Serie 16: Relativit`a V

FAM
Serie 16: Relatività V
C. Ferrari
Esercizio 1 Contrazione della lunghezza
Dimostra che non vi è nessuna contrazione delle lunghezze nella direzione perpendicolare al moto di R′ rispetto a R.
A
Indicazione: Definisci la lunghezza come L = xB
k − xk (k = 2, 3) dove A e B sono
eventi simultanei, utilizza poi le trasforazioni di Lorentz.
Esercizio 2 Contrazione della lunghezza
1. Un elettrone con β = 0,999987 viaggia lungo l’asse di un tubo sotto vuoto di
lunghezza 3 m come misurato da un osservatore O in un laboratorio rispetto
al quale il tubo è a riposo. Un osservatore O′ si muove con l’elettrone. Quale
sarà secondo O′ la lunghezza del tubo?
2. Un’aeroplano che ha lunghezza a riposo di 40 m si muove rispetto alla Terra
con velocità costante di 630 m/s. Per un’osservatore sulla Terra di quanto si accorcia (apparentemente) l’aeroplano nella direzione del moto? E nelle direzioni
perpendicolari al moto?
Esercizio 3 Dilatazione dell’intervallo di tempo
Ad un’altezza compresa tra i 10 km e i 60 km al di sopra della superficie terrestre
i raggi cosmici colpiscono continuamente i nuclei di ossigeno e azoto producendo
muoni µ− (particelle elementari aventi massa pari a 207 masse elettroniche che
vengono prodotti in particolari reazioni nucleari). Alcuni di questi muoni si muovono
verticalmente verso il basso ad una velocità prossima a quella della luce. Queste
particelle sono instabili e decadono in altre particelle elementari in 1,5·10−6 s, tempo
misurato nel sistema di riferimento legato alla particella. Approssima l’esperimento
reale con il seguente meccanismo, che è all’incirca equivalente: tutti i muoni sono
prodotti alla stessa altezza (60 km), hanno la stessa velocità v = 0,9997c rispetto
alla Terra, tutti si muovono in linea retta verso il basso, nessuno è perduto nel corso
del suo cammino a causa di urti con le molecole di aria.
1. Rispetto al sistema di riferimento terrestre quanto tempo occorrerà approssimativamente perché questi muoni raggiungano la superfice terrestre?
2. Se il tempo di dimezzamento fosse lo stesso per gli osservatori terrestri e per un
osservatore che si muove con i muoni, quanti tempi di dimezzamento saranno
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trascorsi, approssimativamente? Quindi, quale frazione delle particelle create
a 60 km di altezza rimarrà quando queste raggiungono il livello del mare sulla
Terra? Esprimi il risultato anche come potenza di 1/2.
3. Un’esperimento stabilisce che una frazione pari a 1/8 dei muoni raggiunge il
livello del mare. Rispetto al sistema di riferimento di riposo dei muoni quanti
tempi di dimezzamento sono trascorsi tra la creazione di un dato muone e il
suo arrivo come superstite al livello del mare?
4. Nel sistema di riferimento terrestre quanto vale il tempo di dimezzamento dei
muoni?
5. Spiega con la dilatazione del tempo il risultato sperimentale.
Osservazione: Gli esperimenti con i muoni cosmici sono prove empiriche a favore
della teoria della relatività.
Esercizio 4 Dilatazione dell’intervallo di tempo
Gli esperimenti di laboratorio sul decadimento delle particelle vengono effettuati
molto più semplicemente con pioni π + che non con muoni µ− . Il tempo di dimezzamento del pione π + nel sistema di riferimento di riposo è di 2,08 · 10−8 s.
1. In un acceleratore di particelle vengono prodotti dei pioni π + quando un fascio
di protoni colpisce un bersaglio di alluminio posto all’interno dell’acceleratore.
I pioni escono da questo bersaglio con una velocità prossima a quella della
luce. Se non ci fosse la dilatazione del tempo e se nessun pione venisse perduto
dal fascio uscente a causa di urti, qual è la massima distanza dal bersaglio
dopo la quale la metà dei pioni non sarebbe ancora decaduta?
2. I pioni π + relativi a un determinato esperimento hanno una velocità pari a
v = 0,9978c. Di quale fattore viene aumentata dalla dilatazione del tempo, rispetto al valore precedente, la distanza prevista corrispondente al decadimento
di metà dei pioni? In altre parole, di quante volte questo effetto di dilatazione
permette di aumentare la distanza tra il bersaglio e il sistema di rivelazione?
Esercizio 5 Esercizi vari
1. Un osservatore inerziale O afferma che il metro campione di un secondo osservatore inerziale O′ risulta, per lui, lungo 60 cm. Sulla base di questa misura,
determinare la velocità di O′ rispetto ad O.
2. Un osservatore O misura, per una particella, una velocità v = 0,96c e un tempo
di vita di τ = 2 · 10−5 s. Quanto vale tempo di vita della particella se misurato
nel proprio sistema di riferimento?
3. Un fascio di particelle instabili, il cui numero si dimezza ogni 5 · 10−6 s, viene
prodotto ad alta quota dai raggi cosmici. Sapendo che la loro velocità è 0,95c
e che al suolo arriva 1/16 delle particelle prodotte, calcolare la quota h a cui
sono state prodotte le particelle.
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4. Nel sistema di riferimento di un osservatore inerziale O′ si producono due
eventi in uno stesso punto, intervallati di un tempo pari a ∆t′ . Un secondo
osservatore inerziale O rileva i due eventi in due punti che si trovano a una
distanza di 3,6 · 108 m e osserva che essi avvengono uno dopo l’altro con un
intervallo temporale di 4 s, giudicato dai suoi orologi. Determinare il valore di
∆t′ .
5. Un osservatore inerziale O′ si trova su un treno che si sta muovendo ad alta
velocità e che, secondo le sue misure è lungo 500 m. Un osservatore inerziale O
si trova invece a terra e vede che due lampi colpiscono contemporaneamente le
estremità del treno. Sapendo che il treno viaggia da sinistra a destra alla velocità di 324 km/h, quale sarà, secondo O′ , l’intervallo di tempo che intercorre
fra l’arrivo dei due lampi sulle estremità del treno?
Esercizio 6 Effetto Doppler relativistico
Consideriamo un una sorgente luminosa all’origine del sistema di riferimento R′ in
traslazione uniforme, di velocità ~u = (u, 0, 0), rispetto a R alla cui origine si trova
un ricevitore.
La sorgente emette un lampo di luce ad intervalli di tempo regolari T ′ (si parla di
frequenza di emissione ν ′ = 1/T ′). Il ricevitore riceve i lampi di luce ad intervalli
regolari T (si parla di frequenza di ricezione ν = 1/T ).
1. Dimostra la relazione
ν=ν
′
r
c−u
.
c+u
Indicazioni:
• Osserva che il lampo di luce in un tempo T ′ percorre uno spazio (rispetto
ad R′ )
∆x′1 = cT ′ .
• Scrivi ∆x′1 e cT ′ in termini di ∆x1 e T (usando le trasformazioni di
Lorentz).
• Con le tre equazioni trovate trova la relazione tra T e T ′ .
2. Sapendo che ad ogni colore è associata una frequenza cosa puoi dedurre da
questo risultato? (Se in R′ un atomo emette una luce gialla essa sarà vista
dello stesso colore nel sistema di riferimento R?)
3. Sulla luce proveniente da una stella lontana si osserva uno spostamento di
−10% sui colori (= frequenza) emessi da un’atomo, rispetto ai colori che si
osserverebbero sulla Terra. A che velocità si allontana la stella dalla Terra?
4. La legge di Hubble stabilisce che la velocità v alla quale si allontanano le
stelle è direttamente proporzionale alla loro distanza d:
v = H0 d
dove H0 = 2,4 · 10−2 m/(s · al) è chiamata costante di Hubble ( al = anni–luce).
Determina la distanza della stella in questione dalla Terra.
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Esercizio 7 Contrazione della lunghezza e dilatazione del tempo
Utilizzando un diagramma di Minkowski verifica la contrazione delle lunghezze e la
dilatazione del tempo. In particolare dimostra che gli assi (x′0 , x′1 ) sulla carta di R
sono paralleli alle rette tangenti alle iperboli di calibrazione nel punto di intersezione
con l’asse opposto.
Esercizio 8 Il “paradosso” dell’asta e del granaio
Un’asta di lunghezza L′0 = 10 m relativamente al sistema di √riferimento inerziale
R′ rispetto al quale è immobile, si avvicina con velocità u = 23 c (cosı̀ che γ = 2)
verso un granaio di lunghezza L = 5 m (misurata rispetto al sistema di riferimentro
terrestre R). Siano A e B i due estremi dell’asta. Quando A raggiunge la porta
posteriore D del granaio, che è chiusa, l’osservatore terrestre chiude per un istante
la porta anteriore C cosı̀ da chiudere per un istante l’asta nel granaio. Poi la porta
posteriore si apre e l’asta continua il suo moto.
• Dal punto di vista dell’osservatore terrestre è possibile chiudere la porta del
granaio in modo tale che l’asta stia nel granaio poiché l’asta si contrare e la
sua lunghezza è di 5 m.
• Dal punto di vista dell’osservatore solidale con l’asta è il granaio a contrarsi e
quindi l’asta non può stare nel granaio con la porta chiusa.
La situazione in questo caso è palesemente paradossale: secondo l’osservatore terrestre l’asta entra (a filo) nel granaio, secondo l’osservatore solidale con l’asta, assolutamente no, anzi, il granaio addirittura si accorcia. Il principio di relatività postula
completa simmetria tra i due sistemi inerziali: che significa allora questa apparente
asimmetria? C’è una contraddizione logica nello spaziotempo di Minkowski? O forse
abbiamo fatto un’analisi un po’ affrettata e incompleta? Naturalmente la risposta
esatta è quest’ultima. Risolvi l’apparente paradosso, in particolare l’asta entrerà nel
granaio?
R′
B
A
C
D
R
Indicazione: Rappresenta la situazione con un diagramma di Minkowski.
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