la funzione reciproca e la funzione inversa

FUNZIONE RECIPROCA E FUNZIONE INVERSA di una funzione trigonometrica elementare
Classe 3^D – a.s. 2010/2011 – APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 10/12/10
LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA
Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx , la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse
risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:
⎛ 1 ⎞
y = cos ecx ⎜
⎟
⎝ senx ⎠
⎛ 1 ⎞
y = sec x ⎜
⎟
⎝ cos x ⎠
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
y = cot gx ⎜⎜
⎝ tgx ⎠
y = arcsenx
y = arccos x
y = arctgx
diamo la definizione geometrica (sulla circonferenza goniometrica) di cosecante, secante e cotangente di un angolo:
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Prima di trattare le funzioni trigonometriche reciproche ed inverse delle funzioni trigonometriche fondamentali, diamo alcuni concetti essenziali:
F FUNZIONE INIETTIVA: una funzione f : D → C si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte ovvero se ad
ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio; in simboli
f : D → C è iniettiva sse ∀x1 , x2 ∈ D : x1 ≠ x2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x2 );
se una funzione reale di variabile reale è iniettiva, allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all’asse x, questa
intersecherà il grafico della funzione al più una volta.
F FUNZIONE SURIETTIVA: una funzione f : D → C si dice suriettiva quando l’insieme delle immagini f (D) coincide con il codominio
ovvero quando ogni elemento y del codominio C è immagine di almeno un elemento x del dominio D; in simboli
f : D → C è suriettiva sse ∀y ∈ C, ∃x ∈ D / f (x) = y
F FUNZIONE BIIETTIVA: una funzione f : D → C si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva; una funzione biiettiva è invertibile è la
sua funzione inversa sarà f −1 : C → D .
Osserviamo ancora che:
F se nell’intorno di un punto c la funzione y = f (x) è positiva/negativa, allora il limite della funzione per x → c mantiene lo stesso segno
della funzione;
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F se lim f ( x) = 0, allora lim
=∞
x →c f ( x)
x→c
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Funzione trigonometrica fondamentale Funzione reciproca
Funzione inversa
y = arcsenx
y = senx
1
D = (− ∞;+∞ )
C = [− 1;1]
y=
= cos ecx
senx
D = {x ∈ ℜ / x ≠ kπ , k ∈ Z }
C = (− ∞;−1]  [1;+∞ )
D = [− 1;1]
⎡ π π ⎤
C = ⎢− ; ⎥
⎣ 2 2 ⎦
operando una restrizione della funzione seno all’intervallo
⎡ π π ⎤
⎢− 2 ; 2 ⎥ , è garantita la biiettività della funzione seno dunque la
⎣
⎦
sua invertibilità; la funzione inversa del seno, cioè l’arcoseno,
avrà come dominio il codominio della funzione seno e come
codominio il dominio della funzione seno ristretta all’intervallo
⎡ π π ⎤
⎢− 2 ; 2 ⎥ ;
⎣
⎦
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se consideriamo solo la sinusoide se consideriamo solo la sinusoide il grafico della funzione arcoseno si può ottenere applicando al
fondamentale,
fondamentale,
grafico della funzione seno, ristretta all’opportuno intervallo, la
simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante,
D = {x ∈ ℜ / x ≠ kπ , k ∈ Z ,0 ≤ k ≤ 2} ovvero
D = [0;2π ]
C = [− 1;1]
C = (− ∞;−1]  [1;+∞ )
il grafico della funzione è
il grafico della funzione è
osserviamo che:
osserviamo che:
lim senx = 0 +
1
= +∞
x → 0 senx
1
lim−
= +∞
x →π senx
1
lim+
= −∞
x →π senx
1
lim −
= −∞
x → 2π senx
x →0 +
lim senx = 0 +
x →π −
lim senx = 0 −
x →π +
lim senx = 0 −
x → 2π −
⎡ π π ⎤
⎡ π π ⎤
senx : ⎢− ; ⎥ → [− 1;1] ⎯S⎯
⎯
→ arcsenx : [− 1;1] → ⎢− ; ⎥
y=x
⎣ 2 2 ⎦
⎣ 2 2 ⎦
lim+
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gli zeri della funzione seno sono i
valori da escludere nel dominio della
funzione cosecante;
1
⎛ π ⎞
= cos ec ⎜ ⎟ = 1
⎛ π ⎞
⎝ 2 ⎠
sen⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
sen⎜ ⎟ = 1
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
sen⎜ 3 ⎟ = −1
⎝ 2 ⎠
1
⎛ π ⎞
= cos ec ⎜ 3 ⎟ = −1
⎛ π ⎞
⎝ 2 ⎠
sen⎜ 3 ⎟
⎝ 2 ⎠
la funzione seno e la funzione
cosecante hanno in comune tutti e soli
i punti che, nel grafico della funzione
seno, hanno ordinata ± 1 ;
la funzione seno
periodo T = 2π
è periodica di
la funzione cosecante è periodica di
periodo T = 2π
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y = cos x
y = arccos x
1
y=
= sec x
D = (− ∞;+∞ )
D = [− 1;1]
cos x
C = [− 1;1]
C = [0; π ]
π
⎧
⎫
D = ⎨ x ∈ ℜ / x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z ⎬
2
⎩
⎭
operando una restrizione della funzione coseno all’intervallo
C = (− ∞;−1]  [1;+∞ )
[0;π ], è garantita la biiettività della funzione coseno dunque la
se consideriamo solo la cosinusoide
se consideriamo solo la sinusoide sua invertibilità; la funzione inversa del coseno, cioè
fondamentale,
l’arcocoseno, avrà come dominio il codominio della funzione
fondamentale,
coseno e come codominio il dominio della funzione coseno
D = [0;2π ]
ristretta all’intervallo [0;π ];
π
⎧
⎫
⎪ x ∈ ℜ / x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z ,⎪
C = [− 1;1]
D = ⎨
2
⎬
⎪⎩0 ≤ k ≤ 1
⎪⎭
C = (− ∞;−1]  [1;+∞ )
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il grafico della funzione è
il grafico della funzione è
il grafico della funzione arcocoseno si può ottenere applicando al
grafico della funzione coseno, ristretta all’opportuno intervallo,
la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante,
ovvero
cos x : [0; π ] → [− 1;1] ⎯S⎯
⎯
→ arccos x : [− 1;1] → [0; π ]
y=x
gli zeri della funzione coseno sono i
valori da escludere nel dominio della
funzione secante;
la funzione coseno e la funzione
secante hanno in comune tutti e soli i
punti che, nel grafico della funzione
coseno, hanno ordinata ± 1 ;
la funzione secante è periodica di
periodo T = 2π .
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y = tgx
π
⎧
⎫
D = ⎨ x ∈ ℜ / x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z ⎬
2
⎩
⎭
C = (− ∞;+∞ )
1
= cot gx
tgx
D = {x ∈ ℜ / x ≠ kπ , k ∈ Z }
C = (− ∞;+∞ )
y=
y = arctgx
⎛ π π ⎞ operando una restrizione della funzione tangente all’intervallo
D = ⎜ − ; ⎟
⎝ 2 2 ⎠
C = (− ∞;+∞ )
⎛ π π ⎞ , è garantita la biiettività della funzione tangente dunque la sua
⎜ − ; ⎟
⎝ 2 2 ⎠
invertibilità; la funzione inversa della tangente, cioè l’arcotangente, avrà
come dominio il codominio della funzione tangente e come codominio il
dominio della funzione tangente ristretta all’intervallo ⎛ π π ⎞ ;
⎜ − ; ⎟
⎝ 2 2 ⎠
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se consideriamo solo la tangentoide se consideriamo solo la tangentoide il grafico della funzione arcotangente si può ottenere applicando
fondamentale,
fondamentale,
al grafico della funzione tangente, ristretta all’opportuno
intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo
quadrante, ovvero
π
⎧
⎫
⎧ x ∈ ℜ / x ≠ kπ , k ∈ Z ,⎫
⎪ x ∈ ℜ / x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z ,⎪
D = ⎨
⎬
D = ⎨
2
⎬
⎩0 ≤ k ≤ 2
⎭
⎛ π π ⎞
⎛ π π ⎞
⎪⎩− 1 ≤ k ≤ 0
⎪⎭
tgx : ⎜ − ; ⎟ → (− ∞;+∞ ) ⎯S⎯
⎯
→ arctgx : (− ∞;+∞ ) → ⎜ − ; ⎟
C = (− ∞;+∞ )
y=x
⎝ 2 2 ⎠
⎝ 2 2 ⎠
C = (− ∞;+∞ )
il grafico della funzione è
il grafico della funzione è
gli zeri della funzione tangente sono i
valori da escludere nel dominio della
funzione cotangente;
la funzione cotangente è periodica di
periodo T = π
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