Formule generali per i condensatori in un

Formule generali di carica e scarica dei
condensatori in un circuito RC
A cura di Eugenio Amitrano
Contenuto dell’articolo:
1.
Introduzione
2.
.
.
.
.
.
.
2
Carica e scarica di un condensatore
.
.
.
.
.
2
3.
Formula generale per tensioni fisse
.
.
.
.
.
4
4.
Formula generale ampliata per tensioni variabili
.
.
.
5
5.
Conclusioni .
.
.
.
6
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.
.
.
.
.
.
Formule generali per i condensatori in un circuito RC.
1. Introduzione
Il presente articolo vuole descrivere, attraverso delle formule generali, il
comportamento dei condensatori in un circuito RC.
I
C
E
R
T
FIG. 1 – Circuito RC
2. Carica e scarica di un condensatore
Iniziamo il nostro percorso con il calcolo della carica e della scarica del
condensatore nel modo convenzionale.
Indichiamo con V t  la tensione misurata ai capi del condensatore al tempo t .
Carica del condensatore
Riferendoci al circuito in fig.1, consideriamo le seguenti condizioni iniziali:
T  aperto
V t  0  0  Qt  0  0
E0
Al momento della chiusura dell’interruttore T valutiamo la variazione delle varie
grandezze nel tempo. Applichiamo la legge di ohm per la misura della differenza di
potenziale ai capi della resistenza:
(1)
Eugenio Amitrano
E  V t   I t   R
2
Formule generali per i condensatori in un circuito RC.
Per definizione V t  
I t  
Qt 
e la corrente è la variazione di carica nel tempo
C
dQ(t )
.
dt
Sostituendo queste due relazioni nella (1), possiamo ottenere la formula per la carica
del condensatore.
Qt  dQt 
E  C  Qt  dQt 
dt
dQt 
dx
1
E

R 





dQx  
C
dt
R C
dt
R  C E  C  Qt 
R  C 0 E  C  Q x 
0
t

t
t
t
t
 Qt   E  C 
1
1
t
Qt 
R C




dx

dQ
x



log

e
1





R C 0
Q x   E  C
RC
E C
 Q0  E  C 
0
t


RC

 Qt   E  C  1  e





t


Formula per la carica del condensatore: V t   E  1  e R C 


Scarica del condensatore
Riferendoci sempre al circuito in fig.1, consideriamo le seguenti condizioni iniziali:
T  aperto
Qt  0
V t  0 
0
C
E  0 (senza generatore di tensione)
Come per la carica, al momento della chiusura dell’interruttore T valutiamo la
variazione delle varie grandezze nel tempo. Applichiamo la legge di ohm per la
misura della differenza di potenziale ai capi della resistenza: E  V t   I t   R .
Essendo E  0 risulta in fine:
(2)
Noi sappiamo che V t  
 V t   I t   R
Qt 
dQ(t )
e I t  
, e sostituendo queste due relazioni nella
C
dt
(2), possiamo ottenere la formula per la scarica.
Eugenio Amitrano
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Formule generali per i condensatori in un circuito RC.
Qt  dQt 
dt
dQt 
1
dQt 
1
1

R 

 
dx  
x  
dx  
dQx  

C
dt
RC
Qt 
RC
Qt 
RC 0
Q x 
0
0
0
t

t
t
t
t
Qt 
Qt 

 log
 e RC 
 Qt   Q0  e RC
R C
Q0
Q0
t
t
t
Formula per la scarica del condensatore: V t   V 0  e RC
3. Formula generale per tensioni fisse
Nel precedente paragrafo, abbiamo osservato il comportamento del condensatore in
fase di carica con una tensione fissa del generatore e in fase di scarica. È possibile
esprimere il comportamento del condensatore in entrambi casi con un’unica formula
generale. Non solo, la formula generale descrive anche il comportamento in
condizioni intermedie, come per esempio la carica di un condensatore inizialmente
non completamente scarico, ovvero con una tensione non nulla ai suoi capi nello
stadio iniziale della misura.
Riferendoci al circuito in fig.1, consideriamo le seguenti condizioni iniziali:
T  aperto
Qt  0
V t  0 
0
C
E0
Al momento della chiusura dell’interruttore T valutiamo la variazione delle varie
grandezze nel tempo. Applichiamo la legge di ohm per la misura della differenza di
potenziale ai capi della resistenza:
(3)
Come sempre V t  
E  V t   I t   R
Qt 
dQ(t )
e I t  
, e sostituendo queste due relazioni nella (3),
C
dt
possiamo ottenere la prima formula generale.
Qt  dQt 
E  C  Qt  dQt 
dt
dQt 
dx
1

R 





dQx  
C
dt
R C
dt
R  C E  C  Qt 
R  C 0 E  C  Q x 
0
t
E
t
t
t
 Qt   E  C 
1
1
t
Qt   E  C
  e RC 

dx  
dQx   
 log


R C 0
Q x   E  C
R C
Q0  E  C
 Q0  E  C 
0
t
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Formule generali per i condensatori in un circuito RC.
 Q0

 Qt   E  C  Q0  E  C   e RC  Qt   E  C  C  
 E   e RC
 C

t
t
Prima formula generale del condensatore: V t   E  V 0  E   e
t
RC
4. Formula generale ampliata per tensioni variabili
La prima formula generale del condensatore, descrive il comportamento del
condensatore quando la tensione misurata ai capi del generatore è fissa oppure nulla.
A questo punto possiamo estendere la formulazione nei casi di tensioni variabili nel
tempo E t  .
Come di consueto, consideriamo condizioni iniziali:
T  aperto
V t  0  V 0
E (t  0)  E 0
E come sempre, al momento della chiusura dell’interruttore T valutiamo la
variazione delle varie grandezze nel tempo, applicando sempre la legge di ohm per
la misura della differenza di potenziale ai capi della resistenza:
Et   V t   I t   R
(4)
Ancora una volta utilizziamo le relazioni V t  
Qt 
dQ(t )
e I t  
, e le sostituiamo
C
dt
nella (4). A questo punto eseguiamo i passaggi per raggiungere la formula finale.
E t  
Qt  dQt 
dQt 
Qt 
dQt  Qt  E t 

R 
R
 E t  


C
dt
dt
C
dt
RC
R
Risolviamo l’equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine:
y' t   at yt   g t 
yt   e  At   g t   e At  dt  c  e At 
Nel nostro caso:
yt   Qt 
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at  
1
R C
At  
t
R C
g t  
E t 
R
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Formule generali per i condensatori in un circuito RC.
Qt   e

t
RC
t
t

t
t
t
1
1
E t   e RC dt  c  e RC  V t   e RC 
E t   e RC dt  c  e RC

R
R C 
Avendo come condizione V t  0  V 0 , risulta:
0
V 0  e RC 
0
0
1
1
1
E 0  e RC dt  c  e RC  V 0 
E 0dt  c  c  V 0 
E 0dt


RC
R C
R C 
Prima formula generale del condensatore: V t   e
t
RC
t
 1
E 0 
RC

E t   e dt  V 0 


R C
R C
5. Conclusioni
Una delle principali utilità delle formule generali, soprattutto la prima, potrebbe
riguardare la risoluzione di svariati tipi di problemi di fisica. Ma uno degli impieghi
più interessanti, riguarda certamente l'ottimizzazione di programmi informatici di
simulazione elettronica. In quest'ultimo caso la rapidità di calcolo verrebbe
certamente migliorata poiché non è necessario implementare troppe formule.
Eugenio Amitrano
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