Matteo Luca Ruggiero
DISAT@Politecnico di Torino
Fisica 1
Anno Accademico 2011/2012
(21 Maggio - 25 Maggio 2012)
1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Sintesi
1
Abbiamo introdotto i concetti fondamentali dello studio della Termodinamica: sistema termodinamico e variabili termodinamiche,
distinguendo fra queste le variabili intensive e
quelle estensive. In particolare, abbiamo introdotto la temperatura, come grandezza che definisce l’equilibrio termico fra sistemi termodinamici, e discusso varie scale di temperatura (Celsius, Kelvin). Mediante la teoria cinetica dei
gas perfetti abbiamo trovato un legame fra variabili termodinamiche macroscopiche e variabili
meccaniche microscopiche.
Esercizi svolti ad Esercitazione
Esercizio 9.1
Un satellite artificiale di massa m = 200 kg in rotazione attorno alla terra
su un’orbita circolare a distanza d = 500 km dal suolo, viene spostato e
quindi lasciato libero su un’altra orbita circolare, a distanza 2d dal suolo.
Sia MT = 6 × 1025 Kg, RT = 6500 Km.
Si calcoli il lavoro necessario.
Soluzione Commentata. Il satellite in moto su un orbita circolare di raggio
R è soggetto alla forza gravitazionale. Di conseguenza, l’equazione del moto
ma = F si scrive
mMT
v2
(1)
− m λ = −G 2 λ,
R
R
essendo il membro di sinistra dato dall’accelerazione centripeta, mentre nel
membro di destra compare la forza di attrazione gravitazionale, diretta in
verso opposto al versore radiale λ. D’altra parte, possiamo scrivere l’energia
meccanica nella forma
mMT
1
.
Em = mv 2 − G
2
R
(2)
Andando a ricavare v dalla (1) e sostituendo nella (2), otteniamo
1 mMT
Em = − G
.
2
R
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1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Il fatto che l’energia è negativa sta ad indicare che il sistema satellite-Terra è
legato. Andando a calcolare il valore dell’energia meccanica nelle due orbite
descritte dal satellite, possiamo scrivere
1 mMT
.
Em (1) = − G
2 RT + d
(4)
1
mMT
Em (2) = − G
.
2 RT + 2d
(5)
La variazione di energia meccanica ∆Em = Em (2) − Em (1) è determinata dal
lavoro fatto sul sistema, per cui
GmMT d
1
(6)
L = Em (2) − Em (1) =
2 (RT + d) (RT + 2d)
Andando a sostituire i valori numerici si ottiene L = 3.81 × 108 J.
Esercizio 9.2
Il periodo di rotazione della Luna intorno alla Terra è di circa TL = 28
giorni e la sua orbita è approssimativamente circolare, con un raggio pari a
d = 380000 Km. L’accelerazione gravitazione sulla superficie terrestre vale
circa g = 10 m/s2 .
Usando esclusivamente i precedenti dati, si valuti (1) il raggio delle Terra;
(2) la distanza ds dal centro della Terra ed il modulo della velocità di un
satellite, in moto su un orbita equatoriale terrestre, con periodo Ts di un
giorno.
2 3
Traccia di Soluzione. Dai dati del problema si ricava GMT = 4πT 2d , rT =
L
q
2
GMT
3
≃ 6500 Km. Inoltre, si ricava per la distanza del satellite d = TTs2 d3s ,
g
L
da cui ds ≃ 4 × 104 km, e per la velocità vs = 2πds /Ts ≃ 3 km/s.
Esercizio 9.3
Un satellite artificiale di massa m è in moto intorno alla Terra, su un’orbita
circolare di raggio R0 , con velocità v0 . Ad un certo istante dal satellite si
stacca bruscamente una sonda di massa m√
1 con velocità v1 , parallela a v0 e
verso opposto, e avente modulo v1 pari a 2 la velocità di fuga dal campo
gravitazionale terrestre. Sia m2 = m − m1 la massa residua del satellite.
(1) Calcolare il rapporto m1 /m2 affinchè il satellite rimanga legato alla Terra;
(2) Supponendo che il satellite resti legato alla Terra, determinare l’asse
maggiore dell’ellisse descritta dal satellite m2
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1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Figura 1: Esercizio 9.3
Traccia di Soluzione. Il satellite prima del distacco della sonda ha
un’energia meccanica
Em = −
1
GmMT
+ mv02
R0
2
(7)
Inoltre, essendo l’orbita circolare, sussiste una relazione simile alla (1):
−m
mMT
v02
λ = −G 2 λ,
R0
R0
(8)
GMT
R0
(9)
Da cui
v02 =
Di conseguenza si ricava, analogamente alla (3)
Em = −
1 GmMT
2 R0
(10)
La velocità di fuga v∞ dall’orbita circolare a raggio R0 si ricava andando a
imporre Em = 0 nella (7), da cui
r
GMT
v∞ =
.
(11)
R0
Il distacco avviene sotto l’effetto di forze impulsive. Pertanto, possiamo
scrivere la conservazione della quantità di moto. Prima dell’urto essa vale
Q(−) = mv0 .
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Dopo l’urto essa vale
Q(+) = m1 v1 + m2 v2
(13)
Essendo Q(−) = Q(+), scegliendo come positivo il verso concorde con v0 ,
otteniam0
mv0 = m2 v2 + m1 v1
(14)
Da cui, essendo m = m1 + m2 , si ricava
m1
m1 + m2
v0 +
v1 .
(15)
v2 =
m2
m2
√
Per ipotesi è v1 = 2v∞ , inoltre sussiste la relazione (9), per cuo possiamo
scrivere
r
GMT
m1
v2 = 1 + 3
.
(16)
m2
R0
√
m1
Il satellite resta legato alla Terra se v2 < v∞ , per cui si ricava m
. Il
< 2−1
3
2
satellite, dunque, si muove su un orbita ellittica (dato che v2 > v0 , velocità
dell’orbita circolare a distanza R0 .
Per determinare il semiasse maggiore dell’ellissi, basta ricordarsi che sussiste la relazione
GMt m2
(17)
|Em | =
a
fra il modulo dell’energia meccanica |Em | e il semiasse maggiore. Bisogna
quindi valutare l’energia meccanica del satellite dopo il distacco della sonda.
Essa risulta data da
GMT m2 1
Em = −
+ m2 v22
(18)
R0
2
ovvero
2
GMT
GMT m2 1
m1
GMT m2 1
2
− m2 v2 =
− m2 1 + 3
(19)
|Em | =
R0
2
R0
2
m2
R0
Quindi, si ricava il semiasse maggiore risolvendo l’equazione
2
GMT m2
GMT
GMT m2 1
m1
− m2 1 + 3
=
a
R0
2
m2
R0
ovvero
"
2 #
1
1
m1
1
1−
1+3
=
a
R0
2
m2
(20)
(21)
in funzione di m1 /m2 e di R0 .
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3 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
2
Quesiti Proposti
9.1 Consideriamo il moto Kepleriano di un corpo di massa m, intorno ad
un centro di forza fisso, lungo una traiettoria ellittica; si prenda un sistema
di coordinate polari, avente origine nel centro di forza.
1. La velocità è sempre perpendicolare al vettore posizione
2. Non esiste alcun punto nella traiettoria in cui la velocità è perpendicolare al vettore posizione.
3. Il modulo della velocità assume valore massimo nel punto di massima
vicinanza al centro di forza
4. Il modulo della velocità assume valore minimo nel punto di massima
vicinanza al centro di forza
9.2 Consideriamo un satellite in orbita intorno alla Terra, su un orbita
circolare di raggio R, sotto l’azione della sola forza gravitazionale. Sia T il
periodo orbitale. Se si raddoppia il raggio dell’orbita
1. Il periodo resta invariato
2. Il modulo della velocità aumenta
3. Il modulo della velocità diminuisce
4. Il periodo raddoppia
3
Soluzione degli Esercizi Proposti
Esercizio P.8.1
Un corpo di massa m = 500 g cade lungo la verticale, sotto l’effetto del campo gravitazionale terrestre,e va ad urtare con una velocità di v0 = 3 m/s un
piano inclinato, avente α = 30 gradi, e massa M = 10 Kg. Il piano inclinato
è inizialmente in quiete, su una superficie liscia. L’urto è elastico e avviene
ad una altezza |OA| = h = 0.5 m dal suolo.
Si determini la distanza d = |OP |: (1) il piano inclinato è fisso; (2) il piano
inclinato può muoversi senza attrito.
Traccia di Soluzione. Iniziamo osservando che, nell’urto elastico di una
particella con una parete liscia, si conserva la componente della quantità di
moto perpendicolare alla parete. A tal proposito si osservi la figura 3.
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3 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
Figura 2: Esercizio P.8.1
Figura 3: Esercizio P.8.1, Urto Elastico contro una Parete
Indicando con Q(+) = mv′ , Q(−) = mv la quantità di moto dopo l’urto
e prima dell’urto, possiamo scrivere che l’impulso cui è soggetta la particella
I = Q(+) − Q(−).
(22)
Essendo la parete liscia, l’impulso non può che essere diretto perpendicolarmente ad essa, qundi Iy =, da cui si ottiene
Qy (+) = Qy (−) → vy′ = vy .
(23)
D’altra parte, la conservazione dell’energia cinetica ci dice che
1 1
m vx2 + vy2 = m (vx′ )2 + (vy′ )2
2
2
(24)
Allora, andando a sostituire la (23) nella (24), si ottiene (vx′ )2 = vx2 , da cui si
ricava che vx′ = −vx , scartando ovviamente l’altra soluzione che non prevede
l’occorrenza dell’urto.
Passiamo ora ad affrontare l’esercizio. (1) Consideriamo il caso in cui il
piano inclinato è fisso. L’urto è elastico, quindi la velocità della pallina varia
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3 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
Figura 4: Esercizio P.8.1, Urto Elastico contro il Piano Inclinato Fisso; il
vettore velocità prima dell’urto è v0 (−), dopo l’urto è v0 (+)
la direzione ma non il modulo v0 : la situazione è rappresentata in figura (4).
Scegliendo degli assi cartesiani x′ y ′ come in figura, questo vuol dire che le
componenti del vettore velocità prima dell’urto sono
vx′ (−) = v0 sin α,
vy′ (−) = −v0 , cos α
(25)
mentre dopo l’urto la componente lungo x′ resta invariate e quella lungo y ′
cambia segno,
vx′ (+) = v0 sin α, vy′ (+) = v0 , cos α
(26)
Figura 5: Esercizio P.8.1, Rotazione degli Assi Cartesiani
Per ottenere le componenti lungo gli assi xy operiamo una rotazione (cambiamento di base fra la base cartesiana con assi coordinati x′ y ′ e la base
cartesiana con assi coordinati xy, Figura 5):
′ vx
cos α sin α
vx
(27)
=
vy′
− sin α cos α
vy
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3 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
Andando quindi a prendere le componenti della velocità dopo l’urto (26),
e applicando la rotazione (27) si ottengono i loro valori nel sistema di coordiante xy:
vx (+) = v0 sin 2α, vy (+) = v0 cos 2α
(28)
A questo punto il problema consiste nello studio di un moto di un proiettile, a partire dal punto A, con le componenti della velocità date dalla
(28).
(2) Consideriamo ora il caso in cui il piano inclinato è mobile. Anche in
questo caso, visto che il piano inclinato è liscio, la componente della velocità
del corpo di massa m parallela al piano inclinato non varia. Prima dell’urto,
nel riferimento xy la velocità ha componenti
vx (−) = 0,
vy (−) = −v0 ,
(29)
Indichiamo poi genericamente le componenti dopo l’urto con vx (+), vy (+).
Se applichiamo ora la rotazione che fa passare dalle componenti lungo gli assi
xy a quelle lungo gli assi x′ y ′ (inversa della (27))
′ vx
cos α − sin α
vx
=
(30)
vy′
sin α cos α
vy
otteniamo per le componenti lungo l’asse x′ prima dell’urto vx′ (−) = v0 sin α,
mentre dopo l’urto vx′ (+) = vx (+) cos α−vy (+) sin α. Dovendo essere vx′ (−) =
vx′ (+), si ha
v0 sin α = vx (+) cos α − vy (+) sin α
(31)
Sul sistema costituito dal corpo di massa m e dal piano inclinato di massa M, non agiscono forze esterne lungo la direzione x, quindi si conserva
la quantità di moto lungo tale direzione: essendo quest’ultima nulla prima
dell’urto, possiamo scrivere
MV + mvx (+) = 0,
(32)
dove abbiamo indicato con V la velocità del piano inclinato. Inoltre, l’urto è
elastico, quindi possiamo scrivere per la conservazione dell’energia
1
1 2 1 2
mv0 = m vx (+) + vy2 (+) + MV 2
2
2
2
(33)
Le tre equazioni (31)-(33) consentono di determinare le tre incognite vx (+), vy (+), V .
Quindi il problema è ricondotto nuovamente allo studio del moto di un
proiettile.
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4 SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
4
Soluzioni dei Quesiti Proposti
8.1 Due palline in un piano sono collegate agli estremi di una molla ideale.
Le palline vengono poste in modo, con velocità arbitrarie, quando la molla è
nella sua posizione di riposo.
1. nel moto della palline si conserva la loro energia cinetica
2. ciascuna delle palline si muovono in ogni caso in linea retta, perché
sono collegate da una molla
3. ciascuna delle palline può muoversi lungo un’ellisse ∗
4. non si conserva il momento angolare del sistema costituito dalle due
palline
8.2 Un oggetto di massa m cade verticalmente, partendo da fermo e,
dopo aver percorso un tratto h in verticale, esplode in volo, dividendosi in
due frammenti di massa uguale. Dopo l’esplosione
1. entrambi i frammenti si muoveranno con la stessa velocità
2. il centro di massa del sistema si muoverà in linea retta ∗
3. il centro di massa del sistema si muoverà lungo un arco di parabola
4. entrambi i frammenti si muoveranno in linea retta
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