’uniformità, la continuità ed il determinismo delle proprietà
di permeabilità ionica del patch di membrana. Oggi è noto che la vera natura
delle membrane biologiche è tutt’altro che continua, dal momento che i siti
di permeabilità ionica sono concentrati e localizzati entro strutture proteiche
intercalate al doppio strato fosfolipidico. Tali siti, in grado di modulare
nell’intensità le correnti ioniche, sono intrinsecamente governati da una
cinetica stocastica e non deterministica. Tale ipotesi fu avanzata fin dalla
prima metà degli anni ‘70 (Conti et al., ‘75) sulla base di osservazioni
indirette delle fluttuazioni del potenziale di membrana, e poi nel 1980 fu
verificata sperimentalmente da Conti, Neher e Sackmann, grazie allo
sviluppo di una nuova tecnica di rilevazione elettrofisiologica delle singole
correnti di canale: la tecnica del patch clamp. Fu possibile accertare
definitivamente che i siti di attraversamento della membrana, per un tipo di
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20
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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ione soltanto, sono entità discrete, localizzate e soggette a fluttuazioni
statistiche nella conformazione tridimensionale che induce le proprietà di
permeabilità. Il contributo al potenziale di membrana è quindi di tipo
aleatorio, ed è pensabile come il risultato di una fluttuazione delle proprietà
di permeabilità di ciascun canale, amplificata dai gradienti ionici presenti ai
capi della membrana cellulare. Infatti, il rumore termico fornisce a questi
complessi proteici sufficiente energia da variare temporaneamente la propria
conformazione interna, così che essi fluttuano casualmente entro un numero
finito di stati discreti stabili (DeFelice et al., ‘93). Storicamente,
l’identificazione di questi stati interni, è stata condotta analizzando e
interpretando le correnti ioniche rilevate dal singolo canale, e le probabilità
di transizione fra questi stati viene assunta dipendente, in modo istantaneo,
dal potenziale di membrana e dallo stato stabile attuale, ossia l’intero
processo è assunto markoviano. Il risultato netto di questa conversione
dell’energia termica in un segnale macroscopico significativo, è la
complessa cinetica tempo-variante e dipendente dal potenziale, capace di
prevedere tutte le proprietà elettriche macroscopiche.
Fig. 1.4a: Rappresentazione schematica della natura discreta del fenomeno
di permeabilità ionica.
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Dal punto di vista modellistico, può essere data una versione più accurata
dell’equazione che descrive l’andamento del potenziale di membrana V(t):
(1.31) C

dV
= g l ⋅ ( E l − V) + 
dt

∑g
h

n
E
V
⋅
⋅
−
(
)
 + I ext
h
h
h

Ogni conduttanza ionica viene ancora descritta come prodotto fra la
conduttanza massima, corrispondente al caso in cui tutti i canali proteici di
quel tipo sono nello stato aperto, e la frazione totale di canali in tale stato.
Ciascun canale è riguardato come un dispositivo discreto, funzionalmente
bistabile fra uno stato aperto e uno stato chiuso.
A ciascuno di questi canali è associata una variabile ξh i , dove il primo
pedice indica il tipo di ione che viene fatto transitare, e il secondo identifica
l’indice del canale proteico. Questa variabile assume il valore 1 quando lo
stato funzionale del canale è aperto, e altrimenti il valore 0.
Con le definizioni date, si può essere più precisi nell'affermare che per ogni
h-specie chimica:
(1.32) n h =
1
Nh
⋅
max
N h max
∑ξ
i =1
hi
Nel paragrafo seguente si studierà la natura stocastica di questa variabile
aleatoria, definita come somma di variabili aleatorie. Si considererà inoltre
una varietà di modelli stocastici di canale proteico, nei quali vale che:
kh
(1.32a) ξ h = Π γ h jh
jh =1
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22
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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E’ possibile esprimere la variabile associata al canale generico, come
prodotto di variabili elementari, che esprimono lo stato conformazionale di
singole strutture interne.
Nella 1.32, si è indicato con Nh
max
il numero massimo di canali proteici
selettivi al passaggio della specie ionica h-esima, in generale esprimibile in
termini di densità superficiale di canali ρh, e di estensione del patch di
membrana in esame S.
(1.33) N h
max
= ρh ⋅ S
Si vuole subito eliminare un’ambiguità in riferimento alle dimensioni di
ciascun termine della 1.31. Se V e Eh sono misurati in mV e t in msec, C
viene misurata in µF/cm2, gh in mS/cm2. La corrente esterna Iext viene
misurata in µA/cm2, la superficie S in cm2 e la densità ρh in cm-2.
Anche se dimensionalmente la capacità, i valori delle conduttanze e la
corrente esterna sono relativi all’unità di superficie, nel considerare il
numero totale di canali proteici indicato dalla 1.32, si ha comunque una
dipendenza dal valore di S. Indicando con I$ ext in µA la corrente esterna
assoluta di stimolazione, moltiplicando per S ambo i membri della 1.31 si
ottiene:


 N h max 
(1.34) ( C ⋅ S) dV = ( g ⋅ S) ⋅ ( E l − V) +  ∑ ( g ⋅ S) ⋅ 1 ⋅  ∑ ξ  ⋅ ( E h − V)  + I$ ext
l
h
h i
ρ ⋅S 
dt



Nh
max
h
h

i =1


è pur sempre relativo alla dimensione del patch, come si vede
raccogliendo una quantità adimensionale, pari a S: la sola differenza formale
è il fattore di scalamento della corrente:

dV
(1.35) C
= g l ⋅ ( E l − V) + 
dt

∑
h
N max 
 I$
1  h
ext


ξ h i  ⋅ ( E h − V)  +
gh ⋅
⋅
ρ h ⋅ S  i =1
 S

∑
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23
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Fig. 1.5: Particolare del dominio di formazione di un poro proteico:
rappresentazione grafica al calcolatore.
1.8
Cinetica Stocastica
Riprendendo la 1.32, si osserva che la quantità ξh
i
associata a ciascun
canale è una variabile aleatoria, come pure nh che ne è la sommatoria estesa
a tutti i canali del tipo h. In vista di una determinazione formale di alcune
proprietà
dell’approccio
stocastico
alla
descrizione
del
fenomeno
dell’eccitabilità, è possibile studiare le proprietà statistiche delle variabili
citate.
Il modello più semplice di un canale proteico voltage-gated, ossia
controllato nella permeabilità dalla differenza di potenziale ai capi della
membrana, è quello di un dispositivo a due stati conformazionali stabili, per
il quale le transizioni da uno stato all'altro siano indipendenti dalla storia
precedente, e legate solo allo stato e al potenziale di membrana attuali.
Possiamo visualizzare schematicamente questo dispositivo in fig. 1.6,
pensando che esso sia completamente caratterizzato
dallo stato di una
singola struttura molecolare al suo interno, funzionalmente sensibile al
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potenziale di membrana. Tale struttura può trovarsi in due stati, e d'ora in
avanti verrà chiamata gate.
CANALE
CHIUSO
CANALE
APERTO
gate
nello stato chiuso
gate
nello stato aperto
Fig. 1.6: Modello di canale ionico bistabile, ad unico gate indipendente.
Noto deterministicamente lo stato occupato inizialmente, introduciamo la
seguente notazione per riferirci alla probabilità condizionale di trovare il
gate in un certo stato, all'istante attuale. D’ora in avanti si farà riferimento
allo stato aperto del gate con la lettera A, e allo stato chiuso con la lettera C.
(1.36)
dove

 gate APERTO a t = t ’
PA , K ( t ’) = Pr 
gate nello stato K a t = 0


 gate CHIUSO a t = t ’
PC , K ( t ’) = Pr 
gate nello stato K a t = 0

K ∈ {A , C} è
lo
stato
posseduto
ad
un
istante
iniziale,
convenzionalmente fissato a t = 0 e noto.
Per la natura non lineare delle interazioni fra campi elettrici e
conformazione tridimensionale dei complessi proteici che compongono un
canale ionico, introduciamo la probabilità di transizione del gate da uno
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stato all’altro, dipendente dal valore istantaneo del potenziale di membrana.
Per i transitori che stiamo studiando, il potenziale di membrana V(t) può
essere considerato costante rispetto al tempo, giacché le sue variazioni
temporali dipendono solo dai flussi ionici attraverso i canali aperti. La scala
temporale dei fenomeni di attraversamento della membrana attraverso essi, è
sicuramente molto maggiore di quella coinvolta nell’apertura e nella
chiusura degli stessi, dato l’ordine di grandezza della mobilità di uno ione in
soluzione.
{
}
Pr{CHIUSO → APERTO in [ t ; t + ∆t ] } = α( V) ⋅ ∆t
Pr APERTO → CHIUSO in [ t ; t + ∆t ] = β( V) ⋅ ∆t
(1.37)
Le probabilità di transizione 1.37, fissano la probabilità che si abbia una
transizione da uno stato all’altro, in un certo intervallo temporale,
proporzionalmente alla durata di tale intervallo e ad una funzione del
potenziale di membrana V. Questa funzione verrà nel seguito determinata,
in base a procedure di fitting delle misure elettrofisiologiche.
Dalle 1.36 e 1.37, risulta possibile determinare l’espressione analitica delle
probabilità condizionali PI, J (t), per ogni I e J stato possibile. Infatti, fissato
un intervallo temporale infinitesimo ∆t, si può esprimere ad esempio la
probabilità di trovare all’istante t+∆t il gate nello stato A, come probabilità
dell’evento: “gate nello stato A all’istante t e nessuna transizione in ∆t,
oppure gate nello stato C all’istante t e transizione da C a A”. Dal momento
che la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è la somma delle
probabilità dei singoli eventi, e che la probabilità della congiunzione di
eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi, si trova:
 PA , K ( t + ∆t ) = α ⋅ ∆t ⋅ PC , K ( t ) + ( 1 − β ⋅ ∆t ) ⋅ PA , K ( t )

(1.38)  PC, K ( t + ∆t ) = β ⋅ ∆t ⋅ PA , K ( t ) + ( 1 − α ⋅ ∆t ) ⋅ PC , K ( t )
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Analogo ragionamento è stato condotto per la probabilità di trovare il gate
nello stato chiuso al tempo t + ∆t. Se si fa tendere a zero ∆t, e si rammenta
che per il secondo assioma della teoria delle probabilità si può scrivere
(1.39) ∀ K, t: PA , K ( t ) + PC, K ( t ) = 1,
si ottiene il seguente sistema differenziale lineare omogeneo:
(1.40)
d  PA , K ( t )  − β α   PA , K ( t ) 
⋅ 

=

dt  PC, K ( t )   β −α   PC, K ( t ) 
per definizione caratterizzato dalla seguente condizione iniziale
 PA , K (0)  δA , K 
(1.41) 
=
,
 PC , K (0)  δC, K 
1 I = J
dove δI , J = 
è detto delta di Kroneker
0 I ≠ J
Tale sistema differenziale (1.40 – 1.41) può essere risolto in forma chiusa,
pur di considerare costanti rispetto al tempo le quantità α(V) e β(V). Questa
è una buona approssimazione poiché tali grandezze dipendono da V ma
come si è già detto, la dinamica ad esso associata è molto più lenta.
Il sistema 1.40 è allora lineare a coefficienti costanti e porta ai seguenti
risultati:
(
)
(1.42) PA , K ( t ) = PA + δA , K − PA ⋅ e−( α + β) ⋅ t
(
)
(1.43) PC ,K ( t ) = 1 − PA ,K ( t ) = PC + δ C ,K − PC ⋅ e −( α+β) ⋅t
(1.43a) PA = lim PA ,K ( t ) =
t →+∞
α
α+β
PC = lim PC,K ( t ) =
t →+∞
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β
α+β
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Le probabilità definite dalla 1.43a sono le probabilità condizionali a regime,
che non dipendono più dalla condizione iniziale, e quindi vi si può fare
riferimento omettendo il pedice K.
1.9
Tempo di Vita di uno Stato
Date queste probabilità non stazionarie, è possibile conoscere il tempo di
permanenza in uno stato assunto dal gate, ovvero l'intervallo temporale in
cui lo stato viene mantenuto senza che occorrano transizioni ? Tale
intervallo temporale è ovviamente una variabile aleatoria, la cui densità di
distribuzione di probabilità è determinabile analiticamente. Questa
grandezza
è
di
fondamentale
importanza
nell’implementazione
al
calcolatore di un algoritmo per la simulazione di processi markoviani.
Si definiscono per comodità gli intervalli temporali
TA : in cui lo stato del gate permane continuativamente in A
TC : in cui lo stato del gate permane continuativamente in C
dove si usa il termine continuativamente per indicare l’assenza di transizioni
da uno stato all’altro, entro quell’intervallo temporale. Se si considera una
discretizzazione dell'asse dei tempi in passi di ∆t, per esempio per lo stato
aperto, possiamo determinare la probabilità che tale stato venga mantenuto
di seguito per n passi temporali:
gate nello stato APERTO 

 NON accada " A → C in ∆t", per n volte

 = Pr 
Pr 
 per n ⋅ ∆t

e accada una sola volta " A → C in ∆t’= n ⋅ ∆t"
Per l'ipotesi di markovianità delle transizioni, questa probabilità può essere
riscritta equivalentemente secondo la definizione:
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Pr{ NON " A → C in ∆t" per n volte} ⋅ Pr{" A → C in ∆t ’= n ⋅ ∆t"} =
= ( 1 − β ⋅ ∆t ) ⋅ ( β ⋅ n ⋅ ∆t )
n
Passando dal discreto al continuo, e chiamando f TA (T) e f TC (T) la
densità di distribuzione di probabilità rispettivamente di TA e TC, si fa
tendere a zero l'intervallo temporale di discretizzazione. Dal momento che
n=
T
per definizione, si deduce che per TA :
∆t
f TA ( T) ⋅ dT = Pr{ T < TA ≤ T + dT} =
(1.44)
T
= lim ( 1 − β ⋅ ∆t ) ∆t ⋅ ( β ⋅ ( T + dT − T) ) = e − β⋅T ⋅ β ⋅ dT
∆t → 0
T
T
Questa derivazione è possibile per il fatto che ( 1 − β ⋅ ∆t ) ∆t = e ∆t
⋅ln(1− β⋅ ∆t )
,e
che per ∆t molto piccolo ln(1− β ⋅ ∆t ) ≅ − β ⋅ ∆t , sviluppando il logaritmo in
serie di Taylor arrestata ai primi due termini.
Seguendo calcoli analoghi anche per l'altra densità di distribuzione, è
dividendo ambo i membri della 1.44 per il differenziale dT, si ottengono alla
fine le 1.45 e 1.46.
(1.45) f TA (T) = β ⋅ e − β⋅T
(1.46) f TC (T) = α ⋅ e −α⋅T
Si possono eventualmente calcolare tutti i momenti di queste variabili
aleatorie: per il valore atteso e la varianza di TA e TC vale che:
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T A = E{TA } =
+∞
∫ T ⋅β ⋅ e
0
(1.47)
T C = E{TC } =
1
α
− β⋅T
dT =
{
1
β
{
σ2 TA = E ( TA − T A )
σ2 TC = E ( TC − T C )
2
2
} = β1
2
} = α1
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2
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1.10 Variabile di Attivazione del Gate
E’ stato fin qui studiato un processo stocastico markoviano, in generale non
stazionario, che definisce la probabilità di due eventi semplici riguardanti lo
stato del gate.
Da considerazioni che appariranno motivate nel seguito (eq. 1.54),
associamo allo stato del gate una variabile binaria γ ∈ {0;1} che assume i
valori del proprio insieme di definizione con le probabilità a regime PA e PC:
0 con PC
(1.48) γ = 
1 con PA
Tale variabile, detta variabile di attivazione del gate, è una variabile
aleatoria per ogni istante t, ovvero è un processo stocastico di cui è
opportuno calcolare il valore atteso (1.49), la varianza (1.50) e la covarianza
(1.53):
(1.49) γ = E{ γ } = 0 ⋅ PC + 1 ⋅ PA = PA =
{
(1.50) E ( γ − γ )
2
α
α+β
} = P ⋅ (1 − P ) = αα+⋅ ββ
A
A
Il calcolo della covarianza, richiede un passaggio intermedio. Calcoliamo la
funzione di autocorrelazione del processo stocastico (1.52), che differisce
formalmente dalla definizione di covarianza (1.51) solo per una costante
additiva.
(1.51) E{( γ ( t ) − γ ) ⋅ ( γ ( t + τ ) − γ ) } = E{ γ ( t ) ⋅ γ ( t + τ )} − γ 2
Calcoliamo per esteso la funzione di autocorrelazione:
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(1.52)
E{γ ( t ) ⋅ γ ( t + τ )} = 0 ⋅ 0 ⋅ PC ⋅ PC ,C (τ ) + 0 ⋅ 1 ⋅ PC ⋅ PA ,C (τ ) +
+ 1 ⋅ 0 ⋅ PA ⋅ PC ,A (τ ) + 1 ⋅ 1 ⋅ PA ⋅ PA ,A (τ )
e sostituiamo le quantità indicate, usando le 1.42 - 1.43a:
(1.53) E{( γ ( t ) − γ ) ⋅ ( γ ( t + τ ) − γ ) } = PA ⋅ ( 1 − PA ) ⋅ e −( α+ β) ⋅ τ
∀τ
Fig. 1.7: Schema di una popolazione di canali bistabili, inseriti nella
membrana fosfolipidica.
Ricapitolando, nel modello elementare di canale ionico markoviano
indipendente appena esemplificato, lo stato del canale (aperto o chiuso)
coincide con lo stato dell'unica struttura funzionalmente attiva, il gate.
In base a questa osservazione si può definire una nuova variabile aleatoria a
stati finiti N ∈ {0,1,2,3,..., N max } per rappresentare il numero totale di canali
ionici elementari aperti, dove Nmax è il numero totale di canali fissato nel
tempo e noto (figura 1.7). Benché, date le ipotesi di indipendenza dei
fenomeni elementari che regolano i gate, si possa scrivere la densità di
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distribuzione di probabilità di N sotto forma di una distribuzione binomiale
(1.63), risulta assai più semplice dedurre le stesse proprietà osservando che:
(1.54) N ( t ) =
N max
∑ γ (t)
i =1
i
γ i ( t ) è la variabile di attivazione del gate relativo al canale i-esimo
precedentemente definita, che come si è detto viene supposta identicamente
e indipendentemente distribuita (IID), rispetto alle altre.
Questa definizione è consistente e sperimentalmente giustificata, nel caso di
numero piccolo di canali per unità di superficie di membrana, cioè quando i
canali possono essere riguardati come complessi molecolari chimicamente
stabili, seppure in equilibrio per svariate condizioni di conformazione
interna (Conti et al., ‘75). A questo punto si possono conoscere le proprietà
statistiche della frazione di canali ionici aperti n(t ) =
N( t)
, che figura a
N max
modulare la conduttanza di ciascuna corrente ionica, nelle ipotesi che i
canali ionici siano del tipo elementare descritto.
Si voglia calcolare il valore atteso di n(t):
(1.55) n = E{ n(t )} =
1
N max
⋅ E{ N ( t )} =
1
N max

 N max
⋅ E
γ i (t)

 i=1
∑
da cui si deduce, usando la proprietà di indipendenza, quella di linearità
dell’operatore E{⋅} , e la 1.49:
(1.56) n =
1
N max
⋅
N max
1
∑ E{ γ } = N
i =1
i (t)
max
⋅ N max ⋅
α
α
=
α+β α+β
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33
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Per la varianza, con passaggi simili a quelli appena descritti si deriva la
1.60, attraverso la 1.50.
{
(1.57) E ( n − n)
}= N1
2
2
({ }
)
⋅ E N 2 − E{N} =
2
{
⋅ E ( N − E{N })
max
1
(1.58) N max
2
2
} = N 1 ⋅ ( E{N } − E{N} )
2
2
2
max
 N max
⋅  E ∑
  i =1
 
1
N max
2
N max

j=1, j ≠ i

∑ γi ⋅ γ j  +

N max 
+ E  ∑ γ i 2  − N max 2 ⋅ PA 2 

 i =1


1
(1.59) N max 2
({ }
)
⋅ E N 2 − E{N} =
2
1
N max
2
+ N max
{
(1.60) E ( n − n)
2
}=
PA ⋅ ( 1 − PA )
N max
((
⋅ (P
)
⋅ N max − N max ⋅ PA ⋅ PA +
=
A
2
)
⋅ (1 − PA ) + PA − N max ⋅ PA
1
N max
2
⋅
2
2
)
α⋅β
( α + β) 2
Si dimostra che per la covarianza di n(t), processo somma di Nmax processi,
ancora in virtù delle ipotesi di indipendenza e di identità di distribuzione di
probabilità , utilizzando la 1.53 vale:
E{( N ( t ) − N ) ⋅ ( N ( t + τ ) − N ) } =
= N max ⋅ E{( γ ( t ) − γ ) ⋅ ( γ ( t + τ ) − γ ) } =
(1.61)
= N max ⋅ PA ⋅ ( 1 − PA ) ⋅ e −( α+ β) ⋅ τ
e quindi per definizione
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(1.62) E{( n( t ) − n) ⋅ ( n( t + τ ) − n) } =
PA ⋅ ( 1 − PA ) ⋅ e − ( α+ β) ⋅ τ
N max
Sono state così dedotte alcune proprietà del processo n(t), frazione dei canali
ionici ad un solo gate indipendente, nello stato aperto.
Per ultimo, si può affermare che sotto certe ipotesi, la densità di
distribuzione di probabilità del processo stocastico n(t) può essere
approssimata con la distribuzione normale. Dal teorema del limite centrale,
ciò segue nel caso in cui Nmax sia estremamente grande, essendo n(t), a parte
un fattore moltiplicativo deterministico, somma di molte variabili aleatorie.
Questa riflessione può essere fatta, anche osservando che la densità
binomiale (1.63) che descrive per ogni t N(t), e quindi n(t), tende a diventare
normale nelle ipotesi del teorema di DeMoivre-Laplace.
 N max  N
(1.63) p N max ( N ) = 
⋅ p ⋅ (1 − p) N max − N ,
N


dove p =PA
Il teorema di DeMoivre-Laplace afferma che per N max ⋅ p ⋅ ( 1 − p) >> 1,
verificato per Nmax sufficientemente grande, in virtù della formula di Stirling
(1.64),
(1.64) n ! ≅ n n ⋅ e − n ⋅ 2π ⋅ n
quando n → ∞
vale che
( N− N
⋅p )2
max
−
 N max  N
1
N max − N
2⋅N max ⋅ p⋅(1− p )
(1.65) 
≅
⋅e
 ⋅ p ⋅ (1 − p)
2π ⋅ N max ⋅ p ⋅ (1 − p)
 N 
L’equazione 1.65 fornisce la forma della densità di distribuzione di
probabilità della variabile aleatoria n(t), espressa nella forma classica di
gaussiana normalizzata.
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A conclusione di questo paragrafo, riassumiamo di aver dedotto
completamente le proprietà statistiche del processo n(t), poiché conosciamo
la densità di distribuzione di probabilità normale, il valore atteso, la varianza
e la covarianza del processo.
1.11 Canale Ionico Multi-Stato
Il modello elementare di canale ionico ad unico gate può essere
generalizzato al caso di un canale con k gate indipendenti. Si consideri ad
esempio il caso k = 3, schematizzato nella figura seguente: questo canale
può trovarsi in 23 stati diversi, di cui per definizione soltanto uno
corrisponde alla condizione funzionale di canale aperto, in grado di
consentire il passaggio di un flusso ionico attraverso la membrana cellulare.
CANALE
APERTO
Fig. 1.8: Stati stabili e transizioni ammesse in un modello di canale ionico
multi-stato.
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E’ ancora possibile associare a ciascuno dei k gate una variabile binaria di
attivazione γ, come nel caso di canale a due stati (1.48). Per definizione,
solo uno dei 2k stati possibili corrisponde alla condizione in cui il canale è
aperto e può consentire il passaggio di un flusso ionico. Definiamo quindi
una nuova variabile binaria di attivazione per il canale, ξ ∈ {0;1} .
(1.66) ξ =
k
Πγ
j=1
j
Data la definizione 1.66, solo se lo stato di ciascuno dei k gate è aperto (γi =
1 ∀ i ) il canale sarà nello stato aperto (ξ = 1). Quindi per la variabile
aleatoria ξ, appena definita come il prodotto di k variabili indipendenti e
identicamente distribuite, caratterizzate dalla stessa covarianza, possono
essere dimostrate le seguenti relazioni:
(1.67) ξ = E{ξ} = γ = PA
k
{(
E ξ−ξ
k
 α 

=
α+ β
) }= E{(γ − γ ) }+ γ 
2
(1.68)
(
= PA ⋅ 1 − PA
k
(1.69)
{(
2 k
2
)(
k
)
k
−γ
2⋅k
k
k
 α    α  
 ⋅ 1 − 
 
= 
 α + β    α + β  
)}
E ξ( t ) − ξ ⋅ ξ( t + τ) − ξ =
[
=
= PA ⋅ (1 − PA ) ⋅ e
− (α + β )⋅ τ
]
k
+ PA 2 − PA 2⋅k
Dalle 1.67 - 1.69, è ancora possibile definire la frazione di canali multi-stato
aperti, se Nmax è il numero totale di canali di questo tipo, quantità
deterministica e fissata nel tempo. In analogia con quanto fatto nel paragrafo
precedente, possiamo definire N ∈ {0,1,2,3,..., N max } e n(t):
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(1.70) N ( t ) =
N max
∑ξ
i
i =1
(1.71) n( t ) =
N( t)
N max
e infine dedurre tutte le proprietà statistiche di n(t), che è ancora dotato di
densità di distribuzione normale nelle stesse ipotesi considerate prima:
n = E{n ( t )} =
(1.72)
1
N max
{(
E n−n
(1.73)
) }=
{(
N max
1
2
(
N max
P ⋅ 1 − PA
= A
N max
k
k
1
=
k
)=
⋅ E{N( t )} =
2
 α 
 α 

 = 
⋅ N max ⋅ 
α +β
α +β
{
[P
=
}
⋅ E (N − E{N}) =
1
N max
)(
2
k
k
 α    α  
 ⋅ 1 − 
 
⋅ 
 α + β    α + β  
)}
E n ( t ) − n ⋅ n ( t + τ) − n =
(1.74)
k
A ⋅ (1 − PA ) ⋅ e
− (α + β )⋅ τ
]
k
+ PA 2 − PA 2⋅k
N max
1.12 Confronto con il Modello Deterministico
Si è dimostrato che le caratteristiche di permeabilità ionica di una membrana
eccitabile possono essere riguardate come l'effetto collettivo dell’attività di
un gran numero di unità microscopiche, soggette a fluttuazioni stocastiche e
dipendenti dal potenziale di membrana, nelle probabilità di transizione da
uno stato all’altro.
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Si consideri nuovamente l’equazione 1.34: per il modello di membrana
eccitabile descritto da Hodgkin e Huxley, possiamo considerare il caso
particolare in cui i contributi delle correnti ioniche di interesse siano quelli
dovuti al potassio K+ e al sodio Na+. L’equazione differenziale stocastica
che descrive la dinamica del potenziale di membrana in queste ipotesi è la
seguente:
(1.75) C dV
dt
= g l ⋅ (E l − V ) + g K ⋅ n ⋅ (E K − V ) + g Na ⋅ m ⋅ (E Na − V ) + I ext
Le variabili aleatorie n e m rappresentano la frazione di canali proteici
potassio e sodio rispettivamente, funzionalmente nello stato aperto. In base
ai formalismi introdotti nel paragrafo precedente, sappiamo definire tali
variabili in funzione dello stato dei singoli canali proteici, secondo la
definizione data più volte, noti NK
max
e NNa
max
quantità totale di canali
potassio e sodio.
(1.76) n =
(1.77) m =
N
1
NK
⋅
i=1
max
N
1
N Na
∑ξK i
K max
⋅
max
∑ξNa i
Na max
i=1
Le variabili ξK i e ξNa i si riferiscono all’attivazione dei canali, in generale
multi-stato, selettivi al passaggio di ioni K+ e Na+. Si è detto che la natura
degli stati interni stabili dei canali proteici è identificabile attraverso misure
elettrofisiologiche di patch clamp, in uno schema cinetico markoviano.
Questo viene descritto estesamente in letteratura proprio nel caso particolare
dei canali potassio e sodio dell’assone gigante del calamaro (Strassberg et
al., ‘93; DeFelice et al., ‘93; Chow et al., ‘96).
Per il canale selettivo al potassio, il comportamento microscopico
osservabile sperimentalmente è ben rappresentato da un modello multi-stato
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a 4 gate indipendenti e identici, che può essere riassunto dallo schema
cinetico che segue.
βn
n0
→
←
4⋅αn
2⋅β n
n1
→
←
3⋅αn
3⋅β n
n2
→
←
2⋅αn
4⋅β n
n3
→
←
n4
αn
Sono stati rappresentati quattro distinti insiemi di configurazioni, equivalenti
nel numero di gate aperti in totale, 0, 1, 2, 3 oppure 4 a cui il pedice fa
riferimento (si veda ad esempio la figura 1.8). Le configurazioni contenute
in tali insiemi sono equivalenti dal punto di vista funzionale, così che è più
semplice riferirsi ad essi, piuttosto che a ciascuno fra i 16 stati stabili
possibili. Viene allora indicato il macro-stato attuale ∈ { n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , n 4 } , e
la probabilità di transizione per unità di tempo da uno ad un altro. Tale
probabilità è la somma delle probabilità di transizione fra i singoli stati del
canale, vista l’indipendenza dei gate elementari. Questo spiega i coefficienti
1, 2, 3, 4 a moltiplicare αn e βn per rappresentare le probabilità composite di
transizione.
Per esempio n4 corrisponde alla situazione in cui tutti i 4 gate del canale
potassio, sono nello stato aperto, ed è la sola situazione in cui il canale
permette il passaggio di ioni potassio al proprio interno.
Anche il canale sodio è descritto da 4 gate indipendenti, seppure mostri una
peculiarità. Nel caso del canale proteico potassio, ognuno dei 4 gate è
identico all’altro ed è soggetto in probabilità, agli stessi effetti di una
variazione del potenziale di membrana, condividendo la stessa dipendenza
da V date le probabilità di transizione elementari αn e βn, uguali per tutti.
Per replicare il comportamento microscopico osservato, deve essere inclusa
la presenza di un gate diverso dagli altri tre, che differisce nella dipendenza
dal potenziale di membrana per le probabilità di transizione. Lo schema
markoviano che riassume tutte le configurazioni differenti è in questo caso:
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39
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
βm
m0 h 1
β h ↑↓ αh
m0 h 0
→
←
3⋅αm
βm
→
←
3⋅αm
2⋅β m
m1 h 1
β h ↑↓ αh
m1 h 0
→
←
2⋅α m
2⋅β m
→
←
2⋅α m
3⋅β m
m2 h1
β h ↑↓ αh
m2 h 0
→
←
αm
3⋅β m
→
←
m3 h 1
β h ↑↓ αh
m3 h 0
αm
Lo stato m3h1 corrisponde alla situazione in cui tutti i quattro gate sono
aperti, ed è l’unica situazione in cui il canale sodio è funzionalmente attivo.
Negli schemi cinetici riportati e nelle considerazioni del paragrafo
precedente, si sono più volte citate le probabilità di transizione nell’unità di
tempo αn(V), βn(V), αm(V), βm(V), αh(V) e βh(V), dipendenti dal potenziale
di membrana V. La scelta di queste funzioni è operata sulla base di
procedure di interpolazione di dati sperimentali. Non è un caso se queste
funzioni sono le stesse che definiscono i coefficienti proposti da Hodgkin e
Huxley per il modello deterministico. Si riporta di seguito in figura 1.9 il
grafico delle 1.27 - 1.29, un opportuno range di variazione di V.
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40
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
α (V)
1.5
m
β (V)
m
1.0
msec -1
0.5
0.0
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
V (mV)
α (V)
1.5
α (V)
1.5
h
n
β (V)
β (V)
h
1.0
n
1.0
msec -1
msec -1
0.5
0.5
0.0
-100
-75
-50
-25
0
V (mV)
25
50
75
100
0.0
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
V (mV)
Fig. 1.9: Rappresentazione grafica delle probabilità di transizione per unità
di tempo, per un gate.
Si nota innanzitutto la presenza di alcuni valori di V, per i quali fissato un
intervallo temporale ∆t, la probabilità per un gate di effettuare una
transizione in tale intervallo, da chiuso ad aperto oppure da aperto a chiuso
è la stessa. Questa situazione corrisponde, per il canale multi-stato, alla
permanenza in senso medio nel macro-stato occupato. Inoltre, come verrà
meglio illustrato nel paragrafo seguente, non è un caso se la forma dei
coefficienti del modello deterministico proposto da Hodgkin e Huxley, sia la
medesima di quella utilizzata per tali probabilità di transizione nell’unità di
tempo.1.23 - 1.29
Se si utilizzano i parametri indicati nella tabella 1.3, gli stessi del modello
deterministico descritto dalle equazioni 1.23 - 1.29, l’andamento temporale
del potenziale di membrana previsto dall’equazione differenziale stocastica
1.75 può essere confrontato con quello previsto dal modello di Hodgkin Huxley, a parità di stimolazione in corrente costante, di intensità pari a 8
µA/cm2, con inizio temporale per t = 50 msec. Fissata la dimensione S in
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41
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
µm2 del patch di membrana in esame, NK max e NNa
max
vengono calcolati,
usando i seguenti valori per le densità superficiali di canali proteici:
ρK = 18 µm −2 e ρNa = 60 µm −2 .
Modello deterministico
40
20
0
-20
V (mV)
-40
-60
-80
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.10: Andamento temporale deterministico del potenziale di membrana
(eq. 1.23 - 1.29).
100 µm 2
40
20
0
-20
V (mV)
-40
-60
-80
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.11: Realizzazione temporale del potenziale di membrana stocastico,
quando NK max = 1800 e NNa max = 6000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
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42
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
S = 50 µm 2
40
20
0
-20
V (mV)
-40
-60
-80
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.12: Realizzazione temporale del potenziale di membrana stocastico,
quando NK max = 900 e NNa max = 3000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
S = 25 µm 2
40
20
0
-20
V (mV)
-40
-60
-80
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.13: Realizzazione temporale del potenziale di membrana stocastico,
quando NK max = 450 e NNa max = 1500 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
Le figure 1.11 - 1.13 rappresentano l’andamento temporale del potenziale di
membrana del modello stocastico, a confronto con quello previsto dal
modello deterministico. Entrambi i modelli prevedono una successione
regolare di potenziali d’azione in risposta ad una iniezione di corrente
costante, seppure al decrescere dell’estensione della superficie di membrana,
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43
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
la regolarità del treno di impulsi generato dal modello a canali discreti tende
a divergere da quella deterministica. Al decrescere del numero di canali, si
assiste ad un aumento della sensibilità alle fluttuazioni aleatorie spontanee
di ciascun canale.
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44
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.13 Convergenza in Probabilità
Verrà ora dimostrato formalmente che i risultati previsti dalla modellistica
deterministica coincidono essenzialmente con il valore medio dei risultati
delle equazioni differenziali stocastiche. Per semplicità e senza perdita
alcuna di generalità, introduciamo un altro modello di membrana eccitabile,
proposto da Morris e Lecar (Morris et al., ‘83) per la dinamica del
potenziale di membrana della fibra muscolare gigante di un comune
mollusco (il cirripede). Questa descrizione può essere usata come modello
generale, appropriato entro certi limiti anche per le cellule pancreatiche di
tipo β e alcuni tipi di neuroni piramidali.
Nell’esaminare questo modello di eccitabilità, si inizierà direttamente dalla
descrizione stocastica per poi verificare analiticamente che il valore medio
di questa coincide con le equazioni deterministiche proposte originariamente
dagli autori.
Vengono presi in considerazione esclusivamente i contributi degli ioni Ca2+
e K+, istanziando a questo caso particolare l’equazione 1.34.
(1.78) C
dV
= g l ⋅ ( E l − V) + g K ⋅ n ⋅ ( E K − V) + g Ca ⋅ m ⋅ ( E Ca − V) + I ext
dt
(1.79) n =
(1.80) m =
N
1
NK
⋅
i=1
max
N
1
N Ca
∑ξK i
K max
⋅
max
∑ξCa i
Ca max
i=1
Le variabili ξK i e ξCa i si riferiscono all’attivazione dei canali selettivi al
passaggio di ioni K+ e Ca+, e attraverso le 1.79 e 1.80 definiscono n,
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45
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
frazione di canali proteici potassio aperti, e m la frazione di canali calcio
aperti.
Il valore dei parametri utilizzati nelle simulazioni riportate, è indicato nella
tabella 1.4.
Parametro
Valore
C
Capacità di membrana
1µF/cm2
El
Potenziale inverso di perdita
-50mV
ECa
Potenziale inverso per Ca+
100mV
EK
Potenziale inverso per K+
-70mV
gl
Conduttanza di perdita
0.5mS/cm2
g Ca
Conduttanza massima per Ca+
0.7529mS/cm2
gK
Conduttanza massima per K+
1.4948mS/cm2
ρK
Densità superficiale canali K+
18cm-2
ρCa
Densità superficiale canali Ca+
60cm-2
Tabella 1.4: Valore dei parametri usati per il modello di Morris-Lecar.
Per entrambi i tipi di canali proteici, il comportamento microscopico
osservato sperimentalmente è ben rappresentato da un modello di canale ad
unico gate indipendente, e viene riassunto dagli schemi cinetici seguenti,
dove lo stato funzionalmente aperto coincide per ciascun canale con lo stato
in cui il gate è nello stato aperto (n1 e m1).
βn
n0
→
n1
←
βm
m0
αn
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→
m1
←
αm
46
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Consideriamo la frazione di canali potassio nello stato aperto: è possibile
generalizzare ai transitori la definizione 1.48 di variabile binaria γ ∈ {0;1}
associata allo stato di un gate, utilizzando le 1.42 e 1.43 anziché le
probabilità di transizione a regime (1.43a). Per ipotesi, si sceglie di imporre
come condizione iniziale che all’istante iniziale t = 0 la probabilità di
trovare il gate aperto su ciascun canale potassio sia pari a 1. Segue allora
immediatamente la definizione 1.81.
0 con PC , A
(1.81) γ = 
1 con PA , A
Si valuti adesso il valore atteso della quantità n, quando ξK i = γ K i , essendo
n=
N
1
NK
⋅
max
∑γ K i .
K max
i=1
n( t ) = E{n ( t )} =
(1.82)
=
1
N max
1
N max
N max
⋅ ∑ E{γ i ( t )} =
i =1
⋅ N max ⋅ (0 ⋅ PC, A ( t ) + 1 ⋅ PA , A ( t ))
Utilizzando le 1.42 e 1.43 si può definitivamente concludere con la 1.83.

α n  − ( α n + βn ) ⋅t
αn
(1.83) n( t ) = 1 −
+
⋅ e
αn + βn
 αn + βn 
Si è già discussa la dipendenza dal potenziale di membrana per le
funzioni αn(V) e βn(V), ovvero si assume di poter considerare fissato il
valore di V al variare di t, almeno in una scala temporale dell’ordine di
1
(αn + βn )
. Per questa ragione la 1.83 potrebbe anche essere riguardata come
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47
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
la soluzione completa di un’equazione differenziale a coefficienti costanti,
del tipo:
(1.84)
dn
= − β n ( V) ⋅ n + α n ( V) ⋅ ( 1 − n )
dt
con condizione iniziale n(0) = 1.
Questa equazione differenziale è assolutamente identica alla 1.24, ovvero
all’equazione dinamica a cui soddisfa la variabile deterministica nd per i
modelli biofisici di membrana eccitabile del tipo descritto da Hodgkin e
Huxley. La descrizione originale proposta da Morris e Lecar utilizza proprio
la 1.84 per definire l’andamento temporale della conduttanza potassio.
Imporre la condizione iniziale n(0) = 1 nella 1.84 è concettualmente la stessa
cosa dell’utilizzare l’ipotesi, per le probabilità di transizione dei gate,
impiegata nella definizione 1.82.
L’effetto medio di una popolazione di canali stocastici pertanto, coincide
con quanto previsto deterministicamente dal modello macroscopico
deterministico, a parità di condizione iniziale per n, m, nd, md e per V, che
all’istante iniziale è posto al valore di riposo -50mV.
Lo schema cinetico del prim’ordine che accompagna la descrizione
macroscopica della frazione di canali proteici di una membrana eccitabile, e
l’equazione differenziale ad esso equivalente in virtù della legge dell’azione
di massa, rappresentano chiaramente i valori medi del comportamento
microscopico dei canali, che non può essere trascurato quando il loro
numero è non troppo grande, come si dimostrerà di seguito.
βn
→
(1.85) n d 1 − n d
←
αn
dn d
= −β n ⋅ n d + α n ⋅ ( 1 − n d )
dt
Come già osservato la soluzione della 1.86 con la stessa condizione iniziale
porta semplicemente alla stessa soluzione
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48
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(
)
(
)
−
+ ⋅t
−
+ ⋅t
(1.86) n d ( t ) = n d (0) − n d ∞ ⋅ e ( α n β n ) + n d ∞ = 1 − n d ∞ ⋅ e ( α n β n ) + n d ∞
dove n d ∞ =
αn
.
αn + βn
Resta cioè dimostrato che la legge di azione di massa non è che una
descrizione dell'evoluzione temporale del valore medio di un processo
stocastico, e che i coefficienti αn e βn nel modello deterministico andrebbero
a rigore interpretati come delle probabilità di transizione per unità di tempo
(1.37) e non dei tassi di transizione. Infine, l’equazione deterministica che
descrive l’andamento del potenziale di membrana è la 1.87, per cui può
essere concluso che deve senz’altro valere E{ n( t )} = n( t ) = n d ( t ) .
(1.87) C
dV
= g l ⋅ ( E l − V) + g K ⋅ n d ⋅ ( E K − V) + g Ca ⋅ m d ⋅ ( E Ca − V) + I ext
dt
Nelle figure seguenti vengono confrontati gli andamenti temporali previsti
dal modello stocastico e dal modello deterministico, a parità di condizioni
iniziali e in condizioni di stimolazione in corrente costante di intensità pari a
7µA/cm2 e 9.6µA/cm2.
40
S = 50 µm
40
2
20
S = 50 µm
2
20
0
0
V (mV)
V (mV)
-20
-20
-40
-40
-60
-60
0
200
400
600
800
1000
0
200
time (msec)
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400
600
800
1000
time (msec)
49
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
S = 10 µm 2
40
40
S = 10 µm
2
20
20
0
0
V (mV)
V (mV)
-20
-20
-40
-40
-60
-60
0
200
400
600
800
0
1000
200
400
time (msec)
600
800
1000
time (msec)
Fig. 1.14: Comportamento passivo sotto-soglia ( parte sinistra) per Iext = 7
µA/cm2, e comportamento periodico (parte destra) per Iext = 9.6 µA/cm2,
per diversi valori di S (eq. ).
40
Modello determ inistico
Modello deterministico
40
20
20
0
0
V (mV)
V (mV)
-20
-20
-40
-40
-60
0
200
400
600
800
1000
-60
0
200
tim e (m sec)
400
600
800
1000
time (msec)
Fig. 1.15: Comportamento passivo sotto-soglia ( parte sinistra) per Iext = 7
µA/cm2, e comportamento periodico (parte destra) per Iext = 9.6 µA/cm2,
nel modello deterministico (eq. ).
Se consideriamo invece il modello originale di Hodgkin e Huxley (1.75 1.77), possiamo fare un ragionamento simile. Si calcoli il valore atteso di n,
secondo la definizione 1.75, nelle stesse ipotesi di condizioni iniziali e
probabilità di transizione per unità di tempo per il singolo gate, come per la
1.81. Per questo conto vanno utilizzate e modificate le 1.66 -1.67 e la 1.76,
ottenendo che
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50
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
n ( t ) = E{n ( t )} =
(1.88)
=
1
N max
N K max
⋅
∑
i =1
{ }
E ξK i =
(
1
⋅ N max ⋅ 0 ⋅ PC, A ( t ) 4 + 1 ⋅ PA , A ( t ) 4
N max

α n  − ( α n + β n ) ⋅t
αn 
(1.89) n( t ) = 1 −
+
⋅ e

αn + βn 
 α n + β n 
)
4
Analogamente a quanto osservato per la 1.83, n( t ) è la quarta potenza della
soluzione dell’equazione deterministica 1.24. Con le stesse riflessioni fatte
per il modello di Morris e Lecar, si comprende allora la ragione
dell’esponente 4 di nd nell’equazione del potenziale di membrana
deterministica 1.23, ovvero ancora la dinamica prevista dal modello
deterministico è soltanto il comportamento medio delle grandezze
microscopiche importanti. Considerazioni molto simili consentono di
giustificare anche la forma md3hd come un valore medio, ricordando la
particolarità del canale sodio ad avere un gate governato da probabilità di
transizione differenti rispetto agli altri tre. Per tutti questi casi, si
confrontano gli andamenti temporali delle variabili stocastiche e dei
rispettivi valori attesi, nelle stesse condizioni usate per le figure 1.10 - 1.13.
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51
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0.30
0.4
4
n
3
m
h
d
d
d
0.25
0.3
0.20
0.15
0.2
0.10
0.1
0.05
0.00
0.0
50
60
70
80
90
50
time (msec)
60
70
80
90
Fig. 1.16: Andamento temporale delle quantità (nd4) e (md3hd) nel modello
deterministico
(eq. 1.23 - 1.29).
0.4
n
0.30
m
0.25
0.3
0.20
0.15
0.2
0.10
0.1
0.05
0.0
0.00
50
60
70
80
time (msec)
90
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.17: Realizzazione temporale delle variabili stocastiche n e m, quando
NK max = 1800 e NNa max = 6000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
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52
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0.4
0.30
n
m
0.25
0.3
0.20
0.15
0.2
0.10
0.1
0.05
0.0
0.00
50
60
70
80
90
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.18: Realizzazione temporale delle variabili stocastiche n e m, quando
NK max = 900 e
NNa max = 3000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
n
0.4
m
0.30
0.25
0.3
0.20
0.2
0.15
0.10
0.1
0.05
0.0
0.00
50
60
70
80
90
50
60
70
80
90
time (msec)
Fig. 1.19: Realizzazione temporale delle variabili stocastiche n e m, quando
NK max = 450 e
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53
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
NNa max = 1500 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
Fig. 1.20: Evidenza della natura discreta nella dinamica di n (destra) e m
(sinistra), quando NK max = 9 e NNa max = 30 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).
Le equazioni 1.83 e 1.89 consentono di generalizzare questa procedura di
identificazione fra modello deterministico e stocastico, ad una classe intera
di modelli biofisici di membrana, quelli riassunti dalle equazioni 1.90 e
1.91.
(1.90) C
dV
= − F( V) + I ext
dt
nd h , hd h
(1.92)
F( V) =
∑g h ⋅ ( n d h p
h
∈ [ 0 ;1]
ph , qh
[
]
dz d
= λ z ( V) ⋅ Z d ∞ ( V) − z d
dt
h
)
⋅ h d h qh ⋅ ( V − E h )
∈ {0,1,2 ,3,...}
{
}
z d ∈ n d h , h d h : h = 1,2,..
Anche in questo caso è stata indicata la dinamica del valore medio del
numero di canali aperti e il corrispondente modello stocastico prevede una
descrizione multi-stato per il singolo canale, caratterizzato da due insiemi di
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54
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
gate identici in numero di ph e qh rispettivamente, per ogni h-specie ionica a
cui la membrana è permeabile attraverso canali proteici .
In generale, i risultati del modello e dell'interpretazione microscopica
convergono in probabilità a quelli deterministici come il numero totale di
canali ionici Nmax tende a infinito, nel senso definito dalla disuguaglianza di
Tchebyceff, valida per una qualunque variabile aleatoria x, a valore atteso
x e varianza σ2 :
(1.93) Pr{ x − ε ≤ x ≤ x + ε} ≥ 1 −
σ2
ε2
Per esempio, applicando la disuguaglianza 1.93 a n E{ n} = n d , si può
affermare che a regime e nel caso peggiore (worst-case analysis):
n d = n ± 20 ⋅
α⋅β
( α + β)
2
⋅
1
N max
al 95%
Questa scrittura significa che 95 volte su 100 (confidenza) la stima
deterministica della frazione di canali aperti si discosta da quanto predetto
dal modello stocastico, non più di Ω( V) ⋅
1
(accuratezza), dove Ω(V)
N max
è un coefficiente dipendente dal potenziale di membrana attraverso α(V) e
β(V) ed è comunque sempre limitato superiormente e inferiormente, per
ogni valore reale di V.
Si sottolinea la classica dipendenza dall'inverso di
N max che racchiude il
significato di convergenza in probabilità al crescere di Nmax, e dalla 1.93 si
conclude finalmente che
(1.94) ∀ε > 0
{
}
lim Pr n d − n s ≤ ε = 1
N max →+∞
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55
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Questo dimostra che esiste un valore di S e quindi di Nmax, per il quale la
probabilità di fluttuazione spontanea diventa definitamente infinitesima,
ossia per ogni S maggiore di tale valore il comportamento del modello
stocastico è molto prossimo a quello descritto deterministicamente.
Con la stessa tecnica si può anche calcolare l’errore in probabilità che si
commette ad approssimare con l’inverso di α(V) e β(V) i tempi di
permanenza continuata in uno stato, per il singolo gate. Ricordando la 1.47,
il valore medio del tempo di vita nello stato chiuso e nello stato aperto
coincide con l’inverso di β e α rispettivamente, e quindi per esempio per TA
vale che
1
1
= TA ± 20 ⋅
β
β
⇒
β−
al 95%
1
20
=
TA
TA
al 95%
Quanto più è rara una transizione per un gate, tanto minore è l’errore in
probabilità, com’è evidente dalla dipendenza dall’inverso di TA. In queste
condizioni può essere concluso sicuramente che la frequenza di oscillazione
del potenziale di membrana (firing rate) sarà molto bassa, ma il viceversa
non vale assolutamente, dal momento che potrebbero sussistere continue
transizioni di stato senza avere cambiamento della proprietà di permeabilità
del canale, supposto in questo caso multi-stato.
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56
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.14 Rumore di Membrana e Attività Spontanea
Fin dagli anni ‘60, venne postulata l'esistenza di una sorgente di rumore ad
energia un ordine di grandezza maggiore di quanto non potesse essere
attribuito al rumore termico. Furono l’esistenza delle fluttuazioni spontanee
e la natura intrinsecamente aleatoria dei processi di apertura e chiusura dei
canali, a consentire una corretta interpretazione di tale sorgente. Grazie alle
possibilità fornite dagli esperimenti di patch clamp, è stata inoltre possibile
l’identificazione funzionale degli stati stabili che caratterizzano un canale
proteico, sulla base dei modelli descritti nei paragrafi 1.8 e seguenti, e per
mezzo della caratterizzazione delle proprietà statistiche del rumore di
membrana rilevato nella misura elettrofisiologica di variabili macroscopiche
come il potenziale di membrana, i potenziali di equilibrio ionico, i tempi di
latenza e refrattarietà relativa e assoluta, eccetera (Conti et al., ‘75).
Anche dal punto di vista neurofisiologico è possibile riconsiderare il ruolo
delle fluttuazioni spontanee nella dinamica dei canali ionici. Se in un
sistema sensoriale l’effetto del rumore è quasi certamente dannoso, il suo
ruolo in parti del sistema nervoso preposte alla pianificazione, alla
coordinazione e al controllo motorio potrebbe addirittura essere
indispensabile. Per esempio, il risultato di un’attivazione spontanea di
popolazioni di cellule nervose potrebbe inibire la ripetizione di
comportamenti riflessi non appropriati o anche consentire la generazione di
risposte di tipo completamente nuovo. Dal punto di vista dello sviluppo, si
sta delineando sempre meglio il ruolo dell’attività spontanea nella
coordinazione, correlazione e regolazione efficace dei campi recettivi
sensoriali (Strassberg et al., ‘93) e nella eliminazione delle connessioni
sinaptiche ridondanti (Fields et al., ‘92). Nelle fasi iniziali dello sviluppo,
nel sistema nervoso di molti esseri viventi, viene stabilita una grande
quantità di interconnessioni sinaptiche diffuse e
non
localizzate,
probabilmente sulla base di una pre-determinazione genetica, per mezzo di
fenomeni di chemo-affinità che governano in questa fase la crescita delle
arborizzazioni neuritiche (si veda il capitolo 5). Da questa fase iniziale,
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57
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
caratterizzata dall’abbondanza di connessioni in competizione, durante un
periodo critico dell’ontogenesi, si passa ad una fase di segregazione
spaziale e specializzazione funzionale delle connessioni dipendente
dall’attività elettrica. Questa dipendenza è stata dimostrata utilizzando
speciali tossine (tetrodotossine, TTX) capaci di impedire il passaggio di ioni
attraverso un canale. In queste condizioni, si osserva l’assenza di una
significativa plasticità delle connessioni, osservata invece in condizioni
normali. L’attività elettrica da cui in modo così cruciale dipende la
ridefinizione della topologia delle connessioni nervose, non è strettamente
legata alle sollecitazioni dell’ambiente esterno. Infatti, anche quando
l’organo di senso non è ancora completamente funzionante, esiste una
considerevole
attività
elettrica
spontanea
nelle
vie
nervose
che
caratterizzano quella data modalità sensoriale. In letteratura è stato descritto
questo tipo di sviluppo nel caso di strutture funzionali, come le colonne di
dominanza oculare nella corteccia visiva di alcuni primati, e l’alternanza
delle connessioni binoculari nel corpo genicolato laterale, seppure durante
il periodo di vita intra-uterina. In questa fase, i neuroni sensoriali primari
contenuti nella retina sono ancora parzialmente inattivi e comunque privi di
stimolazioni sensoriali visive strutturate (Fields et al., ‘92).
In questo contesto, nasce allora la concreta possibilità di modellare
fenomeni di attività spontanea di una cellula nervosa, in assenza di
qualunque stimolazione fisiologica o artificiale. Dal punto di vista dei
modelli matematici infatti, si verifica l’insorgenza di attività elettrica
spontanea in assenza di alcuna stimolazione esterna. Si consideri il modello
stocastico di Hodgkin-Huxley (1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29): nelle figure
seguenti è riportato l’andamento temporale del potenziale di membrana, in
assenza di alcun segnale esterno, ovvero quando sia imposto Iext = 0µm2. Si
confrontano le risposte di questo modello con quelle previste dal modello
deterministico (1.23 – 1.29), che per definizione non può generare alcuna
attività elettrica spontanea.
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58
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
60
Modello deterministico
40
20
0
V (mV) -20
-40
-60
-80
0
50
100
time (msec)
Fig. 1.21: Potenziale di membrana per Iext = 0µm2, nel modello di HodgkinHuxley deterministico (eq. 1.23 - 1.29).
60
S = 100 µm
2
60
40
40
20
20
0
V (mV)
S = 50 µm
2
0
-20
V (m V)
-40
-20
-40
-60
-60
-80
-80
0
20
40
60
80
100
0
20
time (msec)
40
60
80
100
time (msec)
60
S = 25 µm
60
2
40
40
20
20
0
0
V (mV) -20
V (mV) -20
-40
-40
S = 1 µm
2
-60
-60
-80
-80
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
time (msec)
time (msec)
Fig. 1.22: Attività spontanea, per valori decrescenti di S in assenza di
stimolazione in corrente, nel modello di Hodgkin-Huxley (eq. 1.75 - 1.77 e
1.27 - 1.29).
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59
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Fig. 1.23: Altri esempi di attività spontanea, per valori decrescenti
dell’area del patch di membrana, nelle stesse ipotesi della figura
precedente.
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60
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.15 Algoritmi di Simulazione al Calcolatore della
Cinetica Stocastica
Si è visto come per una classe molto ampia di modelli matematici che
descrivono l'evoluzione del potenziale di membrana di una cellula eccitabile
si possa scrivere un'equazione differenziale stocastica che, a meno del
numero di contributi alla corrente che fluisce attraverso la membrana e dei
parametri numerici, ammette una stessa forma.
(1.95) C
dove

dV
= g l ⋅ ( E l − V) + 
dt

nh =
1
Nh
⋅
max
N h max
∑ξ
i =1
∑g
h

n
E
V
⋅
⋅
−
(
)
 + I ext
h
h
h

kh
h i
ξ h = Π γ h jh .
jh =1
Il numero massimo di canali proteici selettivi al passaggio della specie
ionica h-esima Nh max, è in generale determinato dalla superficie del patch di
membrana che viene considerato, ed è esprimibile in termini della densità
superficiale di canali ρh. In base alle riflessioni finali del paragrafo 1.13, si
comprende che le fluttuazioni e l’attività spontanea siano fenomeni tanto più
evidenti quanto minore è l'estensione superficiale della membrana che si
considera. Viceversa tale attività spontanea viene soppressa quando il
numero di canali sia estremamente elevato, in modo simile a quanto succede
in un coro molto numeroso, per una voce stonata. Anatomicamente, tale
soppressione potrebbe essere particolarmente favorevole in alcuni punti
della membrana plasmatica, come è probabilmente il caso per il tratto
iniziale dell’assone (hillock), e dei nodi di Ranvier, piccole aree di
membrana a diretto contatto con l'ambiente extracellulare che restano
scoperte dalla ricopertura mielinica fornita dalle cellule di Schwann (cellule
della glia). Gli esempi appena fatti costituiscono un caso di densità di canali
proteici insolitamente elevata (Strassberg et al., ‘93), contribuendo
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61
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
all’attenuazione del rumore, in modo da minimizzare la distorsione del
segnale da propagare, e da non alterarne il contenuto informativo.
Un possibile algoritmo di simulazione dell’equazione 1.93, note le proprietà
statistiche dei processi aleatori che caratterizzano i canali ionici, è quello di
memorizzare lo stato, fra i 2k possibili, di ciascuno degli Nh max canali per
ogni h, e di calcolare per ciascuno di essi il tempo di permanenza
continuativa in uno stato. Si è già dimostrato che questo è una variabile
aleatoria distribuita secondo la seguente densità di distribuzione di
probabilità 1.45 e 1.46.
(1.96) FTA (T) = Pr{TA ≤ T} =
∫
T
0
β ⋅ e − β⋅x dx = 1 − e − β⋅T
Sia la 1.96 la cumulativa o distribuzione di probabilità del generico tempo di
permanenza nello stato aperto di un gate, si cerca una funzione opportuna di
una variabile aleatoria uniforme u fra 0 e 1 risulta essere distribuita con
FTA (T) . Si dimostra che g( u)= FTA −1 ( u) è la funzione di variabile aleatoria
cercata (Papoulis, ‘91).
Ciò implica che se è possibile generare un numero pseudocasuale u,
uniformemente distribuito fra 0 e 1, si può ottenere il tempo di vita dello
stato per un gate, applicando la trasformazione 1.97:
(1.97) T =
1
−1
⋅ ln( 1 − u)
β
o equivalentemente T =
1
−1
⋅ ln( u) , dal momento che u e (1-u) sono
β
entrambe variabili distribuite uniformemente fra 0 e 1.
Una volta generati tutti gli intervalli di permanenza in un certo stato, si
scelga il minimo e si aggiorni il potenziale di membrana attraverso la 1.95,
considerando che in tale intervallo, nh per ogni h sia pressoché costante.
L’equazione differenziale 1.95 può essere risolta in forma chiusa (1.98).
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62
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
A
A

(1.98) V( t + Tmin ) =  V( t ) −  ⋅ e − B⋅Tmin +

B
B
dove
 I$
A =  + gl ⋅ El +
S
∑
h

gh ⋅ nh ⋅ Eh 


B = g l +

∑
h

gh ⋅ nh 

Infine si aggiorni lo stato del canale a cui corrisponde Tmin (se il canale è di
tipo elementare a due stati, semplicemente γ j* new = 1 − γ j* old ).
Questo algoritmo può essere inizializzato, ad esempio imponendo ciascun
canale nello stato aperto con probabilità n d ∞ ( V0 ) (valore a regime della
cinetica deterministica corrispondente, calcolato in
inizializzazione
del
potenziale
di
membrana),
in
V0
valore
analogia
di
con
l’inizializzazione del modello deterministico. In questo modo resta
verificato che per Nh max >> 1, all'istante iniziale la frazione di canali aperti
coincide con la probabilità di tale evento, ricordando che la frequenza
relativa di un fenomeno e probabilità convergono in probabilità al crescere
del numero di eventi considerati.
L'algoritmo appena descritto ha numerosi svantaggi in termini di velocità e
di memoria richieste (Chow et al., ‘96). Innanzitutto è necessario mantenere
lo stato di tutti i canali presenti e aggiornarlo di continuo: le simulazioni che
coinvolgono un gran numero di canali richiedono notevole dispendio di
memoria e complicazioni nell’implementazione al calcolatore. Il lato
peggiore di questo algoritmo è la necessità di generare una grande quantità
di numeri pseudocasuali a ogni transizione. Anche il migliore algoritmo di
generazione di numeri pseudocasuali ha caratteristiche di periodicità nella
sequenza di numeri prodotta. Segue una peggiore prestazione della
simulazione in termini statistici, soprattutto se di lunga durata temporale
(tempo di modello).
Una proposta migliore sfrutta l'indipendenza, il parallelismo e l'assenza di
memoria di ciascun canale. E' possibile tenere memoria solo del numero
totale di canali ionici in un certo stato, piuttosto che dello stato di ciascun
canale. Il numero di variabili da memorizzare diminuisce così drasticamente
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63
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
e non dipende più dalle dimensioni della superficie della membrana: esso è
pari a
∑2
kh
, con kh numero dei gate del canale selettivo alla specie ionica
h
h-esima.
Consideriamo per semplicità, nuovamente il modello di Morris e Lecar.
L'intervallo di tempo fra due transizioni successive, esaminando tutti i canali
nello stesso istante e supponendo l’indipendenza fra di essi, è una variabile
aleatoria con la seguente densità di distribuzione di probabilità:
(1.99) f (T) = λ ⋅ e − λ⋅T
In questa espressione λ è la somma dei prodotti fra numero di canali in un
certo stato per la probabilità (per unità di tempo) di compiere una
transizione da tale stato, e si è indicato con Nk e NCa il numero di canali
potassio e calcio aperti rispettivamente.
(1.100) λ = N k ⋅ β n + ( N k
max
− N k ) ⋅ α n + N Ca ⋅ β m + ( N Ca
max
− N Ca ) ⋅ α m
E’ evidente che basta generare un solo numero pseudocasuale r uniforme fra
0 e 1, e applicare ad esso la trasformazione già vista per ottenere T:
T=
1
⋅ ln( r ) −1.
λ
Aggiornato il potenziale di membrana con la 1.98 nelle stesse ipotesi, si
aggiorna il numero totale di canali in ciascuno degli stati ammessi: nel
modello di Morris e Lecar Nk, (Nk max - Nk), Nca,
(Nk max - NCa ).
Questo aggiornamento deve essere fatto generando eventi a probabilità
N k ⋅ βn ,
(N
k max
)
− N k ⋅ α n , N Ca ⋅ β m ,
(N
Ca max
)
− N Ca ⋅ α m
e
rispettivamente decrementando Nk, incrementando Nk, decrementando Nca o
incrementando Nca.
Il passo precedente richiede come ovvio la generazione di un solo numero
pseudocasuale uniforme fra 0 e λ, ed il confronto dello stesso con le
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64
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
probabilità pi: in queste ipotesi se x è una variabile aleatoria uniforme fra 0 e
1, la probabilità che x<pi è proprio pi, per definizione di distribuzione
uniforme.
L’inizializzazione è equivalente a quella dell’algoritmo precedente, ovvero
si impone che:
Nh = Nh
max
⋅ n d ∞ (V0 ) per ogni h.
Tutte le simulazioni relative alla dinamica stocastica dei canali proteici
riportate in questo capitolo, sono state realizzate con tale algoritmo, ed il
vantaggio in termini di velocità e di occupazione di memoria è stato
sensibile, verificando soprattutto un incremento dell'efficienza
per le
simulazioni a limitato numero di canali totali.
1.16 Analogia con l’Equazione di Langevin
Si consideri nuovamente per semplicità il modello di Morris e Lecar. Si può
dimostrare che le scale temporali associate ai valori attesi delle variabili m e
n, attivazione dei canali calcio e potassio rispettivamente, sono
notevolmente separate come viene indicato in figura 1.24. Dalla 1.83 si
osserva che la costante di tempo che caratterizza l’andamento temporale del
valore atteso della frazione n di canali potassio aperti, è data dalla somma αn
+ βn. In particolare, valgono le 1.101 e 1.102:
(1.101) τ n (V) −1 = (α n + β n ) =
1
 V − 10 
⋅ cosh

15
 29 
 V + 1
(1.102) τ m (V) −1 = (α m + β m ) = cosh

 30 
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65
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Viene indicato di seguito anche i valori di regime per i valori attesi di n e m
(si veda anche 1.83 e 1.86):
 αn
(1.103) n d ∞ = 
 α n + βn
 1 
V − 10 
 = ⋅ 1 + tanh

 14.5 
 2 
 αm
(1.104) m d ∞ = 
 α m + βm
 1 
V + 1 
 = ⋅ 1 + tanh

 15 
 2 
14
(αn+βn)-1
-1
(αm+βm)
12
10
8
msec
6
4
2
0
- 90
-6 0
-3 0
0
30
60
90
V (mV)
Figura 1.24: La cinetica dei canali Ca2+ è in valore atteso più rapida di
quella dei canali K+.
Si osserva immediatamente che ( α m + β m ) >> ( α n + β n ) da cui si deduce che
l’inverso delle 1.101 e 1.102 stano fra di loro nella seguente relazione di
disuguaglianza:
(1.105) (α m + β m )−1 << (α n + β n )−1
Tale osservazione è di notevolissima importanza e verrà richiamata anche
nel capitolo successivo (vedi paragrafo 2.1). Utilizzando un modello
deterministico infatti, è possibile approssimare la dinamica associata ai
canali calcio, considerando la loro evoluzione temporale come istantanea,
rispetto a quella associata ai canali potassio (Abbott et al., ‘90). E’ possibile
cioè imporre la variabile deterministica md identicamente uguale al proprio
valore di regime, nei casi in cui si è interessati ad analizzare la dinamica
neuronale su scale temporali molto maggiori di quella associata al
potenziale
d’azione,
per
esempio
nel
contesto
di
esaminare
il
comportamento collettivo di un insieme di cellule nervose interconnesse, e
le modalità attraverso cui tale insieme di unità elabora informazioni e
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66
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
segnali provenienti dalle afferenze sensoriali. Tale approssimazione è lecita
quando la scala temporale di interesse sia molto più lenta dei fenomeni che
portano a regime le grandezze considerate.
Dal punto di vista dello studio della cinetica dei canali ionici, risulta però
più corretto interpretare la 1.105 in modo diverso: la variazione di n è molto
lenta rispetto a quella associata a m. Si sceglie di imporre n ≅ nr, costante
rispetto al tempo, con nr valore di riposo della variabile deterministica
corrispondente (Chow et al., ‘96). Dalle 1.83 e 1.86 segue che per
definizione
(1.106) n ( t ) ≡ n r =
α n (Vrest )
= n d ∞ (Vrest ) ∀ t
α n (Vrest ) + β n (Vrest )
Possiamo adesso riscrivere il secondo membro dell'equazione differenziale
stocastica 1.78, in cui l'unico processo aleatorio del tempo è la frazione dei
canali calcio aperti m, oltre naturalmente a V:
(1.107) C
dV
= g l ⋅ (E l − V ) + g K ⋅ n r ⋅ (E K − V ) + g Ca ⋅ m ⋅ (E Ca − V ) + I ext
dt
Al termine del paragrafo 1.10 e seguenti, è già stato messo in evidenza che
per il teorema di DeMoivre-Laplace per ogni istante t la variabile aleatoria
m(t) è caratterizzata da una densità di distribuzione di probabilità normale.
Dal momento che la natura dei canali ionici Ca2+ in esame è quella
elementare ad unico gate indipendente, sono immediatamente note le
proprietà statistiche del processo m(t).
m = E{ m} =
{
E ( m − m)
2
αm
α m + βm
}= N
1
Ca max
 α m    α m 
⋅
 ⋅ 1 − 

 α m + β m    α m + β m 
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
E{( m( t ) − m) ⋅ ( m( t + τ ) − m) } =
1
N Ca
max
 α m    α m  − ( α + β ) ⋅ τ
⋅
 ⋅ 1 − 
 ⋅ e m m
 α m + β m    α m + β m 
Per convenienza formale, si introduce adesso la variabile δm, dove si sta
considerando m = m + δm , cioè somma del valore atteso e di una variabile
aleatoria a valore medio nullo, si ottiene un'espressione equivalente.
Riscrivendo la 1.107 si ottiene
(1.108)
C
{
}
dV
= g l ⋅ (E l − V ) + g K ⋅ n r ⋅ (E K − V ) + g Ca ⋅ m ⋅ (E Ca − V ) + I ext + g Ca ⋅ δm ⋅ (E Ca − V )
dt
(1.109) E{δm} = 0
(1.110) E{δm 2 } =
1
N Ca
max
(1.111) E{δm( t ) ⋅ δm( t + τ )} =
 α m    α m 
⋅
 ⋅ 1 − 

 α m + β m    α m + β m 
1
N Ca
max
 α m    α m  − ( α + β ) ⋅ τ
⋅
 ⋅ 1 − 
 ⋅ e m m
 α m + β m    α m + β m 
La funzione di autocorrelazione 1.111 può inoltre essere approssimata con
una funzione delta di Dirac, essendo il tempo di decadimento
dell'esponenziale (αm + βm)-1 molto più piccolo della scala temporale dei
fenomeni di variazione del potenziale di membrana in risposta alle
variazioni del numero di canali calcio aperti. Allora la funzione di
autocorrelazione assume la forma indicata nella 1.112.
(1.112) E{δm( t ) ⋅ δm( t + τ)} ≈
2⋅D
N Ca
⋅ δ(τ )
D opportuno
max
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Autocorrelazione
Delta di Dirac
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-30
-20
0
-10
10
20
30
τ
Fig. 1.25: Funzione di autocorrelazione del processo stocastico δm, e
approssimazione con una delta di Dirac: rumore bianco.
Fissare il coefficiente D implica scegliere un criterio di equivalenza fra la
1.111 e la 1.112. D determina l’area della delta, quindi si può imporre la
seguente condizione:
∫
+∞
-∞
E{δm(t) ⋅ δm(t + τ )}dτ =
∫
+∞
-∞
2⋅D
2⋅D
⋅ δ (τ )dτ =
N Ca max
N Ca max
Da questa condizione, approssimativamente equivalente ad imporre la parità
di densità spettrale di potenza dei due processi, si ottiene l’espressione
analitica del coefficiente D che ovviamente è funzione del potenziale di
membrana, attraverso la dipendenza funzionale delle probabilità di
transizione per unità di tempo αm(V) e βm(V):
(1.113)
D = D( V ) =
α m ( V) ⋅ β m ( V )
(α m (V) + β m (V) )3
.
I termini nell'equazione differenziale 1.108 possono allora essere
riorganizzati in modo da ricondurre il formalismo alla forma esaminata nella
appendice A (a.27):
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69
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
 dV
 dt = h( V) + g( V) ⋅ η( t )

(1.114)  E{η( t )} = 0 E{η( t ) ⋅ η( t + τ )} = 2 ⋅ δ (τ ) gaussiano

W( V,0) = 1 ⋅ δ ( V − V0 )

L’equazione 1.108 è dunque un’equazione monodimensionale non lineare di
Langevin, soggetta ad un rumore bianco dipendente dal potenziale di
membrana V. Tale dinamica può anche essere confrontata con il moto di
una particella soggetta ad un campo di forze (conservativo), soggetta a
fluttuazioni indotte dall’agitazione termica. In questa analogia, V
corrisponde alla posizione della particella, la capacità C gioca il ruolo di un
coefficiente di attrito e l’inverso di NCa, contenuto nella definizione di δm,
quello della temperatura esterna. Questo parallelo consentirebbe di spiegare
la soppressione di fluttuazioni spontanee quando il numero totale di canali
calcio cresca sufficientemente, allo stesso modo in cui l’agitazione termica a
cui è soggetta la particella tende a scomparire al decrescere della
temperatura fino allo zero assoluto.
Nella 1.114 compare anche la funzione W(V,t), densità di distribuzione di
probabilità, in generale non stazionaria, di V che è ovviamente un processo
aleatorio. La condizione iniziale W( V,0) = 1 ⋅ δ ( V − V0 ) rappresenta la
posizione "V(t=0) = V0 a probabilità unitaria", ed è importante per
l'esistenza e l'unicità della soluzione di tale equazione stocastica.
Le funzioni h(V) e g(V) sono combinazioni dei parametri del modello e
hanno la seguente forma:
h ( V) =



α m( V )
1 
⋅  g l ⋅ ( E l − V) + g k ⋅ n r ⋅ ( E k − V) + g Ca ⋅ 
 ⋅ ( E Ca − V) + I ext 
C 
 α m ( V) + β m ( V) 

dove si è già sostituita l'espressione analitica del valore atteso di m, e
g ( V) =
g Ca
D( V )
⋅
⋅ ( E Ca − V)
C
N Ca max
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70
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Attraverso un opportuno cambio di variabile, una forma più agevole per la
1.114 può essere derivata, e precisamente in modo tale che il coefficiente
moltiplicativo del processo stocastico η(t), η(t) = δm(t), sia indipendente da
V. Si definisce una nuova variabile y nel modo seguente:
y = w (V) = ∫
Per
il
V
dx
g(x )
teorema
di
derivazione
dy dy dV [h (V) + g(V) ⋅ η( t )]
=
⋅
=
, e quindi
dt dV dt
g(V)
delle
funzioni
composte
dy
= H( y) + η( t ) , dove
dt
h( w −1 ( y))
per definizione H ( y) =
.
g( w −1 ( y))
Questo tipo di cambiamento di variabile può sempre essere applicato con
ipotesi di generale regolarità della funzione g(x) e di consistenza della
definizione di y.
Si dimostra, in virtù della δ-correlazione e di gaussianità del processo
stocastico η(t), che y(t) deve essere un processo markoviano e per le
considerazioni fatte nella appendice A, si sa che l'espansione di KramersMoyal per tale processo si arresta ai primi due termini. L'equazione di
Fokker-Plank per W(y,t) può essere immediatamente scritta:
∂2
∂
∂W ( y, t )
(1.115)
= − [H( y) ⋅ W ( y, t )] + 2 W ( y, t )
∂y
∂t
∂y
(1.116) W ( y,0) = 1 ⋅ δ(y − y 0 )
Nella condizione iniziale 1.116 compare la quantità y0 = w(V0), in virtù
della monotonia della funzione w(V).
Un'equazione differenziale lineare di tipo parabolico come la 1.115 può
essere ricondotta all'equazione di Smoluchowski 1.118, nelle ipotesi molto
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71
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
generali di integrabilità di H(y). Si definisce Φ(y) funzione potenziale per la
dinamica del processo y(t), dove:
y
(1.117) Φ( y) = − ∫ H( x )dx ⇒ −
dΦ ( y)
= H ( y)
dy
∂W ( y, t )  ∂
∂2 
= − (− Φ ’( y) ) + 2  W ( y, t )
(1.118)
∂t
∂y 
 ∂y
Come si è già osservato si verifica che y = w(V) è una funzione monotona
h( V )
è monotona, allora anche la funzione
g ( V)
non decrescente. Poiché
composta
h
o w −1, cioè H(y), è una funzione monotona e quindi invertibile.
g
Si voglia calcolare minimi e massimi di tale funzione potenziale Φ(y):
questo può essere fatto determinando i passaggi per lo zero della funzione
H(y), dal momento che −
dΦ( y)
= H( y) , e per la condizione necessaria di
dy
esistenza di un estremante locale per una funzione di una variabile.
Tali valori possono essere poi riportati ai corrispondenti valori di V,
attraverso la definizione di y, invertendo la relazione: V = w-1 (y). In
particolare i valori di y tali che H(y) = 0, sono quelli che corrispondono ai
valori V = w-1 (y), per i quali H ( y) =
h( w −1 ( y))
.
g( w −1 ( y))
Questo dimostra che i valori di V per i quali si annulla la funzione h(V)
precedentemente definita, sono gli stessi per i quali si annulla la funzione
potenziale per la dinamica della variabile y. Il ruolo di Φ(y) è quello di
generare una dinamica attrattiva verso i propri punti di minimo, per y e
quindi per V, attraverso w-1.
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72
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
g = 9 mS/cm2
g = 30 mS/cm2
40
g
=7
g
k
k
g = 1 mS/cm2
mS/cm2
= 7 mS/cm2
Ca
4
Ca
Ca
30
g
2
= 1 mS/cm2
Ca
0
20
g = 1.4849 mS/cm2
h(V)
k
-2
= .7529 mS/cm2
g
10
Ca
h(V)
-4
0
-6
-10
-8
-60
-40
-20
0
20
40
g
60
V (mV)
= 0.7529 mS/cm2
Ca
-10
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
V (mV)
Fig. 1.26: (sinistra) Grafico della funzione h(V) nel modello di MorrisLecar, per alcune scelte dei parametri di conduttanza massima; (destra)
dettaglio dei punti di attraversamento dello zero.
La funzione h(V) si annulla per tre soli valori di V, come indicato in figura
1.25. Se si chiama Vmin il più piccolo di essi, si verifica facilmente che Vmin
corrisponde al valore di riposo del potenziale di membrana, ovvero il valore
medio di regime a cui tende la dinamica descritta dalla 1.78, in assenza di
qualsiasi stimolazione in corrente. Esso è pertanto un punto di equilibrio
stabile, dal momento che per valori iniziali prossimi ad esso, al passare del
tempo V tende asintoticamente ad esso.
Il più grande valore di V per cui h(V) = 0 corrisponde invece ad un punto di
equilibrio instabile, dal momento che V raggiunge tale valore durante il
potenziale d’azione, e se ne discosta immediatamente durante la fase di
iperpolarizzazione che segue nel modello completo, dovuta all’apertura di
un gran numero di canali potassio.
Il punto intermedio di attraversamento dello zero Vmax, individua in modo
univoco il valore della soglia di eccitabilità, nell’approssimazione 1.105; la
distanza fra Vmin e Vmax determina così la distanza fra il valore di riposo del
potenziale e il valore di soglia, superato il quale le non linearità dei processi
di eccitabilità inducono in probabilità, un cambiamento significativo di stato
nella maggior parte dei canali, che può risultare nella generazione di un
potenziale d’azione.
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73
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Queste considerazioni non valgono soltanto per il modello di Morris e
Lecar, ma per una classe molto ampia di modelli biofisici, del tipo già
descritto. Per il modello stocastico di Hodgkin-Huxley, con considerazioni
molto simili si individua l’andamento riportato nella figura seguente.
4000
1,0
3000
0,5
2000
h(V)
h(V)
1000
0,0
-0,5
0
-1000
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
-1,0
-67
-66
V (mV)
-65
-64
-63
-62
-61
-60
V (mV)
Fig. 1.27: (sinistra) Grafico della funzione h(V) nel modello di HodgkinHuxley e (destra) dettaglio dei punti di attraversamento dello zero Vmin=-65
mV e Vmax=-62.4mV.
L'analisi del profilo di h(V) risulta quindi cruciale per comprendere quali
siano i valori di equilibrio (Vmin punto di equilibrio stabile, Vmax punto di
equilibrio instabile) per una classe molto ampia di modelli di membrana
nervosa.
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74
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.17 Formula di Kramers
E’ già stato osservato che il fenomeno della fluttuazione del potenziale di
membrana V, e l’attraversamento della soglia di eccitabilità per valori sottosoglia della corrente esterna di stimolazione, siano paragonabili al
movimento di una particella in una buca di potenziale Φ(V) soggetta a urti
casuali con le particelle della soluzione, in virtù dell’agitazione termica.
Quello che è stato chiamato rumore di membrana agisce in modo simile al
rumore termico, spingendo per così dire, occasionalmente V oltre Vmax. Una
volta superato tale valore e generato un potenziale d’azione, i meccanismi
non-lineari che abbiamo approssimato molto lenti tendono a riportare V al
valore di riposo Vmin. Si è già notato che, quanto maggiore è la distanza fra
Vmin e Vmax, tanto minore sarà la probabilità che in media le fluttuazioni
della cinetica stocastica dei canali ionici riescano a fare oltrepassare la
soglia di eccitabilità e quindi indurre attività spontanea sostenuta.
La frequenza media di oscillazione per il potenziale di membrana, ovvero il
numero di potenziali d’azione generati nell’unità di tempo in modo
spontaneo, può allora essere approssimato dal tasso medio di fuga da una
barriera di potenziale Φ(V). Si tratta di un problema classico nella
meccanica statistica (Kramers, ’40; Hanggi et al., ’90), affrontato per la
prima volta da Kramers negli anni ’40 e successivamente riesaminato
innumerevoli volte in letteratura (Amit et al., ’96). Si dimostrerà adesso che,
seppure in via numerica, tale tasso di fuga può essere valutato, nelle ipotesi
di
stazionarietà
approssimata
che
richiede
un’equivalente
bassa
temperatura a confronto con l’altezza della barriera di potenziale. L’analisi
teorica che viene condotta diventa perciò meno accurata al decrescere del
numero di canali, e inoltre in questa trattazione è stata ignorata del tutto la
fenomenologia in grado di produrre l’intervallo di refrattarietà e i
meccanismi di innesco della iperpolarizzazione di V.
Si valuti il salto sul profilo della funzione potenziale (ampiezza della
barriera), ∆Φ corrispondente ai valori di Vmin e Vmax:
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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∆Φ = Φ (y max ) − Φ(y min ) =
y max
∫ Φ’( y)dy =
y min
(1.119)
=−∫
Vmax
Vmin
Vmin h ( V )
h (V) dy
⋅
dV = ∫
dV
Vmax g ( V ) 2
g (V) dV
Si è già osservato che la formula di Kramers (1.120) vale nelle condizioni in
cui ∆Φ >> 1. Questo è immediatamente posto in relazione alla potenza del
rumore termico equivalente, giacché intuitivamente si può notare che quella
condizione è garantita qualora il rapporto che figura sotto il segno di
integrale nella definizione1.119 sia molto grande, su tutto l’intervallo di
valori compresi fra Vmin e Vmax. Dal momento che g(V) è in prima
approssimazione proporzionale alla densità spettrale di potenza del processo
δm, per definizione pari all’area della delta di Dirac legata direttamente al
coefficiente D definito nella 1.113 e inversamente a NCa, il rapporto che
compare nella 1.119 sarà grande quando g(V) è piccolo, cioè quando Nca è
grande.
In queste ipotesi il tasso di fuga dalla barriera è dato dalla seguente
equazione:
(1.120) R k ≈
1
⋅ Φ’’( y min ) ⋅ Φ’’( y max ) ⋅ e − ∆Φ
2π
La derivata seconda del potenziale è quando si consideri che, per il teorema
di derivazione di funzioni composte, vale:
d
d
dV
 h’( V) ⋅ g( V) − h( V) ⋅ g’( V) 

g ( V)

(1.121)Φ’’( y) = − dy H ( V( y)) = − dV H ( V( y)) ⋅ dy = −
Ma allora si può sfruttare la 1.121 per concludere che nel caso particolare di
ymin e ymax corrispondenti come si è già discusso a Vmin e Vmax
rispettivamente, le quantità sotto integrale nella 1.120 possono essere
valutate dalla sola conoscenza della derivata prima di h(V).
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76
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(1.122) Φ’’( y) = −h ’(V) y ∈ {y min ; y max } V ∈ {Vmin ; Vmax }
Completando la valutazione del tasso di fuga medio dalla barriera di
potenziale, mediante integrazione numerica della 1.119, si arriva alla forma
finale. Tale espressione può essere resa dipendente dal numero totale di
canali proteici calcio oppure dalle dimensioni complessive del patch di
membrana, attraverso la specificazione della densità di canali ρCa.
(1.123) R k ≈ C1 ⋅ e
−
N
Ca max
C2
= C1 ⋅ e
−
S
C3
(quindi C 3 = C 2 ⋅
1
).
ρ Ca
0,6
0,5
C1
0,4
Rk
0,3
0,2
0,1
0,0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
S
Fig. 1.28: Andamento generale previsto dalla formula di Kramers per il
tasso medio di fuga dalla buca di potenziale in funzione del numero di
canali calcio, ovvero di S.
La teoria appena sviluppata per la previsione della frequenza media di
oscillazione del potenziale di membrana fornisce una spiegazione
all’evidenza fornita dalla simulazione del modello di Morris-Lecar non
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77
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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deterministico.
Infatti,
per
valori
biologicamente
consistenti
della
dimensione del patch di membrana, non si assiste ad alcuna attività
spontanea. La 1.23 infatti prevede una frequenza media di attività
statisticamente rilevante solo per valori molto piccoli di A, non ragionevoli
dal punto di vista biologico (si vedano le figure 1.29 – 1.30), anche al
variare dei valori di conduttanza massima. In modo euristico si potrebbe
affermare che l’assenza di attività spontanea nel modello di Morris-Lecar
sia imputabile alla particolare cinetica dei canali ionici e non ai valori
numerici considerati. Dal punto di vista della filogenesi, potrebbe infatti
essere importante sfavorire l’insorgenza di qualunque attività spontanea,
anche in condizioni di densità di canali proteici relativamente bassa.
Ontogeneticamente, la differenziazione delle cellule nervose potrebbe
avvenire anche al livello di sintesi proteica, per esempio nella maggiore o
minore facilità all’espressione di opportuni geni che codificano canali
proteici di tipo simile a quanto descritto, piuttosto che ad un altro.
15
14.9 exp(-S/3.56µm2) Hz
10
R
k
5
0
0
5
10
15
20
S
25
30
35
40
(µm2)
Fig. 1.29: Frequenza media di attività spontanea nel modello di MorrisLecar, per g Ca = 7mS/cm2 e g K =30mS/cm2.
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78
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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120
129 exp(-S/1.15 10-3µm2) Hz
100
80
R
60
k
40
20
0
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
S (µm2)
Fig. 1.30: Frequenza media di attività spontanea nel modello di MorrisLecar, per g Ca = 1mS/cm2 e g K =9mS/cm2.
Al contrario, come mostrato nelle figure 1.22 – 1.23, per il modello di
Hodgkin-Huxley esiste una rilevante attività spontanea la cui previsione
risulta in ottimo accordo con le simulazioni al calcolatore, e di seguito
riportiamo l’andamento della frequenza media di attività.
50
45
40
45 exp(-S/74µm2) Hz
35
30
R
k
25
20
15
10
5
0
0
100
200
300
S (µm2)
Fig. 1.31: Frequenza media di attività spontanea nel modello di HodgkinHuxley.
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79
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Figura 1.32: Confronto fra la previsione teorica e la simulazione a
calcolatore, per la frequenza media di attività elettrica nel modello di
Hodgkin-Huxley.
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80
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Capitolo 2
Modello di Neurone Integra-e-Spara
2.1
Riduzione della Complessità
Nel capitolo 1 è stata approfondita la natura stocastica e discreta dei
processi che governano la generazione e la propagazione del segnale
nervoso. La modellistica matematica esaminata impiega uno schema
cinetico markoviano per la descrizione degli stati interni dei canali proteici,
e si rivela in grado di prevedere con ottima precisione gli stessi
comportamenti normalmente descritti in modo deterministico e continuo.
Inoltre, la ricchezza di questa descrizione consente di giustificare in modo
molto semplice, proprietà e fenomenologie di ordine superiore, come
l'attività spontanea, che emergono naturalmente dalla dinamica collettiva dei
canali ionici.
L'approccio stocastico alla descrizione di una membrana eccitabile è
storicamente molto recente, e la ragione principale del successo dei
precedenti modelli biofisici deterministici (1.23 – 1.29 e analoghi), risiede
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81
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
nel fatto che l'insieme dei valori numerici dei parametri di tali modelli è
facilmente identificabile, mediante semplici procedure di interpolazione,
partendo dalle misurazioni elettrofisiologiche a potenziale di membrana
costante (tecnica del voltage-clamp).
Oltre
alla
indicata
incapacità
di
descrizione
dei
comportamenti
statisticamente significativi quando il numero totale di canali proteici sia
molto ridotto, lo svantaggio principale dei modelli deterministici è dato
dalla difficoltà della loro risoluzione numerica. Quasi sempre infatti,
vengono considerati sistemi differenziali del prim'ordine, per i quali non è
possibile trovare una soluzione in forma chiusa, e nei quali esiste una
evidente separazione delle scale temporali che regolano le variabili di stato
(si veda il paragrafo 2.3). Adottando un algoritmo di integrazione numerica
a passo di integrazione fisso, questa situazione forza la scelta dell'intervallo
di quantizzazione ad un valore molto piccolo a causa della elevata rapidità di
variazione delle variabili più veloci, a discapito delle altre componenti dello
stato che non richiederebbero una discretizzazione dell'asse dei tempi così
accurata. Il passo di integrazione scelto è così imposto all'intero sistema di
equazioni differenziali accoppiate, ed eventualmente a ciascun sistema di
equazioni per ogni neurone costituente una rete di cui interessa conoscere
l'evoluzione (Destexhe, '97), oppure ad ogni compartimento isopotenziale di
uno stesso neurone, nella modellistica a parametri distribuiti (eq. 1.19).
Un rimedio a tali limitazioni di ordine pratico nella simulazione al
calcolatore di grandi reti di neuroni densamente interconnessi, ovvero nello
studio di geometrie complicate per i processi neuritici di una singola cellula,
è la formulazione di modelli computazionalmente meno onerosi, in grado
tuttavia di mantenere proprietà e caratteristiche rilevanti per la consistenza
con la realtà biologica e per il confronto con i dati sperimentali (Rinzel et
al.).
In questo capitolo verrà esaminata una procedura matematica di riduzione
del modello di Morris e Lecar formalmente giustificata (Morris et al., '81), a
cui seguirà un'ulteriore riduzione delle equazioni. Il modello finale, noto in
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82
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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letteratura come integra-e-spara (Destexhe, ’97; Amit et al., ’96; Hopfield et
al., '95; Abbott et al., '90;), costituirà un approccio incapace di prevedere la
descrizione delle singole correnti ioniche, ma presumibilmente ancora in
grado di cogliere i medesimi comportamenti dei modelli completi,
soprattutto nello studio delle interazioni fra un numero molto grande di unità
mutuamente connesse.
2.2
Analisi del Modello Biofisico Deterministico
Si consideri il modello deterministico di Morris e Lecar, in parte esaminato
nel capitolo precedente, la cui espressione matematica è data dal seguente
sistema di tre equazioni differenziali non lineari.
dV
= g l ⋅ (E l − V ) + g Ca ⋅ m d ⋅ (E Ca − V ) + g K ⋅ n d ⋅ (E K − V ) + I ext
dt
(2.1)
C
(2.2)
dn d
1
=
⋅ n d ∞ (V) − n d
τ n (V)
dt
(2.3)
dm d
1
=
⋅ m d ∞ (V) − m d
τ m (V)
dt
(
(
)
)
Come già osservato, l'integrazione numerica delle equazioni 2.1 – 2.3
mostra che per valori piccoli dell'ampiezza della corrente di stimolazione Iext
costante nel tempo, l'andamento temporale del potenziale di membrana V è
quello tipico a costante di tempo, simile all'evoluzione delle grandezze
elettriche in un circuito passivo RC. Nel caso in cui l’ampiezza dello stimolo
di corrente sia sufficientemente elevata da fare oltrepassare a V un
particolare intervallo di valori, sotto certe ipotesi la soluzione V(t) delle 2.1
– 2.3 è periodica di periodo costante, se la stimolazione di corrente è
costante nel tempo. Altra caratteristica interessante è la presenza di un
intervallo temporale di insensibilità o refrattarietà nei confronti di un
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83
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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ulteriore stimolo in corrente, per circa 2 millisecondi dopo la
depolarizzazione: una variazione di qualsiasi entità in Iext(t) non produce
alcun effetto nell’evoluzione delle grandezze considerate (Morris et al., '81).
Nella figura 2.1 è rappresentata l'evoluzione temporale di V, per
stimolazioni transitorie e di diversa intensità, utilizzando i parametri della
tabella 2.1 e g Ca = 1mS / cm 2
g K = 3mS / cm 2 ; il profilo di Iext(t) è
sovrapposto al grafico del potenziale di membrana.
20
I
20
I
ext
40
ext
40
V
V
10
10
20
20
-20
-10
-40
(mV)
(µA/cm 2 )
( µA/cm 2)
0
0
(mV)
0
0
-20
-10
-40
0
50
100
-20
150
0
time (msec)
50
100
-20
150
time (msec)
Fig. 2.1: Andamento temporale del potenziale di membrana V(t), per
Iext=6µA/cm2 (sinistra) e Iext=13µA/cm2 (destra), rispettivamente.
Come già notato nel paragrafo 1.16 (si veda fig. 1.24 e equazione 1.105),
τm(V) / τn(V) << 1, per ogni valore di V. Questo significa che è possibile
ridurre il sistema 2.1 – 2.3 a sole due equazioni differenziali, in cui si
considera la dinamica dei canali Ca2+ molto più rapida di quella relativa ai
canali K+, ponendo istantaneamente md al proprio valore di regime m d ∞ .
Con tale sostituzione si ottiene un modello ridotto, indicato dalle 2.4 e 2.5,
equivalente con ottima approssimazione al modello completo (2.1 – 2.3).
(2.4)
C
dV
≅ g l ⋅ (E l − V ) + g Ca ⋅ m d ∞ (V ) ⋅ (E Ca − V ) + g K ⋅ n d ⋅ (E K − V ) + I ext
dt
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84
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(2.5)
(
dn d
1
=
⋅ n d ∞ (V) − n d
τ n (V)
dt
)
Una giustificazione più rigorosa del fatto che utilizzando questa
approssimazione, l'andamento del potenziale di membrana continui ad
essere descritto in modo preciso, è fornita dal teorema di Thikonov. Siamo
infatti nelle ipotesi di poter ridurre lo spazio degli stati da ℜ 3 a ℜ 2, senza
alterare le caratteristiche dei punti singolari. Esiste egualmente un ciclo
limite, cioè una soluzione periodica stabile per il potenziale di membrana,
come segue dal teorema di Poincarè-Bendixon. Questo teorema può essere
enunciato nel modo seguente: se una traiettoria di un sistema dinamico
rimane in un dominio finito dello spazio delle fasi per tutto il tempo, senza
raggiungere alcun punto di equilibrio, allora essa è una traiettoria chiusa
(periodica) o tende asintoticamente a diventarlo (Morris et al., '81). E'
possibile verificare le ipotesi di questo teorema, verificando che V e nd sono
quantità sempre limitate superiormente e inferiormente: per nd ciò segue
dalla definizione di valore atteso della frazione di canali potassio aperti,
rispetto al numero totale degli stessi, e quindi vale che 0 < n d < 1 . Per V, si
può dimostrare che dalla 2.1 segue la seguente condizione:
(2.6)
Vmin =
g l ⋅ E l + g K ⋅ E k + Iext
gl + gK
< V <
g l ⋅ E l + g Ca ⋅ E Ca + Iext
g l + g Ca
= Vmax
Da un esame approfondito del significato delle equazioni 2.4 e 2.5, si può
intuire che due è il numero minimo di equazioni differenziali in grado di
descrivere le caratteristiche qualitative di processi eccitabili/oscillatori di
questo tipo. Esistono fondamentalmente due proprietà rilevanti, che devono
essere incluse in ogni descrizione matematica di una membrana eccitabile: il
comportamento capacitivo, responsabile delle proprietà integrative della
membrana (2.4 o 2.7), e la dipendenza temporale delle conduttanze di
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85
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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membrana (2.5 o 2.8), responsabile delle non linearità che generano
l'eccitabilità e la refrattarietà (Abbott et al., ’90).
Si riporta di seguito il modello di Morris e Lecar ridotto, specificando la
forma definitiva delle equazioni.
(2.7) C dV = g l ⋅ (E l − V) + g Ca ⋅  1 ⋅ 1 + tanh V + 1   ⋅ (E Ca − V) + g K ⋅ n d ⋅ (E K − V) + I ext
dt
(2.8)

2 

 15  

dn d
1
 V − 10   1 
 V − 10  
= ⋅ cosh
 ⋅  ⋅ 1 + tanh
  − n d 
dt
15
 29   2 
 14.5  

Ove non si faccia esplicito riferimento, si assume d’ora in avanti che le
condizioni iniziali per V e per nd, insieme agli altri parametri del modello,
siano quelli indicati nella tabella 2.1.
Parametro
Valore
C
Capacità di membrana
1µF/cm2
El
Potenziale inverso di perdita
-50mV
ECa
Potenziale inverso per Na+
100mV
EK
Potenziale inverso per K+
-70mV
gl
Conduttanza di perdita
0.5mS/cm2
V(0)
Condizione iniziale per V
-50mV
nd(0)
Condizione iniziale per nd
n d ∞ (V(0))
Tabella 2.1: Alcuni parametri utilizzati per le simulazioni del modello di
Morris e Lecar ridotto.
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86
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
2.3
Analisi nel Piano delle Conduttanze Massime di
Membrana
Sebbene l’ampiezza e la frequenza dei potenziali d’azione che caratterizzano
il regime periodico del modello esaminato, siano dipendenti dall'intensità
della corrente di stimolazione, la relazione matematica che lega una
variazione di quest'ultima ai cambiamenti nelle due quantità precedenti, non
è di tipo monotono (vedi figure 2.2 – 2.8). La figura 2.2 è stata ottenuta
riportando il valore minimo e massimo di V(t) a transitori esauriti, al variare
dell'ampiezza della corrente di stimolazione, mantenuta costante nel tempo.
Questo tipo di comportamento è usuale nella dinamica dei sistemi non
lineari: esiste un valore minimo del parametro Iext (circa 8µA/cm2), al di
sotto del quale nessuna oscillazione persistente è prodotta. Il punto
corrispondente a tale valore dell'intensità di stimolazione è detto
biforcazione di Hopf. Superata tale soglia infatti, si ha generazione di
potenziali d’azione a frequenza costante e, al crescere del valore della
corrente, l'ampiezza delle oscillazioni decresce fino ad annullarsi. Questo
significa che per valori di corrente superiori ad un valore detto di
saturazione (circa 48µA/cm2), il regime periodico in V(t) scompare.
50
0
(mV)
-50
-100
-150
-60
-40
-20
0
20
I
stim
40
60
80
100
120
( µA/cm 2)
Fig. 2.2: Diagramma di biforcazione per V a regime, al variare della
corrente di stimolo.
DIBE – Università degli Studi di Genova
87
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0,08
0,06
0,04
(kHz)
0,02
0,00
-60
-50
-40
-30
-20
-10
I
stim
0
10
20
30
40
(µA/cm 2)
Fig. 2.3: Andamento della frequenza media del treno di potenziali d’azione
a regime, al variare dell'intensità della corrente di stimolo costante.
La figura 2.3 riporta invece la dipendenza dall'intensità di corrente, per la
frequenza media di oscillazione di V(t), calcolata come numero di potenziali
d'azione nell'unità di tempo. Per questo calcolo, si è atteso l'esaurimento dei
transitori e si è osservato l'andamento di V(t) per 10 secondi, per poi
valutare il rapporto fra la metà del numero di attraversamenti di V per 0mV,
valore scelto convenzionalmente, e l’ampiezza dell’intervallo temporale, pari
a 10 secondi.
Come per la figura 2.2, anche in questo caso la relazione di dipendenza dalla
corrente è profondamente non lineare: la frequenza media di oscillazione è
diversa da zero solo nell'intervallo compreso fra i valori critici già indicati
nella figura 2.2. Fuori da tale intervallo, l'assenza di oscillazione permanente
implica una frequenza di oscillazione pari a zero.
Oltre alla corrente esterna, anche i valori di conduttanza massima, che
figurano in ciascuna delle correnti ioniche, hanno un ruolo importante. Si
può assistere ad una variazione anche notevole delle caratteristiche della
soluzione V(t) delle 2.7 – 2.8, al variare di tali valori, fissata l'ampiezza di
stimolazione in corrente costante. Le modalità stesse del regime periodico
permanente sono profondamente influenzate da tali variabili. Se si
rappresenta nel piano, per ogni valore della coppia g K - g Ca, entro un certo
DIBE – Università degli Studi di Genova
88
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
intervallo di ammissibilità, la frequenza dell'oscillazione del potenziale di
membrana, una volta raggiunto il regime periodico ove questo esista, si
possono indicare con lo stesso tono di grigio (vedi figure 2.4 e 2.5) le zone
del piano caratterizzate dalla stessa frequenza di attività regolare.
10
10
gk
gk
10
10
gk
gk
0
0
0
1
2
3
4
gCa
5
6
7
8
9
10
10
0
0
1
2
3
4
gCa
5
6
7
8
9
10
10
0
0
1
2
3
4
gCa
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
gCa
5
6
7
8
9
10
10
10
10
Fig. 2.4: Regioni iso-frequenza al crescere di Iext=2, 3, 4, 5 µA/cm2 da
sinistra a destra, nel piano delle conduttanze massime di membrana.
10
0,0525-0,06
0,045-0,0525
0,0375-0,045
0,03-0,0375
0,0225-0,03
0,015-0,0225
0,0075-0,015
0-0,0075
kHz
gK
0
g Ca
10
Fig. 2.5: Regioni iso-frequenza nel caso Iext = 13 µA/cm2, per il modello
ridotto.
Dalla figura 2.5, risulta evidente l'esistenza di una penisola di
comportamento oscillatorio (Morris et al., '81) che si estende verso la parte
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89
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
alta del grafico, per grandi valori di g K e valori relativamente piccoli di
g Ca. Questa regione separa una zona di risposta passiva, in basso a destra,
da una regione di saturazione, all’estrema sinistra del grafico e per valori
non troppo piccoli di g K . Per valori delle conduttanze massime nella
regione di saturazione, il potenziale di membrana permane in uno stato di
depolarizzazione (figura 2.6) eventualmente caratterizzato da oscillazioni
smorzate, in risposta a uno stimolo di corrente.
60
(mV)
0
-60
0
40
80
time (msec)
Fig. 2.6: Saturazione e assenza di potenziali d’azione per il potenziale di
membrana.
Nella penisola di ammissibilità delle oscillazioni periodiche, non solo varia
la frequenza del treno di potenziali d’azione, ma per alcune combinazioni
(
)
dei valori g Ca ; g K possono variare anche forma e ampiezza degli stessi,
come esemplificato in figura 2.7.
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90
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
g Ca = 1 mS/cm2
g K = 3 mS/cm2
40
g Ca = 1 mS/cm2
g K = 9 mS/cm2
(mV)
0
-40
0
10
20
30
40
50
time (msec)
Fig. 2.7: Fissata la corrente ( Iext=13 µA/cm2 ), ampiezza e forma del
potenziale d'azione possono variare, anche a parità di frequenza.
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91
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
2.4
Derivazione del Modello Integra-e-Spara
Nel paragrafo 2.2, è stato dimostrato come ridurre la dimensione del sistema
differenziale studiato da 3 a 2 (eq. 2.7 – 2.8), partendo dal modello completo
proposto da Morris e Lecar. Dal momento che non è possibile ottenere la
soluzione del sistema ridotto 2.7 – 2.8 in forma chiusa, è impossibile
determinare analiticamente la relazione fra un generico segnale in ingresso
Iext(t) e V(t), né può essere trovata analiticamente alcuna condizione
necessaria o sufficiente per il regime periodico permanente, fuorché nel caso
di stimolazione costante nel tempo.
In altre parole, senza aver compreso completamente la generazione del
potenziale d’azione in risposta ad un generico segnale Iext(t), il problema di
individuare la trasformazione e l'elaborazione di informazioni contenute nel
segnale in ingresso ad una cellula nervosa, non può neppure essere preso in
considerazione. Il problema non è affatto astratto, dal momento che come
verrà detto nel quarto capitolo, l'interazione più comune fra neuroni può
essere sempre ricondotta ad un termine di corrente di stimolazione esterna,
tempo-variante e piuttosto complesso.
In letteratura, esistono svariate descrizioni della dinamica del potenziale di
membrana, meno dettagliate di quelle esaminate, e l'introduzione di questi
modelli è spesso motivata dalla necessità di condurre studi approfonditi sul
comportamento di reti estese. Ma se da un lato, utilizzando una descrizione
molto semplice per ciascuna delle unità della rete si riducono drasticamente
i tempi richiesti dalle simulazioni, e sono possibili considerazioni di
carattere teorico per i comportamenti collettivi emergenti (Hopfield, '84;
Hopfield, '82), dall’altro viene smarrita gran parte della complessità
biologica (Abbott et al., '90), e le considerazioni che possono essere tratte,
non sono confrontabili con i risultati sperimentali. Questo compromesso non
può essere evitato, e va accettato nella prospettiva di costruire modelli
neuronali semplici ma abbastanza realistici, conservando per quanto è
possibile la corrispondenza con le descrizioni complete.
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91
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Le equazioni trovate in base alle semplificazioni del paragrafo precedente,
possono essere ulteriormente ridotte al fine di ottenere una descrizione tale
da permettere la derivazione di relazioni analitiche generali, e da richiedere
un minor onere computazionale per la risoluzione. Si dimostra che è
possibile seguire una procedura analitica di approssimazione delle
equazioni 2.7 – 2.8, in modo da ottenere un modello semplificato i cui
parametri numerici siano direttamente legati alle grandezze caratteristiche
del modello di partenza, e non imposti arbitrariamente.
Una qualunque riduzione del sistema differenziale 2.7 – 2.8 corrisponde
inevitabilmente ad ignorare una delle due equazioni. Si è già sottolineato il
ruolo preciso assunto da ciascuna delle due: la 2.7 riflette le proprietà
capacitive della membrana fosfolipidica, ovvero le proprietà di tipo
integrativo di una cellula nervosa, mentre la 2.8 riproduce la dipendenza
temporale della conduttanza di membrana, da cui prendono origine i
fenomeni della refrattarietà relativa e assoluta, e della generazione del
potenziale d'azione. Ridurre il sistema differenziale significa considerare la
dinamica associata ad una delle due variabili di stato istantanea rispetto
all’altra, o in altri termini imporre a zero una delle due derivate.
Nella considerazioni generali esposte nel paragrafo 2.1, è stata già citata
l'esistenza di una separazione delle scale temporali associate alle variabili di
stato. Alcune di esse variano molto più lentamente di altre, come è il caso
del potenziale di membrana descritto dalla 2.7, che per la maggior parte del
tempo resta prossimo al valore di equilibrio, tranne in corrispondenza del
potenziale d’azione. Tale evento è però di breve durata, e costituisce una
frazione molto piccola di un intervallo di osservazione sufficientemente
lungo.
In questi termini, si riconosce che la dinamica delle variabili di stato del
modello di Morris e Lecar ridotto è assimilabile a quella di un oscillatore a
rilassamento generalizzato, ovvero un sistema in grado di produrre
spontaneamente o forzatamente, variazioni molto rapide in una o più
grandezze, seguite da intervalli di relativa quiescenza. Formalizzando questo
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92
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
ragionamento, si può concludere che in un sistema fuori equilibrio di questo
tipo, esistono due o più scale temporali, la cui individuazione consente di
suddividere il vettore di stato in variabili veloci e lente (Gross et al., 'XX).
(2.9)
ε ⋅ x& = f ( x , y)
 y& = g ( x , y)

dove 0 < ε << 1
La dinamica di n è molto più rapida di quella associata a V, tanto che le
variazioni più significative del potenziale di membrana sono conseguenza
delle veloci transizioni della cinetica chimica dei canali proteici, che n
rappresenta. Si assume allora istantaneo il comportamento della seconda
variabile di stato, che raggiunge in tempo nullo il proprio valore di regime:
(2.10) nd = n d ∞ (V)
L'equazione precedente porta alla perdita di ogni manifestazione non lineare,
quali la capacità di generazione del potenziale d’azione ed il periodo di
refrattarietà. Infatti l’apertura dei canali calcio e quella dei canali potassio è
adesso contemporanea, e in prima approssimazione si può affermare che
inizio e conclusione del potenziale d’azione occorono nello stesso istante.
Questa approssimazione può essere considerata ragionevole, sotto certe
considerazioni: il potenziale d’azione è un evento assolutamente trascurabile
rispetto al tempo totale di osservazione, e inoltre è sempre uguale a se
stesso, ovvero è un fenomeno altamente stereotipato. Ciò significa che
molto probabilmente l'informazione associata ad un treno di potenziali
d’azione successivi è contenuta nella variabilità dell'intervallo fra potenziali
d'azione successivi piuttosto che nell'ampiezza e nella forma dell'impulso.
E’ ragionevole dunque tollerare la mancanza di una descrizione per il
potenziale d’azione. Sostituendo la 2.10 nella 2.7, allora si ottiene
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93
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
[
dV 1
≈ g l ⋅ (E l − V ) + g Ca ⋅ m d ∞ (V) ⋅ (E Ca − V ) +
(2.11) dt C
~
+ g K ⋅ n d ∞ (V) ⋅ (E K − V ) + I ext = f (V, I ext )
]
ovvero equivalentemente, dalle 2.7 - 2.8:
C
(2.11a)
1 
dV
 V + 1  
≈ g l ⋅ (E l − V ) + g Ca ⋅  ⋅ 1 + tanh
   ⋅ (E Ca − V) +
dt
 15   
2 
1 
 V − 10  
+ g K ⋅  ⋅ 1 + tanh
  ⋅ (E K − V) + Iext
 14.5  
2 
Secondo la definizione di potenziale di riposo Vrest, valore di regime a cui
tende V(t) nella 2.7 in condizioni di assenza di stimolazione (con i soliti
parametri, Vrest = −49, 67mV ), il secondo membro dell’equazione 2.11
diventa in valore assoluto molto piccolo, per valori di V prossimi a Vrest
quando Iext = 0 µA/cm2 . E’ allora possibile sviluppare il secondo membro
della 2.11 in un intorno di Vo=Vrest e Iext=0 µA/cm2, in serie di Taylor estesa
ai primi due termini, linearizzando in tal modo la 2.11 in un intorno di un
punto di equilibrio.

(2.12) dV ≅ 1 ⋅ ~f (Vo ,0 ) + (V − Vo )⋅ ∂ f
~
dt
(2.13) C
∂V
C 

+ (I ext − 0 ) ⋅
V = Vo I ext = 0
~
∂f
∂I ext



V = Vo I ext =0 
dV
≅ g ⋅ (Vo − V ) + I ext
dt
Evidentemente, la nuova equazione 2.13 descrive ancora bene il
comportamento del sistema per valori di V prossimi a Vrest e per correnti di
stimolazione molto piccole. Questo significa che è stato mantenuto il
caratteristico comportamento passivo della membrana, ovvero la 2.13 è in
prima approssimazione in grado di descrivere l'andamento del potenziale di
membrana sotto la soglia di eccitabilità. E' più corretto dunque riscrivere la
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94
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
2.13, specificando l’intervallo di variazione del potenziale V, introducendo il
valore Vth corrispondente alla soglia appena citata.
(2.14) C
dV
= g ⋅ (Vo − V ) + Iext
dt
per V < Vth
Vth è un parametro di fitting, dal momento che la tensione di soglia non è
esplicitamente contenuta nel modello di Morris & Lecar. Si può aggiungere
che nei modelli biofisici come quello di Morris e Lecar e quello di Hodgkin
e Huxley, il valore del potenziale di membrana corrispondente a Vth non è
costante, ma dipende in modo complesso dalla depolarizzazione attuale,
dallo stimolo esterno e dalle proprietà elettriche della membrana.
Nella 2.14, la tensione di soglia stabilisce in modo che verrà definito nel
paragrafo seguente, le caratteristiche del regime periodico del potenziale, e
andrà opportunamente scelta per garantire entro certi limiti, l’equivalenza
con il modello completo nella frequenza media di oscillazione, a parità di
Iext.
Nella figura 2.8, è rappresentato il profilo del secondo membro della 2.11 e
la relativa approssimazione lineare, nell'intorno del punto di equilibrio
descritto. Utilizzando il solito insieme di parametri, oltre a g Ca = 0.7529
mS/cm2 e
g K =1.4948 mS/cm2, si ottiene
g = 0.4799 mS/cm2.
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95
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
40
(mV/msec)
20
0
-20
-40
-60
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
(mV)
~
Fig. 2.8: Rappresentazione di f (V, I ext ) al variare di V, quando Iext =
0µA/cm2. La retta passante per il punto di equilibrio indicato (V=Vrest),
rappresenta l’approssimazione lineare cercata.
2.5
Introduzione delle Non-Linearità
L'equazione appena ricavata dalla 2.11, esclude ogni tipo di non linearità
presente nel modello completo. Si è scelto infatti di mantenere le proprietà
integrative, eliminando la seconda equazione differenziale, ma nulla
impedisce a questo punto di recuperare artificialmente alcune proprietà
fondamentali. Per mimare il comportamento fenomenologico delle 2.7 – 2.8,
si vorrebbe una fase di iperpolarizzazione in tempo molto breve, non appena
V superi la soglia Vth. Nelle ipotesi fatte nel paragrafo precedente, fissato
numericamente un valore per la soglia (Vth = -22.586 mV), occorre soltanto
che V venga riportato al valore di riposo Vo in tempo nullo.
Si è dedotto così il comportamento generale di un nuovo oscillatore a
rilassamento. Questo genere di modello è noto in letteratura, con il nome di
integra-e-spara, data l’espressione dell’equazione che governa il potenziale
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96
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
sotto-soglia, simile a quella di un circuito integratore con perdita (leaky
integrator).
 dV
C
= g ⋅ (Vo − V ) + I ext
(2.15)  dt
V( t o + ) = Vo
per V( t ) < Vth
−
se V( t o ) = Vth
Nell'equazione 2.15, si è indicato con to l’istante generico in cui il potenziale
d’azione attraversa il valore di soglia. Subito dopo questo evento, V assume
il valore di riposo Vo (rilassamento) imitando la fase successiva alla
depolarizzazione della membrana, conseguenza dell’apertura dei canali
potassio nel modello completo, in modo analogo a quanto descritto dalle
equazioni 2.7 – 2.8. Poiché si è supposto che la durata del potenziale
d’azione sia trascurabile rispetto alla normale scala dei tempi di
osservazione, risulta lecito approssimarne la durata a zero.
Le ipotesi sotto cui è stata operata la riduzione, a rigore però non sono più
rispettate, dal momento che è descritta la variazione del potenziale anche per
valori lontani dal valore di riposo. A partire dai risultati delle simulazioni a
calcolatore, si osserva comunque che, seppure la 2.15 risenta di una
notevolissima sensibilità per il valore della soglia, la dinamica per valori di
V<Vth è sorprendentemente irrilevante per la generazione ad un dato istante
di un potenziale d’azione (Destexhe, '97).
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97
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Modello Completo
Modello Integra e spara
40
20
0
(mV)
-20
-40
-60
0
10
20
30
40
50
60
time (msec)
Fig. 2.9: Confronto fra l’evoluzione nel tempo del potenziale di membrana
descritto dalle equazioni 2.7 – 2.8 e 2.15 , utilizzando lo stesso valore di
stimolazione in corrente Iext = 13 µA/cm2 e le medesime condizioni iniziali
per il potenziale di membrana.
Nella figura 2.9 è stato confrontato l’andamento temporale di V con quello
previsto dalla 2.15, nelle stesse condizioni di stimolazione e a parità di
condizione iniziale per V. E' evidente che durante i primissimi istanti, il
comportamento sotto-soglia dei due modelli è pressoché coincidente,
dimostrando la validità della linearizzazione.
Si dimostra che per il modello individuato dalla 2.15, il comportamento
oscillatorio del potenziale di membrana in risposta ad uno stimolo di
ampiezza sufficiente, non ammette limite superiore per la frequenza di
oscillazione. Questa non è una situazione desiderabile, visto l'andamento di
figura 2.3 per il modello completo. La ragione principale di questa
incongruenza rispetto al modello biofisico, è la mancanza di qualunque
refrattarietà, inevitabilmente smarrita avendo soppresso l’equazione 2.8.
Nuovamente tale caratteristica può essere reintrodotta, ripristinando un
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98
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
intervallo temporale τref durante il quale ogni stimolazione di corrente
successiva ad un potenziale d’azione viene ignorata, secondo la definizione
già data per periodo di refrattarietà.
Si determina così l’espressione definitiva (2.16) del modello integra-espara, comprendente la generazione del potenziale d’azione e il tempo di
refrattarietà.
 dV
per V( t ) < Vth
C dt = g ⋅ ( Vo − V) + I ext

(2.16) 
 V( ξ ) = V
ξ ∈[ t o + ; t o + + τ ref ] se V( t o − ) = Vth
o

La figura successiva riporta l’andamento di V secondo la 2.16, utilizzando i
seguenti parametri:
Vo = −49.67 mV
Vth = −22.586mV
I ext = 13µA/cm 2
V(0) = Vo
C = 1µF/cm 2
g = 0.4799mS / cm 2
τ ref = 2m sec
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99
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Modello Completo
Modello Integra e spara con τ
40
= 2 msec
ref
20
0
(mV)
-20
-40
-60
0
10
20
30
40
50
60
time (msec)
Fig. 2.10: Confronto fra l’evoluzione nel tempo del potenziale di membrana
descritto dalle equazioni 2.7 – 2.8 e 2.16, utilizzando lo stesso valore di
stimolazione in corrente Iext = 13 µA/cm2 e le medesime condizioni iniziali
per il potenziale di membrana.
2.6
Analisi del Modello Integra-e-Spara
La convenienza di utilizzare la 2.16 invece del sistema differenziale 2.7 –
2.8, risiede nella possibilità di condurre un’analisi approfondita del
comportamento, e almeno in alcune situazioni consente di determinare
analiticamente alcuni risultati. L’equazione differenziale che descrive il
comportamento del potenziale di membrana per valori inferiori alla soglia
nella 2.16, può essere integrata in forma chiusa, per istanti compresi fra due
attraversamenti successivi della tensione di soglia. Se si considera un
intervallo temporale in cui V(t) < Vth , si ottiene per Iext costante nel tempo
la seguente equazione.
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100
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
g
− ⋅( t − t o ) 
I ext 

C
⋅ 1− e
(2.17) V( t ) = Vo +

g 


∀t : V( t ) < Vth
essendo V( t o + ) = Vo .
L’equazione 2.17 descrive una semplice risposta passiva, di tipo RC: il
potenziale di membrana raggiunge un valore asintotico, esauriti i transitori
di tipo esponenziale decrescente. In formule, lim V( t ) = Vo +
t →∞
3.0
I ext
g
.
Risposta di tipo RC
Iext
2.5
2.0
V
1.5
Vo+Iext/ g
1.0
0.5
Iext
0.0
-5
0
5
10
15
20
t
Fig. 2.11: Andamento temporale generico del potenziale di membrana, nel
caso in cui Iext sia costante e I ext < g ⋅ (Vth − Vo ) , da confrontarsi con la
figura 2.1 (sinistra).
Se il valore di regime non supera Vth, allora la soluzione della 2.16 non è
periodica, in modo analogo a quanto avviene per le 2.7 – 2.8. Viceversa,
sempre in condizioni di corrente costante, in virtù della monotonia crescente
di V(t) (2.17), se esiste almeno un istante t tale che V(t) > Vth, allora per
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101
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Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
quel valore di corrente possono esistere oscillazioni permanenti ed è
possibile determinare analiticamente la frequenza di tali oscillazioni.
Infatti sotto l’ipotesi I ext > g ⋅ (Vth − Vo ) , che assicura l’esistenza di una
soluzione periodica, possiamo scrivere la frequenza come inverso del
periodo di V(t), tenendo conto del periodo di refrattarietà introdotto.
ν=
1
(T + τ ref )
T : V( t o + T) = Vth
g
− ⋅T 
I ext 
=V
C
⇔ Vo +
⋅ 1− e
th


g


Si può invertire questa relazione, esplicitando T in funzione degli altri
parametri: si ottiene un’espressione per la frequenza di attività, valida se la
corrente di stimolazione è costante nel tempo e tale che I ext > g ⋅ ( Vth − Vo ) :
(2.18)
−1

C 


I ext
 + τ ref 
(T + τ ref )-1 =  ⋅ ln
 I − g ⋅ (V − V ) 
ν=
th
o 
 ext
 g


0
I ext > g ⋅ (Vth − Vo )
I ext ≤ g ⋅ (Vth − Vo )
La forma di questa espressione conferma il comportamento altamente non
lineare del sistema e indica un’intrinseca sensibilità alle piccole variazioni
dei parametri, soprattutto per I ext ≈ g ⋅ (Vth − Vo ) . Esiste una soglia a
gradino nel valore di corrente in grado di indurre oscillazioni, ed in un
intorno piccolo di questo valore, si possono avere ampie variazioni della
frequenza corrispondente, come indicato in figura 2.12.
Al variare dell’ampiezza della corrente di stimolazione, per valori piccoli di
Iext, prossimi alla transizione, l'effetto del periodo di refrattarietà è
praticamente assente, mentre per valori molto grandi, l’argomento del
logaritmo della 2.18 tende a diventare prossimo all’unità. In questo caso
particolare, sostituendo all’espressione della frequenza il suo sviluppo in
serie di Taylor, si ottiene:
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102
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(2.19)

(T + τ ref ) ≅ C ⋅ 
g  I ext

− 1 + τ ref ≈ τ ref
− g ⋅ (Vth − Vo ) 
I ext
In altri termini, per grandi valori di Iext, la frequenza di oscillazione tende
asintoticamente ad un limite superiore fissato da τref-1.
0.30
τ
= 1 msec
ref
τ
0.25
= 2 msec
ref
0.20
τ
0.15
τ
= 3 msec
ref
= 4 msec
ref
(kHz)
0.10
0.05
0.00
9
12
15
18
21
( µA/cm 2 )
I
ext
Fig. 2.12: Frequenza delle oscillazioni in funzione dell’ampiezza di corrente
di stimolo, nel modello integra-e-spara (2.16) per diversi valori del periodo
refrattarietà.
Esaminando ancora l’equazione 2.18, il valore della conduttanza g , a parità
degli altri parametri determina la costante di tempo g /C dell’esponenziale, e
quindi la frequenza d’oscillazione. Nella figura 2.13 è stato riportato il
comportamento della frequenza dell’oscillazione del potenziale V al variare
della corrente di stimolo, per tre valori di g .
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103
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0.25
0.20
0.15
(kHz)
= 0,5 mS/cm2
0.10
= 0,55 mS/cm2
0.05
= 0,6 mS/cm2
0.00
12
14
16
18
20
(µA/cm2)
I
ext
Fig. 2.13: Andamento della frequenza al variare di Iext , per differenti valori
della conduttanza g , nel modello integra-e-spara (2.16).
Esaminando l'andamento di figura 2.13, si può concludere che uno stesso
regime di attività elettrica sia ottenibile per differenti valori di corrente di
stimolazione, purché vari opportunamente g . Tale osservazione verrà
ripresa nel capitolo successivo, parlando di fenomeni di ordine superiore
come quello della sintesi proteica.
Esiste un comportamento analogo, fissata la corrente Iext = 13µA/cm2 e
variando il valore di soglia Vth, nella 2.18 (figura 2.14).
0.20
0.15
0.10
(kHz)
0.05
0.00
-28
-26
-24
-22
-20
V (mV)
th
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104
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Fig. 2.14: Andamento della frequenza al variare della tensione di soglia,
fissata la corrente, nel modello integra-e-spara (2.16).
Per ultimo si osserva che nella 2.18, quello che conta non è il valore
assoluto di Vth bensì la distanza (Vth - Vo) dal valore di riposo. Da questo
segue che, a meno di un opportuno cambio di variabile, si può ricondurre la
dinamica della 2.16 a quella di un oscillatore a rilassamento in cui la nuova
variabile di stato sia sempre compresa fra 0 e 1, per il quale la soglia valga
1 e il valore di riposo 0 (Hopfield et al., '95). Questa possibilità verrà
trascurata, dal momento che essa esclude ogni confronto quantitativo con le
considerazioni fatte per il modello completo.
2.7
Stimolazione Tempo-Variante
Si è detto che la formulazione di modelli semplici di eccitabilità per una
memebrana biologica, offre la possibilità di un'analisi teorica delle
condizioni e delle relazioni fra le grandezze del modello. Nel paragrafo
precedente si è studiato il comportamento della 2.16, nel caso di una
stimolazione di corrente costante nel tempo. Nel caso generico, la forma
delle equazioni e l'utilizzo dell'analisi spettrale permette di ricavare
numerose informazioni, in forma quantitativa.
Si consideri a tale proposito, l’equazione del potenziale di membrana sottosoglia 2.20: si suppone noto il valore di V a to, istante che può essere
riguardato come l’ultimo attraversamento della soglia. Si sceglie V(to) = Vo
senza ledere la generalità della trattazione e si riassume nella 2.20
l'equazione in esame.
 dV
C
= g ⋅ (Vo − V ) + I( t )
(2.20)  dt
V( t o ) = Vo
V < Vth
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105
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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La corrente esterna I(t), che figura nella precedente equazione differenziale,
sia per ipotesi una funzione del tempo, appartenente alla classe delle
funzioni integrabili su ogni intervallo chiuso di estremi to e t, e sempre
limitata fra due valori reali Imin e Imax, con Imin < Imax.
Per comodità può essere scelto un cambiamento di variabile per rendere più
chiara la natura del ragionamento che si intende affrontare: si
pone W = V − Vo e ∆ = Vth − Vo , e si riscrive l’equazione differenziale.
 dW
C
= −g ⋅ W + I ( t )
(2.21)  dt
W ( t o ) = 0
W<∆
Questa è un’equazione differenziale del prim’ordine a coefficienti costanti,
la cui soluzione può essere scomposta in un termine di risposta nello stato
zero e in un termine di risposta forzata. La stessa indagine verrebbe
affrontata nell’analisi di un circuito elettrico equivalente, composto da un
generatore indipendente di corrente I(t) applicato al parallelo di un
condensatore di capacità C e di un resistore di conduttanza g . Indicando
con W la caduta di potenziale ai capi del condensatore, si può scrivere
l’espressione di W(t) come somma dell’integrale di convoluzione fra il
segnale di ingresso I(t), e la soluzione dell’equazione omogenea associata
alla 2.21.
Si sceglie convenzionalmente l’asse dei tempi in modo tale che to = 0, così
che l’andamento temporale di W(t) è dato dalla 2.22.
g
t − ⋅( t − τ )
C
0
(2.22) W ( t ) = ∫ e
Dal
momento
∀t > 0
che
⋅
I(τ)
⋅ dτ
C
g
− ⋅( t − τ )
C
e
W<∆
≥0
e
∀t > 0
nelle
ipotesi
in
cui
I min ≤ I( t ) ≤ I max , per la proprietà di monotonia dell’operatore
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106
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
di integrazione che figura nella 2.22, la funzione W(t) risulta sempre limitata
fra due funzioni del tempo:
(2.23)
g
t − ⋅( t − τ )
C
e
0
t − ⋅( t − τ ) I max
I
⋅ min ⋅ dτ ≤ W ( t ) ≤ ∫ e C
⋅
⋅ dτ
0
C
C
g
∫
∀t > 0
In questo modo resta dimostrato che Vmin ( t ) ≤ V( t ) ≤ Vmax ( t ) , dove per
ogni istante Vmin(t) < Vmax(t) essendo Imin < Imax.
g
− ⋅t 
I min 

C
⋅ 1− e
(2.24) Vmin ( t ) = Vo +


g


g
− ⋅t 
I max 

C
(2.25) Vmax ( t ) = Vo +
⋅ 1− e


g


Graficamente tale situazione è rappresentata in figura 2.15.
3
V (mV)
Vth
Vmax(t)
2
1
Vmin(t)
Vo
0
0t
1
2
3
4
5
6
7
o
8
9
10
t+to
Fig. 2.15: Limiti superiore e inferiore, al variare del tempo, per V(t) nelle
ipotesi di corrente di stimolazione I(t) limitata.
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107
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Può essere così dedotta una condizione necessaria per la presenza di un
regime periodico di V(t), in ipotesi molto generali.
Nel caso in cui sia verificata la disuguaglianza
I max
g
< ∆ , segue dalla 2.23
che
(2.26) V( t ) − Vo < Vmax ( t ) − Vo <
I max
g
< Vth − Vo
∀t > to
Formalmente ciò equivale ad dire che: ¬∃ t * : V( t * ) = ∆ , il che implica
l’assenza di comportamento oscillatorio, quale che sia l’andamento
temporale della corrente di stimolazione I(t), purché nel rispetto dell'ipotesi
indicata.
Nel caso in cui non valga
I max
g
< ∆ , in generale nulla può essere concluso a
priori, dal momento che l’andamento di V(t) è strettamente dipendente dalle
variazioni di I(t) e dalla non-linearità intrinseca della 2.16. Posto che esista
comportamento oscillatorio, l’unica conclusione che può essere tratta è che
esso è caratterizzato da una frequenza ν ≤ ν max , con
(2.27) ν max
C 


I max
 + τ ref 
=  ⋅ ln

 g

 I max − g ⋅ ∆ 
Sarà chiaro che
I max
g
−1
> ∆ è soltanto una condizione necessaria, ma non
sufficiente alla generazione di potenziali d’azione nel modello integra-espara. A conferma di quanto detto, possono essere riportati alcuni esempi di
andamento temporale di V(t), per particolari I(t). Per verificare ad esempio,
che la disuguaglianza indicata rappresenta solo una condizione necessaria
ma non sufficiente, si consideri il seguente andamento per I(t):
I( t ) = (α ⋅ C ) ⋅ δ(t )
α<∆
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108
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Sebbene tale funzione sia addirittura non limitata superiormente ossia ,in
termini
matematicamente
non
strettamente
corretti,
vale
che
I max ≈ +∞ ⇒ I max > g ⋅ ∆ , ma il potenziale di membrana non oltrepassa
la soglia Vth e decade al valore di riposo Vo, con un andamento del tipo
esponenziale decrescente:
V( t ) = Vo +
g
− ⋅t
C
α⋅e
Se invece si considera una segnale a rettangolo per I(t), il potenziale di
membrana potrà superare la soglia di eccitabilità in alcuni casi e mantenersi
sotto-soglia in altri, a parità ampiezza Imax nel caso di diversa durata della
stimolazione (vedi figura 2.16).
10
2.0
10
2.0
V
V
I
8
8
I
1.5
max
1.5
max
6
6
I(t)
1.0
V
4
th
I(t)
1.0
V
4
th
0.5
0.5
2
2
0
0.0
0
t
o
2
4
6
t
8
10
12
0
0.0
t0
2
o
4
6
8
10
12
t
Fig. 2.16: A parità di Imax, il potenziale di membrana può o meno
attraversare la soglia.
Dagli esempi fatti si capisce che è il contenuto frequenziale del segnale I(t)
ad essere significativo, più che l'intensità assoluta della stimolazione.
D'altronde, per il modello integra-e-spara il comportamento sotto-soglia del
potenziale di membrana rappresenta l'operatore di integrazione con perdita
che in termini di teoria dei segnali, costituisce un filtro passa-basso in
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109
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
grado di manifestare inerzia alle rapide variazioni delle grandezze temporali
in ingresso.
E’ possibile rendere quantitativa tale osservazione, ricorrendo all'analisi di
Fourier, nel dominio delle frequenze. Si può verificare approssimativamente
che, nel caso in cui il segnale in ingresso abbia un contenuto energetico
significativo entro l'intervallo di frequenze che l'integra-e-spara lascia
passare, a meno di una costante moltiplicativa il segnale V(t) in uscita avrà
andamento temporale molto simile a quello di I(t), almeno finché V(t) < Vth.
La situazione è opposta, nel caso in cui I(t) abbia contenuto energetico
concentrato significativamente per frequenze superiori alla frequenza di
taglio del sistema, definita convenzionalmente a ω = 2π ⋅
g
radianti al
C
secondo. In questo caso il potenziale di membrana risentirà in maniera poco
evidente della stimolazione in corrente.
Si definisca infatti la 2.28, trasformata di Fourier del potenziale V(t), di cui
ammettiamo l'esistenza nelle ipotesi solite di regolarità e integrabilità delle
funzioni considerate.
(2.28) V(ω) = ℑ{V ( t )}
Dalla 2.22 e per le proprietà della trasformazione, è possibile esprimere la
convoluzione di I(t) con la soluzione dell'equazione omogenea associata alla
2.20, come prodotto delle rispettive trasformate di Fourier (2.29).
I(ω)
(2.29) V(ω) = H(ω) ⋅
C
dove
 − g ⋅t

H(ω) = ℑe C ⋅ u ( t )


Si consideri la situazione in cui il limite superiore di I(t) sia I max > g ⋅ ∆ : si
chiede se esiste almeno un istante successivo al riferimento convenzionale
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110
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
dell’asse dei tempi, in cui si abbia attraversamento della soglia di
( )
eccitabilità; formalmente ∃ ? t * : V t * = Vth .
Per definizione di antitrasformata di Fourier, tale proposizione può essere
riscritta in funzione delle antitrasformate, ossia
{ }
(2.29) Vth = ℑ −1 V(ω)
t = t*
Dalla 2.2, segue allora
(2.31) Vth =
1 +∞
⋅
2π ∫−∞


 H(ω) ⋅ I(ω)  ⋅ e j⋅ω⋅t* ⋅ dω

C 

Se per esempio consideriamo un segnale sinusoidale come sollecitazione
della 2.20, del tipo
I( t ) = I max ⋅ cos(ωo ⋅ t + ϕ) ⇒ I(ω) ∝ δ(ω + ωo ) + δ(ω − ωo )
si può concludere che, solo se la frequenza della sinusoide in ingresso è più
piccola della frequenza di taglio del sistema può esistere un valore di t per il
quale possa verificarsi un attraversamento della soglia; questo non può
accadere, sebbene
ωo < ω


ω > ω
 o
I max
g
( )
>∆.
(
V t * ∝ cos ωo ⋅ t * + φ
( )
V t* ≈ 0
)
∀ t*
E' possibile una conclusione ancora più generale, partendo dalle
considerazioni di tipo energetico citate in precedenza. Si consideri la
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111
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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trasformata H(ω) della risposta all’impulso del sistema 2.20: in prima
approssimazione, essa può essere sostituita da quella corrispondente ad un
filtro passa-basso ideale. Allora, a meno di una costante moltiplicativa, la
2.31 prende la forma seguente :
(2.32) Vth ≈ ∫
ω
I(ω) ⋅ e j⋅ω⋅t ⋅ dω
*
−ω
Maggiorando opportunamente il modulo del secondo membro della 2.32 si
ottiene:
(2.33)
dove
ω
j⋅ω⋅t
∫−ω I(ω) ⋅ e
M=
*
⋅ dω ≤ ∫
max
(
ω∈ − ω ; ω
ω
−ω
I(ω) ⋅ e j⋅ω⋅t ⋅ dω ≤ ∫
*
ω
−ω
M ⋅ e j⋅ω⋅t ⋅ dω = M ⋅ 2ω
*
) I(ω) .
Questa quantità allora rappresenta una misura dell'energia del segnale I(t),
nell'intervallo di frequenze ammissibile. Soltanto se M è sufficientemente
grande la 2.32 è verificata, ovvero esiste un valore di t, in corrispondenza
del quale il potenziale di membrana oltrepassa il valore di soglia Vth.
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112
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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2.8 Modello Integra-e-Spara Stocastico
A confronto con la trattazione non deterministica affrontata nel primo
capitolo, il modello integra-e-spara non può essere descritto in termini
stocastici, dal momento che nel procedimento di semplificazione e
riduzione formale sono state perdute le caratteristiche della modellistica
discreta. Al secondo membro della 2.16, figura adesso un unico tipo di
corrente ionica, a descrivere la proprietà passive di permeabilità alle varie
specie ioniche senza alcuna distinzione, ed il potenziale di equilibrio
nernstiano equivalente Vo, non è più esprimibile in forma chiusa come
funzione delle concentrazioni ioniche interne ed esterne. Inoltre, la forma
matematica di tale corrente ionica è priva della caratteristica dipendenza dal
potenziale e dal tempo, nel valore della conduttanza globale, che è
identicamente costante.
Allo stesso modo in cui sono state reintrodotte le proprietà stereotipate dei
modelli complessi, i fenomeni di fluttuazione casuale del potenziale di
membrana a seguito dell'effetto macroscopico del cosiddetto rumore di
membrana, possono essere recuperati e analizzati con gli stessi strumenti
matematici della meccanica statistica, già descritti nel primo capitolo.
Il comportamento sotto-soglia del potenziale di membrana V(t) nella 2.16,
obbedisce ad un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti i cui
parametri fondamentali sono rappresentati dalle grandezze elettriche come
la capacità C per unità di superficie e la conduttanza g per unità di
superficie, e dalla forma generica della corrente esterna.
Ripetendo le considerazioni fatte nel primo capitolo per le 1.34 - 1.35, si
può descrivere per V < Vth l'andamento di potenziale per un patch di
membrana di estensione S, nella solita ipotesi di space clamp.
(2.34) (C ⋅ S)
( )
dV
= g ⋅ S ⋅ (Vo − V ) + I( t )
dt
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113
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Dividendo ambo della 2.34 per S, si ottiene
(2.35) C
dV
I( t )
= g ⋅ (Vo − V ) +
dt
S
dove V è in mV, t in millisecondi e la corrente esterna in µA. Se si
considera il cambiamento di variabile 2.36, e si impone che la corrente sia
un processo stocastico gaussiano δ-correlato, si può ricondurre la 2.35 ad
un'equazione lineare monodimensionale di Langevin (2.37).
(2.36) U = V − Vo
(2.37) C
U ( t o ) = 0
⇒ 
U th = Vth − Vo
dU
I( t )
= −g ⋅ U +
dt
S
E{I( t )} = 0

2
E{I( t ) ⋅ I( t + τ)} = σ ⋅ δ(τ)
Per la precisione, rinominando alcune costanti e mettendo in evidenza la
densità spettrale di potenza σ2 del rumore, si può riferire l'evoluzione di
U(t), e quindi di V(t), al processo stocastico noto come processo di
Ornstein-Uhlenbeck. In questo caso particolare, la densità di distribuzione di
probabilità del processo stocastico U(t) è nota, attraverso la soluzione in
forma chiusa dell'equazione di Fokker-Plank associata alla 2.38.
(2.38)
dU
σ
= −α ⋅ U +
⋅ η( t )
dt
2 ⋅ C ⋅S
dove α =
E{η( t )} = 0

E{η( t ) ⋅ η( t + τ)} = 2 ⋅ δ(τ)
g
C
L'equazione di Fokker-Plank per W(U,t), densità di distribuzione di
probabilità del processo markoviano U(t), è riportata di seguito sulla base
delle considerazioni svolte nell'appendice A.
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114
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(2.39)
2
∂
∂
(− α ⋅ U ⋅ W ) + ∂ 2 (D ⋅ U )
W=−
∂t
∂U
∂U
Il primo coefficiente
−α⋅U
D=
σ2
2 ⋅ C 2 ⋅ S2
dell’espansione di Kramers-Moyal, o
coefficiente di drift, ammette in questo caso una funzione potenziale
analiticamente determinabile (si veda la figura 2.17), che porta alla
definizione dell’equazione di Smoluchowski per W(U,t).
U
(2.40) f ( U) = ∫ α ⋅ x dx =
1
⋅ α ⋅ U2
2
∂
 ∂
∂2 
 W = −
(
− f ’( U) ) − D ⋅
W
2
(2.41)  ∂t
U
∂
∂
U


W ( U,0) = 1 ⋅ δ( U − 0)

dove si è indicato con f ', la derivata prima della funzione f
rispetto
all'argomento U.
La soluzione della 2.41 è nota: il processo U è caratterizzato dalla densità di
distribuzione Maxwelliana (2.42), distribuzione non stazionaria che a
regime tende a diventare normale.
(2.42) W ( U, t ) =
α
2π ⋅ D ⋅ (1 − e −2⋅α⋅( t − t o ) )
⋅e
−
α⋅ U 2
2⋅D⋅(1−e − 2⋅α ⋅( t − t o ) )
Invertendo la trasformazione 2.36, allora si ricava la densità di distribuzione
di probabilità per V(t) sotto-soglia.
~
(2.43) W
(V, t ) = W (V − Vo , t ) =
g ⋅ C ⋅S
⋅ e
g

− 2⋅ ⋅( t − t o ) 

π ⋅ σ 2 ⋅ 1 − e C




2
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−
g⋅C⋅S2
g
− 2⋅ ⋅( t − t o )
(1− e C
)
⋅
( V −Vo )2
σ2
115
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
2.9 Formula di Kramers e Attività Spontanea
La 2.43 costituisce un risultato molto interessante. Come poteva anche
essere dimostrato in altri modi, il valore atteso di V(t) quando I(t) sia un
processo gaussiano bianco e a media nulla, coincide a regime con il
potenziale Vo di riposo, ovvero soddisfa l’equazione deterministica che si
trova applicando l’operatore di valore atteso ad ambo i membri della 2.35.
Inoltre la varianza di V(t), ovvero misura dell’incertezza del valore V(t), è
una funzione del tempo che parte da zero all'istante iniziale, nel quale per
definizione è noto il valore di V con probabilità unitaria, per poi raggiungere
asintoticamente un valore di regime dipendente dai parametri elettrici,
geometrici e dalla potenza del rumore I(t), secondo un andamento a costante
di tempo C / g .
Il potenziale di membrana è quindi soggetto a fluttuazioni statisticamente
significative quanto maggiore è la varianza. In assenza di qualunque altro
termine deterministico di stimolazione, V(t) può attraversare la soglia di
eccitabilità Vth generando un potenziale d’azione, con probabilità non nulla.
Questo tipo di attività elettrica può essere riguardata come attività
spontanea, nelle stesse ipotesi esaminate per il modello biofisico complesso,
e la frequenza media di oscillazione del potenziale V(t) può essere
nuovamente paragonata ad un problema di fuga da una buca di potenziale.
Nel caso dell'integra-e-spara, diventa più intuitivo l'utilizzo della formula di
Kramers per la determinazione del tempo medio di fuga di una particella,
soggetta ad un campo di forze. Per come è stata dedotta la 2.43, è evidente
che l'istante iniziale to, può assumere il significato più generale di istante in
cui deterministicamente sia noto il valore del potenziale di membrana. Dal
momento che la condizione di attraversamento della soglia dà luogo ad
un'immediata iperpolarizzazione e quindi ad un reset deterministico di V al
valore Vo, si può considerare to come coincidente con un qualunque istante
di attraversamento di Vth.
In media, la frequenza di occorrenza di questo evento, coincide su un tempo
di osservazione molto elevato, con la probabilità del primo attraversamento
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116
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
di Vth. Questa prospettiva discende direttamente dall’interpretazione
frequenziale del concetto di probabilità di un evento, ed è tanto più realistica
(si veda la disuguaglianza 1.93) quanto più lungo è il tempo di osservazione
della dinamica descritta dalla 2.35.
15
f(V)
f(V)
10
5
0.5 α V
2
th
00
∆f
η(t)
0
-5
-10
0
-15
-2
Vth
-1
0
V
1
V
th
2
V
Fig. 2.17: Profilo della funzione potenziale per il processo V(t) per I(t) a
valore medio nullo (sinistra), e per valori positivi crescenti dello stesso
(destra), nel modello integra-e-spara.
Come indicato nell'appendice A, l'ipotesi fondamentale di applicazione della
formula di Kramers è la seguente:
∆f
>> 1
(2.44)
D
dove
g ⋅ (Vth − Vo )
∆f =
2⋅C
2
σ2
D=
2 ⋅ C 2 ⋅ S2
Imporre la condizione 2.44, equivale a studiare il caso
g ⋅ (Vth − Vo )
σ2
(2.45)
>>
2⋅C
2 ⋅ C 2 ⋅ S2
2
quindi
σ 2 << g ⋅ C ⋅ S 2 ⋅ (Vth − Vo )2
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117
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
La 2.45 stabilisce quindi un limite superiore alla potenza associata alla
corrente stocastica I(t), per la quale sia possibile prevedere la frequenza
media di oscillazione nel modello stocastico di integra-e-spara (2.35). In
queste ipotesi, specializzando la formula di Kramers per le 2.40 – 2.41, si
dimostra la 2.46.
−
g
(2.46) R k ≈
⋅e
2π ⋅ C
g⋅C⋅S2 ⋅(Vth − Vo )2
σ2
Dalla 2.46 è evidente che esiste un limite superiore anche per la frequenza
di fuga Rk, in virtù della 2.44:
(2.47) R k <<
g
2π ⋅ C ⋅ e
L'espressione definitiva per la frequenza media di attività spontanea nel
modello integra-e-spara non deterministico deve comunque tenere conto
della refrattarietà introdotta nella 2.16, e in analogia con quanto fatto per il
caso deterministico, vale che

1 

(2.48) ν =  τ ref +
R

k 
−1
e

2π ⋅ C ⋅ e 

ν <<  τ ref +

g


−1
Dal momento che nella 2.48 compare una dipendenza dai molti parametri
elettrici e geometrici del modello, il confronto della previsione teorica con
le simulazioni al calcolatore dell'equazione differenziale stocastica 2.35 (si
veda l'appendice B) è stato effettuato in condizioni particolari. Innanzitutto,
il processo aleatorio I(t) è stato realizzato a calcolatore tramite un algoritmo
di generazione di un rumore gaussiano e bianco n(t), a valore medio nullo e
varianza unitaria: per definizione di varianza di una variabile aleatoria,
allora I(t) = σ n(t) ha varianza σ2.
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118
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
I( t )
 dV
C
= g ⋅ (Vo − V ) +
(2.49)  dt
S
I( t ) = σ ⋅ n ( t )
Per comodità si riscrive l'equazione stocastica precedente, mediante il
cambiamento di variabile già definito, ottenendo
(2.50)
dU
σ
= −α ⋅ U +
⋅ n (t )
dt
C ⋅S
E{n ( t )} = 0

E{n ( t ) ⋅ n ( t + τ)} = 1 ⋅ δ(τ)
In modo equivalente, vale allora anche che
(2.51)
dU
= −α ⋅ U + ξ ⋅ n
dt
ξ=
σ
S⋅C
∆ = Vth − Vo
In questa formulazione la 2.48 può essere scritta come
1
ν=
τ ref
C
+ 2π ⋅   ⋅ e
g
g⋅C⋅S2 ⋅∆2
σ
1
oppure ν =
α⋅∆2
τ ref + 2π ⋅ α −1 ⋅ e
2
ξ2
Ricorrendo alle tecniche dell'analisi dimensionale, è stato individuato un
gruppo di coefficienti, complessivamente privo di dimensioni fisiche, a cui
può essere riferita la verifica dell'accuratezza della 2.48. Per semplicità si è
scelto α = 1msec-1.
(2.52) ν =
1
τ ref + 2π ⋅ e
ξ
 
∆
−2
Le simulazioni al calcolatore dell'equazione 2.51, con α = 1msec-1 e τref =
2msec, sono state eseguite per sei volte inizializzando con semi diversi
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119
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
l’algoritmo di generazione dei numeri pseudocasuali, valutando la frequenza
di oscillazione di U su di un intervallo di osservazione temporale di 10
secondi, per ciascun valore di (ξ / ∆). Nella figura seguente vengono
riportati i risultati, insieme al grafico della 2.52.
300
200
Hz
100
0
0
1
2
3
4
5
ξ/∆
Fig. 2.18: Confronto fra la previsione teorica e la simulazione a
calcolatore, per la frequenza media di attività elettrica nel modello integrae-spara stocastico.
E’ importante osservare che la condizione 2.45 diventa (ξ / ∆)2 <<1, da cui
(ξ / ∆) <<1, per la positività di ξ e di ∆: solo per valori inferiori all'unità, i
risultati delle simulazioni sono in accordo con la previsione teorica. In
generale poi, si può affermare che il comportamento effettivo del sistema,
per valori di (ξ / ∆) molto grandi, è superiormente limitato, dal momento
che è stato incluso il periodo di refrattarietà.
Nella figura 2.19, si riporta un dettaglio dello stesso grafico, insieme
all'andamento (2.53) del limite superiore stabilito dalla 2.47, rappresentato
con un tratteggio.
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120
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(2.53) ν max =
(ξ / ∆ ) 2
2 ⋅ e + (ξ / ∆ ) 2 ⋅ τ ref
140
120
100
80
Hz
60
40
20
0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
ξ/∆
Fig. 2.19: Dettaglio della figura 2.18, per valori dell’ascissa entro
l'intervallo di ammissibilità della formula di Kramers.
Ancora riguardo la 2.53, si osserva che per (ξ / ∆) >>1 esiste un asintoto
orizzontale a τref-1.
L’andamento della 2.52 per valori di α qualunque è riportato nella figura
seguente, in cui a partire dalle stesse ipotesi sulla validità della formula di
Kramers si conclude che, a parità di (ξ / ∆), l'approssimazione teorica è
tanto migliore, quanto più è grande α, ovvero quanto più è piccola la
costante di tempo del sistema. In altre parole, questa situazione si verifica
quanto più il processo V(t) tende a diventare un processo di Wiener, ovvero
il processo in uscita da un integratore ideale alimentato da un rumore
gaussiano e bianco. Inoltre si può osservare anche che, fissando α
l'approssimazione è migliore quanto più piccolo è (ξ / ∆) , ossia quanto più è
grande ∆. Questo significa allontanare il valore di riposo da quello di soglia,
in modo tale che sia richiesto più tempo per raggiungere quest'ultimo:
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121
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
matematicamente questo corrisponde a verificare tanto meglio la
stazionarietà delle proprietà statistiche di V.
300
ν
250
max
200
Hz
150
100
α
50
0
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
ξ/∆
Fig. 2.20: Andamento delle curve teoriche al variare di α.
Per quanto riguarda invece la dipendenza della 2.48 dall'estensione del
patch di membrana plasmatica in esame, si dimostra facilmente che è dello
stesso tipo di quella ricavata per i modelli stocastici complessi, nel primo
capitolo. Si può infatti riscrivere la 2.52 nel modo seguente:
1
(2.54) ν =
−1
τ ref + 2π ⋅ α ⋅ e
S
 
θ
2
dove
θ=
σ
α ⋅C⋅∆
Nelle solite ipotesi, la 2.54 vale quando S / θ >> 1, e per tale condizione si
può trascurare τref rispetto all'esponenziale, al denominatore:
(2.55) ν ≅
α
⋅e
2π
S
− 
θ
2
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122
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Quest’ultima equazione stabilisce la dipendenza, monotona decrescente,
della frequenza di attività spontanea in funzione dell'estensione del patch di
superficie.
2.10 Previsione dell’Intervallo inter-spike
Si definisce inter-spike interval (ISI) l'intervallo di tempo durante il quale il
potenziale di membrana permane sotto soglia, senza cioè generare alcun
potenziale d’azione. Questa grandezza è probabilmente un indicatore
notevole dello stato di attività di un neurone, e della codifica
dell'informazione nervosa. Nel contesto del paragrafo precedente, è
possibile caratterizzare le proprietà statistiche di tale grandezza,
determinarne la densità di distribuzione di probabilità, e confrontare le
previsioni teoriche con le simulazioni al calcolatore.
L'equazione 2.46, derivata direttamente dalla formula di Kramers per
descrivere la frequenza media di attività spontanea, andrebbe a rigore
interpretata in modo differente da una frequenza media di fuga. Quella
formula fornisce una stima della probabilità di unico attraversamento della
soglia Vth per unità di tempo, per il modello integra-e-spara, esprimendo il
fatto che
(2.56) Pr{unico attravers. in [t ; t + ∆t ]} = R k ⋅ ∆t
Per semplicità si consideri il caso in cui τref = 0 msec; in questo caso, e in
maniera analoga a quanto osservato per il tempo di vita medio, nel paragrafo
1.9, possiamo ricavare la seguente quantità, passando dal discreto al
continuo.
T
(2.57) Pr{T < TISI ≤ T + dT} = lim (1 − R k ⋅ ∆t ) ∆t ⋅ R k ⋅ (T + ∆t − T )
∆t →0
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123
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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La 2.57 rappresenta la distribuzione di probabilità, o cumulativa, della
variabile aleatoria TISI. La derivata rispetto a T della 2.57 è per definizione
la densità di distribuzione di probabilità 2.58:
(2.58) p ISI (T) =
d
Pr{T < TISI ≤ T + dT} = R k ⋅ e − R k ⋅T
dT
Coerentemente con lo schema di interpretazione adottato, e in modo simile
al caso del tempo medio di vita dello stato interno di un canale proteico,
l'inverso del valore atteso di TISI esprime proprio il tasso medio di
generazione di un potenziale d'azione. Infatti,
(2.59) E{TISI } = ∫
+∞
0
TISI ⋅ p ISI (T) dT =
1
Rk
Nel caso generale in cui il periodo di refrattarietà τref sia non nullo, dal
momento che esso è una quantità deterministica, la 2.58 può essere
generalizzata, osservando che sicuramente TISI ≥ τ ref e quindi la probabilità
che TISI assuma valori inferiori all'intervallo di refrattarietà è nulla. In
generale vale che
0
(2.60) p ISI ( T) = 
− R k ⋅( T− τ ref )
⋅ u( T − τ ref )
R k ⋅ e
T < τ ref
T ≥ τ ref
La validità di questa espressione, dove U rappresenta la funzione gradino
unitario, è la medesima della formula di Kramers (2.44).
Nella figura seguente viene confrontato l'andamento della 2.60, con i
risultati delle simulazioni a calcolatore: la densità di distribuzione di
probabilità è approssimata dall'istogramma delle frequenze relative,
utilizzando un periodo di osservazione pari a 10 secondi, α = 1, (ξ / ∆) = 1 e
τ = 2msec.
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Rk e
0,15
R k (T ISI - τ ref)
U(T ISI - τ ref)
0,10
0,05
0,00
0 2
5
10
15
20
25
30
35
40
T ISI (msec)
Fig. 2.21: Istogramma dell’inter-spike interval (valore medio di TISI =
7.06msec) per il modello integra-e-spara, a confronto con la previsione
della 2.60.
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125
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Capitolo 3
Processi Dipendenti dall’Attività
Elettrica: la Sintesi Proteica
3.1 Espressione Proteica e Conduttanze di Membrana
Nel primo capitolo è stato introdotto il concetto di canale proteico, come
dispositivo molecolare capace di modulare le caratteristiche di permeabilità
ionica della membrana, variando il proprio stato conformazionale. Per
ipotesi, il numero totale di canali ionici Nmax
h
è stato sempre assunto
costante nel tempo, o in altri termini si è supposto sempre che una
variazione della densità superficiale delle proteine di membrana fosse
trascurabile nella scala temporale di interesse (millisecondo). L’analisi
dettagliata delle relazioni e dipendenze funzionali delle grandezze elettriche,
condotta nel capitolo 2, ha chiarito il repertorio di comportamenti che i
modelli deterministici e stocastici sono in grado di prevedere, insieme con la
sostanziale tempo-invaranza degli stessi e la accentuata sensibilità alle
variazioni di alcuni parametri (si vedano le figure 2.3 e 2.5).
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126
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Esiste in verità, una vasta evidenza sperimentale che tale interpretazione dei
fenomeni neuronali sia errata, quando si consideri una scala temporale più
lenta, comune ai processi metabolici come l’espressione genetica e la sintesi
proteica. Inoltre, i neuroni biologici mantengono stabilmente le proprie
caratteristiche elettriche in una varietà di condizioni diverse, nonostante la
crescita cellulare, la rimozione proteica dei canali di membrana e la
variabilità della composizione ionica extracellulare. La sintesi dei canali
ionici e il successivo trasporto in zone appropriate, deve essere un processo
che avviene continuamente dal momento che, nella maggior parte dei casi
una cellula nervosa accompagna la vita dell'animale per tutto il suo corso
(LeMasson et al., ’93). Questo significa che nell'ottica embriogenetica come
in quella ontogenetica, il meccanismo di controllo della distribuzione dei
recettori di membrana e dei canali ionici, deve comunque garantire una
stazionarietà di comportamento, in condizioni qualsiasi.
In tale prospettiva, appare delinearsi più chiaramente l’idea che una cellula
nervosa possa modificare le proprie caratteristiche intrinseche, al fine di
mantenere un particolare programma di attività elettrica, indotto dal
differenziamento cellulare. Sperimentalmente, è stata data dimostrazione di
una quantità di meccanismi dipendenti dall’attività elettrica, quali la
plasticità sinaptica (Nelson et al., ’89), i meccanismi dipendenti dalla
concentrazione di calcio intracellulare (Fields et al., ‘92; van Ooyen, ’94),
l’attivazione neuronale di geni regolatori, le variazioni strutturali
(Turrigiano et al., ’95) e la reattività ai fattori neurotrofici durante la
sinaptogenesi (Barinaga, ’95).
Recentemente, diversi autori hanno proposto alternative al modello biofisico
di membrana eccitabile, originariamente formulato da Hodgkin e Huxley,
con lo scopo di definire il ruolo di nuove dipendenze funzionali, e di
studiare l’impatto dei fenomeni che avvengono nell’arco dei secondi e delle
ore.
In particolare, in questo capitolo sarà esaminato il ruolo della sintesi
proteica nella modulazione delle proprietà elettriche di una cellula nervosa.
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127
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Dal punto di vista della robustezza, ovvero la capacità di mantenere
un’attività stabile anche in condizioni di generale disturbo esogeno o
endogeno, si comprende come i processi biochimici che presiedono alla
sintesi delle strutture proteiche costituenti i canali di membrana, debbano
essere coinvolti in un sofisticato meccanismo di stabilizzazione e
regolazione dinamica.
In altre parole, viene escluso il vincolo iniziale di considerare tempoinvariante il numero massimo di canali proteici in un patch di membrana
cellulare. Per i modelli deterministici di membrana eccitabile, questo
equivale a considerare le conduttanze massime di membrana, funzioni del
tempo. Poichè i processi di sintesi e degradazione proteica sono stati spesso
correlati con la presenza o la variazione temporale di opportuni composti
chimici, fra cui il calcio intracellulare, appare motivata la scelta di
considerare la sua concentrazione, come un indicatore dell’attività elettrica
(LeMasson et al., ’93; Abbott et al., ‘93).
Per esempio, l'espressione di particolari geni e l’attivazione di numerose fasi
del ciclo cellulare sono fenomeni che risentono in modo sensibile di
un’aumento nei livelli della concentrazione di tale ione. Questa oltre ad
essere influenzata dall’apertura di opportuni canali, attivati dai recettori di
membrana (chemical gated), può variare sensibilmente in base al succedersi
della fase di depolarizzazione del potenziale d’azione, per via dell’apertura
dei canali calcio (voltage-gated).
3.2 La Dinamica del Calcio Intracellulare
Si vuole studiare l’evoluzione temporale della concentrazione intracellulare
di ioni Ca2+. Per semplicità, continueranno ad essere trascurati i meccanismi
proteici di trasporto attivo (pompe ioniche), e l’influenza dei meccanismi di
sintesi e rimozione che li riguardano. Come è stato già discusso all’inizio
del primo capitolo, in prima approssimazione, i meccanismi di trasporto
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128
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
attivo contribuiscono solo a mantenere costante nel tempo il rapporto fra le
concentrazioni ioniche ai capi della membrana, e di conseguenza i potenziali
di equilibrio nernstiano.
Una trattazione matematica più precisa dovrebbe almeno considerare il fatto
che durante ogni potenziale d’azione, viene scambiata attraverso la
membrana una certa quantità di ioni Na+, K+, Cl-, e Ca2+.
Per definizione di capacità elettrica di una membrana, è possibile mettere in
relazione una variazione di potenziale elettrico con la variazione indotta
nella quantità di carica presente.
(3.1)
C=
∆Q
∆V
Nella definizione precedente, ∆V rappresenta la variazione complessiva del
potenziale elettrico durante un potenziale d’azione, approssimativamente
pari a 100mV. Sapendo che C = 1µF/cm2 per la maggior parte delle cellule
nervose, la variazione complessiva della carica elettrica, associata alle
specie ioniche in transito attraverso la membrana, è calcolabile come:
(3.2)
∆Q = 100 nC
cm 2 ⋅ potenziale d’azione
Ricordando che la carica elementare dell’elettrone vale 16
. ⋅ 10 −10 nC , e
indicando con zh la valenza della specie h-esima, il numero totale di ioni
scambiati con l’esterno durante un potenziale d’azione è dato dal conto
riportato nelle 3.3 e 3.3a.
(3.3)
∆Q = ∑ n h ⋅ z h ⋅16
. ⋅10 −10 nC = 100nC
h
(3.3a)
∑n
h
h
⋅ z h = 6250
cm 2 ⋅ AP
µm 2 ⋅ AP
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129
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Resta allora dimostrato che, nel caso in cui vi sia una sola specie chimica
monovalente, il numero di ioni scambiati durante un potenziale d’azione è
pari circa a 6000, per µm2 di membrana cellulare. Questo ordine di
grandezza è indicativo del fatto che le concentrazioni intracellulare e
extracellulare non subiscono alterazioni significative, almeno per quanto
riguarda gli ioni sodio, cloro e potassio. Ma nel caso di altre specie
chimiche, presenti in concentrazioni molto basse all’interno della cellula
come il calcio, l’influsso ionico conseguente ad un potenziale d’azione
potrebbe indurne una variazione più consistente.
Si è detto comunque che viene trascurato l’effetto delle pompe ioniche,
mantenendo ad un valore fissato il rapporto delle concentrazioni fra interno
ed esterno. Questo non impedisce che localmente, la concentrazione
intracellulare di ioni Ca2+ possa subire significative variazioni e fungere così
da meccanismo di trasduzione di informazione all’interno della cellula. Fra
l’altro, nella descrizione di fenomeni di diverso tipo, quali il bursting e
l’abituazione sensoriale, molte proprietà elettriche vengono fatte dipendere
da tale ione che appare un intermediario quasi onnipresente, nei processi di
regolazione cellulare.
Per studiare questi effetti, si vuole formulare un modello generale, capace di
mettere in relazione l’attività elettrica di un neurone con l’evoluzione
temporale della concentrazione di calcio. Una trattazione ridotta dello stesso
sistema dinamico consentirà sotto certe approssimazioni, di dimostrare che
il valore della concentrazione intracellulare di ioni Ca2+ è proporzionale alla
frequenza media di attività elettrica di un neurone.
A questo proposito, si consideri un volume Ω racchiuso da una superficie
qualunque, di estensione Σtot e uniformemente permeabile al passaggio di
ioni Ca2+: sia [ Ca] IN la concentrazione volumetrica di tale specie ionica
all’interno del volume. Nel caso di concentrazione volumetrica uniforme, il
numero totale di ioni calcio interni alla superficie indicata, all’istante t, è
espresso dalla 3.4.
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130
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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(3.4)
N o ( t ) = ([Ca]IN ⋅ Ω) t
Con questa definizione, fissato un intervallo temporale infinitesimo ∆t, la
variazione del numero di ioni calcio interni alla superficie descritta, risulta
necessariamente pari al flusso ionico netto entrante nel volume Ω, nell’unità
di tempo (3.6), in virtù della legge di bilancio di massa.
Il flusso ionico citato è in generale somma di due contributi: un termine
dovuto alla corrente ionica calcio (ΦCa), e l’altro dovuto al decadimento
spontaneo, connesso ai fenomeni di diffusione passiva e ai meccanismi di
trasporto attivo. Quest’ultimo contributo è formalizzabile da uno schema
cinetico del prim’ordine, tempo-invarante.
[ Ca] IN →[ Ca]OUT ⇔ − k ⋅ ∆t ⋅ ([ Ca] IN ⋅ Ω)
k
(3.5)
(3.6)
([Ca]
IN
⋅ Ω) t + ∆t − ([Ca]IN ⋅ Ω) t
∆t
= Φ Ca −
k ⋅ ∆t ⋅ ([Ca ]IN ⋅ Ω) t
∆t
Per quanto concerne il termine ΦCa, esistono due metodi di descrizione: il
primo si basa sul modello continuo e uniforme di membrana permeabile, nel
quale la densità di corrente di conduzione ionica viene supposta uniforme in
ogni punto della superficie. Alternativa a questo, è il modello discreto, in cui
l’entrata di molecole è localizzata attraverso i canali ionici, distribuiti
uniformemente con densità ρCa.
Si esamini il primo approccio: dalla definizione di corrente ionica calcio,
segue che
(3.7)
Φ Ca =
∫∫
Σ tot
( − I ) ⋅ ∆t ⋅ dS
Ca
z Ca ⋅ e
∆t
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131
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
dove e è la carica elementare dell’elettrone e zCa la valenza dello ione Ca2+.
Si nota la presenza del segno meno, davanti al valore assoluto dell’intensità
della corrente ionica calcio: in accordo con i gradienti chimici discussi nei
primi paragrafi del capitolo 1 e riportati nella tabella 1.1, il verso della ICa è
convenzionalmente scelto diretto all’esterno del soma cellulare, mentre per
definizione il flusso che qui si vuole determinare è entrante. La 3.7 può
essere riscritta in modo equivalente, utilizzando l’ipotesi che la densità di
corrente sia la stessa in ogni punto della membrana, e che possa così essere
portata fuori dal segno di doppia integrazione.
Φ Ca =
(3.8)
( − I ) ⋅ ∆t ⋅ Σ
Ca
z Ca ⋅ e ⋅ ∆t
tot
=
(− I ) ⋅ Σ
Ca
z Ca ⋅ e
tot
Facendo tendere a zero l’intervallo temporale ∆t, la 3.6 assume la forma di
una equazione differenziale.
d ([Ca]IN ⋅ Ω) t
(3.9)
dt
=−
I Ca
⋅ Σ − k ⋅ ([Ca]IN ⋅ Ω) t
z Ca ⋅ e tot
Dividendo ambo i membri per il volume Ω, la 3.9 diventa l’equazione
finale, che descrive la dinamica del calcio intracellulare:
(3.10)
d[Ca]IN
= − k ⋅ ( A ⋅ I Ca + [Ca]IN )
dt
La costante A rappresenta un fattore geometrico, che nel caso di una
superficie sferica, è inversamente proporzionale al raggio r:
A∝
3
r
mentre nel caso generale, A è data dalla 3.11.
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132
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(3.11) A =
Σ
1
⋅ tot
z Ca ⋅ e ⋅ k Ω
Considerando il secondo metodo per la determinazione della forma del
flusso ionico ΦCa, si scriva il contributo totale al flusso di materia entrante
come composizione dei flussi elementari attraverso gli Nmax Ca canali ionici,
selettivi al calcio:
(3.12) Φ Ca =
( − I i ) ⋅ dS
N max Ca
∑ ∫∫ z
i =1
Σi
Ca
⋅e
i
Nella 3.12, si è già semplificata la quantità ∆t, e con Σi si è intesa la sezione
di passaggio del canale generico. Nell’ipotesi che tale sezione sia
sufficientemente piccola da indurre un flusso uniforme di corrente, e che
questo sia pari a I per tutti i canali, tutti di eguale sezione Σ, si può portare
fuori dalla sommatoria l’integrale doppio, e fuori dall’integrale la corrente I.
Esprimendo infine Nmax Ca = ρCa Σtot, si conclude che
(3.13) Φ Ca = ρ Ca ⋅ Σ tot ⋅
( − I) ⋅ Σ
z Ca ⋅ e
Al variare di t, la quantità Ψ ( t ) =
( − I) ⋅ Σ
z Ca ⋅ e
rappresenta dimensionalmente il
numero totale di ioni entranti nell’unità di tempo, attraverso un singolo
canale ionico nello stato aperto. Per le considerazioni già fatte sulla cinetica
di apertura e chiusura dei canali proteici, intesi come unità discrete e
funzionalmente bistabili fra uno stato attivo e diversi stati di inattività,
trascurando le fluttuazioni spontanee è possibile approssimare il
comportamento intrinsecamente stocastico di quel termine (figura 3.2), con
quello medio deterministico riportato nella figura seguente.
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133
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Figura 3.1: Andamento medio della corrente ionica, attraverso un singolo
canale ionico, nell’ipotesi di ergodicità dei processi stocastici della
membrana.
Figura 3.2: Andamento temporale simulato, della corrente ionica reale
attraverso un singolo canale.
Nelle stesse condizioni di prima, facendo tendere a zero l’intervallo
temporale ∆t, si giunge alla 3.14 e quindi alla 3.15.
(3.14)
(3.15)
d([Ca]IN ⋅ Ω) t
dt
= −ρ Ca ⋅ Σ tot ⋅ Ψ − k ⋅ ([Ca]IN ⋅ Ω) t
d[Ca]IN
ρ Σ

= − k ⋅  Ca ⋅ tot ⋅ Ψ + [Ca ]IN 
 k Ω

dt
Dal punto di vista dimensionale, qualora si desideri riformulare la 3.10 o la
3.15 in funzione della concentrazione molare anziché volumetrica, occorre
notare l’equivalenza che segue:
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134
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1.
N
No
µMole
= 10 − 6 ⋅ − 3 o 3 = 10 − 6 ⋅ −3
= 6.02 ⋅ 1014 cm −3
litro
10 m
10 ⋅ 10 − 6 cm 3
Sia allora f = (6.02 ⋅ 1014 ) ⋅
−1
µM
, il fattore di conversione dimensionale:
cm − 3
considerando per esempio la 3.10, è sufficiente moltiplicare ambo i membri
per f, chiamando con lo stesso simbolo [Ca ]IN la concentrazione molare di
calcio intracellulare, all’istante t, per ottenere l’equazione cercata.
(3.16)
d[Ca]IN
= − k ⋅ ( A ⋅ f ⋅ I Ca + [Ca]IN )
dt
Si nota che formalmente le 3.16 e 3.10 differiscono soltanto per il valore del
coefficiente geometrico che moltiplica il contributo dato dalla corrente
calcio.
3.3
Introduzione della Regolazione Dinamica
Riassumendo quanto detto nei paragrafi precedenti, le proprietà elettriche
dei neuroni biologici appaiono come il risultato di processi dinamici,
dipendenti dall’attività elettrica. Attraverso le vie biochimiche comprendenti
la fosforilazione proteica e l’espressione genetica, durante le fasi di
differenziamento cellulare, di crescita e di variazione morfologica di una
cellula nervosa, sono possibili modificazioni nella struttura e nella densità
dei canali di membrana. Il fatto che un neurone biologico sia in grado di
mantenere un'attività elettrica stabile al variare di innumerevoli fattori
esterni, è probabilmente il risultato di questo equilibrio dinamico, dato il
continuo ricambio dei canali proteici. Questi fenomeni biochimici sono
dipendenti dall’attività elettrica, presumibilmente attraverso un indicatore
microscopico della stessa: la concentrazione intracellulare di calcio.
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135
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Si osserva che la modellistica che verrà introdotta, è generalizzabile alla
classe intera di modelli biofisici continui, definita nel primo capitolo
(equazioni 1.90 - 1.92), ed è omogenea con la descrizione deterministica
adottata. Ma dal punto di vista concettuale, l’estensione di questa trattazione
alla versione discreta del modello di membrana cellulare è immediata, ed un
suo esame approfondito potrebbe consentire una nuova interpretazione dei
fenomeni di attività spontanea, che come già detto, dipendono in modo
critico dal numero di canali proteici presenti. L’influenza che potrebbe
esercitare la sintesi proteica sulla soppressione o sull’amplificazione
dell’attività spontanea, dovrebbe essere riguardata anche alla luce
dell’effetto che la stessa attività spontanea induce nei meccanismi di sintesi
proteica, probabilmente garantendo una attività basale spontanea più
regolare, e una maggiore stabilità delle caratteristiche elettriche intrinseche.
Nel seguito comunque, verrà considerato un modello deterministico di
sintesi proteica, in cui viene definito Sh, tasso di sintesi proteica relativo alle
proteine che contribuiscono alla conduttanza di tipo h-esimo, e Rh tasso di
rimozione delle stesse dalla membrana plasmatica. Il bilancio che è possibile
formalizzare matematicamente assume la forma indicata nella 3.17, dove il
valore massimo della conduttanza per lo ione h-esimo è indicato con g h.
(3.17)
dg h
∝ Sh − R h
dt
Dal momento che non vi è evidenza sperimentale che anche il processo di
rimozione proteica sia dipendente dall'attività, si assume solo Sh([Ca2+]IN)
dipendente dal calcio. L’equazione 3.18 esprime proprio la presenza di un
meccanismo di degradazione spontanea, capace di fare decrescere il numero
totale di canali proteici a zero, in assenza di alcuna sintesi degli stessi e in
un intervallo temporale dell’ordine di τh, costante di tempo del processo.
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136
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(3.18) τ h ⋅
dg h
= Wh ([Ca ]IN ) − g h
dt
Trascurando i contributi di accumulo di Ca2+ in forma legata entro il
citoplasma, viene assunta come unica sorgente di calcio intracellulare, il
flusso generato dalla corrente calcio ICa . Consistentemente con il modello
proposto nel paragrafo precedente, si sceglie di modellare la dinamica di
[Ca]IN secondo l’equazione 3.10. Per la descrizione del potenziale elettrico
di membrana, si impiega nuovamente il modello di Morris e Lecar, che
prevede proprio un termine di corrente calcio, espresso da:
1 
 V + 1  
(3.19) I Ca = g Ca ⋅  ⋅ 1 + tanh 
  ⋅ ( V − E Ca )
 15   
2 
Si considera [Ca]IN in µM e k in msec-1: Per convenienza, e senza alcuna
perdita di generalità, è possibile un’altra scelta delle unità di misura in modo
da rendere unitario il valore di A: d'ora in poi [Ca]IN sarà espresso in (µM /
A) unità.
Per quanto concerne la dipendenza funzionale del tasso di sintesi proteica,
ragioni di semplicità e trattabilità analitica, guidano la scelta delle funzioni
Wh verso la famiglia delle sigmoidi. Riscrivendo la 3.18, si ottiene così
(3.20) τ h
dg h
 C − [Ca ]IN 
= G h ⋅ σ ± T
 − gh


d
∆
dove
σ( z ) =
1
1 + e−z
Qualitativamente, la tendenza imposta dalla 3.20 consiste nel far
raggiungere e mantenere, alla concentrazione intracellulare di calcio, il
valore target CT, imponendo un certo andamento temporale per le
conduttanze g h. Da questo punto di vista, esiste quindi un livello di attività
ideale corrispondente al valore di CT, che deve essere garantito dai
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137
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
meccanismi biochimici, attraverso una complessa dinamica risultante nei
valori delle conduttanze massime di membrana.
Gh
 C − [Ca ]IN 
G h ⋅ σ ± T



∆
∆
Gh / 2
CT
0
[Ca]IN
Figura 3.3: La sigmoide è una scelta possibile per il tasso di sintesi
proteica, Ca2+-dipendente.
Nell’equazione 3.20, è stata lasciata intenzionalmente un’ambiguità sul
segno dell’argomento delle sigmoidi: la scelta è legata a considerazioni di
stabilità del sistema, poiché deve essere escluso ogni fenomeno di autoamplificazione delle oscillazioni e si desidera un feedback negativo
sull’attività elettrica. Supponiamo che un certo insieme di conduttanze
{
}
massime g h : h = 1, 2, 3,... sia stato fissato, e ad esso corrisponda un dato
livello di attività elettrica (frequenza media di oscillazione). Se il neurone
diviene maggiormente attivo rispetto a tale livello di attività, per l’equazione
3.10, gli ioni Ca2+ in entrata contribuiranno ad un aumento di [Ca]IN. In tale
caso, le correnti ioniche uscenti dovrebbero diminuire in intensità e quelle
entranti dovrebbero crescere, in modo da ridurre l'attività del neurone verso
il livello di attività originale. Al contrario quando l'attività decresce, prevale
il decadimento spontaneo della concentrazione di calcio, e per quanto
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138
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
riguarda l’entità delle correnti ioniche, dovrebbe avvenire esattamente
l'opposto di quanto descritto prima.
Per ottenere una dinamica attrattiva del tipo indicato, deve essere scelto il
segno meno nell'equazione relativa ad ogni corrente uscente (conduttanza
potassio), e il segno più per ogni corrente entrante (conduttanza calcio)
(Abbott et al., ’93).
Una scelta alternativa per la funzione Wh ( ) potrebbe considerare i processi
di sintesi e rimozione come dipendenti dalla concentrazione del calcio
intracellulare in modo uguale e opposto (3.21). Questa ipotesi non verrà
presa in considerazione nel seguito dal momento che, come ha evidenziato
un’analisi preliminare, l’equazione di regolazione 3.21 non ammette limite
inferiore o superiore per il valore delle conduttanze massime, che dovrebbe
invece restare sempre positivo, per definizione.
(3.21) τ h ⋅
3.4
  C − [Ca]IN  1 
= 2 ⋅ G h ⋅ σ  ± T
− 
 2
∆
dt
 
dg h
Proprietà del Modello Regolato
Istanziando la 3.20 per i due tipi di correnti del modello deterministico di
Morris e Lecar, si ottiene un sistema di cinque equazioni differenziali, in cui
la variabile [Ca]IN agisce come elemento di retroazione nei confronti dei
processi di sintesi proteica.
1 
dV
 V + 1  
= g l ⋅ ( E l − V ) + g Ca ⋅  ⋅ 1 + tanh 
  ⋅ ( E Ca − V ) + g K ⋅ n ⋅ ( E K − V ) + I ext
 15   

dt
2

(3.22)
C
(3.23)

dn 1
 V − 10   1 
 V − 10  
= ⋅ cosh 
 ⋅  ⋅ 1 + tanh 
  − n
 29   2 
 14.5  
dt 15

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139
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(3.24)
d[Ca]in
= − k ⋅ ( I Ca + [Ca ]in )
dt
(3.25) τ ⋅
(3.26) τ ⋅
dg Ca
d
 C − [Ca]in 
= G Ca ⋅ σ T
 − g Ca


∆
dg K
 [Ca]in − C T 
= G K ⋅ σ
 − gK


∆
d
Se concentriamo l’attenzione sulle equazioni di regolazione (3.25 - 3.26), si
può osservare che GCa e GK rappresentano i valori massimi che g Ca e g K
possono assumere rispettivamente, a regime (
dg Ca
dt
=
dg K
dt
= 0 ), essendo il
codominio della sigmoide l’intervallo compreso fra 0 e 1.
All’argomento della sigmoide, figura il termine di distanza fra valore attuale
e valore desiderato di concentrazione intracellulare di ioni Ca2+. Questo
termine è molto significativo, dal momento che se la concentrazione attuale
fosse inferiore a quella rappresentata da CT, l'esaltazione delle correnti
entranti e la depressione delle correnti uscenti porterebbe [Ca]IN nuovamente
vicino a CT, in conseguenza dell’aumento di attività elettrica. Viceversa, se
[Ca]IN fosse maggiore di CT, avverrebbe un effetto opposto sulle correnti
entranti e uscenti, con una conseguente diminuzione dell’attività elettrica e
quindi di [Ca]IN.
Le simulazioni al calcolatore sono in accordo con questa interpretazione
qualitativa, e dimostrano che la precisione del tracking rispetto al valore di
[Ca]IN desiderato è migliore in un intorno piccolo di CT = 20 unità.
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140
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
40
40
30
30
20
20
[Ca]
[Ca]
in
in
10
10
0
0
0
2000
4000
6000
0
8000
2000
4000
6000
8000
time (msec)
time (msec)
40
40
30
30
20
20
[Ca]
[Ca]
in
in
10
10
0
0
0
2000
4000
6000
0
8000
2000
4000
6000
8000
6000
8000
time (msec)
time (msec)
40
40
30
30
20
20
[Ca]
[Ca]
in
in
10
10
0
0
0
2000
4000
6000
time (msec)
8000
0
2000
4000
time (msec)
Figura 3.4: Andamento temporale della concentrazione intracellulare di
ioni Ca2+, al variare del valore di concentrazione desiderato (CT).
Le simulazioni riportate in figura 3.4, sono state ottenute utilizzando valori
crescenti di CT da 10 a 35 unità, e i parametri numerici indicati nella tabella
3.1. Tali valori verranno utilizzati anche nella maggior parte delle
simulazioni numeriche che seguiranno, a meno che non venga indicato
diversamente.
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141
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
C = 1 µF/cm2
τ = 1000 msec
g l = 0.5 mS/cm2
k = 1 / 100 msec-1
El = -50 mV
CT = 20 unità
ECa = 100 mV
∆ = 5 unità
EK = -70 mV
[Ca]IN(0) = 0 unità
V(0) = -50 mV
GCa = 1.5 mS/cm2
n( 0) =
1 
 V( 0) − 10  
⋅ 1 + tanh 

 14.5  
2 
GK = 3 mS/cm2
Iext = 13 µA/cm2
g Ca(0) = 1mS/cm2
g K(0) = 2.5 mS/cm2
Tabella 3.1: Valori dei parametri, per il modello deterministico regolato
3.22 - 3.26.
Come si è detto, [Ca]IN è un indicatore, dell'attività elettrica media nel
tempo: infatti il legame funzionale fra [Ca]IN e V(t) è di tipo integrativo, su
di una scala temporale data dall'inverso di k. Il raggiungimento o il
mantenimento di un certo livello di concentrazione è realizzato a spese di
una variazione del valore istantaneo delle correnti ioniche, attraverso una
variazione delle conduttanze massime di membrana.
Considerando nuovamente il piano dei valori di tali conduttanze (figura 2.5),
è possibile verificare che per ogni valore iniziale di g Ca e g K, esiste un
unico punto di equilibrio asintoticamente stabile, dipendente in modo
complesso da Iext, Gca , GK , CT insieme ai valori di EK e ECa.
Alcune traiettorie, ottenute per GCa = 3 mS/cm2 e GK = 6 mS/cm2, sono
rappresentate nella figura seguente.
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142
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
11
10
9
+
K
2
(mS/cm )
8
7
6
5
4
3
2
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2+
2,0
2,2
2
Conduttanza massima Ca (mS/cm )
Figura 3.5: Alcune traiettorie nel piano delle conduttanze massime, usando
GK = 6mS/cm2 e GC a= 3mS/cm2.
Per un insieme di valori iniziali corrispondente alla parte in basso a sinistra
della figura 3.5, nell’evoluzione temporale delle conduttanze massime di
membrana si verifica la convergenza allo stesso punto di equilibro, sebbene
caratterizzata da oscillazioni (si veda la figura 3.13).
Alcune proprietà caratteristiche di questo modello sono qualitativamente
prevedibili. Per esempio, è plausibile aspettarsi per la frequenza di
oscillazione del potenziale V(t), un’evoluzione temporale a rilassamento.
Poichè la dinamica attrattiva nel piano delle conduttanze massime genera al
variare del tempo, una traiettoria da una particolare coppia g Ca g K verso il
punto di equilibrio, si può passare, da un’alta frequenza di oscillazione ad
una bassa attività oscillatoria o viceversa (si vedano le figure 3.6 e 3.8), in
un intervallo temporale dell’ordine di τ.
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143
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
40
0
(mV)
-40
-80
0
40
80
7920
7960
8000
time (msec)
Figura 3.6: Diminuzione della frequenza delle oscillazioni del potenziale di
membrana, a regime.
I valori impiegati nella simulazione di figura 3.6 sono quelli indicati nella
tabella 3.1, utilizzando g Ca(0) = 5mS/cm2 e g K(0) = 50mS/cm2 quali
condizioni iniziali. La traiettoria (figura 3.7) converge verso il punto di
equilibrio, a cui corrispondono valori significativamente meno elevati per
g Ca e g K, e una corrispondente attività elettrica ridotta.
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144
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
t = 0 msec
40
K+
(mS/cm 2 )
20
0
0
1
2
3
4
5
Conduttanza massima Ca 2+ (mS/cm 2 )
Figura 3.7: Evoluzione della traiettoria nel piano delle conduttanze, per le
stesse condizioni della figura 3.6.
Una proprietà notevole si manifesta imponendo g Ca(0)=0mS/cm2 e
g K(0)=0mS/cm2, cioè una totale assenza iniziale di canali proteici distribuiti
sulla membrana cellulare, e quindi completa assenza di permeabilità ionica.
La sintesi proteica è in grado di sintetizzare i canali ionici del tipo
opportuno, in quantità necessaria al raggiungimento dell'attività elettrica
ideale.
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145
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
40
0
(mV)
-40
0
50
100
150
7800
7850
7900
7950
8000
time (msec)
Figura 3.8: Sintesi delle conduttanze di membrana, partendo da una
condizione di totale assenza di canali proteici.
30
25
20
[Ca]
15
in
10
5
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
time (msec)
Figura 3.9: Andamento della concentrazione di calcio intracellulare, nelle
stesse condizioni della figura 3.8.
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146
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1,6
1,2
K+
0,8
(mS/cm 2 )
0,4
t = 0 msec
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Conduttanza massima Ca 2+ (mS/cm 2 )
Figura 3.10: Traiettoria del sistema nel piano delle conduttanze massime,
nelle stesse condizioni della figura 3.8.
Il comportamento rappresentato nelle figure 3.8 - 3.10, può essere
interpretato alla luce di alcuni risultati sperimentali (Turrigiano et al., ’95): i
neuroni del ganglio stomatogastrico (STG) di aragosta adulta, appena
dissociati e piastrati in vitro, mostrano assenza di attività periodica nel
potenziale elettrico, anche se stimolati da una corrente depolarizzante. Dopo
3-4 giorni di coltura, tali cellule sono in grado di manifestare un'attività
sostenuta, anche di tipo strutturato, in risposta a stimolazioni esterne. La
variazione delle proprietà intrinseche è accompagnata quindi da una
variazione nelle densità di correnti ioniche, indicando che in coltura, i
neuroni di STG isolati sono in grado di regolare selettivamente il valore
delle loro conduttanze ioniche in modo strettamente dipendente dall’attività
elettrica presente.
Per valori sufficientemente elevati del parametro CT (per esempio CT = 35
unità), il modello regolato riesce a riprodurre un’attività periodica
strutturata. Tale tendenza è però conseguenza delle non linearità coinvolte
nelle equazioni di regolazione, e legata alla scelta dei valori di Iext, τ e Gh. A
rigore quindi, il fenomeno indicato nelle figure 3.11 e seguenti, non va
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147
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
riguardato come un vero e proprio bursting, fenomeno di tipo diverso del
quale sono responsabili altri meccanismi molecolari calcio - dipendenti.
40
0
(mV)
-40
0
1000
2000
3000
4000
time (msec)
Figura 3.11: Potenziale di membrana, nelle stesse condizioni della figura
(mS/cm 2 )
1,00
Conduttanza massima Ca
1,05
2+
3.8, utilizzando CT = 35 unità.
0,95
0,90
0,85
0,80
6000
6400
6800
7200
7600
8000
time (msec)
Figura 3.12: Oscillazioni di elevata ampiezza nell’evoluzione temporale
delle conduttanze massime di membrana, nelle stesse condizioni di figura
3.11 .
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148
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
In condizioni normali, l’ampiezza delle oscillazioni per le conduttanze
massime è molto piccola, e la traiettoria nel piano delle conduttanze si
mantiene entro un intorno piccolo del punto di equilibrio. Viceversa, se la
traiettoria del sistema ha caratteristiche oscillatorie (si veda figura 3.13), può
determinarsi una condizione di intermittenza, nell’oscillazione del
potenziale di membrana, in virtù di una temporanea uscita dalla penisola
oscillatoria, introdotta nel capitolo precedente. Al crescere di CT il periodo
di tale intermittenza decresce, rendendo più rapida la successione di
pacchetti di attività oscillatoria.
t = 0 msec
1,6
1,5
K+
1,4
(mS/cm 2 )
1,3
1,2
1,1
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
Conduttanza massima Ca 2+ (mS/cm 2 )
Figura 3.13: Traiettoria nel piano delle conduttanze massime, per valori
critici di CT.
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149
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(mV)
60
60
40
40
20
20
0
0
(mV)
-20
-20
-40
-40
-60
7200
7600
-60
6000
8000
6400
6800
time (msec)
7200
7600
8000
time (msec)
Figura 3.14: Altri esempi di oscillazione strutturata, nel potenziale di
membrana.
Dal punto di vista analitico, la presenza di oscillazioni non smorzate per le
conduttanze massime di membrana (figura 3.12) è conseguenza di una
intensa variazione imposta al secondo membro delle 3.25 - 3.26, quando la
differenza C T − Ca sia elevata. Intuitivamente, è più difficile annullare
l’errore sulla concentrazione del calcio intracellulare rispetto al valore
target, quanto più è grande è CT e più piccolo τ ,intervallo temporale della
regolazione.
3.5
Analisi della Regolazione Dinamica
E’ possibile caratterizzare analiticamente il comportamento del modello
regolato descritto nel paragrafo precedente, in virtù della forma delle
funzioni Wh([Ca]IN). Si consideri la somma e la differenza delle equazioni di
regolazione (3.25 - 3.26): se si indica con
y=
g Ca
G Ca
+
gK
GK
e
z=
g Ca
G Ca
−
gK
GK
,
si ottiene che
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150
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(3.27) τ ⋅
dy
=1− y
dt
(3.28) τ ⋅
dz
 C − [Ca ]
= tanh  T
−z
 2⋅∆ 
dt
La prima equazione ottenuta (3.27) è un’equazione differenziale del
prim'ordine a coefficienti costanti, la cui soluzione in forma chiusa è la
seguente:
(3.29) y( t ) = [ y( 0 ) − 1] ⋅ e
−
t
τ
+1
Questo significa che la nuova variabile y, somma delle conduttanze massime
di membrana normalizzate opportunamente, tende asintoticamente al valore
di regime y( t ) = 1 , con andamento esponenziale decrescente. A regime,
esiste pertanto nel piano delle conduttanze massime, una retta di equazione
g Ca
g
+ k = 1 , a cui appartiene il punto di equilibrio.
G Ca G k
L’equazione 3.28 invece non è integrabile in forma chiusa. Nelle ipotesi di
comportamento oscillatorio per il potenziale di membrana, si può asserire
che anche [Ca]IN (t) avrà andamento oscillatorio di stesso periodo. Quindi
non esiste un valore costante di regime per la variabile ausiliaria z.
Se si considera però il processo di regolazione dinamica caratterizzato da
una scala temporale molto maggiore di quella relativa a V(t), τ >> 1
millisecondo, si può supporre che le oscillazioni di z attorno al proprio
valore medio temporale siano molto lente.
 C − [Ca]IN 
A regime pertanto, si scriverà z ≅ tanh  T
 , intendendo la


2⋅∆
media temporale su numerosi cicli di oscillazione del potenziale di
membrana. Questa espressione individua un’altra retta, nel piano delle
conduttanze. Con una certa approssimazione, l'intersezione di queste rette,
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151
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
fornisce il punto di equilibrio, la cui esistenza è stata discussa nel paragrafo
precedente.
In modo più rigoroso, può pure essere data dimostrazione dell’asintotica
stabilità della regolazione dinamica: sommando e sottraendo le espressioni
che definiscono y e z si ottiene il seguente sistema lineare.

g Ca
y + z = 2 ⋅

G Ca
(3.30) 
 y − z = 2 ⋅ gK

GK
Risolvendo rispetto a y e a z, si può giungere alle seguenti relazioni generali:
(3.31) g Ca
t

G Ca 
−
τ
=
⋅ ( y( 0) − 1) ⋅ e + 1 + z
2 

(3.32) g K =
GK
2
t


−
⋅ ( y( 0) − 1) ⋅ e τ + 1 − z


In questo modo, è stata dedotta l’espressione analitica della dipendenza dal
tempo e da [Ca]IN per le due conduttanze massime. Risulta esplicito il
feedback dall'attività elettrica, realizzato attraverso la concentrazione
intracellulare di calcio.
Qualitativamente si osserva la sovrapposizione di un comportamento
esponenziale decrescente e di un andamento oscillatorio. Questi andamenti
agiscono su diverse scale temporali: il primo sulla scala caratteristica della
regolazione dinamica τ, mentre il secondo sulla scala più rapida legata alle
oscillazioni del potenziale di membrana (millisecondi), ordini di grandezza
inferiore. Questo è ben confermato dalle simulazioni al calcolatore, riportate
nella figura 3.15.
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152
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(mS/cm 2)
0,760
0,85
0,755
2+
0,80
0,75
0,70
2000
4000
6000
8000
Conduttanza massima Ca
Conduttanza massima Ca
2+
(m S/cm 2)
0,90
0,750
0,745
0,740
7200
time (msec)
7600
8000
time (msec)
Figura 3.15: Due dettagli dello stesso andamento temporale per la
conduttanza massima relativa al calcio, g Ca(t).
I processi biochimici che si intendono modellare con la sintesi delle
conduttanze, sono caratterizzati da una scala temporale probabilmente molto
lunghe (ore - giorni). Nelle simulazioni, la scelta del valore di τ, a cui tale
scala temporale è legata, non è particolarmente critica purché sia molto
maggiore rispetto alla costante di tempo equivalente della membrana
cellulare. Utilizzando per τ, valori da 1 a 1000 secondi, si è potuta
confermare una sostanziale equivalenza dei risultati, a meno di un fattore di
Conduttanza massima Ca
2+
(mS/cm 2 )
scala per l'asse dei tempi (figura 3.16).
1,05
τ = 1 sec
1,00
0,95
τ = 5 sec
0,90
τ = 10 sec
0,85
0,80
0,75
0
20000
40000
60000
80000
time (msec)
Figura 3.16: Influenza del parametro τ, sulla dinamica di regolazione.
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153
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
3.6
Robustezza del Modello Regolato Dinamicamente
Il modello di Morris e Lecar (equazioni 2.1 - 2.3) è una buona
approssimazione del comportamento istantaneo per il potenziale ai capi di
una membrana di un neurone. Come già sottolineato, esistono relazioni
profondamente non lineari che legano fra loro le variabili elettriche. Fra
queste si verifica una spiccata sensibilità alle piccole variazioni di alcuni
parametri, per esempio EK e ECa, non ragionevole dal punto di vista
biologico.
E’ possibile studiare il comportamento della frequenza di V(t) nel piano
delle conduttanze massime di membrana, similmente a quanto fatto nel
capitolo 2 (si vedano le figure 2.4 - 2.5), al variare dei potenziali di
equilibrio ionico: si riscontra una spiccata sensibilità nella topologia delle
zone iso-frequenza, a seguito di piccole variazioni nei potenziali di
equilibrio, e in alcuni casi una drastica alterazione del pattern di attività
elettrica.
La regolazione dinamica introdotta in questo capitolo è stata inizialmente
descritta come un sistema in grado di mantenere un certo pattern di attività
elettrica anche sotto una varietà di condizioni esterne. Questa caratteristica è
realizzata attraverso la modulazione delle correnti ioniche di membrana, e se
si confronta la frequenza media delle oscillazioni del potenziale di
membrana al variare di EK e ECa, nel modello regolato con quella del
modello non regolato, si osserva un significativo aumento della robustezza.
Per poter effettuare dei confronti significativi, i valori delle conduttanze
massime del modello non regolato sono stati posti ai valori di regime delle
conduttanze massime tempovarianti del modello regolato: non si ha una
esatta coincidenza fra modello non regolato e il regime del modello
regolato, poiché a rigore viene raggiunto sempre un regime oscillatorio
permanente (si veda la figura 3.15).
Si è prestata attenzione affinché per ogni valore dei potenziali di equilibrio,
vi fosse sempre un comportamento oscillatorio e non una saturazione o
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154
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
un’assenza di oscillazione. Per ogni valore dei potenziali di equilibrio, sono
stati scelti di valori delle conduttanze massime appartenenti alla penisola di
oscillazione: nel caso della variazione di ECa si è scelto g Ca = 0,98 mS/cm2 e
g K = 2,47 mS/cm2, mentre per EK si è scelto g Ca = 1,03 mS/cm2 e g K =
2,96 mS/cm2. Affinché il valore medio delle conduttanze massime nel
modello regolato, sia prossimo ai valori riportati sopra,
è necessario
imporre che GCa = 2,4 mS/cm2 e GK = 5,2mS/cm2 per EK, mentre GCa = 2,6
mS/cm2 e GK = 4 mS/cm2 per ECa.
Il passo di incremento per EK e ECa è stato scelto di 1 mV, la corrente di
stimolazione Iext=13mA/cm2, mentre la frequenza media è stata misurata su
un intervallo di osservazione di 16 secondi, dopo il raggiungimento del
regime, atteso per 10 secondi usando τ = 1 secondo.
0,042
regolato
0,040
0,038
0,036
(kHz)
0,034
0,032
non regolato
0,030
40
60
80
100
120
140
160
ECa (mV)
Figura 3.17: Andamento della frequenza di attività al variare del potenziale
di equilibrio della corrente calcio.
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155
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0,05
0,04
regolato
0,03
(kHz) 0,02
0,01
non regolato
0,00
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
EK
Figura 3.18: Andamento della frequenza di attività al variare del potenziale
di equilibrio della corrente potassio.
Il modello regolato manifesta attività oscillatoria quasi per ogni valore
dell’intervallo di variazione dei potenziali di equilibrio, e risente in maniera
molto meno evidente del valore di EK e ECa.
Resta dimostrato che a lungo termine, piccole fluttuazioni nelle
concentrazioni ioniche non sono in grado di modificare in modo
apprezzabile la frequenza media di attività del neurone.
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156
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
3.7
Dinamica del Calcio Approssimata
Nel paragrafo 3.2 sono stati sviluppati due modelli matematici per la
descrizione della concentrazione intracellulare di calcio: uno di essi si presta
particolarmente bene per definire un modello ridotto di regolazione
dinamica, da utilizzarsi insieme all’equazione del modello integra-e-spara
(2.16) per la descrizione del potenziale elettrico di membrana.
Utilizzando l’integra-e-spara, non è infatti più possibile introdurre
l’equazione 3.24 per descrivere la dinamica del calcio, esistendo un unico
tipo di corrente ionica a riassumere le correnti K+, Ca2+ e la corrente di
perdita: non si può identificare alcun termine specifico, equivalente alla ICa
della 3.22.
Assumendo che le proprietà di permeabilità ionica della membrana siano
discrete e localizzate, si è derivata l’espressione media 3.15, nelle condizioni
di generale ergodicità della cinetica stocastica di apertura e chiusura dei
canali. Secondo l’approssimazione indicata in figura 3.1, durante un
potenziale d’azione, l’influsso di calcio può essere riguardato come una
transizione temporanea ad un valore costante, per tutto il tempo di apertura
dei canali ionici.
Tale ipotesi si rivela sufficientemente adeguata, studiando nel modello
deterministico (equazioni 2.1 - 2.3) l’evoluzione temporale della corrente
calcio, normalizzata al valore della conduttanza massima g Ca.
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157
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0
150
(mV)
50
200
(mV)
-50
100
-100
50
-150
0
0
50
100
150
200
250
300
350
-200
400
time (msec)
Figura 3.19: Al succedersi delle corrispondenti fasi del potenziale d’azione
(parte alta del grafico), è riportato l’andamento temporale di
−
I Ca
g Ca
1 
 V + 1  
=  ⋅ 1 + tanh
   ⋅ ( V − E Ca ) .

 

2
15

Dalla 3.19, si nota che in regime periodico per il potenziale V(t), quale che
sia Iext, il termine rappresentato è sempre assimilabile ad una sequenza di
gradini di durata circa uguale a 10msec e ampiezza pari a 76mV.
Si può d’ora in poi assumere che in conseguenza dell’apertura dei canali
ionici specifici per Ca2+, esista una corrente calcio simile ad un’onda quadra,
il cui duty cycle sia costante e dell’ordine della durata del potenziale
d’azione. In questi termini, il contributo alla variazione della concentrazione
intracellulare di calcio che figura al secondo membro della 3.15 è proprio
una successione di transizioni a gradino, di valore costante e proporzionale
al valore istantaneo della conduttanza massima g Ca.
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158
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
120
100
80
60
(mV)
40
20
0
300
320
340
360
380
400
time (msec)
Figura 3.20: Approssimazione con un’onda quadra in corrispondenza di
ciascun potenziale d’azione.
Con queste considerazioni, si giunge alla forma finale per la descrizione
della dinamica del calcio:
(
k ⋅ g ( t o ) ⋅ 76 − [Ca ]IN
Ca
d[Ca ]IN 
(3.33)
≈
dt
− k ⋅ [Ca]
IN

Nell’equazione
3.33,
si
è
indicato
)
t ∈[ t o ; t o + 10]
t > t o + 10
con
to
l’istante
dell’ultimo
attraversamento della soglia da parte del potenziale di membrana V, e si è
assunta la durata totale dell’influsso pari a 10 msec.
Date le caratteristiche di tale equazione, può essere dedotta la soluzione in
forma chiusa.
(
)
 [Ca ]IN ( t o ) − g ( t o ) ⋅ 76 ⋅ e − k ⋅( t − t o ) + g ( t o ) ⋅ 76
Ca
Ca
t ∈ [ t o , t o + 10]
[Ca ] ( t + 10) ⋅ e − k ⋅[ t − ( t o +10) ]
IN o

t > t o + 10
(3.34) [Ca] ( t ) = 

IN
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159
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Nelle ipotesi fatte Per le proprietà dell’equazione 3.31, è possibile dedurre
analiticamente, seppure, alcune proprietà interessanti. Per esempio è
possibile chiarire il ruolo di [Ca]IN nei confronti della frequenza di
oscillazione di V(t). Si definisca infatti la frequenza media di oscillazione,
per il modello integra-e-spara:
(3.35) ν =
(t
p
2
− t1 )
dove ( t 2 − t 1 ) è l’intervallo temporale a cui viene riferito p, numero totale
di potenziali d’azione. Un modo analogo per scrivere 3.33, è il seguente:
(3.36)
∞
d[Ca]IN
= − k ⋅ [Ca ]IN + ∑ H ⋅ Π ∆t ( t − t i )
dt
i =1
H = costante
dove la funzione che compare sotto il segno di sommatoria, è la funzione
rettangolo, di supporto pari a ∆t e ampiezza unitaria, simmetrica rispetto
l’asse t = ∆t / 2 (si veda la figura 3.21a).
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160
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
50
(b)
25
(a)
40
20
1
30
15
Ca
in 20
10
10
5
0
0
01,0
∆t
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0
x
2
x
t
x
4
6
x
8
10
t
Figura 3.21: (a) Influsso di calcio, modellato dalla funzione rettangolo; (b)
andamento della concentrazione [Ca] IN secondo l’equazione 3.37.
Se si suppone di far tendere a zero la durata dell’influsso di calcio, e si
sceglie di trascurare il decadimento spontaneo, l’equazione 3.37 continua a
descrivere approssimativamente la dinamica della 3.36.
(3.37)
∞
d[Ca]IN
= ∑ H ⋅ δ( t − t i )
dt
i =1
Per definizione di delta di Dirac, integrando la 3.37 su di un intervallo
temporale compreso fra due potenziali d’azione successivi, si può esprimere
la concentrazione di ioni calcio nel modo seguente:
(3.38)
[ Ca] IN ( t i+1 ) = [ Ca] IN ( t i ) + H
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161
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
La 3.38 è equivalente ad un’equazione lineare alle differenze finite, dove la
discretizzazione dell’asse temporale è stata scelta in corrispondenza degli
istanti di attraversamento della soglia di eccitabilità da parte del potenziale
V(t), ed è non uniforme. Nonostante questo, quando [Ca]IN(0) = 0 unità,
l’espressione ricorrente appena ricavata permette di concludere che
(3.39)
[Ca] IN ( t ) = p ⋅ H
[
t ∈ t p ; t p +1
)
Dalla 3.35 allora segue che
(3.40)
[Ca]IN ( t ) = H ⋅ ( t − t o ) ⇒ [Ca]IN ( t ) ∝ ν
ovvero la concentrazione intracellulare di calcio ad un certo istante è
approssimativamente proporzionale alla frequenza media di attività e
all’intervallo temporale su cui questa viene calcolata.
3.8
Introduzione della Regolazione Dinamica nel
Modello Integra-e-Spara
Nel paragrafo precedente è stato dimostrato come sia possibile legare
l’attività elettrica del modello integra-e-spara, alla concentrazione del calcio
intracellulare, anche in assenza di un termine equivalente alla corrente
ionica calcio. A questo punto, introducendo la stessa equazione di
regolazione del modello completo, per la sola conduttanza massima presente
g , è possibile trovare la forma definitiva del modello integra-e-spara
regolato dinamicamente:
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162
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
 dV
V( t ) < Vth
C dt = g ⋅ (Vo − V ) + I ext

(3.41) 
V(ξ ) = V
ξ ∈ t o + ; t o + + τ ref
se V( t o − ) ≥ Vth
o

[
(3.42)
(
]
)
 [Ca ]IN ( t o ) − g ( t o ) ⋅ 76 ⋅ e − k ⋅( t − t o ) + g ( t o ) ⋅ 76
Ca
Ca

[Ca ]IN ( t ) = 
[Ca ] ( t + 10) ⋅ e − k ⋅[ t − ( t o +10) ]
IN o

(3.43) τ
t ∈ [ t o , t o + 10]
t > t o + 10
dg
 [Ca ]IN − C T 
= G ⋅σ
 −g


∆
dt
Nell’ultima equazione, la scelta per il segno dell’argomento della sigmoide è
stata operata secondo gli stessi criteri di stabilità discussi per il modello
completo (equazione 3.20).
I valori dei parametri restano sostanzialmente immutati rispetto alla versione
completa (equazioni 3.22 - 3.26, tabella 3.1) e vengono elencati di seguito.
Vo = -49.67 mV
G = 1mS/cm2
Vth = -22.586 mV
CT = 20 unità
V(0) = Vo
∆ = 5 unità
C = 1 µF/cm2
τ = 1000 msec
τref = 2 msec
k = 1 / 100 msec-1
Iext = 13 µA/cm2
[Ca]IN (0) = 0 unità
Tabella 3.2: Valori dei parametri, per il modello integra-e-spara regolato
3.41 - 3.43.
Confrontando la capacità di tale modello ridotto, rispetto alle caratteristiche
di tracking del valore desiderato di concentrazione intracellulare CT (si veda
la figura 3.4), l’equazione di regolazione 3.43 è ancora in grado di modulare
l’unica conduttanza massima equivalente, per raggiungere e mantenere il
valore desiderato per [Ca]IN, seppure a spese di una minore precisione al di
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163
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
fuori dell’intervallo [26 ; 32.2). Per valori di CT inferiori a 26 unità, la
concentrazione mostra delle sovraelongazioni attorno al valore target,
mentre per valori superiori a 32.2 unità non si ha raggiungimento del valore
desiderato, e [Ca]IN tende a zero al variare del tempo, conseguentemente
all’interruzione dell’attività periodica nel potenziale di membrana.
La figura 3.22 riporta le simulazioni relative a questi casi:
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164
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
40
40
35
35
30
30
25
25
20
20
[Ca]in
[Ca]in
15
15
10
10
5
5
0
0
0
2000
4000
6000
0
8000
2000
4000
40
40
35
35
30
30
25
25
20
[Ca]
IN
IN
15
10
10
5
5
0
0
2000
4000
6000
8000
0
2000
time (msec)
40
40
35
35
30
30
8000
20
[Ca]
IN
15
15
10
10
5
5
0
0
-5
-5
0
2000
4000
6000
0
8000
2000
4000
6000
8000
6000
8000
time (msec)
time (msec)
40
40
35
35
30
30
25
25
20
IN
6000
25
20
[Ca]
4000
time (msec)
25
IN
8000
20
[Ca]
15
0
[Ca]
6000
time (msec)
time (msec)
[Ca]
15
IN
20
15
10
10
5
5
0
0
-5
0
2000
4000
6000
8000
0
2000
time (msec)
4000
time (msec)
Figura 3.22: Concentrazione intracellulare di ioni Ca2+ al variare di CT,
concentrazione target.
Paragonando il modello completo regolato con questo modello ridotto, si
osserva la stessa tendenza verso una dinamica attrattiva stabile (figura 3.24).
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165
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Il valore dell’unica conduttanza disponibile nel modello 3.41 - 3.43 tende
asintoticamente ad un valore di equilibrio, attraverso la coesistenza di due
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166
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
comportamenti: uno essenzialmente esponenziale e l’altro oscillatorio (si
veda la figura 3.23 a confronto con la 3.15).
0,482
2,0
(mS/cm2)
(mS/cm2)
0,481
1,5
1,0
0,480
0,479
0,5
0
2000
4000
6000
8000
0,478
7000
7200
time (msec)
7400
7600
7800
8000
time (msec)
Figura 3.23: Due dettagli del comportamento di g (t) al variare del tempo,
per il modello ridotto, nelle usuali condizioni di simulazione.
L’esistenza di un valore di equilibrio stabile per g (t), dipendente in maniera
complessa da Iext, G, CT e dagli altri parametri del modello non regolato
(tabella 3.2), è esemplificata dalla figura seguente in cui vengono tracciate
alcune evoluzioni temporali, per diverse condizioni iniziali.
0,8
(mS/cm2)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0
1000
2000
3000
time (msec)
Figura 3.24: Per ogni valore iniziale g (0), esiste uno stesso regime per la
conduttanza massima di membrana.
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166
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Le proprietà già esaminate nel paragrafo 3.6 per il modello completo
vengono interamente mantenute. Per esempio, si verifica l’esistenza di un
comportamento di rilassamento della frequenza di oscillazione del
potenziale V(t) (da confrontarsi con la figura 3.6).
0
-10
-20
(mV)
-30
-40
-50
0
30
60
90
7920
7950
7980
time (msec)
Figura 3.25: Diminuzione della frequenza delle oscillazioni del potenziale
di membrana, a regime ( g (0) = 0.45 mS/cm2).
35
(a)
0,48
25
(mS/cm2)
0,47
20
[Ca]
(b)
0,49
30
15
in
0,46
0,45
10
0,44
5
0,43
0
0,42
0
0
2000
4000
6000
2000
8000
time (msec)
4000
6000
8000
time (msec)
Figura 3.26: (a) Andamento della concentrazione intracellulare di calcio, e
(b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse condizioni della
figura 3.25.
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167
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Il comportamento già esemplificato per il modello completo in figura 3.8,
viene mantenuto, e imponendo g (0) = 1 mS/cm2, il modello 3.41 - 3.43 è in
grado di sintetizzare la propria conduttanza, in modo da costituire l’attività
elettrica ideale, a partire da una situazione silente.
0
-10
-20
(mV)
-30
-40
-50
0
50
100
150
7800
7850
7900
7950
8000
time (msec)
Figura 3.27: La sintesi proteica è in grado di ripristinare le condizioni per
cui si ha comportamento oscillatorio ( g (0) = 1 mS/cm2).
(a)
30
1,0
25
20
[Ca]
(b)
0,9
0,8
g (mS/cm2)
15
0,7
in
10
0,6
5
0,5
0
0,4
0
2000
4000
6000
8000
0
2000
time (msec)
4000
6000
8000
time (msec)
Figura 3.28: (a) Andamento della concentrazione intracellulare di calcio, e
(b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse condizioni della
figura 3.27.
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168
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Analogamente a quanto notato alla fine del paragrafo 3.5, la dipendenza da τ
è legata ad un fattore di scala per l’asse dei tempi, come si osserva dalla
figura 3.29 a confronto con la 3.16.
τ = 10 sec
τ = 25 sec
τ = 50 sec
(mS/cm2)
2,0
1,5
1,0
0,5
0
20000
40000
60000
80000
time (msec)
Figura 3.29: Influenza del parametro τ sulla dinamica di regolazione.
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169
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
3.9
Attività Elettrica Strutturata e Robustezza
A conclusione di questo capitolo, si riportano le evidenze di comportamento
elettrico strutturato, simile a quanto indicato nelle figure 3.11 e seguenti.
Nelle stesse condizioni di stimolazione in corrente impiegate per il modello
completo, si verifica che per un ben preciso intervallo di valori di CT, [6 ;
19.1] unità, le oscillazioni nell’evoluzione temporale di g( t ) sono tali da
indurre nel potenziale di membrana V(t) un’attività periodica intermittente.
0
-10
-20
(mV)
-30
-40
-50
7000
7250
7500
7750
8000
time (msec)
Figura 3.30: Potenziale di membrana, quando CT = 10 unità.
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170
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
20
(a)
(b)
0,495
0,490
(mS/cm2)
15
10
[Ca]
0,485
0,480
IN
5
0,475
0,470
0
7000
7000
7250
7500
7750
7250
7500
7750
8000
time (msec)
8000
time (msec)
Figura 3.31: (a) Andamento temporale della concentrazione intracellulare
di calcio, e (b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse
condizioni della figura 3.30.
0
-10
-20
(mV)
-30
-40
-50
7000
7250
7500
7750
8000
time (msec)
Figura 3.32: Potenziale di membrana, quando CT = 18 unità.
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171
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
30
0,485
(mS/cm2)
20
15
[Ca]
in
(b)
0,490
(a)
25
10
0,480
0,475
0,470
0,465
0,460
5
0,455
0
7000
7000
7200
7400
7600
7800
7250
8000
7500
7750
8000
time (msec)
time (msec)
Figura 3.33: (a) Andamento temporale della concentrazione intracellulare
di calcio, e (b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse
condizioni della figura 3.32.
Per verificare la robustezza del modello regolato, si è scelto di considerare la
frequenza di oscillazione del potenziale di membrana, rispetto al valore della
tensione di soglia Vth. Dal punto di vista biofisico, è interessante considerare
l’attività elettrica del neurone in condizioni di distribuzione qualsiasi di ioni
all’esterno della membrana. E’ stato infatti sperimentalmente dimostrato,
che l’effetto di un accumulo di carica sullo strato esterno della membrana
fosfolipidica di un neurone, ne sposta le proprietà di eccitabilità,
modificando il valore del potenziale per cui si passa da una risposta passiva,
alla generazione di un potenziale d’azione.
In figura 3.34 viene confrontato l’andamento del modello regolato con
quello non regolato, ed è stato indicato con il tratteggio, l’intervallo di valori
della tensione di soglia, per il quale il potenziale elettrico V(t) è soggetto ad
un’oscillazione intermittente e non uniforme.
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172
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0,20
Regolato (TONICO)
Regolato (NON-TONICO)
Non Regolato
0,15
0,10
(kHz)
0,05
0,00
-28
-26
-24
-22
-20
-18
-16
V (mV)
th
Figura 3.34: Frequenza media di attività elettrica, al variare del valore di
soglia di eccitabiltà.
Altra caratteristica di rilievo, è stata messa in evidenza dall’esame della
relazione frequenza - corrente esterna, per il modello regolato.
Regolato (TONICO)
Regolato (NON - TONICO)
Non Regolato
0,15
0,10
(kHz)
0,05
0,00
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Iext (µA/cm )
2
Figura 3.35: Frequenza media di attività elettrica, al variare dell’intensità
della stimolazione esterna costante.
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173
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Rispetto al modello non regolato, la caratteristica frequenza media verso
corrente di stimolazione, presenta un caratteristico picco di risonanza per un
determinato valore della corrente di stimolazione, ma soprattutto una zona a
derivata prima molto piccola, in corrispondenza della brusca transizione
mostrata dal modello non regolato (zona critica).
Utilizzando una corrente esterna stocastica a valore medio pari a 13µΑ/cm2,
e varianza crescente, è stata messa in evidenza l’intrinseca robustezza del
modello regolato nei confronti di una stimolazione nell’intorno della zona
critica.
14.0
14.0
13.6
13.5
2
I EXT ( µ A/cm )
12.8
ext
I
(µA/cm2)
13.2
13.0
12.5
12.4
12.0
0
200
400
600
time (msec)
800
1000
12.0
0
200
400
600
800
1000
time (msec)
Figura 3.36: Realizzazioni temporali della corrente stocastica a valore
medio pari a 13µΑ/cm2,e varianza crescente.
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174
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
0.06
σ crescente
0,06
0,05
0,04
0,03
0.05
0.04
(kHz)
(kHz)
0,02
0.03
σ = 0,1 µ A/cm
0.02
non regolato
2
σ = 0,01 µ A/cm
0,01
2
0.01
σ = 0,001 µ A/cm
0,00
0.00
0
10000
20000
30000
2
σ = 0,0001 µ A/cm
0
time (msec)
10000
20000
2
30000
time (msec)
Figura 3.37: Frequenza media nel modello non regolato e nel modello
regolato, calcolata utilizzando un intervallo temporale di osservazione di 1
secondo, al variare del tempo.
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175
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Capitolo 4
Modello matematico di una Rete di
Neuroni
4.1 La Sinapsi
La complessità di un sistema nervoso è così elevata da rendere inaccessibile,
nella pratica, una qualsiasi descrizione globale e completa. La difficoltà
principale di trovare un giusto mezzo fra realismo biologico e trattabilità
matematica si rileva già a livello del meccanismo elementare di sinapsi (:
dal greco connessione). L’idea di una interconnessione localizzata e non
continua delle cellule in un tessuto nervoso, è comunemente attribuita a
Charles Sherrington, fisiologo inglese di fine secolo scorso, e rappresenta
uno dei concetti più importanti della moderna neurobiologia.
Lo studio delle reti di neuroni biologici è principalmente incentrato sulla
caratterizzazione delle proprietà collettive, emergenti da vasti insiemi di
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176
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
unità interagenti (Chapeau-Blondeau et al., ’95), e affinché le modalità di
interazione di tali unità possano essere analizzate in modo sufficientemente
preciso, è indispensabile disporre di una descrizione dettagliata della
dinamica della sinapsi. Essa è responsabile della connessione funzionale di
due neuroni e della trasduzione di segnali specifici fra di essi, per mezzo di
una mediazione di tipo prevalentemente chimico. In questo caso le proprietà
peculiari della connessione sono l’esistenza di un’orientazione, ovvero la
presenza di una direzione preferenziale per il flusso dell’informazione, e
l’impiego di un intermediario chimico per realizzare la propagazione del
potenziale d’azione dalla cellula presinaptica a quella postsinaptica.
Esiste comunque un altro tipo di connessione, bidirezionale e simmetrica,
realizzata attraverso la giustapposizione delle membrane plasmatiche, nella
quale la perturbazione locale indotta dal potenziale d’azione nelle
concentrazioni ioniche, innesca una variazione di potenziale di membrana
del neurone postsinaptico. Nel paragrafo seguente, verrà analizzata la prima
modalità di trasduzione neuronale dell’informazione, utilizzando il
formalismo già adottato nel primo capitolo, per la cinetica stocastica dei
canali proteici sensibili al potenziale elettrico. Infatti, l’effetto complessivo
del rilascio di molecole di neurotrasmettitore (intermediario chimico) nello
spazio intersinaptico, è in prima analisi l’apertura di alcuni canali proteici
sensibili alla presenza di tale soluto, e la conseguente modificazione
transitoria delle proprietà di permeabilità della membrana cellulare del
neurone postsinaptico.
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177
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
4.2
Cinetica Stocastica per una Sinapsi Chimica
Richiamando le definizioni e i modelli non deterministici di canale ionico, si
prenderà in considerazione la dinamica dei canali proteici ad attivazione
chimica (chemically-gated). Questi complessi macromolecolari sono
equivalenti ai canali precedentemente esaminati, a meno della modalità di
attivazione dello stato funzionalmente attivo: in questo caso si ha
dipendenza dalla presenza di un particolare tipo di soluto in soluzione, e non
dalla variazione del potenziale di membrana.
Presenti nella membrana postsinaptica, tali canali possono indurre una
variazione sensibile nel potenziale elettrico, in risposta al rilascio di
molecole di neurotrasmettitore da parte del terminale assonico presinaptico,
provocato da un potenziale d’azione.
Sempre nelle ipotesi di markovianità dei processi aleatori che definiscono lo
stato interno di un canale, si considera un modello elementare di canale
proteico, ad unico gate, per il quale vale il seguente schema cinetico:
α⋅T( t )
(4.1)
C
→
A
←
β
Con questa scrittura si intende mettere in evidenza l’insieme delle
configurazioni funzionali possibili (C: chiuso e A: aperto), e le probabilità di
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178
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
transizione da una all’altra nell’unità di tempo. In tali probabilità di
transizione, α e β sono costanti, mentre T(t) è una funzione del tempo, a
rappresentare la concentrazione istantanea di molecole di neurotrasmettitore
nello spazio intersinaptico. In altri termini, quando T(t) = 0 µM , la (4.1) si
modifica come
(4.2)
C←A
β
e viceversa, se T(t) = Tmax µM, allora
α ⋅Tmax
(4.3)
C
→
A
←
β
Vengono definite le probabilità marginali di trovare il canale nel particolare
stato funzionale aperto o chiuso, ad un dato istante temporale
(4.4)
PA ( t ) = Pr{ stato aperto in t}
PC ( t ) = Pr{ stato chiuso in t}
,
ed in analogia con quanto fatto nel primo capitolo, queste possono essere
calcolate a partire dalle definizioni 4.5 e 4.6, ricordando che
PA ( t ) + PC ( t ) = 1
∀t , per definizione di probabilità.
(4.5)
PC , A ( t ) = Pr
{
(4.6)
PA , C ( t ) = Pr
{
(4.7)
PA ( t + ∆t ) = (1 − β ⋅ ∆t ) ⋅ PA ( t ) + α ⋅ T( t ) ⋅ ∆t ⋅ PC ( t )
A → C in [ t ; t +∆t ]
C→ A in [ t ; t +∆t ]
} = β ⋅ ∆t
stato A a t
} = α ⋅ T( t ) ⋅ ∆t
statoC a t
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179
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(4.8)
PC ( t + ∆t ) = β ⋅ ∆t ⋅ PA ( t ) + (1 − α ⋅ T( t ) ⋅ ∆t ) ⋅ PC ( t )
Facendo al solito, tendere a zero l’intervallo di discretizzazione dell’asse dei
tempi, si ottiene ad esempio nel caso di PA, l’equazione 4.9.
(4.9)
dPA ( t )
= −β ⋅ PA ( t ) + α ⋅ T( t ) ⋅ (1 − PA ( t ))
dt
Formalmente è stata dedotta l’equazione differenziale a cui soddisfa la
probabilità di trovare un canale proteico chemically-gated, nello stato
funzionale aperto, all’istante t. Quando il numero di tali canali diventa
molto grande, la frequenza relativa converge alla probabilità definita dalla
4.9, per la disuguaglianza di Tchebyceff. Questo significa è possibile
riguardare la 4.9 come l’equazione che definisce l’evoluzione temporale
della frazione di popolazione di canali nello stato aperto, considerando un
effetto medio deterministico equivalente.
Come al solito, a questa conclusione si sarebbe potuto giungere, a partire
dalla legge di azione di massa, applicata al seguente schema:
(4.10) R + T ↔ TR *
T continua ad essere la concentrazione di molecole di neurotrasmettitore
nello spazio intersinaptico, mentre [R] e [TR*] rappresentano le
concentrazioni dei recettori di membrana in forma libera e legata alle
molecole di neurotrasmettitore rispettivamente, corrispondenti a ciascun
canale proteico. Se definiamo r, la frazione di recettori in forma legata,
(4.11) r =
[TR*]
[R ] + [TR*]
possiamo ricavare la seguente equazione differenziale
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180
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(4.12)
dr
= −β ⋅ r + α ⋅ T( t ) ⋅ (1 − r )
dt
Utilizzando una notazione omogenea rispetto al formalismo introdotto nel
primo capitolo, è possibile descrivere il contributo alla variazione del
potenziale di membrana, in forma di corrente ionica:
(4.13) I syn =
∑η
i
i
N max
(
⋅ g syn ⋅ E syn − V
)
La quantità ηi rappresenta la variabile di attivazione per il canale di tipo iesimo ed è definita dalla seguente relazione:
(4.14) η ∈{ 0 ;1}
0
η= 
1
con PC
con PA
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181
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
mentre g syn rappresenta la conduttanza elettrica equivalente, quando tutti i
canali Nmax di questo tipo sono nello stato aperto. Nella 4.13 compare anche
la differenza fra il potenziale elettrico di membrana e un termine, che
formalmente rappresenta un potenziale di equilibrio: in realtà il valore
numerico di Esyn determina il tipo di sinapsi, eccitatoria o inibitoria, se
rispettivamente maggiore o minore del valore di riposo per V.
Infatti, una sinapsi di tipo eccitatorio induce attraverso la corrente definita
dalla 4.13, una depolarizzazione nella membrana postsinaptica (potenziale
eccitatorio postsinaptico - EPSP), e viceversa una sinapsi inibitoria induce
una iperpolarizzazione (potenziale inibitorio postsinaptico - IPSP).
Dal punto di vista formale, si dimostra che l’espressione 4.13 e la 4.9
coincidono, nelle ipotesi già esaminate, ed è evidente la relazione seguente:
 ∑ ηi 


(4.15) r = E i

 N max 


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182
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
4.3
Dinamica Deterministica per la Sinapsi Chimica
Il modello dedotto nel paragrafo precedente, e la sua equivalente descrizione
deterministica, costituiscono un’alternativa biologicamente più realistica
rispetto alle forme d’onda euristiche, proposte in letteratura per la
descrizione dei potenziali postsinaptici. Fra queste, un approccio classico di
cui si dà un breve cenno, è costituito dall’impiego dell’alpha function:
(4.16) C
dVpost
dt
= − F( Vpost ) + I ext
(4.17) I ext = g syn ( t ) ⋅ ( E syn − Vpost )
(4.18) gsyn ( t ) = g ⋅ ∑
k
(t − t ) ⋅ e
k
o
τ
-
t-t o k
τ
⋅ u( t − t o k )
Nell’espressione precedente τ è la costante di tempo con cui la funzione
decade esponenzialmente, mentre u(t) è la funzione gradino ed è diversa da
zero soltanto per t > 0.
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183
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
1,0
g 0,8(t)
syn
0,6
0,4
0,2
0,0
-5
t0
o
t +τ
o
5
10
t
Figura 4.1: Evoluzione temporale della conduttanza sinaptica, utilizzando
il modello di alpha-function, nel caso di singolo evento presinaptico.
Nel caso di una successione di eventi presinaptici, come indicato dalla 4.18,
l’evoluzione temporale della conduttanza sinaptica è la sovrapposizione
della forma d’onda esemplificata nella figura precedente, ciascuna centrata
in tok , istante del k-esimo potenziale d’azione presinaptico.
Questo approccio è basato soltanto su di una somiglianza approssimativa fra
andamento temporale e forma d’onda fisiologica misurata sperimentalmente.
Il difetto maggiore di questa descrizione è l'assenza di qualunque
meccanismo che possa tenere conto della saturazione della conduttanza
sinaptica, cioè del fatto che esiste una quantità limitata di risorse di
neurotrasmettitore nelle vescicole presinaptiche. Inoltre, dal punto di vista
computazionale, la simulazione al calcolatore per una sinapsi di questo tipo
comporta la memorizzazione di una coda per gli istanti tok, ed il calcolo di
una funzione esponenziale aggiuntiva per ogni nuovo evento sinaptico.
Il modello descritto nel paragrafo 4.2 permette invece di prevedere
implicitamente i fenomeni di sovrapposizione e di saturazione, senza inutile
dispendio di risorse di calcolo. La forma della conduttanza sinaptica è, in
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184
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
questo caso, g syn ( t ) = gsyn ⋅ r ( t ) , e si ammette per ipotesi che l’arrivo di un
potenziale d’azione al terminale presinaptico abbia come conseguenza il
rilascio di molecole di neurotrasmettitore, secondo un’evoluzione temporale
descritta da una funzione di tipo genericamente impulsivo. L’equazione
differenziale 4.12 può allora essere integrata in forma chiusa.
D’altronde, esistono numerose evidenze sperimentali del fatto che la
concentrazione T(t) abbia un’evoluzione approssimativamente impulsiva,
come nella giunzione neuro-muscolare, o nella sinapsi eccitatoria centrale
(Destexhe et al., ’94). Per esempio, la durata della permanenza di
glutammato (neurotrasmettitore eccitatorio) nella zona intersinaptica è stata
stimata dell’ordine di 1 millisecondo alla concentrazione di 1mM circa
(Destexhe et al., ’94) (si veda la figura 4.2).
1,0
[T]
0,8
T
max
0,6
0,4
0,2
0,0
-5
t0
o
t +t
o
5
time10
1
Figura 4.2: Variazione approssimata della concentrazione di
neurotrasmettitore nello spazio intersinaptico, indotta da un potenziale
d’azione presinaptico.
Se si assume, come in figura 4.2, che [T] = Tmax ( u( t - to ) - u ( t - to - t1 ) ),
allora è possibile ottenere la soluzione in forma chiusa, per r(t):
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185
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
t−to

−
τ
[ r( t o ) − r∞ ] ⋅ e r + r∞

(4.19) r( t ) = 
r(t ) ⋅ e - β ⋅[ ( t − t o ) −τ ]
 1

dove r∞ =
α ⋅ Tmax
α ⋅ Tmax + β
e τr =
1
α ⋅ Tmax + β
t o < t < t1
t > t1
.
In questa equazione to è l'istante in cui si verifica l'evento sinaptico,
corrispondente al rilascio di neurotrasmettitore in concentrazione istantanea
pari a Tmax, fino all'istante t1.
Una caratteristica importante delle descrizioni di interconnessione chimica
esaminate in questo paragrafo, è l'assunzione esplicita (alpha function) o
implicita (schema cinetico chimico) della sovrapposizione lineare degli
effetti, in risposta ad un treno di potenziali d’azione presinaptici. Questo
assunto è ovviamente solo una approssimazione, dato che l'equazione 4.12
ha in generale dipendenza non lineare dalle variazioni di T(t), e la sua
validità inizia a venire meno, quando l'intervallo fra potenziali d'azione
successivi è inferiore alla durata della funzione impulsiva che descrive T.
Questa situazione si verifica a regimi di attività elettrica presinaptica
relativamente elevata. La sovrapposizione lineare degli effetti tende
artificialmente a sostenere tali regimi di attività, mentre la trattazione non
lineare è efficiente nel frenare questa tendenza (Chapeau-Blondeau et al.,
’95). Data comunque la presenza di un limite superiore alla frequenza di
attività dei modelli di neurone, esaminati nel capitolo 2, si considera
accettabile l'approssimazione di sovrapposizione lineare degli effetti.
Si conclude questo paragrafo indicando i valori tipici per i parametri delle
equazioni, impiegati nelle simulazioni riportate nel prosieguo di questo
capitolo (tabella 4.1).
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186
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Tmax = 1 mM
(t1 - to ) = 1 msec
α = 2 m sec −1 mM −1
sinapsi veloce

−1
β = 1 m sec
α = 0.5 m sec −1 mM −1
sinapsi lenta

. m sec −1
β = 01
Esyn = Vrest + 70 mV
Esyn = Vrest - 10 mV
(eccitatoria)
(inibitoria)
Tabella 4.1: Parametri numerici impiegati nelle simulazioni del modello di
sinapsi chimica.
Il potenziale d’azione presinaptico è stato considerato un processo puntuale,
corrispondente all'attraversamento di una soglia (0 mV nei modelli biofisici,
Vth nell’integra-e-spara) da parte del potenziale di membrana del neurone
presinaptico. Nelle figure 4.3 e 4.4 è riportato l’andamento temporale di
alcune grandezze caratteristiche, nel caso di sinapsi eccitatoria veloce.
r
V
1,00
20
0,75
0
(mV)
0,50
-20
0,25
-40
110
120
130
140
150
160
170
0,00
180
time (msec)
Figura 4.3: Andamento temporale della frazione di recettori legati a
molecole di neurotrasmettitore, a confronto con l’attività presinaptica.
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187
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
V
pre
20
V
post
0
(mV)
-20
-40
1230
1240
1250
1260
1270
1280
1290
time (msec)
Figura 4.4: Potenziale eccitatorio postsinaptico (EPSP), a confronto con
l’attività presinaptica.
Nei paragrafi successivi, sono riportati i risultati della simulazione al
calcolatore dell’evoluzione dell’attività elettrica di una coppia di neuroni,
connessi reciprocamente attraverso sinapsi chimiche e elettriche. Per la
descrizione dei due potenziali di membrana, sono stati impiegati il modello
deterministico di Morris e Lecar ed il modello ridotto integra-e-spara.
Ad esempio, nel caso di connessione chimica, la forma delle correnti che
figurano nelle equazioni del potenziale di membrana per i due neuroni sono
rispettivamente:
(4.20) I syn 1 = g syn ⋅ r1 ( t ) ⋅ ( E syn − V1 )
(4.21) I syn
2
= g syn ⋅ r2 ( t ) ⋅ ( E syn − V2 )
Nel caso della sinapsi elettrica, viene assunta l’esistenza di una conduttanza
elettrica fra i due circuiti equivalenti che descrivono le membrane
plasmatiche a contatto, e la forma della corrente è la seguente:
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188
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(
(4.22) Iext = g gap ⋅ Vpre − Vpost
)
dove Vpre e Vpost rappresentano rispettivamente i potenziali di membrana dei
due neuroni connessi, e g gap il valore della conduttanza elettrica di
connessione. Dalla 4.22 quindi, si deduce immediatamente lo schema di
connessione
(4.23) Isyn 1 = g gap ⋅ ( V2 − V1 )
(4.24) Isyn 2 = g gap ⋅ ( V1 − V2 )
4.4
Il Fenomeno della Sincronizzazione dell’Attività
Si consideri una coppia di neuroni identici, privi di regolazione dinamica, e
soggetti alla stessa stimolazione in corrente costante Iext
1
= Iext
2
= 13
µA/cm2. Si fa in modo che le oscillazioni dei due potenziali d’azione non
abbiano fase relativa nulla, imponendo valori diversi per le condizioni
iniziali dei potenziali, o alternativamente tenendo fissate le variabili di stato
di uno dei due neuroni, per un intervallo temporale inferiore al periodo di
oscillazione: nelle simulazioni riportate si è scelto di bloccare V2 e n2 al
valore iniziale, per i primi 130msec della simulazione.
In figura 4.5 è tracciato l’andamento temporale dei potenziali di membrana
V1 e V2 dei due neuroni, utilizzando una sinapsi chimica (4.20 - 4.21)
simmetrica di tipo veloce, e il modello di Morris e Lecar. La connessione
diventa attiva dall’istante t = 1 secondo in poi, e come si vede dal grafico
inizialmente le oscillazioni non sono sincronizzate.
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189
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
V
V
1
40
2
20
0
(mV)
-20
-40
-60
800
900
1000
1100
1200
1300
time (msec)
Figura 4.5: Sincronizzazione dell’attività elettrica di una coppia di neuroni
soggetti alla stessa stimolazione in corrente utilizzando g syn = 0,3mS/cm2.
La connessione è attiva dall’istante indicato dalla freccia in poi.
Si verifica che utilizzando qualunque valore positivo non nullo di g syn , si
ottiene una sincronizzazione dell’attività elettrica in tempo più o meno
lungo. Se i due neuroni vengono disaccoppiati, ad istanti successivi al
raggiungimento della sincronizzazione, questa permane indefinitamente.
La situazione indicata nelle figure 4.6 e 4.7 corrisponde alla connessione,
nelle stesse condizioni di prima, di due neuroni identici ma soggetti ad una
differente
corrente
di
stimolazione:
matematicamente
si
tratta
dell'accoppiamento di due oscillatori dotati di frequenze libere diverse
(Mirollo et al., ’90).
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190
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
V
V
1
40
V
(a)
2
20
V
1
40
(b)
2
20
0
0
(mV)
(mV)
-20
-20
-40
-40
-60
800
850
900
950
-60
800
1000
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
time (msec)
time (msec)
Figura 4.6: Sincronizzazione dell’attività elettrica di due neuroni, nelle
stesse condizioni della figura 4.5, soggetti a correnti di stimolazione
differente (Iext1=13µA/cm2, Iext2 = 10µA/cm2): (a) neuroni disaccoppiati, (b)
neuroni connessi dall’istante indicato dalla freccia in poi.
Si assiste ad una sincronizzazione delle oscillazioni del neurone più lento
alla frequenza del più veloce, anche se tale sincronizzazione viene
immediatamente perduta, qualora si sospenda l'accoppiamento (figura 4.7).
V
V
1
40
2
20
0
(mV)
-20
-40
-60
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
time (msec)
Figura 4.7: Perdita della sincronizzazione dell’attività elettrica, dopo la
disconnessione dei neuroni, nelle stesse condizioni di figura 4.6.
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191
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Di seguito sono riportati i circuiti equivalenti e l’accoppiamento impiegato,
nel caso di sinapsi chimica (figura 4.8) e elettrica (figure 4.9).
Figura 4.8: Circuito equivalente di membrana eccitabile e modello
equivalente della connessione attraverso sinapsi chimica.
g gap
Figura 4.9: Circuito equivalente di membrana eccitabile e modello
equivalente della connessione attraverso sinapsi elettrica.
Le stesse simulazioni sono state ripetute anche nel caso di connessione
elettrica, verificando gli stessi comportamenti di sincronizzazione e di
comportamento successivo alla sospensione della interconnessione.
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191
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
V
V
1
40
2
20
0
(mV)
-20
-40
-60
800
900
1000
1100
1200
1300
time (msec)
Figura 4.10: Sincronizzazione dell’attività elettrica di una coppia di
neuroni soggetti alla stessa stimolazione in corrente utilizzando
g gap =0.3mS/cm2. La connessione è attiva dall’istante indicato dalla freccia
in poi.
V
V
1
40
V
(a)
2
20
2
20
0
0
(mV)
(mV)
-20
-20
-40
-40
-60
800
(b)
V
1
40
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
-60
1950
2000
time (msec)
2050
2100
2150
2200
2250
2300
time (msec)
Figura 4.11: (a) Sincronizzazione dell’attività elettrica di due neuroni, nelle
stesse condizioni della figura 4.10, soggetti a correnti di stimolazione
differente (Iext1 = 13µA/cm2, Iext2 = 10µA/cm2); (b) perdita della
sincronizzazione, come per la 4.7.
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192
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
4.5
Simulazione di Reti Estese
L’utilizzo del modello integra-e-spara, come si è detto, consente una
notevole accelerazione dei tempi di simulazione, così da permettere l’analisi
di vasti insiemi di unità interconnesse. Una delle caratteristiche più
significative di questo approccio, è la possibilità di continuare ad impiegare
il modello di sinapsi chimica descritto in precedenza, al posto degli
irrealistici coefficienti moltiplicativi, comuni nella teoria formale delle reti
neurali (Hopfield, ’82; Hopfield et al., ‘95). Il modello di sinapsi elettrica
non è invece impiegabile, per il fatto che l’andamento del potenziale di
membrana nella descrizione fornita dal modello integra-e-spara, giustifica
solo il comportamento sotto-soglia, mentre lascia privo di descrizione il
fenomeno del potenziale d’azione. Per questa ragione, l’intervallo di
variabilità di V(t) è diverso da quello assunto nella descrizione biofisica
completa, e l’interazione attraverso una sinapsi di tipo elettrico non sarebbe
equivalente nei due casi.
E’ stato possibile simulare l’evoluzione temporale di 100 neuroni identici,
soggetti alla stessa stimolazione di corrente pari a 13µA/cm2, descritti
dall’equazione dell’integra-e-spara (2.16). Tali unità sono state connesse
secondo uno schema di interconnessione totale, ovvero ciascun neurone è
connesso a tutti gli altri, per mezzo di una sinapsi eccitatoria uguale per tutti.
Nella figura seguente è stato riportato, al variare del tempo, l’istante
corrispondente per ciascuna unità ad un potenziale d’azione: un raster-scan.
Tale rappresentazione, molto utilizzata per la rappresentazione di
registrazioni elettrofisiologiche multi-sito, consente di contrassegnare per
ogni neurone, l’istante temporale in cui si è avuto attraversamento della
soglia di eccitabilità.
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193
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
100
Indice unita’
80
60
40
20
0
200
220
240
260
280
300
time (msec)
Figura 4.12: Raster-scan dell’attività elettrica coordinata di 100 unità,
dopo la disconnessione indicata dalla freccia.
Nella figura 4.12, la freccia indica l’istante di disconnessione totale di
ciascun neurone da tutti gli altri, ed il mantenimento della sincronizzazione.
Questa si verifica per ogni valore positivo non nullo del parametro g syn , e in
condizione di pari stimolazione in corrente costante, di ciascuna unità (da
paragonare alle condizioni di figura 4.5).
(a)
(b)
80
80
Indice unita’
100
Indice unita’
100
60
40
20
0
60
40
20
0
80
90
100
110
120
180
190
time (msec)
200
210
220
time (msec)
Figura 4.13: Raster-scan dell’attività elettrica di 100 unità, in condizione di
stimolazione costante diversa per ciascuna unità: (a) sincronizzazione
dell’attività a seguito della connessione, indicata dalla freccia, e (b) perdita
della sincronizzazione a seguito della disconnessione, indicata dalla
freccia.
Viceversa nella 4.13, è rappresentata la sincronizzazione e la successiva
perdita di sincronizzazione nelle stesse ipotesi del paragrafo precedente,
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194
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
utilizzando valori differenti nella stimolazione in corrente costante dei
neuroni (da confrontare con le figure 4.6 - 4.7). Per la precisione, ciascuna
delle 100 unità è stata stimolata con un valore costante di corrente, scelto da
una distribuzione normale di media 13µA/cm2, e deviazione standard
2µA/cm2.
4.6
Sintesi Proteica e Sinapsi Eccitatoria
Se adesso viene preso in considerazione il modello regolato, descritto dalle
equazioni 3.22 - 3.26, impiegando i parametri usuali già adottati nelle
simulazioni precedenti, può essere studiato l’effetto della regolazione
dinamica sulla evoluzione temporale delle grandezze elettriche di due
neuroni connessi, nelle stesse ipotesi precedenti.
E' stato studiato il comportamento di una coppia di neuroni regolati
dinamicamente, interconnessi per mezzo di sinapsi chimica veloce, come nei
paragrafi precedenti. Precedentemente (si veda il capitolo 3) si è dimostrato
come le caratteristiche intrinseche del modello regolato possano variare,
modificando le condizioni esterne o la stimolazione in corrente. Secondo
queste considerazioni, è ragionevole considerare nella stessa tipologia anche
le interazioni di tipo sinaptico. Qualitativamente, è perciò possibile
anticipare l'esistenza di fenomeni di alterazione delle caratteristiche
intrinseche a seguito dell'accoppiamento di un neurone con un altro.
Se la sincronizzazione delle oscillazioni del potenziale di membrana di una
coppia di neuroni non regolati, dimostra l'esistenza di un’influenza
reciproca, nel caso regolato esisterà
certamente una corrispondente
alterazione nella concentrazione del calcio intracellulare e una conseguente
spinta alla variazione dei parametri intrinseci per riportare ai valori ideali
l’attività del neurone.
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195
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
g
g
Ca 1
0,76
Ca 2
0,75
(mS/cm2)
0,74
0,73
0,72
0,71
0,70
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
time (min)
Figura 4.14: Evoluzione temporale delle conduttanze massime relative alla
corrente calcio di due neuroni regolati, in corrispondenza di una
connessione reciproca eccitatoria chimica, come in figura 4.5: le frecce
indicano l’intervallo temporale in cui la connessione è attiva.
Nella figura 4.14, è possibile osservare l'effetto della interconnessione,
quando i due neuroni siano caratterizzati dai meccanismi di regolazione
dinamica, utilizzando τ = 20 secondi. Le due frecce delimitano l'intervallo
temporale durante il quale la connessione è attiva e dimostrano chiaramente
l'esistenza di una modificazione dei valori delle conduttanze massime, in
risposta alla connessione. Tale connessione viene stabilita a transitori di
regolazione proteica esauriti, impiegando due neuroni soggetti alla stessa
stimolazione in corrente e non inizialmente sincronizzati (in una delle due
unità
vengono tenute fissate tutte le variabili di stato per i primi 130
millisecondi).
Oltre alla sincronizzazione dell’attività elettrica, nelle simulazioni si è
osservato un fenomeno nuovo e interessante: un differenziamento cellulare
temporaneo indotto dalla connessione. Se la durata della connessione non è
sufficientemente lunga, una volta disaccoppiati, i potenziali di membrana
saranno caratterizzati da evoluzione temporale transitoriamente differente,
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196
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
con conseguente perdita del sincronismo. Questa situazione è ben
individuata in figura 4.14a, dove i valori delle conduttanze massime di
membrana relative alla corrente ionica calcio, seppure identici prima della
connessione, sono soggetti ad un diverso andamento temporale transitorio,
dell’ordine dei 10 secondi.
0,7528
0,7530
(a)
g
g
g
Ca 2
0,7522
0,7520
(b)
Ca 2
0,7526
Ca 1
(mS/cm2)
(mS/cm2)
g
0,7524
0,7518
1,5
Ca 1
0,7528
0,7526
0,7524
0,7522
0,7520
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
0,7518
1,5
2,0
time (min)
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
time (min)
Figura 4.15: (a) Differenziamento transitorio delle proprietà elettriche
intrinseche, a seguito della connessione chimica; (b) l’effetto si esaurisce
dopo un transitorio a costante di tempo τ.
Per il solo fatto che le oscillazioni del potenziale di membrana di uno dei
due neuroni sono inizialmente fuori fase rispetto l’altro, si assiste ad un
diverso comportamento delle proprietà di permeabilità agli ioni Ca2+, in
conseguenza dell’accoppiamento. Tale differenziamento ha durata limitata
nel tempo, dell’ordine di una frazione della costante di tempo τ che regola il
processo di regolazione dinamica. Con il passare del tempo, i due neuroni
tendono ad assumere nuovamente lo stesso valore per le conduttanze
massime e una volta disaccoppiati, ripristinano le loro caratteristiche
originarie nello stesso modo, mantenendo la sincronizzazione.
Come si è già notato, nel caso in cui il disaccoppiamento occorresse prima
dell’esaurimento totale del transitorio indicato in fig. 4.15a, sarebbe
possibile che ciascun neurone ripristinasse le proprie caratteristiche
elettriche, muovendosi su di una traiettoria differente nel piano delle fasi e
perdendo così la sincronizzazione rispetto l’altro. In altri termini, se le due
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197
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
unità presentano appena disconnesse, valori diversi per le conduttanze
massime di membrana, a parità di corrente di stimolazione esterna anche la
frequenza di oscillazione del potenziale sarà differente, e per definizione, il
sincronismo verrà perduto.
Anche nel caso di interconnessione attraverso una sinapsi elettrica si verifica
un fenomeno simile, per il quale valgono le medesime considerazioni.
g
0,7530
(a)
Ca 1
0,7532
g
0,7531
g
(b)
Ca 1
g
Ca 2
Ca 2
0,7530
(mS/cm2)
(mS/cm2)
0,7529
0,7528
0,7529
0,7528
0,7527
0,7526
0,7527
0,7525
0,7524
0,7526
1,5
2,0
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,5
2,1
time (min)
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
time (min)
Figura 4.16: (a) Differenziamento transitorio delle proprietà elettriche
intrinseche, nel caso di sinapsi elettrica; (b) l’effetto si esaurisce dopo un
transitorio a costante di tempo τ.
Per concludere, si è osservato che una volta che si sia stabilita una
connessione fra due neuroni regolati, a regime, ovvero nei quali il tasso di
sintesi proteica eguaglia il tasso di rimozione dei canali proteici dalla
membrana, si verifica una variazione transitoria delle caratteristiche
elettriche, insieme al fenomeno della sincronizzazione. Questi effetti
possono permanere anche diversi minuti, regolando opportunamente le
costanti di tempo, in vista di una descrizione più realistica di fenomeni
biochimici che avvengono su scale temporali notevolmente più lente di
quelle utilizzate nelle simulazioni.
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198
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Sotto l’effetto della connessione reciproca, una volta esauriti i transitori,
entrambi i neuroni riporteranno al nuovo valore di regime, comune ad
entrambi, i valori delle proprie conduttanze massime di membrana.
Qualora disaccoppiati in questa fase, essi mostrerebbero il medesimo
comportamento e il mantenimento della sincronizzazione, riportando ai
valori originali le proprie caratteristiche intrinseche.
Se al contrario, il disaccoppiamento occorresse prima che sia stato raggiunto
il nuovo regime, i due neuroni potrebbero manifestare un’attività differente,
pur essendo descritti dal medesimo sistema di equazioni differenziali e
soggetti alle stesse stimolazioni esterne. Con il passare del tempo, anche
questo transitorio si esaurisce e i due neuroni raggiungono nuovamente lo
stesso regime originale, ritornando identici seppure non più sincronizzati.
4.7
Sintesi Proteica nel Modello Integra-e-Spara
Ancora limitatamente al caso della sola sinapsi chimica, vengono riportati i
raster-scan dell’attività elettrica di 100 neuroni identici interconnessi
totalmente, descritti dal modello integra-e-spara regolato dinamicamente.
(a)
(b)
100
100
80
Indice Unita’
Indice Unita’
80
60
40
60
40
20
20
0
0
2000
0
200
400
600
2200
800
time (msec)
2400
2600
2800
3000
time (msec)
Figura 4.17: (a) Andamento temporale di rilassamento, in assenza di
accoppiamento chimico; (b) evoluzione temporale dell’attività della rete
una volta interrotta la connessione.
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199
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(b)
(a)
100
100
80
Indice Unita’
Indice Unita’
80
60
40
60
40
20
20
0
0
2000
0
250
500
750
2250
1000
time (msec)
2500
2750
3000
time (msec)
Figura 4.18: Come in figura 4.17, ma ciascuna delle 100 unità è soggetta
ad una corrente di stimolazione differente
Le figure 4.17 e 4.18 illustrano in modo estremamente evidente la
differenziazione dei neuroni della rete. In entrambi i casi, una volta
raggiunto il regime e attivata la connessione totale per le 100 unità della
rete, si assiste al fenomeno della sincronizzazione dell’attività elettrica,
indotta dall’incremento della corrente totale che raggiunge ciascun neurone
(correnti sinaptiche e corrente esterna costante). I parametri del modello
variano, modificando le proprietà intrinseche della membrana di ciascuna
unità, a tal punto da produrre un periodo silente, conseguenza della
disconnessione. Dal momento che l’incremento dell’attività elettrica ha
imposto alti livelli di concentrazione intracellulare di calcio, il meccanismo
di rimozione di canali proteici è diventato preponderante sul tasso di sintesi
proteica. Questo ha fatto decrescere notevolmente la quantità di canali
proteici presenti su ciascuna membrana plasmatica, in modo da mantenere
un’attività elettrica stabile. Ma a seguito della disconnessione, diminuito
drasticamente il termine di corrente complessiva, le proprietà intrinseche di
ciascuna unità sono cambiate rispetto all’inizio. Al passare del tempo, si
ristabilisce la solita attività di regime, in un successivo assestamento dei
fenomeni di sintesi proteica e regolazione dinamica.
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200
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
4.8 Integratore o Rivelatore di Coincidenze ?
A conclusione di questo capitolo, si vogliono prendere in considerazione
alcune ipotesi su quello che potrebbe essere il ruolo funzionale di ciascuna
unità in una rete nervosa. E’ opinione comune che il comportamento di un
singolo neurone sia assimilabile a quello di un dispositivo di somma o
integrazione dei potenziali sinaptici ad esso afferenti. D’altronde, la struttura
del circuito elettrico equivalente (si vedano le figure 1.2, 4.8 e 4.9), insieme
con le proprietà formali dedotte nel capitolo 2, rendono ragione di una
dinamica integrativa (paragrafo 2.7, equazione 2.29) riconducibile a quella
di un filtraggio passa-basso. Dal punto di vista sperimentale poi, sono
innumerevoli le conferme per questa interpretazione, specie nel caso dei
segnali sensoriali afferenti, a livello di midollo spinale.
Una recente proposta suggerisce invece, che i neuroni corticali operino
essenzialmente come rilevatori di coincidenze temporali degli ingressi
sinaptici (Konig et al., ’96). Tale concetto è motivato dall’assunzione
fondamentale che l’attività correlata delle unità di una popolazione di
cellule
nervose,
sia
di
grande
importanza
per
l’elaborazione
dell’informazione. Inoltre, la struttura del codice neuronale, ovvero il modo
in cui l’informazione afferente e efferente viene codificata in un treno di
potenziali d’azione, costituisce un tema estremamente dibattuto che in
questa prospettiva potrebbe tanto essere ricondotto alla frequenza istantanea
di oscillazione del potenziale, quanto alla temporizzazione precisa di
occorrenza di un potenziale d’azione.
Per poter analizzare tali comportamenti, è stato impiegato il modello
integra-e-spara non regolato, e il modello di sinapsi chimica (paragrafo 4.3):
nelle simulazioni riportate di seguito, si è studiato l’andamento temporale
del potenziale di membrana di un singolo neurone, raggiunto da 10 sinapsi
chimiche eccitatorie, sollecitate in modo casuale. E’ stato però
indispensabile utilizzare un accorgimento matematico, per la generazione di
una sollecitazione, o bombardamento sinaptico, temporalmente strutturato.
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201
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Dei 10 ingressi sinaptici,
quello corrispondente all’indice 0 è stato
ripetutamente attivato secondo il processo impulsivo poissoniano (Papoulis,
’91):
(4.25) x o ( t ) = ∑ δ( t − t k )
k
k = 1, 2, 3,... sono distribuiti secondo una densità di
dove gli istanti t k
distribuzione di probabilità poissoniana. Per la generazione degli altri 9
segnali di stimolazione, è stata formulata la seguente definzione:
(
(4.26) x i ( t ) = ∑ δ t − t j
j
)
i ∈{1, 2,..., 9} con tj = tk con probabilità
Psync
In altri termini, la probabilità che ad un certo istante temporale, il generico
ingresso xi con i = 1..9 venga attivato, essendo attivato l’ingresso x o, è pari
ad una funzione crescente, di un parametro deterministico.
 x ( t ) = δ( 0)

(4.27) Pr  i j
x o ( t j ) = δ( 0) = Psync = sync + (1 − sync ) ⋅ p

dove p è la probabilità di attivazione del segnale x o, entro un intervallo
temporale definito. Da questo segue che, nei casi limite in cui la variabile
deterministica sync sia pari a 0 oppure a 1, vale
(4.28) Psync
p

=
1

sync = 0
sync = 1
Segue dalla definizione, anche la seguente proprietà
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202
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
 x ( t ) = δ( 0 )

(4.29) Pr  i j
=p
x
(
t
)
=
0
o
j


Resta quindi dimostrato che per sync crescente, il segnale generico tenderà
ad essere attivo nel medesimo istante temporale di attivazione del segnale
xo, mentre ne sarà indipendente, quando non attivo.
ν = 5 Hz
10
sync = 1
Ingresso Sinaptico
8
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
tempo (msec)
Figura 4.19: Generazione di un processo stocastico poissoniano impulsivo
vettoriale, completamente sincronizzato.
In figura 4.9, è stata riportata l’occorrenza di attivazione dei 10 ingressi
sinaptici, nel caso di sincronizzazione deterministica, ovvero sync pari a 1.
Altri esempi, per valori differenti di sync, sono riportati nella figura 4.20.
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203
Ingresso Sinaptico
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
0
Ingresso Sinaptico
sync = 0.2
sync = 0
200
400
600
800
1000
10
0
200
400
600
800
10
sync = 0.5
8
8
6
6
4
4
2
2
0
1000
sync = 0.8
0
0
200
400
600
tempo (msec)
800
1000
0
200
400
600
800
1000
tempo (msec)
Figura 4.20: A rigore, solo la traccia corrispondente a xo è un processo
poissoniano impulsivo di frequenza media pari a 5Hz.
Il criterio che permette di distinguere fra il comportamento di tipo
integrativo, e la rilevazione delle coincidenze temporali, è la relazione fra
l’intervallo di tempo in cui i contributi sinaptici vengono integrati e l’interspike interval medio(paragrafo 2.10). Se l’intervallo di integrazione è breve,
a confronto con l’inter-spike interval medio, prevale il comportamento di
rilevazione delle coincidenze temporali, altrimenti le caratteristiche
integrative. In altre parole, è soltanto la costante di tempo equivalente della
membrana cellulare a definire le proprietà funzionali della singola cellula.
Questa affermazione è stata verificata utilizzando per ciascuno degli
ingressi, un tipo di sinapsi eccitatoria veloce e senza ritardi di propagazione,
e per la descrizione del potenziale di membrana il modello integra-e-spara
non regolato caratterizzato da una costante di tempo pari a 10 millisecondi:
la scelta dei valori di capacità C e conduttanza massima g , tale che
C / g = 10 msec.
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204
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
-40
sync = 1
20
-60
(mV)
10
-80
0
0
200
400
600
800
1000
tempo (msec)
Figura 4.21: Quando g syn= 0.03 mS/cm2 sono necessari 10 ingressi
coincidenti temporalmente per fare oltrepassare la soglia di eccitabilità
(basterebbero solo 5 coincidenze temporali,
per g syn= 0.06 mS/cm2 ).
Nella figura precedente è stato esemplificato il comportamento di un
neurone,
come
rilevatore
di
almeno
10
coincidenze
temporali
nell’attivazione degli ingressi sinaptici, per la particolare scelta del valore di
g syn.
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205
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
τ = 1 sec
τ = 0.01 sec
-40
-50
(mV)
-60
0
50
100
150
200
250
300
350
400
tempo (msec)
Figura 4.22: Confronto fra l’evoluzione temporale del potenziale di
membrana, al variare della costante di tempo.
Nelle figure 4.23 - 4.24, si riportano le simulazioni relative al caso di
rilevazione di coincidenze per C / g = 10 msec, e di integrazione per C / g
= 1 sec, rispettivamente. In entrambi i casi si è scelto g syn= 0.06 mS/cm2, e
sync = 0.2.
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206
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
sync = 0.2
τ = 10msec
-40
40
30
20
-60
(mV)
10
0
-80
0
200
400
600
800
1000
tempo (msec)
Figura 4.23: Rilevazione di almeno 5 coincidenze temporali.
sync = 0.2
40
τ = 1 sec
-40
30
20
-60
(mV)
10
0
-80
0
200
400
600
800
1000
tempo (msec)
Figura 4.24: Comportamento integrativo.
Concludendo questo capitolo, anche alla luce dell’evidenza di un
differenziamento delle proprietà elettriche intrinseche esaminato nel
paragrafo 4.7, sembra probabile che il vero ruolo di un neurone corticale sia
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207
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
allo stesso tempo quello di integratore e di rilevatore di coincidenze. Questa
ipotesi potrebbe essere ragionevole sia dal punto di vista dell’embriogenesi,
dove una modalità di funzionamento piuttosto che un’altra potrebbe
contribuire meglio alla iniziale organizzazione della rete ma non al suo
addestramento, sia dal punto di vista ontogenetico: in condizioni diverse di
stimolazione sensoriale o di attivazione di vaste aree corticali, potrebbe
risultare assai diverso l’impiego di una codifica in coincidenze temporali, al
posto di una codifica in frequenza istantanea.
La regolazione dinamica, potrebbe quindi costituire un meccanismo
intrinseco dipendente dall’attività, di modifica delle proprietà funzionali di
una rete complessa, variando in tempo reale le caratteristiche elettriche di
ciascuna unità.
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208
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Capitolo 5
Crescita Cellulare
e Auto-organizzazione
5.1
Sviluppo del Sistema Nervoso
La maggior parte delle cellule nervose di un essere vivente si organizza in
reti neuronali funzionalizzate nel corso dell’embriogenesi. Fra gli
innumerevoli fattori che influenzano la struttura definitiva, è ormai chiaro
che l’attività elettrica gioca un ruolo predominante (Nelson et al., ’89; Fields
et al., ’92). Come è già stato detto a proposito dell’attività spontanea, molti
meccanismi che determinano la connettività sinaptica, come la crescita
neuritica, il comportamento del cono di crescita, la morte cellulare, la
sinaptogenesi e le variazioni dell’efficacia sinaptica sono processi modulati
dall’attività elettrica. Questa per esempio, è in grado di arrestare la crescita
delle arborizzazioni neuritiche, e di generare delle retrazioni o delle
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209
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
alterazioni morfologiche nel cono di crescita (Filelds et al., ’92; van Ooyen
et al., ’94).
Il risultato di questi processi è una reciproca influenza fra lo sviluppo della
struttura, della funzione e della connettività e l’attività della rete stessa,
caratteristica dei sistemi auto-organizzanti. Un dato insieme di neuroni può
generare un pattern di attività coordinata in grado di modificare
l’organizzazione della rete, con conseguente evoluzione dell’attività elettrica
stessa, e ulteriore modifica strutturale (van Ooyen, ’94). Nella fase di
sviluppo quindi, una rete nervosa è un sistema dinamico in cui la struttura, il
numero delle unità che la compongono e le proprie caratteristiche funzionali
possono variare nel tempo, in parte sotto il controllo dell’attività del sistema
stesso. Inoltre, la presenza di tali feedback potrebbe avere implicazioni
significative non soltanto per l’emergenza dell’organizzazione e della
funzione di una rete, ma anche per la continuità e la plasticità di
funzionamento nell’organismo adulto, dal momento che molti dei fenomeni
citati restano attivi anche nei sistemi maturi.
In questo capitolo, verrà preso in considerazione l’aspetto di autoorganizzazione della connettività in una rete bidimensionale di cellule
nervose, connesso all’effetto dell’attività elettrica, per il quale esiste una
vasta evidenza sperimentale (Barinaga, ’95; van Ooyen et al., ’95). L’attività
elettrica di un neurone in coltura è in grado di arrestare reversibilmente
l’espansione delle arborizzazioni neuritiche, attraverso l’intermediazione
della concentrazione intracellulare di ioni calcio (si veda anche il capitolo
3): un livello elevato di attività e di conseguenza in tale concentrazione,
produce nella maggioranza dei casi una retrazione dei neuriti; viceversa un
basso livello di ioni Ca2+ induce una crescita ulteriore. Il meccanismo
descritto lega fra loro l’attività elettrica, la concentrazione intracellulare di
calcio e la morfologia del citoscheletro, e probabilmente ha caratteristiche
di universalità, per cellule di vario tipo, come un numero sempre maggiore
di esperimenti sembra dimostrare.
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210
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
5.2
Il Modello di Crescita
Si considera un insieme di N neuroni, ciascuno dei quali collocato su di una
superficie bidimensionale. Ad ogni unità, si associano convenzionalmente le
coordinate (Xi ; Yi) di un punto nel piano, rispetto ad un sistema di
riferimento cartesiano. L’evoluzione temporale di queste cellule nervose, è
descritta da 3 variabili di stato:
• Vi
il potenziale elettrico di membrana
• [Ca]IN i
la concentrazione intracellulare di ioni Ca2+
• Ri
il raggio del campo neuritico
Per la dinamica del potenziale di membrana viene utilizzato per semplicità,
il modello integra-e-spara con refrattarietà, privo di regolazione dinamica.
L’equazione fondamentale per tale modello è riassunta di seguito.
(5.1)
dVi

per Vi ( t ) < Vth
C i ⋅ dt = g i ⋅ ( Vo − Vi ) + I ext i + n i ( t )


V ( ξ ) = V
ξ ∈[ t o + ; t o + + τ ref ] se Vi ( t o − ) = Vth
o
 i
Per semplicità si suppone che tutte le unità della rete siano caratterizzate
dallo stesso insieme di parametri elettrici intrinseci, ovvero si impone che
(Amit et al., ’96; Destexhe, ‘97)
∀ i ∈ { 0,1, 2,..., N − 1}
C i = C = 1µF / cm 2
g i = g = 01
. mS / cm 2
Vo = −65 mV
Vth = −50 mV
τ ref = 2 m sec
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211
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Il tipo di connessione fra due unità qualsiasi, è realizzato per mezzo di una
sinapsi chimica veloce, per la quale viene impiegato il modello cinetico
descritto nel capitolo precedente (equazioni 4.17, 4.19), scegliendo i
parametri indicati nella tabella 4.1. La forma della corrente sinaptica totale
per il neurone i-esimo, è data allora da
(
N −1
(5.2)
I ext i = ∑ g syn ( i, j) ⋅ r j ( t ) ⋅ E syn − Vi
j= 0
)
g syn ( i, i ) = 0 mS / cm 2
Si suppone che tutte le sinapsi siano di tipo eccitatorio, anche in base al
fatto che nelle fasi iniziali dello sviluppo, questa è la forma predominante di
attività sinaptica. Viene così fissato il valore del potenziale di equilibrio
sinaptico, equivalente a
Esyn = Vo + 70 mV = 5 mV
Nell’equazione 5.2, per il neurone i-esimo la sommatoria è estesa a tutte le
unità della rete, ed è stata resa esplicita la dipendenza dalla coppia di indici i
e j, per la conduttanza sinaptica massima. Quando tale conduttanza è nulla, i
due neuroni corrispondenti non sono interconnessi.
Nella 5.1, viene incluso anche un termine di stimolazione n i(t) di tipo
stocastico,
in
modo
da
descrivere
l’attività
elettrica
spontanea,
precedentemente esaminata al termine del capitolo 2. Per ogni t, ni(t) è una
variabile aleatoria distribuita secondo una densità di distribuzione di
probabilità normale, ed è caratterizzata dalle seguenti proprietà statistiche:
∀ i ∈{ 0,1, 2,..., N − 1}
(5.3)
E{ n i ( t )} = 0
E{ n i ( t ) ⋅ n i ( t + τ )} = σ 2 ⋅ δ (τ )
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212
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Rispetto all’equazione 2.35, si osserva la mancanza di una dipendenza
esplicita dall’estensione S della superficie della membrana, che in una
descrizione dei fenomeni di crescita cellulare, sembrerebbe assai critica.
A rigore, la quantità S introdotta nel capitolo 2 rappresenta la superficie di
membrana cellulare caratterizzata da una stessa densità di canali proteici,
intercalati al doppio strato fosfolipidico. In prima approssimazione, si può
assumere che l’area del soma cellulare non sia soggetta ad alcuna variazione
significativa: nel caso di una cellula sferica, ad esempio di raggio 5µm, tale
estensione vale approssimativamente 300 µm2. Durante l’embriogenesi, ciò
che risente maggiormente dei fenomeni di crescita cellulare è l’estensione
dei processi neuritici: assone e dendriti. Per questi ultimi, non è
generalmente prevista alcuna proprietà di eccitabilità, essendo strutture
essenzialmente passive. L’assone invece ha proprietà eccitabili, ma le zone
della sua membrana dotate di tali caratteristiche corrispondono ad aree
(nodi di Ranvier) di piccola dimensione, in cui sono presenti canali ionici
sensibili alle variazioni del potenziale elettrico.
Con queste considerazioni, si vuole giustificare l’ipotesi che non vi sia un
sostanziale cambiamento nell’attività elettrica endogena al crescere del
campo neuritico associato alla cellula, essendo trascurabile la variazione
dell’estensione della parte di membrana cellulare in cui sono presenti i
canali proteici.
Si impone quindi il livello di attività spontanea ad un valore costante
rispetto S, e in accordo con l’ordine di grandezza riportato in letteratura
(Hubel, ’89; Amit et al., ’96), per esempio nel caso delle cellule della
corteccia visiva di alcuni mammiferi, si sceglie 4 Hz per la frequenza media.
In conseguenza dell’inversione dell’espressione analitica derivata per
l’integra-e-spara stocastico nel paragrafo 2.9, fissata tale frequenza media di
attività spontanea, la densità spettrale di potenza σ2 del processo stocastico
ni(t) è determinata nel valore di (2.8)2 µA2 Hz.
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213
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Per la descrizione della concentrazione del calcio intracellulare, viene
impiegato il modello semplificato, già introdotto nel capitolo 3 e riassunto
dalla seguente espressione:
(5.4)
d[Ca ]IN i
dt
∆ − k ⋅ [Ca ]IN i

=
− k ⋅ [Ca]
IN i

(
+
+
t ∈ t o ; t o + τ AP
]
t > t o + τ AP
In corrispondenza di ciascun potenziale d’azione, è previsto un influsso
nell’unità di tempo pari a ∆ µM, durante un intervallo temporale di
ampiezza τAP, durata approssimativa di un potenziale d’azione. Il valore di
quest’ultima è stato scelto pari a 1 millisecondo (Destexhe, ’97), il valore di
∆ pari a 0.006 µM / msec (Neely et al., ‘93), e infine k è stato posto pari a
700-1 msec-1 (Jaffe et al., ’94).
Per quanto riguarda la morfologia e la dinamica associata alla crescita di
ciascun neurone della rete, si associa ad ogni unità un campo neuritico
circolare bidimensionale. Il raggio Ri di tale campo viene considerato
tempo-variante, e descritto dalla seguente equazione differenziale:
(5.5)
 dR i
 C T − [Ca ]IN 
R i ∈( R MIN ; R MAX )

 dt = ρ ⋅ tanh 

λ


R ( t + ) = R
se R i ( t − ) ≥ R MAX
MAX
 i

R ( 0) = R
o
 i
Inizialmente, questo coincide con il raggio equivalente del soma cellulare,
uguale per tutti i neuroni e pari a R o = 5µm .
In questa astrazione, nessuna distinzione fra dendriti e assoni è stata fatta, e
la struttura circolare descritta dalla 5.5 vuole rappresentare l’estensione
complessiva equivalente dell’arborizzazione di una cellula nervosa (si veda
la figura 5.1).
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214
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Figura 5.1: Modello di campo neuritico circolare.
La forma del secondo membro dell’equazione differenziale che figura nella
5.5, è stata scelta in base alle considerazioni fatte nel precedente paragrafo e
alle innumerevoli evidenze sperimentali che legano il tasso di elongazione
delle arborizzazioni alla concentrazione di calcio intracellulare, e quindi
all’attività elettrica del neurone (equazione 5.4).
ρ
ρ tanh (( CT - [Ca]IN) / λ )
1,0
dR / dt
0,5
0,0
0
-0,5
--1,0
ρ-4
-2
0
2
CT
4
[Ca]IN
Figura 5.2: Dipendenza dalla concentrazione intracellulare di calcio, per
l’evoluzione temporale del raggio del campo neuritico.
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215
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Come si evince dalla figura precedente, quando la concentrazione
intracellulare di calcio è maggiore di un certo livello ideale, il segno della
derivata temporale del raggio del campo neuritico diventa negativo, a
rappresentare il fenomeno di retrazione delle arborizzazioni e del cono di
crescita per le elevate concentrazioni di ioni Ca2+. Viceversa, la velocità di
crescita del campo aumenta in presenza di bassi livelli di calcio
intracellulare, fino ad un valore massimo. Per quanto riguarda il valore della
concentrazione di [Ca]IN corrispondente ad una stazionarietà nell’evoluzione
di Ri, è stato scelto un intorno di 0.05 µΜ.
Il fattore costante ρ rappresenta invece il tasso di crescita del campo
. ⋅ 10 −5 µm / m sec (Role et
neuritico, ed è stato stimato intorno al valore 14
al., ’87; van Ooyen et al., ’94; Davis et al.). Per ridurre i tempi di
simulazione, è stato scelto ρ = 10 −3 µm / m sec , ancora in grado di garantire
la separazione fra i fenomeni di crescita cellulare e la scala temporale
caratteristica
delle
variazioni
del
potenziale
di
membrana
e
di
concentrazione di calcio intracellulare.
Nella 5.5, è stato previsto un meccanismo di saturazione del valore del
raggio Ri, in modo che questo non diventi arbitrariamente grande e che sia
sempre limitato superiormente. Tale limite appare di notevole importanza
nel condizionamento della topologia della rete neuronale risultante, e tale
dipendenza verrà chiarita nel seguito.
Anche il fenomeno della morte cellulare è stato incluso nel modello
proposto. Durante lo sviluppo di un essere vivente, si assiste ad una
sovrapproduzione di cellule nella maggior parte delle strutture del sistema
nervoso centrale e periferico. La sopravvivenza di una di esse dipende dalla
concomitanza di innumerevoli fenomeni, fra i quali quello di avere ricevuto
sufficiente quantità di fattori neurotrofici (van Ooyen, ’94). Il ruolo di tali
composti chimici sembra quello di interrompere l’intrinseca tendenza
cellulare alla morte spontanea. La sintesi di questi fattori è regolata
dall’attività elettrica, come per esempio la sintesi da parte delle cellule del
sistema nervoso centrale delle neurotrofine, quali la NGF (nerve growth
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216
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
factor) e la BDNF (brain derived neurotrophic factor). Tale produzione
viene incrementata dalla presenza di un neurotrasmettitore eccitatorio, quale
il
glutammato,
mentre
viene
depressa
dalla
presenza
di
un
neurotrasmettitore inibitorio, quale il GABA. La sintesi stessa di recettori
specifici
a
tali
fattori
risulta
incrementata
da
una
prolungata
depolarizzazione della membrana, attraverso la modificazione indotta nei
livelli di concentrazione di calcio intracellulare. Inoltre, l’attività elettrica
nelle fibre afferenti è in grado di modulare il trasporto retrogrado dei fattori
citati e può anche influire sulla loro stessa produzione e rilascio
anterogrado, attraverso l’assone e le sinapsi.
In questo schema, può essere qualitativamente giustificata la tendenza alla
retrazione neuritica, in presenza di stimolazione esterna (sinaptica) o di
elevata attività elettrica endogena. E’ ragionevole pensare che questo tipo di
effetto possa condurre alla definitiva eliminazione dei processi neuritici
della membrana, con conseguente assenza di ogni via di trasporto di segnali
e molecole verso il nucleo, fondamentali per un ulteriore sviluppo cellulare.
Nel modello proposto, quando il raggio Ri scende sotto la soglia RMIN =
4µm, l’unità corrispondente muore cessando di manifestare qualsiasi attività
elettrica e di crescita: dal punto di vista della simulazione al calcolatore,
tutte le variabili di stato vengono bloccate da un valore costante.
5.3
Evoluzione dell’Efficacia Sinaptica
La connessione fra due neuroni viene stabilita in corrispondenza di una
sovrapposizione dei relativi campi neuritici, e l’intensità della connessione è
imposta proporzionale alla superficie di intersezione. Questa condizione può
essere formalizzata, definendo l’insieme dei punti appartenenti alla
sovrapposizione di due campi neuritici generici e la misura della sua area
come integrale doppio della funzione unitaria, esteso a tale regione.
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217
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
g syn ( i, j) = g syn ⋅ A i , j
(5.6)
(5.7)
A i, j
 dΩ
Ω∫∫i , j

=
0


i≠ j
i= j
{
} {
(
Ω i , j = ( x, y) ∈ ℜ 2 : ( x − X i ) + ( y − Yi ) = R i 2 ∩ ( x, y) ∈ ℜ 2 : x − X j
2
2
) + (y − Y )
2
j
2
= R j2
Con tale schema di connessione, la connettività della rete può variare
durante lo sviluppo e l’auto-organizzazione della stessa. Qualitativamente,
la tendenza dei campi neuritici sarà quella di crescere fino a stabilire
intersezioni con altri campi neuritici, in modo da incrementare il proprio
livello di attività elettrica. Come conseguenza di tale evento, la
concentrazione intracellulare [Ca]IN tenderà ad assumere il valore di
equilibrio CT.
Il termine Ai, j può essere in quest’ottica riguardato come la quantità totale di
sinapsi stabilite fra l’unità i e l’unità j, anche se a rigore andrebbe utilizzata
la definizione seguente, alternativa alla 5.6:
g syn ( i, j) = g syn ⋅
A i, j
(π ⋅ R )
2
i
In questo modo, il rapporto esemplificato nell’espressione precedente
assume il significato di frazione della quantità totale di sinapsi, impiegato
fra il neurone j e il neurone i. Per semplicità comunque, si sceglie di
trascurare questa possibilità riguardando come illimitati i siti postsinaptici
raggiungibili sulla membrana del neurone i-esimo.
Come è già stato sottolineato, non è operata alcuna distinzione fra dendriti e
assoni, e di conseguenza la matrice di connettività è simmetrica: infatti, per
la 5.7, Ai,
j
= Aj, i. L’ordine temporale di variazione dell’intensità e del
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218
}
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
numero di connessioni, è dello stesso ordine della crescita cellulare,
dipendente dal tasso ρ.
5.4
Simulazione del Modello di Crescita
Per la simulazione al calcolatore del modello proposto, è necessario
sviluppare alcune relazioni di geometria analitica: la scelta dei campi
neuritici a simmetria circolare presenta dei notevoli vantaggi al confronto
con altre geometrie (ellittiche o circolari con eccentricità). Volendo stabilire
un insieme di condizioni necessarie e sufficienti per la interconnessione di
due unità della rete, oltre a derivare l’espressione della superficie di
sovrapposizione fra due campi neuritici qualsiasi (figura 5.3a), conviene
osservare che a meno di una rototraslazione degli assi di riferimento, si può
sempre ricondurre la situazione a quella indicata nella figura 5.3b:
25
25
(a)
Y
(b)
y
20
20
y
R
j
j
15
15
d
10
θ
10
R
y
i
i5
5
0
0
1,0
1,5
x
i
2,0
2,5
3,0
x
j
3,5
4,0
1,0
X
1,5
d
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
x
Figura 5.3: Tramite una trasformazione lineare, la disposizione di due
circonferenze qualsiasi nel piano (a) può essere riportata al caso (b).
(5.8)
 x  cos(θ ) sen(θ ) b1   X
  
  
 y =  - sen(θ ) cos(θ ) b 2  ⋅  Y
  
  
0
1   1
 1  0
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219
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
La trasformazione 5.8 è lineare e rappresenta in coordinate omogenee, una
rotazione di un angolo θ, e un spostamento dell’origine del sistema di
coordinate, nel centro di una delle due circonferenze.
(5.9)
( X − X ) 2 + ( Y − Y ) 2 = R 2
i
i
i


2
2

2
 X − X j + Y − Yji = R j
(
Nella 5.9, d i , j =
) (
(X
i
)
− Xj
x 2 + y 2 = R 2
i

⇒ 
2

2
2
 x − d i, j + y = R j
(
) + (Y − Y )
2
i
j
)
2
, per definizione di distanza fra
due punti nel piano.
A partire da queste considerazioni iniziali, può essere dimostrato che la
condizione necessaria e sufficiente affinché vi sia una sovrapposizione fra
due campi neuritici arbitrari, caratterizzati dalle triple
[X , Y , R ]
i
i
i
[X , Y , R ]
j
j
j
è data dalla seguente relazione:
(5.10) R i + R j > d i , j
La dimostrazione per tale espressione è immediata, quando si consideri la
condizione di tangenza fra due circonferenze generiche, ovvero il caso in cui
esistano due punti di intersezione fra di esse. La condizione 5.10 si ricava
imponendo positivo il discriminante di un’equazione del second’ordine, la
cui soluzione fornisce le coordinate dei punti di intersezione fra le due
circonferenze. Riassumendo vale quindi che
R i + R j ≤ d i, j
⇔ A i, j = 0
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220
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Si può anche esaminare un altro caso particolare di disposizione delle
circonferenze, cioè il caso in cui una delle due sia interna all’altra. Nelle
stesse ipotesi precedenti, questo corrisponde a non avere alcuna soluzione
reale dell’equazione del second’ordine precedentemente citata. Questo
significa imporre che
(5.11) R i − R j > d i , j
Sotto questa ipotesi, il calcolo della superficie di sovrapposizione coincide
con il calcolo dell’area della circonferenza più piccola. In altri termini, posto
che valga la 5.10
(5.12) R i − R j > d i , j
[
⇔ A i , j = min π ⋅ R i 2 ; π ⋅ R j 2
]
Infine, l’espressione generale dell’area di sovrapposizione fra due campi
neuritici qualsiasi, descritti dalla posizione del proprio centro e del raggio ad
un certo istante temporale, può essere ricavata attraverso un’integrazione
monodimensionale, a partire dalla configurazione di figura 5.4.
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221
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
25
y
20
15
10
5
yo
0
xo
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
x
Figura 5.4: Esemplificazione della presenza di intersezione fra due campi
neuritici.
Si definiscono, nel nuovo sistema di riferimento, le coordinate dei due punti
di intersezione
xo
(R
=
x1
(R
=
2
i
)
− R j 2 + d i, j 2
yo = R i 2 − xo 2
2 ⋅ d i, j
2
i
)
− R j 2 + d i, j 2
y1 = − R i 2 − x o 2
2 ⋅ d i, j
Sfruttando le simmetrie della regione di intersezione delle due
circonferenze, l’integrazione da effettuare è la seguente
xo
(5.12) A i , j = 2 ⋅
∫
d i, j −R j
Ri
R j − ( x − d ) dx + 2 ⋅ ∫ R i 2 − x 2 dx
2
2
xo
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222
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
A i, j =
(5.13)
5.5
x 
π
⋅ R i 2 + R j 2 − R i 2 ⋅ arcsen o  +
2
 Ri 
(
)
 x o − d i, j 
 − d ⋅ y o
+ R j 2 ⋅ arcsen 
 Rj 
Risultati delle Simulazioni
Preliminarmente, si è scelto di accelerare la scala temporale dei fenomeni di
crescita per verificare l’esistenza dei fenomeni di sincronizzazione e
dell’aumento nei livelli di calcio intracellulare, in una rete di tre neuroni.
Inizialmente i tre neuroni, disposti a caso entro un’area quadrata di 50µm di
lato, non sono connessi e il livello della concentrazione intracellulare di ioni
Ca2+ è insufficiente rispetto a CT = 0.05 µM. Per i rimanenti parametri, sono
stati usati i valori riportati nel primo paragrafo, con
λ = 01
. µM
ρ = 10-2 µm / msec
Nella figura seguente è riportato l’andamento della connettività totale,
ovvero l’evoluzione temporale della seguente quantità:
1
⋅∑A
2 i, j i, j
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223
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Connettivita’
10
0,20
9
0,15
8
Indice dell’unita’
7
0,10
6
5
0,05
4
3
0,00
2
1
-0,05
0
-0,10
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo (sec)
Figura 5.5: Andamento temporale dell’estensione dell’area di
sovrapposizione complessiva, confrontato con il raster-scan dell’attività
elettrica.
Si osservano due brusche transizioni a gradino, in corrispondenza degli
istanti in cui vengono stabilite le connessioni fra le unità della rete. La figura
5.5 riporta anche l’occorrenza temporale dei potenziali d’azione dei tre
neuroni, che tendono a sincronizzare la propria attività spontanea dopo 7
secondi dall’inizio della simulazione. Nella figura 5.6, viene riportato un
dettaglio dello stesso raster-scan di figura 5.5:
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224
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
8
7
6
Indice dell’unita’
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
7000
7500
8000
8500
tempo (msec)
Figura 5.6: Particolare del raster-scan che evidenzia i pacchetti di attività
coordinata.
A seguito della crescita neuronale indotta dal basso livello di calcio
intracellulare, rispetto a CT, i tre neuroni della rete hanno potuto stabilire
spontaneamente delle connessioni sinaptiche eccitatorie, incrementando la
propria attività elettrica e di conseguenza il livello di [Ca]IN. Tale situazione
è ben evidenziata dal grafico 5.7, dove è stato riportato l’andamento
temporale delle variabili di stato significative di ciascuna unità della rete.
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225
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
V1
40
0,08
[Ca]IN 1
(mV)
µM
20
0
-20
0,06
0,04
-40
0,02
-60
-80
0,00
-100
0
2000
4000
6000
8000
10000
60
2000
4000
6000
V2
40
µM
20
(mV)
0
8000
10000
8000
10000
8000
10000
0,08
0
[Ca]IN 2
0,06
0,04
-20
-40
0,02
-60
-80
0,00
-100
0
60
2000
4000
6000
8000
0
2000
4000
6000
0,08
V3
40
[Ca]IN 3
µM
0,06
20
(mV)
10000
0
0,04
-20
-40
0,02
-60
-80
0,00
-100
0
2000
4000
6000
8000
10000
0
2000
4000
6000
tempo (msec)
tempo (msec)
Figura 5.7: Evoluzione del potenziale di membrana e della concentrazione
intracellulare di calcio, per i tre neuroni della rete.
5.6
Per
Auto-organizzazione della Topologia
verificare
i
cambiamenti
strutturali
e
morfologici
previsti
qualitativamente, è stata studiata una situazione più realistica. I parametri
utilizzati nel seguito sono quelli introdotti nel paragrafo 5.3, e si è scelto per
RMAX il valore di 50µm.
La prima situazione ad essere analizzata, riguarda la configurazione finale
della topologia di una rete di 10 neuroni disposti in modo equispaziato su di
un segmento rettilineo, di lunghezza pari a 200 µm. In questo caso è stato
scelto C T = 0.05 µM e g syn = 0.3 nS / µm 2 : nella figura 5.8 è riportata la
disposizione iniziale dei campi neuritici, e la configurazione degli stessi
dopo 3 ore e 20 minuti di tempo di modello.
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226
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Figura 5.8: Evoluzione dei campi neuritici e nella topologia delle
connessioni, iniziale e dopo 3 ore e 20 minuti.
La configurazione finale rappresenta uno schema di connessione locale, fra
le unità vicine rimaste ancora in vita (unità 0, 1, 5, 6, 8, 9). Esaminando
l’andamento temporale del raggio di ciascun campo neuritico, si osserva una
caratteristica segregazione in cluster che diventa tanto più evidente quanto
maggiore è il valore di CT (si vedano le figure 5.10 e 5.11)
30
(a)
(b)
0
50
Raggio medio (µm)
25
9
Raggio (µm)
40
9
5
0
1
30
3
8
6
20
8
6
5
10
3
20
15
10
4
2
7
5
0,0
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5
3,5
ore
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
ore
Figura 5.9: (a) Andamento temporale del raggio di ciascun campo
neuritico, e del raggio medio (b) con evidente overshoot, nelle stesse
condizioni di figura 5.8.
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226
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Una caratteristica messa in evidenza dalla figura 5.9b è la presenza di un
fenomeno di overshoot nella crescita cellulare. Esiste infatti, una vasta
evidenza sperimentale della sovrapproduzione di connessioni sinaptiche e di
arborizzazioni, nelle colture di cellule nervose dissociate, insieme ad un
incremento dell’attività elettrica precedente una successiva retrazione dei
neuriti. Entrambi questi fenomeni sono previsti dal modello, in conseguenza
della dinamica attrattiva per la concentrazione [Ca]IN, e la maggior parte
delle unità della rete, a seguito del tentativo di compensazione di tale
overshoot, è soggetta a retrazione totale dei neuriti e a morte cellulare.
Figura 5.10: Evoluzione dei campi neuritici e nella topologia delle
connessioni, in condizioni simili a quelle di figura 5.8 tranne che per CT.
Utilizzando C T = 0.09 µM , la rete si organizza secondo una configurazione
simmetrica rispetto all’asse del segmento lungo cui sono disposti i neuroni,
e rispetto al caso precedente, non esiste alcun fenomeno di overshoot nella
crescita.
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227
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
30
(a)
(b)
0, 9
50
25
Raggio (µm)
Raggio Medio (µm)
0, 9
40
1, 8, 4, 5
30
3, 6
20
1, 8, 4, 5
15
10
3, 6
10
20
2, 7
5
0,0
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5
3,5
ore
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
ore
Figura 5.11: (a) Andamento temporale del raggio di ciascun campo
neuritico, e del raggio medio (b), nelle stesse condizioni di figura 5.10.
Nel seguito vengono riportati i risultati di simulazione di una rete di 20
neuroni, inizialmente disposti causalmente secondo una densità di
distribuzione uniforme, entro un quadrato di lato 200µm, utilizzando i soliti
valori per i parametri oltre a C T = 0.09 µM R MAX = 100 µm . Dall’alto in
basso, nella figura 5.12 sono state riportate la configurazione iniziale, la
configurazione dopo 40 secondi e dopo 2.7 ore.
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228
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Figura 5.12: Evoluzione della topologia della rete e della connettività, per
20 neuroni.
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229
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
(a)
110
19
100
100
90
90
4
80
70
Raggio (µm)
Raggio (µm)
80
0
60
50
12
40
30
(b)
110
3
14
15
1
17
18
16
20
10
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
60
50
40
30
20
10
3, 5, 6, 8, 10, 11, 13
0
70
0
2,50
0,00
3,00
3,00
6,00
9,00
12,00
15,00
minuti
ore
Figura 5.13: (a) Andamento temporale del raggio di ciascun campo
neuritico; (b) particolare del differenziamento cellulare nei primi minuti di
simulazione, nelle stesse condizioni di figura 5.12.
Raggio medio ( µ m)
25
20
15
10
5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
ore
Figura 5.14: Andamento del raggio medio, con evidenza dell’overshoot
nella crescitae nella produzione sinaptica.
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230
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Conclusioni e Prospettive Future
Lo sviluppo di nuove tecniche di misura elettrofisiologica dell’attività
elettrica della singola cellula o di una popolazione di cellule nervose in
vitro, ha consentito l’identificazione di numerosi comportamenti e la
formulazione di descrizioni matematiche sempre più accurate della
fisiologia di una membrana eccitabile. I modelli matematici sviluppati ed
esaminati in questa tesi hanno però chiarito la possibilità di sfruttare un
livello di descrizione dei fenomeni neuronali, intermedio fra la previsione
della dinamica di trasporto ionico ai capi della membrana, ed i modelli di
neurone tipici delle teorie formali del calcolo neurale. Attraverso un
procedimento ben definito e matematicamente consistente, a partire da un
modello deterministico di descrizione del potenziale di membrana ai capi di
una membrana eccitabile, è stato dedotto un modello semplificato. Sebbene
numerose non-linearità siano inevitabilmente scomparse nel processo di
riduzione, tale modello di neurone puntuale continua a descrivere
sorprendentemente bene la dinamica sotto-soglia del potenziale elettrico di
membrana. Naturalmente, non ci si è potuti sottrarre al compromesso fra
dettaglio biologico e semplicità formale, ma è stato provato come sia
DIBE – Università degli Studi di Genova
231
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
possibile mantenere la consistenza con i parametri delle descrizioni
complete e conservare sotto certe ipotesi, un’equivalenza quantitativa.
Nel primo capitolo, è stato dimostrato che una modellistica estremamente
dettagliata dei fenomeni di apertura e chiusura dei canali proteici è in grado
di spiegare una notevole quantità di comportamenti fra cui il potenziale di
membrana a riposo, la generazione del potenziale d’azione e l’attività
elettrica spontanea per il singolo neurone. E’ stato possibile in queste
ipotesi, utilizzare alcuni strumenti matematici tipici della meccanica
statistica, per la previsione teorica della frequenza media di oscillazione
spontanea del potenziale di membrana, notando un’analogia formale fra
l’equazione differenziale stocastica del potenziale di membrana e
l’equazione monodimensionale non-lineare di Langevin. La stessa analogia
è stata conservata nel modello ridotto, e proprietà simili sono state
introdotte, insieme allo stesso insieme di tecniche matematiche per la
descrizione quantitativa dell’attività elettrica endogena.
Nel secondo capitolo è stato sviluppato un modello per la dinamica della
concentrazione intracellulare di ioni Ca2+, giustificando il ruolo della
dipendenza dall’attività elettrica dei fenomeni di sintesi e rimozione dei
canali proteici dalla membrana, nel modello di regolazione dinamica
introdotto. Attraverso i formalismi sviluppati, potrebbe essere ulteriormente
approfondita l’evoluzione temporale della concentrazione degli altri ioni che
caratterizzano la composizione del citoplasma, descrivendone l’evoluzione e
verificando per esempio la tempo-invarianza dei potenziali di equilibrio
nernstiani.
L’introduzione della regolazione dinamica e la immediata trasposizione nel
modello discreto hanno consentito la giustificazione approfondita di alcuni
comportamenti e proprietà generali, osservate sia durante l’embriogenesi sia
nel funzionamento di un sistema nervoso maturo. Grazie ai ridotti tempi di
calcolo necessari all’integrazione numerica dell’equazione del modello
integra-e-spara regolato, è stato possibile comprendere l’adeguatezza delle
semplificazioni operate nel capitolo 2, almeno rispetto alla descrizione di
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232
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
processi biochimici notevolmente più lenti, a confronto con la scala
temporale tipica di un potenziale d’azione.
Nel quarto capitolo è stata verificata l’esistenza del fenomeno della
sincronizzazione delle oscillazioni del potenziale di membrana in ciascuna
unità di una rete, caratterizzata solo da connessioni eccitatorie. E’ stata pure
osservata una variazione dei parametri elettrici intrinseci, conseguente al
differenziamento cellulare indotto dall’attività elettrica mutua, in presenza
dei fenomeni di regolazione proteica. In questa prospettiva, le proprietà
intrinseche di un singolo neurone come pure la natura di un codice
neuronale, sono state messe in discussione disponendo di un insieme ridotto
di dipendenze funzionali e di un modello analiticamente trattabile: uno
stesso formalismo si rivela in grado di giustificare efficacemente un
comportamento di tipo integrativo e un comportamento di tipo rilevazione
di coincidenze temporali.
Una delle caratteristiche più rilevanti nell’introduzione del modello integrae-spara è stata l’introduzione dello stesso meccanismo cinetico di sinapsi
chimica deterministica, nella simulazione di reti estese. L’aver mantenuto la
caratteristica di integrazione con perdita ha consentito l’introduzione del
termine di corrente sinaptica esterna, identico a quello introdotto nei modelli
biofisici completi. A parità di risorse di calcolo, un numero maggiore di
unità possono essere incluse così in una rete da simulare al calcolatore, e
possono essere evitati i tipici coefficienti moltiplicativi dei neuroni formali,
mantenendo ad un livello notevolmente più elevato la corrispondenza con le
descrizioni complesse.
E’ stato infine proposto un modello di crescita cellulare ad autoorganizzazione della connettività sinaptica di una rete bidimensionale di
neuroni in vitro. Utilizzando il modello semplificato dotato di attività
spontanea e la descrizione sviluppata della dinamica della concentrazione
intracellulare di calcio, è stato possibile simulare le fasi iniziali dello
sviluppo di un sistema nervoso in organizzazione, in cui lo schema di
interconnessione sia soltanto di tipo chimico eccitatorio, oltreché
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233
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
intrinsecamente tempo-variante. Oltre ad una evidente tendenza al
differenziamento di unità inizialmente identiche, il modello ha previsto
fenomeni quali l’insorgenza spontanea della morte cellulare e l’overshoot
nella elongazione neuritica, che pure si osservano sperimentalmente.
Risultati preliminari suggeriscono che l’applicazione di una stimolazione
esterna di alcune unità potrebbe avere come conseguenza la retrazione dei
campi neuritici relativi e la variazione nell’organizzazione topologica
funzionale della rete di neuroni. L’impiego di altre forme geometriche piane
o tridimensionali nella descrizione dei campi neuritici, potrebbe essere
impiegata alternativamente, anche in vista di una distinzione fra assone e
dendriti: in questi termini la matrice di connettività non sarebbe più
simmetrica. Fenomeni quali la diffusione di molecole di neurotrasmettitore o
di fattore di crescita nello spazio intercellulare, potrebbero essere modellati
attraverso l’equazione bidimensionale della diffusione: un meccanismo di
orientazione dell’asse del campo neuritico, per esempio ellittico, potrebbe
essere introdotto per descrivere le proprietà di chemo-affinità della
direzionalità del cono di crescita di un neurone, oltreché le influenze viscoelastiche
e
meccaniche
che
potrebbero
guidare
artificialmente
l’organizzazione spaziale della rete.
Le implicazioni a lungo termine di quanto descritto sono molteplici:
disporre di un modello quantitativo per la crescita e l’organizzazione
neuritica potrebbe consentire la pianificazione di esperimenti in vitro, in cui
studiare l’evoluzione di una popolazione di neuroni, cambiando
arbitrariamente la topologia delle connessioni attraverso stimoli elettrici,
chimici o meccanici. Una migliore comprensione dei fenomeni che
caratterizzano la crescita cellulare e l’organizzazione della connettività dei
tessuti nervosi, potrebbe portare allo sviluppo di tecniche per la
rigenerazione guidata delle vie afferenti ed efferenti di un sistema nervoso
maturo, in condizioni patologiche o in conseguenza di un trauma. In questa
prospettiva, la formulazione di modelli matematici in grado di descrivere per
la dinamica di una rete di neuroni, le dipendenze funzionali dall’attività
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234
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Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
elettrica della rete stessa, possono costituire una solida base di partenza per
l’indagine dei meccanismi di plasticità neuronale che rendono così unici
l’organizzazione e il funzionamento del sistema nervoso di un essere
vivente.
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235
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Appendice A
A.1 Preliminari alla Derivazione dell’Equazione di
Fokker-Plank
Sia x una variabile aleatoria, con W(X) densità di distribuzione di
probabilità:
(a.1)
W( X ) =
d Pr{ x ≤ X }
dX
Per una qualunque variabile aleatoria possono essere definiti i momenti di
ordine 1..n:
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A1
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+∞
(a.2)
M1 =
∫ x ⋅ W( x)dx = E{x} = x
−∞
+∞
(a.3)
M2 =
∫x
2
⋅ W( x)dx = E{ x 2 } = σ2 + x 2
−∞
+∞
(a.4)
Mn =
∫x
2
⋅ W( x)dx = E{ x n }
−∞
Per definizione di densità di distribuzione di probabilità, il cui integrale
esteso al campo di variazione di x deve essere unitario per il secondo
assioma della teoria delle probabilità, M0 = 1.
E' possibile definire la quantità nota come funzione caratteristica:
(a.5)
C(ω) = F{W( x)} =
+∞
∫ W( x ) ⋅ e
j⋅ω⋅ x
dx
−∞
Formalmente la funzione definita dalla a.5 è la trasformata di Fourier della
densità di distribuzione di probabilità ed per essa vale la proprietà:
(a.6)
{
}
F ( j ⋅ x ) ⋅ W( x ) =
n
dn
F{W( x)}
dω n
Per il momento di ordine n, si può concludere allora che
+∞
+∞
(a.7)
Mn =
∫x
n
⋅ W( x)dx =
∫x
n
−∞
−∞
= F{ x n ⋅ W( x)}
⋅ W( x) ⋅ e j⋅ω⋅x dx
ω= 0
ω= 0
da cui per linearità si deduce immediatamente che
(a.8)
Mn =
1 d n C(ω)
⋅
jn
dωn ω= 0
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A2
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Usando le equazioni a.8 e a.5 può allora essere dimostrato che, conoscendo i
momenti di ogni ordine è possibile giungere alla conoscenza di W(x),
densità di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria x.
Dim
Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno del punto ω = 0 la funzione
caratteristica si ottiene
∞
(a.9)
∞
ωn
ωn
dC(ω)
dC(ω)
C(ω) = C(0) +
⋅
= 1+
⋅
n
n
n!
n!
n =1 dω
n=1 dω
ω= 0
ω= 0
∑
∑
che in altri termini può essere scritto come
∞
ωn
(a.10) C(ω) = 1 + ( j ⋅ M n ) ⋅
n!
n=1
∑
n
Dalla a.10, si dimostra l’asserto, antitrasformando secondo Fourier si
ottiene finalmente
+∞
∫
1
(a.11) W( x) = F {C(ω)} =
⋅ C(ω) ⋅ e − j⋅ω⋅x dω
2π −∞
−1
----
Le definizioni a.2 - a.4 e la a.11 possono essere generalizzate nel caso di
processi stocastici del tempo. Sia x(t) un processo stocastico, cioè una
collezione di realizzazioni di una variabile aleatoria per ciascun istante t, e
sia W(x,t) la densità di distribuzione di probabilità di campione x all’istante
t: per generalità si considerano processi stocastici non stazionari.
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A3
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Per un processo stocastico qualunque si introduce anche la densità di
distribuzione di probabilità di transizione , da x(t) = x’ a x(t+τ) = x:
(
p x, t + τ x’, t
)
Le definizioni di momento di ordine n e di funzione caratteristica possono
essere così riprese e generalizzate dalle a.12 e a.13.
(
+∞
)
{
n
(a.12) M n ( x’, t, τ ) = ∫ ( x − x’) n ⋅ p x, t + τ
x’, t dx = E [ x( t + τ ) − x( t )]
−∞
(
+∞
{(
)
j⋅ω ⋅( x − x ’)
(a.13) C(ω , x’, t, τ ) = p x, t + τ
dx = F p x, t + τ x’, t
∫
x’, t ⋅ e
−∞
)}
}
dove x ( t )= x '
con probabilità 1
trasformata rispetto x ,
con x ’ parametro
Nuovamente resta verificato che dalla conoscenza dei momenti di ogni
ordine è possibile ricondursi alla densità di distribuzione di probabilità di
transizione ma anche alla W(x,t) in qualunque t, e possono essere dimostrate
le due equazioni seguenti:
∞
ωn
(a.14) C(ω, x’, t , τ ) = 1 + ( M n ( x’, t , τ ) ⋅ j ) ⋅
n!
n =1
∑
(
)
n
+∞
∞

ω n  − j⋅ω⋅( x− x ’)
1
,
+
τ
x
t
n
(
’,
,
τ
)
=
⋅
+
⋅
⋅
(a.15) p
M
x
t
j
dω .
1
(
)

⋅e
x’, t
n! 
2π −∞ n=1 n
∫
∑
Dim
Dal teorema di Bayes:
∫ p( x, t + τ x’, t ) ⋅ W( x’, t )
+∞
(a.16) W( x, t + τ ) =
dx’
−∞
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A4
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da cui segue immediatamente la tesi da dimostrare:
+∞
+∞
∞
n


(a.17) W( x, t + τ) = ∫  1 ⋅ ∫ 1 + ∑( M n ( x’, t , τ ) ⋅ j n ) ⋅ ω  ⋅ e − j⋅ω⋅( x− x ’) dω ⋅ W( x’, t ) dx’
−∞
2π
−∞
n! 
n=1

---+∞
∫
1
n
⋅ ( j ⋅ ω) ⋅
2π −∞
A questo punto il termine
(
)
⋅ e − j⋅ω⋅ x− x’ dω
può
essere riguardato, per n > 0 come un operatore, corrispondente nel dominio
n
delle
x
a
moltiplicare
per
 ∂
 −  δ( x − x’) ⋅
 ∂x 
.
Inoltre,
essendo
δ( x − x’) ⋅ M n ( x’, t , τ ) = δ( x − x’) ⋅ M n ( x, t , τ ) vale che:
(a.18)

W( x, t + τ ) = 1 +

+∞
n

 ∂  M n ( x, t , τ ) 
(
)
−  ⋅
−
⋅
’
(
’,
)
’

=
δ
x
x
W
x
t
dx

 ∂x 
n!


n=1
∞
∫
∑

= 1 +

−∞
n
 ∂  M n ( x, t , τ ) 
−  ⋅
W( x, t )
 ∂x 
n!

n=1
∞
∑
A.2 Espansione di Kramers-Moyal
Si voglia valutare la quantità
tende a zero vale
W( x , t + τ ) − W ( x , t )
, che al limite per τ che
τ
∂
W( x, t ) , secondo la definizione di rapporto
∂t
incrementale. Dalle considerazioni precedenti, si può esprimere W(x,t+τ) in
termini di W(x,t) e quel rapporto incrementale si può riscrivere come:
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A5
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W( x , t + τ ) − W ( x , t ) 1  ∞  ∂  n M n ( x , t , τ ) 
= ⋅  −  ⋅
(a.19)
W( x, t )
τ
τ  n=1  ∂x 
n!

∑
Il termine
M n ( x, t , τ )
può essere considerato funzione di τ e sviluppato
n!
attorno allo 0 in serie di Taylor, ottenendo la a.20:
(a.20)
M n ( x, t , τ )
= 0 + D ( n ) ( x, t ) ⋅ τ + O( τ 2 )
n!
Nello sviluppo precedente, O(τ 2 ) è una funzione che tende a zero per τ che
tende a zero, di ordine superiore a 2. Si noti che se il processo stocastico x(t)
è un processo Markoviano, la quantità D(n) dipende solo da x al tempo t e
non da valori di x ad istanti precedenti. Resta dimostrato che, essendo
{
n

τ
E
x
(
t
+
)
−
x
(
t
)
[
]
1
(a.21) D ( n ) ( x, t ) = lim ⋅
τ →0 τ
n!


}

x ( t )= x ’ 



la derivata temporale parziale di W(x,t) è calcolabile nel modo seguente:
∞
∂
(a.22)
W( x , t ) =
∂t
n
 ∂
 −  [ D ( n ) ( x, t ) ⋅ W( x, t )]
 ∂x 
n=1
∑
L'ultima espressione prende il nome di espansione di Kramers-Moyal e vale
per la densità di distribuzione di probabilità di un qualsiasi processo
aleatorio del tempo.
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A6
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A.3 Moto Browniano Monodimensionale ed Equazione
di Langevin
Si è visto che la densità di distribuzione di probabilità di un qualsiasi
processo stocastico non stazionario soddisfa l'equazione differenziale alle
derivate parziali (a.22) ottenuta con l'espansione di Kramers-Moyal. Sotto
una serie di considerazioni molto generali è possibile determinare i
coefficienti D(n) senza che sia richiesta la conoscenza di W(x,t).
Si consideri il seguente problema: è data una particella di massa m immersa
in un fluido viscoso. L'equazione del moto in una dimensione di tale
particella è in prima approssimazione un'equazione differenziale del
secondo ordine deterministica e soddisfa la legge di Stokes.
(a.23) m ⋅
dV
+α⋅V = 0
dt
La soluzione di questa equazione differenziale fornisce un'indicazione della
dipendenza dai parametri m e α dell'evoluzione temporale della velocità
della particella.
(a.23a) V( t ) = V( t o ) ⋅ e
−
α⋅( t − t o )
m
.
L’equazione a.23 descrive bene il moto della particella quando m sia
sufficientemente grande. Nei casi in cui questa ipotesi non è più soddisfatta,
ma la particella può ancora considerarsi di tipo classico e di dimensioni
ancora molto maggiori rispetto a quelle delle molecole del fluido, è
conveniente introdurre un termine stocastico di forza F f , uniforme e
isotropo in ogni direzione, caratterizzato da un valore atteso nullo, per
includere l’effetto dell’agitazione termica. Dalla legge di equipartizione
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A7
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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dell’energia, si può derivare il valore della velocità dovuta a fenomeni di
agitazione termica:
(a.24)
m 2
1
V = ⋅ K ⋅ T ⇔ V* =
2
2
V2 =
K⋅T
m
Se il termine di attrito viscoso modella gli urti nella direzione del moto della
particella con le molecole del fluido in cui essa è immersa (più rilevanti e
consistenti quanto più è grande la velocità in quella direzione), il termine
stocastico tiene conto degli urti mediamente non significativi, presenti
quando la particella è ferma, essendo la temperatura del sistema diversa
dallo zero assoluto. L’equazione che governa la dinamica della velocità
della particella in soluzione, nelle ipotesi già fatte è formalizzabile nel modo
seguente:
(a.25) m ⋅
dV
+ α ⋅ V = Ff
dt
Dividendo ambo i membri per m, si giunge alla seguente equazione
differenziale stocastica, in cui il contributo aleatorio è noto con il nome di
forza di Langevin e si assume di tipo δ-correlato data la diversa scala
temporale dei fenomeni che generano le fluttuazioni stocastiche a paragone
con
m
, costante di decadimento del valore atteso di V(t).
α
(a.26)
dV
+γ⋅V = Γ
dt
dove il processo stocastico Γ
è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
E{Γ( t )} = 0, E{Γ( t 1 ) ⋅ Γ( t 2 )} = q ⋅ δ( t 1 − t 2 ) . Dal punto di vista matematico,
la a.26 è nota come equazione lineare di Langevin e la velocità V(t) è
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A8
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ovviamente un processo aleatorio markoviano detto processo di OrnsteinUhlenbeck monodimensionale.
Questa trattazione può essere generalizzata al caso più generale possibile,
non lineare monodimensionale (a.27).
(a.27)
dV
= h ( V, t ) + g ( V , t ) ⋅ Γ( t )
dt
dove il segnale aleatorio Γ(t) è gaussiano e ha le seguenti proprietà
statistiche:
E{Γ( t )} = 0
E{Γ( t ) ⋅ Γ( t + τ )} = 2 ⋅ δ(τ )
Si può dimostrare che in queste ipotesi, i coefficienti non nulli
dell'espansione di Kramers-Moyal per la densità di distribuzione di
probabilità del processo V(t), sono soltanto i primi due:
Si consideri ad esempio la definizione del primo coefficiente dello sviluppo
della a.22:
1
(a.28) D (1) ( V, t ) = lim ⋅ E{ V( t + τ ) − V’} v ( t )= V’
τ →0 τ
Si esprima in modo equivalente, l'equazione differenziale (a.27) in termini
di un'equazione integrale (a.29).
t +τ
(a.29) V( t + τ ) − V’=
∫ h( V(ξ), ξ) + g( V(ξ), ξ) ⋅ Γ(ξ) ⋅ dξ
t
V(t+τ) con τ > 0 è una soluzione dell'equazione differenziale di partenza,
tale che V(t) = V' con probabilità unitaria. Adesso se si sviluppano in serie
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A9
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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di Taylor attorno a V(ξ) = V’, le funzioni h e g che compaiono sotto il segno
di integrazione, si ottiene che:
(a.30) h( V(ξ), ξ) = h( V’, ξ) +
∂
h( V(ξ), ξ)
⋅ ( V(ξ) − V’) +....
∂V
V ( ξ) = V ’
(a.31) g( V(ξ), ξ) = g( V’, ξ) +
∂
g( V(ξ), ξ)
⋅ ( V(ξ) − V’) +....
∂V
V ( ξ) = V ’
e sostituendo nell’equazione integrale a.28 si giunge alla
(a.32)
V( t + τ )− V’=
+
t+τ
t +τ
t
t
∫ h( V’, ξ) ⋅ dξ + ∫ ∂∂V h( V(ξ), ξ)
t+τ
t+τ
t
t
V ( ξ) = V ’
∫ g( V’, ξ) ⋅ Γ(ξ) ⋅ dξ + ∫ ∂∂V g( V(ξ), ξ)
⋅ ( V(ξ) − V’) ⋅ dξ+....+
V (ξ) = V ’
⋅ ( V(ξ) − V’) ⋅ Γ( t ) ⋅ dξ+....
Ma per ogni occorrenza del termine [ V(ξ) − V’] nella a.32, si può sostituire
k
la a.33 , elevata alla k-esima potenza, applicando ancora lo sviluppo in serie
di Taylor alle funzioni h e g sotto integrale.
ξ
∫
(a.33) V(ξ) − V’= V( t + (ξ − t )) − V’= h( V(η), η) ⋅ g( V(η), η) ⋅ Γ(η) ⋅ dη
t
Se a questo punto si applica l'operatore di valore atteso E{ } ad ambo i
membri della a.33, assumendo inoltre che
 1
ε
t
<
δ( t ) = lim δε ( t ) = lim ε
2
ε→0
ε → 0
0 altrimenti
ξ
0
∫ δ (η − ξ) ⋅ dη = ∫ δ ( x) ⋅ dx → 21
ε
t
e quindi che
ε
ε→0
t −ξ
si dimostra la seguente relazione per i coefficienti dell'espansione, in virtù
delle proprietà della distribuzione gaussiana e della δ-correlazione di Γ:
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A 10
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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D (1) ( V, t ) = h( V, t ) +
D ( 2 ) ( V, t ) = g 2 ( V, t )
∂
g ( V, t ) ⋅ g ( V, t )
∂V
D ( n ) ( V, t ) = 0 n ≥ 3
L’equazione di Fokker-Plank è un caso particolare di espansione di
Kramers-Moyal, quando D ( n ) ( x, t ) = 0
∀ n ≥ 3, e prende la forma:
∂
∂
∂2
(1)
(a.34)
W( x, t ) = − [ D ( x, t ) ⋅ W( x, t )] + 2 [ D ( 2 ) ( x, t ) ⋅ W( x, t )]
∂t
∂x
∂x
Si dimostra infatti che se lo sviluppo dei coefficienti D(n) si ferma al primo,
oppure al secondo termine (nel senso che per n>1 D(n) = 0), allora tutti i
termini successivi sono nulli. Se questo non succede, allora esistono infiniti
coefficienti D(n) non nulli (teorema di Pawula).
L’ipotesi di markovianità, non è fondamentale, e può essere discussa
l’evenienza in cui il processo sia generalmente non markoviano. Nelle
ipotesi più generali possibili, se viene considerato un processo stocastico che
soddisfa l’equazione non lineare di Langevin:
 dV
 dt = h( V, t ) + g( V, t ) ⋅ Γ( t )
W( V, t o ) = 1 ⋅ δ( V − v o )
con Γ( t ) processo stocastico qualunque purché δ-correlato
V(t) è allora un processo stocastico markoviano, ovvero la sua probabilità
condizionale a t = tn dipende solo da V(tn-1). Se la funzione di
autocorrelazione di Γ(t ) non rispetta l'ipotesi, ovvero Γ( t ) è un rumore
colorato, sotto certe ipotesi di regolarità della sua funzione di
autocorrelazione si può sempre ricondurre il problema a quello del seguente
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A 11
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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sistema di equazioni, in cui il processo stocastico vettoriale è markoviano
(in senso vettoriale generalizzato):
 dV
 dt = h( V, t ) + g( V, t ) ⋅ Γ( t )
 dΓ
~
~
 dt = (...) + Γ( t )
Γ(t ) δ-correlato

W( V, t o ) = 1 ⋅ δ( V − v o )
W(Γ, t o ) = 1 ⋅ δ(Γ − Γo )
A.4 Operatore di Fokker-Plank
E' possibile giungere ad una notazione operatoriale per l'equazione di
Fokker-Plank (a.34) appena introdotta, particolarmente utile per definire e
chiarire alcune proprietà. L'equazione di Fokker-Plank può essere
formalmente riscritta come:
L FP = −
∂ (1)
∂2
( 2)
D ( V, t ) +
( V, t )
2 D
∂V
∂V
∂
W( V, t ) = L FP W( V, t )
∂t
oppure ancora come
∂
∂
W( V, t ) = −
S
∂t
∂V
∂


S =  D (1) ( V, t ) − D ( 2 ) ( V, t ) W( V, t )


∂t
In quest’ultima forma, l’equazione ha la forma di un'equazione di continuità
per W, in cui S assume il ruolo di una densità di corrente di probabilità. In
altri termini, si sarebbe potuto scrivere, in analogia con la teoria dei campi
elettromagnetici
∂
W( V, t ) = −∇ V ⋅ S ⇔
∂t
∂
ρ = −∇ ⋅ J , dove
∂t
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ρ è una
A 12
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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densità di carica elettrica volumetrica e J il vettore densità di corrente di
conduzione elettrica.
Nel caso particolare in cui nell'equazione non lineare di Langevin, le
funzioni h e g non dipendano dal tempo, a meno di un cambio di variabile si
può sempre ricondurre l'equazione di Fokker-Plank all'equazione di
Smoluchowski, introducendo la funzione potenziale per la dinamica di V(t):
(a.35)
∂
∂
∂


W( V , t ) = −
S S =  D (1) ( V, t ) − D ( 2 ) ( V, t ) W( V, t )


∂t
∂V
∂t
D = costante
La soluzione stazionaria che si ottiene mettendo a zero il primo membro di
questa equazione, diventa la soluzione di un'equazione differenziale lineare
a coefficienti costanti con termine forzante:
f ( x)
(a.36)
f ( V)
f ( V) V
∂
−
−
e D
D⋅
Wst ( V, t ) = − f ’⋅Wst ( V, t ) − S ⇒ Wst ( V, t ) = k ⋅ e D − S ⋅ e D ⋅ ∫
⋅ dx
∂V
D
La costante k viene fissata dalla condizione imposta dal secondo assioma
della teoria delle probabilità:
∫W
st ( V, t ) ⋅ dV
= 1 ∀t .
A.5 Diffusione oltre Barriera e Tempo di Primo
Attraversamento
E' possibile considerare il caso di attraversamento di una barriera di
potenziale, nel caso di soluzione stazionaria. La formula di Kramers per la
determinazione della frequenza media di attraversamento della soglia,
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A 13
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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discende dall’osservazione del bilancio fra la densità di corrente di
probabilità (S) e il prodotto fra la probabilità che V sia al minimo del
potenziale (p) per la probabilità di fuga da esso (Rk).
f(V)
100
S
50
0
∆f
-50
-100
-20
-15
-10
V min
-5
V max
0
5
Fig. A.1: Profilo della funzione potenziale e fuga dalla buca per diffusione.
V
∫
1
p 1 2 −
(a.37)
= = ⋅ e
Rk S D V
1
A f ( V)
f ( V)
D dV ⋅
e D dV
∫
Vmin
Nella precedente equazione, V1 e V2 sono dei valori di V attorno al minimo
Vmin, mentre A è un valore di V per il quale W(A,t) è infinitesima, ovvero
A >> Vmax. La a.37 può essere valutata direttamente o approssimata,
integrando per serie di potenze, ottenendo in questo caso:
−
1
(a.38) R k ≈
f ’’( Vmin ) ⋅ f ’’( Vmax ) ⋅ e
2π
( f ( Vmax ) − f ( Vmin ) )
D
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A 14
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Appendice B
B.1 Integrazione Numerica di Equazioni Differenziali
Deterministiche
Il caso più generale che si vuole esaminare è quello della soluzione
numerica di un sistema di equazioni differenziali del prim’ordine,
deterministiche. Può essere dimostrato che una equazione differenziale o un
sistema di equazioni differenziali qualunque, possono essere trasformati in
un sistema differenziale del prim’ordine che ammette le stesse soluzioni
dell’equazione o sistema originari, nelle ipotesi di esistenza e unicità del
teorema di Cauchy. Sia x( t ) il vettore di stato, e x( t o ) = x o la condizione
iniziale del sistema:
(b.1)
dx
= f ( x, t )
dt
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B1
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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L’equazione b.1 insieme con la condizione iniziale ammette unica soluzione
in ipotesi di generale regolarità (lipschitzianità) della funzione vettoriale
generatrice del sistema, f ( ⋅ , ⋅) .
In questo caso, trovare numericamente la soluzione con un metodo numerico
iterativo a passo fisso, significa generare una successione di vettori
x1* , x 2 * , x 3* , x 4 * , x 5* ,... ciascuno corrispondente ad un istante temporale
multiplo intero di h (passo di integrazione del metodo numerico). Tale
sequenza può essere generata per esempio attraverso il metodo di Eulero,
che approssima un’equazione differenziale con un’equazione alle differenze
finite, sostituendo alla derivata temporale il rapporto incrementale
corrispondente. Quello che si ottiene è la formula di definizione per
ricorrenza di una successione numerica reale, per ogni componente del
vettore di stato.
Si consideri per semplicità il caso scalare: data la funzione x = g(t), si può
verificare che calcolando in tk+1 lo sviluppo di g(t) in serie di Taylor (b.2),
esteso ai primi due termini e centrato in tk, la sua derivata prima temporale
può essere approssimata nel modo indicato dalla b.3.
dg
⋅( t − t )
dt t k k +1 k
(b.2)
g( t k +1 ) ≅ g( t k ) +
(b.3)
g( t k +1 ) − g( t k ) g( t k +1 ) − g( t k )
dx
≅
=
dt t k
h
( t k+1 − t k )
( t k+1 − t k ) =h per ogni k.
L’equazione alle differenze finite ottenuta con il metodo di Eulero può
essere scritta come segue:
(b.4)
x k +1 ≅ x k + f k ( x k ) = Fk ( x k )
dove x k = x( t k )
e
Fk ( x k ) = h ⋅ f ( x k , t k )
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B2
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Tale sequenza xk può essere calcolata mediante la definizione ricorrente b.4,
quando sia nota la condizione iniziale xo.
Il metodo di Eulero è solo uno di numerosi metodi numerici, che si
distingue per il modo in cui viene approssimata la derivata prima del vettore
di stato (b.3), e quindi nel modo in cui si approssima la soluzione reale con
la soluzione lineare a tratti x1* , x 2 * , x 3* , x 4 * , x 5* ,... .
Il significato di convergenza di tale sequenza di vettori alla soluzione reale è
esemplificato dalla b.5, in cui si afferma che fissata una metrica opportuna
nello spazio degli stati, l’errore commesso agli istanti multipli interi di h è
maggiorato da una funzione di h, decrescente e positiva.
(b.5)
[
}]
{
Dist g( t ) ; x1* , x 2 * , x 3* , x 4 * , x 5* ,... ≤ Err( h )
dove lim Err( h ) = 0
h→0+
Il metodo numerico impiegato più frequente nei capitoli precedenti è quello
di Runge-Kutta, i cui passi formali sono riportati di seguito, per il caso
vettoriale.
*
=x
*
+ h⋅
1
( k1n + 2 ⋅ k 2 n + 2 ⋅ k 3n + k 4 n )
6
(b.6)
x
(b.7)
k 1n = f ( t n , x n )
(b.8)
h *
h
k 2 n = f ( t n + , x n + ⋅ k 1n )
2
2
(b.9)
h *
h
k 3n = f ( t n + , x n + ⋅ k 2 n )
2
2
n +1
n
*
*
(b.10) k 4 n = f ( t n + h, x n + h ⋅ k 3n )
B.2 Simulazione del Modello Integra-e-Spara
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B3
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
Si consideri l’equazione che esprime l’evoluzione temporale del potenziale
di membrana sotto-soglia, nel modello deterministico integra-e-spara. A
meno del cambiamento di variabile citato più volte nel capitolo 2, senza
alcuna perdita di generalità si prende in considerazione l’equazione:
(b.11)
dU
= −α ⋅ U + n
dt
U≤∆
Nella b.11, α e n sono quantità costanti rispetto al tempo, così che tale
equazione lineare e a coefficienti costanti, può essere risolta in forma
chiusa:
(b.12) U ( t ) =
(
n
⋅ 1 − e −α ⋅( t− t o )
α
)
dove
U(t o ) = 0
Tale soluzione consente, in queste ipotesi, di conoscere il valore di U in un
istante t qualunque, è quindi è semplice individuare la condizione di
attraversamento della soglia, trovando l’istante t * : U ( t * ) = ∆ .
Nel caso in cui n sia una funzione del tempo, anche se la forma generale
della soluzione U(t) può essere determinata, il calcolo dell’istante di
attraversamento della soglia non è generalizzabile. In questo caso, è
richiesta l’inversione di una funzione integrale (equazione 2.22), in generale
non valutabile analiticamente in forma chiusa.
Esiste un metodo di soluzione di diverso tipo, generalizzabile ad una varietà
di situazioni diverse. Si è già discusso, nel paragrafo precedente, della
necessità di discretizzazione dell’asse dei tempi, e dell’impiego di tecniche
di integrazione numerica, per la simulazione dei sistemi dinamici a tempo
continuo. Si cercano, anche in questo caso, delle procedure di tipo iterativo,
per l’integrazione di equazioni come la b.1. In alcuni casi molto semplici,
come quello in cui n = costante, l’utilizzo di una metodologia iterativa
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B4
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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consente di ridurre computazionalmente la complessità dell’algoritmo di
simulazione.
Si voglia per esempio valutare la soluzione U(t) ad un istante generico tk, kesimo multiplo intero del passo di integrazione ∆t. Dalla b.12, segue
direttamente che
(b.13) U k =
(
n
⋅ 1 − e −α ⋅( t k − t o )
α
)
Questo calcolo richiede, in termini di operazioni in virgola mobile, almeno
due prodotti, una somma e la valutazione dell’esponenziale. Per le proprietà
di questa funzione però è possibile esprimere Uk come funzione del valore
precedente di U, ovvero U(tk-1) = f(Uk), dal momento che ( t k − t k −1 ) = ∆t ,
essendo la funzione esponenziale una autofunzione della b.1.
(b.14) U k =
n 
n
+  U k −1 −  ⋅ e −α ⋅∆t

α
α
Uo = 0
Utilizzando la b.14, sono richieste soltanto due somme e un prodotto,
seppure sia necessario disporre del valore di U all’iterazione precedente.
Nel caso generico, in cui n = n(t), l’equazione precedente non è ovviamente
utilizzabile e si ricorre per esempio, al metodo di Eulero. In queste ipotesi,
l’equazione alle differenze finite che approssima, nel senso definito nel
paragrafo B.1, l’equazione differenziale b.1 è la seguente dove nk = n(tk):
(b.15) U k ≅ (1 − α ⋅ ∆t ) ⋅ U k + ∆t ⋅ n k
Chiaramente, mentre per la b.14 poteva essere scelto un intervallo temporale
∆t qualsiasi per effettuare l’iterazione, in quest’ultima equazione il passo di
integrazione deve essere fisso e sufficientemente piccolo. Il numero di
operazioni richiesto è limitato: due prodotti e una somma.
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Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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La simulazione al calcolatore del modello stocastico di neurone integra-espara (2.51) richiede invece la generazione di un processo stocastico
gaussiano bianco. Occorre però, fare molta attenzione alla tecnica di
discretizzazione della b.1, che diventa adesso un’equazione differenziale
stocastica. Le metodologie utilizzate nel caso deterministico, insieme con
tutti i metodi numerici discussi nel primo paragrafo, non sono validi, ed è
necessario approfondire il ragionamento. Il segnale n(t) è per definizione un
segnale che non può essere campionato, in accordo con il teorema di
Nyquist. Infatti, nel dominio delle frequenze non esiste una frequenza oltre
la quale la densità spettrale di potenza del segnale è trascurabile: per
definizione stessa di rumore bianco, il segnale n(t) gode delle stesse
proprietà su tutto lo spettro delle frequenze.
Si studi comunque la soluzione in forma chiusa, che si deriverebbe nel caso
deterministico:
(b.16) U( t ) = U o ⋅ e −α ⋅( t − t o ) + ∫ e −α ⋅( t − t o − x ) ⋅ n ( x ) ⋅ dx
t
to
Pur utilizzando la stessa notazione, l’operatore di integrale della b.16 è da
interpretarsi in modo diverso dal solito (nel senso di Ito) (Papoulis, ‘91).
Si voglia valutare l’espressione di U, in funzione del valore al passo
precedente.
(b.17) U ( t + ∆t ) = e −α ⋅∆t ⋅ U ( t ) + ∫
t + ∆t
t
Poichè
e −α ⋅( t − t o + ∆t − x ) ⋅ n( x ) ⋅ dx
0 < t + ∆t − x < ∆t ⇒ e −α ⋅( t− t o + ∆t − x ) ≅ 1 ,
e
prendendo
per
convenzione to=0,
t + ∆t
(b.18) U ( t + ∆t ) = e −α ⋅∆t ⋅ U ( t ) + ∫ n( x ) ⋅ dx
t
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B6
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
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Dal momento che n(t) è un processo stocastico stazionario, le proprietà
statistiche dell’integrale su di un qualunque intervallo di tempo di
dimensione ∆t, sono le stesse e la b.18 può essere riscritta nel modo
seguente:
(b.19) U( t + ∆t ) = e −α ⋅∆t ⋅ U( t ) + w( t )
∆t
w( t ) = ∫ n( x ) ⋅ dx
0
Da questo punto di vista, la quantità w(t) rappresenta un nuovo processo
stocastico, precisamente l’uscita di un integratore alimentato da un rumore
bianco. Tale processo è noto come processo di Wiener-Levy, e per le
caratteristiche di linearità dell’operazione di integrazione, se n è gaussiano a
valore medio nullo e varianza σ2, w(t) è ancora gaussiano a valore medio
nullo, ma a varianza data da
(b.20) E{ w 2 } = σ 2 ⋅ ∆t
E’ chiaro che per la simulazione di una equazione differenziale stocastica
come la b.1, soggetta ad un segnale n(t) gaussiano e bianco, è necessaria una
procedura iterativa diversa dalla b.15, valida nel solo caso discreto:
(b.21) U k = e − α⋅∆t ⋅ U k −1 + σ ⋅ ∆t ⋅ rnd k
Nella precedente espressione, rnd k è un numero pseudocasuale generato ad
ogni passo di iterazione, distribuito con una densità di distribuzione di
probabilità normale, a valore medio nullo e varianza unitaria. Una
formulazione equivalente alla b.21, quando il passo di integrazione sia
molto piccolo, è ottenibile sostituendo all’esponenziale il suo sviluppo in
serie di Taylor esteso ai primi due termini.
(b.22) U k ≅ (1 − α ⋅ ∆t ) ⋅ U k + σ ⋅ ∆t ⋅ rnd k
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B7
Simulazione dello Sviluppo di una Rete di Neuroni
Regolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica
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