Calcolo delle reti

Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Unità 3
Metodi particolari per il calcolo di reti
1
Cosa c’è nell’unità
Metodi particolari per il calcolo di reti con un solo
generatore
Partitore di tensione
Partitore di corrente
Metodi di calcolo di reti con più generatori
Teorema di Millman
Principio di sovrapposizione degli effetti
Teorema di Thevenin e rappresentazione Thevenin
Teorema di Norton e rappresentazione Norton
Thevenin e Norton: casi particolari
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
2
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1
1
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Metodi particolari per il calcolo di reti
3
Partitori di tensione e di corrente
Partitore di tensione:
si fa riferimento ad una tensione nota che
alimenta una SERIE di resistori
Partitore di corrente:
si fa riferimento ad una corrente nota che
alimenta un PARALLELO di resistori
4
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2
2
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Partitori di tensione e di corrente
5
Partitore di tensione
i=
e
Re
Re = R1 + R 2
v2 = i R2 =
R2
e
R1 + R2
Il fattore R2/(R1+R2) viene chiamato fattore di
partizione, dove:
a numeratore si pone la resistenza del resistore su
cui si vuole calcolare la tensione
a denominatore la somma delle resistenze dei
resistori su cui la tensione del generatore si
ripartisce
6
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3
3
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Partitore di tensione
In base al principio di sostituzione, la formula del
partitore di tensione trova applicazione più
generale:
i=
n
e
; Re = ∑ Rl
Re
l =1
vj =
Rj
n
∑R
l=1
e
l
7
Esempio 1: Partitore di tensione
Calcolare la tensione v tra i morsetti A e B
8
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4
4
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio 1: Partitore di tensione
Risulta:
v=
( R5 R6 + R7 ) (R8 + R9 )
RAB
e=
e
RAB + RAC
( R5 R 6 + R7 ) ( R8 + R9 ) + R1 ( R2 + R3 R4 )
Con: RAB = ( R5 R6 + R7 ) (R 8 + R 9 )
RAC = R1 ( R2 + R3 R4 )
9
Esempio 2: Partitore di tensione
Calcolare la tensione v tra i morsetti A e B
Dati:
a =11A; R =7O
10
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5
5
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio 2: Partitore di tensione
Passo 1 : calcolo v C D
RCB = R +
(
R 3
= R
2 2
)
6
R
13
51
Req = R ( RCB + RB D ) =
R
77
51 a R
vCD = a Req =
77
RB D = R + R 2 R 2 R =
11
Esempio 2: Partitore di tensione
Passo 2 : Noto vCD
calcolo v BD con un
partitore di tensione
51 a R
;
77
3
6
RCB = R ; RBD = R ;
2
13
RBD
12 a R
vBD = vCD
=
RCB + RBD
77
vCD =
12
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6
6
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio 2: Partitore di tensione
Passo 3 : Noto v BD
calcolo v con un
secondo partitore di
tensione
12 a R
77
R
2 = − 4a R
v = −v BD
R +R
77
2
v BD =
13
Esempio 2: Partitore di tensione
Passo 4 : Sostituisco i
valori numerici
assegnati
a =11A; R =7O
v =−
4a R
= −4 V
77
14
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7
7
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Partitori di tensione e di corrente
15
Partitore di corrente
v=
a
Ge
Ge = G 1 + G 2
i2 = vG2 =
G2
R1
a=
a
G1 + G2
R1 + R2
Il fattore G2/(G 1+G2) viene chiamato fattore di
partizione, dove:
a numeratore si pone la conduttanza del resistore
su cui si vuole calcolare la corrente
a denominatore la somma delle conduttanze dei
resistori su cui la corrente del generatore si
ripartisce
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8
8
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Partitore di corrente
In base al principio di sostituzione, la formula del
partitore di corrente trova applicazione più
generale:
v=
ij =
m
a
; Ge = ∑ Gl
Ge
l =1
Gj
m
∑ Gl
a
a=i
l =1
17
Partitore di corrente
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9
9
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Partitore di corrente
Calcolare la corrente i nel resistore R4
a
19
Esempio: Partitore di corrente
Passo 1 : calcolo iX con un partitore di corrente
Req = R2 + R3 R4
iX = a
R1
R1 + Req
a
20
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10
10
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Partitore di corrente
Passo 2 : Noto iX calcolo i
con un secondo partitore di
corrente
iX = a
R1
;
R1 + Req
i = iX
R3
a R1 R3
=
;
R3 + R 4 ( R1 + Req ) (R 3 + R 4 )
i=
a
a R1 R3
R
+
R
( 1 2 )( R3 + R4 ) + R3R4
21
Partitori di corrente e di tensione
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11
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Partitori di corrente e tensione
Calcolare la corrente
i e la tensione v
indicate nella figura
a destra
23
Esempio: Partitori di corrente e tensione
Si sale lungo la
scala fino alla
sezione del
generatore
Si ridiscende
lungo la scala con
partitori fino a
calcolare tutte le
uscite richieste
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12
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Partitori di corrente e tensione
Si ridiscende lungo la scala con partitori fino a
calcolare tutte le uscite richieste
e/80
i = e/160
25
Metodi particolari per il calcolo di reti
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13
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Metodi di calcolo di reti con più generatori
Teorema di Millman
Principio di sovrapposizione degli effetti
Teorema di Thevenin e rappresentazione Thevenin
Teorema di Norton e rappresentazione Norton
Thevenin e Norton: casi particolari
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
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Metodi di calcolo di reti con più generatori
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14
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
Teorema di Millman
si fa riferimento ad una rete costituita dal parallelo
di n bipoli ciascuno dei quali è costituito da un
generatore di tensione in serie con un resistore
29
Teorema di Millman
Per il generico lato r valgono le seguenti equazioni:
v AB = e r − Rr ir
ir =
e r − v AB
;
Rr
r = 1,2, K , n
30
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15
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
L’equazione di Kirchhoff per le correnti entranti
nel nodo in alto A porge:
n
er − v AB
= 0 ⇒ vAB
Rr
r =1
n
∑i = ∑
r =1
r
e1 e2
e
+ + L+ n
R1 R2
Rn
=
1 1
1
+ + L+
R1 R2
Rn
31
Teorema di Millman
Con riferimento alle conduttanze si ha:
v AB =
G1 e1 + G2 e2 + L + Gn en
G1 + G2 + L + Gn
32
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16
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
La tensione tra i due morsetti del parallelo di più
bipoli costituiti da generatori di tensione in serie
con resistori è data da una frazione in cui al
numeratore si pone la somma dei prodotti delle
tensioni dei generatori per le relative conduttanze
ed al denominatore la somma delle conduttanze
33
Teorema di Millman
La tensione tra i due morsetti del parallelo di più
bipoli costituiti da generatori di tensione in serie
con resistori è data da una frazione in cui al
numeratore si pone la somma dei prodotti delle
tensioni dei generatori per le relative conduttanze
ed al denominatore la somma delle conduttanze
il numeratore è una somma di correnti
il denominatore è una somma di conduttanze
34
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17
17
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
La tensione tra i due morsetti del parallelo di più
bipoli costituiti da generatori di tensione in serie
con resistori è data da una frazione:
il numeratore è una somma di correnti, dove ciascun
generico addendo r a numeratore corrisponde alla
corrente di cortocircuito erogata dall’ r -esimo bipolo
nel caso in cui questi avesse il suo morsetto A
collegato in cortocircuito al morsetto B
35
Teorema di Millman
La tensione tra i due morsetti del parallelo di più
bipoli costituiti da generatori di tensione in serie
con resistori è data da una frazione:
il denominatore è una somma di conduttanze
dove ciascun generico addendo r a denominatore
corrisponde alla conduttanza dell’ r -esimo bipolo
misurata a generatore ideale spento
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18
18
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
In base alla precedente osservazione, senza
formalmente ripetere la dimostrazione, il teorema di
Millman si può applicare anche in presenza di lati
costituiti da generatori di corrente
a
a
37
Teorema di Millman
un bipolo costituito da un generatore di corrente in
serie ad un resistore è equivalente al semplice
generatore di corrente (e se spento offre ai suoi
terminali una conduttanza nulla)
a
a
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19
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
a
Ai fini del calcolo della tensione vA B , il bipolo di
morsetti A-B indicato in figura a sinistra equivale
al bipolo riportato in figura a destra, e pertanto il
Teorema di Millman porge:
vAB
e1 e2
e
+
+a+ 4
R R2
R4
= 1
1
1
1
+
+
R1 R2 R4
39
Teorema di Millman
La tensione tra i due morsetti del parallelo di più
bipoli, costituiti da generatori di tensione in serie
con resistori e/o da generatori di corrente, è data
da una frazione il cui numeratore è la somma delle
correnti dei generatori di corrente a cui va
aggiunta la somma dei prodotti delle tensioni dei
generatori di tensione per le relative conduttanze
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20
20
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Millman
Il denominatore della frazione è la somma delle
conduttanze, tenendo conto che i bipoli con
generatori di corrente in serie offrono conduttanza
nulla
41
Metodi di calcolo di reti con più generatori
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21
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Principio di sovrapposizione degli effetti
Le reti che stiamo esaminando sono tutte
costituite da bipoli con relazioni costitutive lineari
(resistori ideali, generatori ideali di tensione e di
corrente)
Le equazioni di Kirchhoff sono lineari
43
Principio di sovrapposizione degli effetti
Pertanto, se si vuole calcolare una qualsiasi
grandezza di rete (tensione o corrente su un
qualsiasi bipolo della rete LINEARE) si può
applicare il principio di sovrapposizione degli
effetti
44
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22
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Principio di sovrapposizione degli effetti
Chiameremo effetto di un generatore il valore
che assume l’uscita che si vuole calcolare
(tensione o corrente su un dato bipolo) quando
nella rete agisce solo quel generatore, e sono
invece assunti nulli tutti gli altri generatori
presenti nella rete
45
Principio di sovrapposizione degli effetti
In una rete lineare una qualsiasi grandezza di
tensione e/o di corrente è ottenibile sommando
gli effetti di tutti i generatori presenti nella rete
46
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23
23
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Principio di sovrapposizione degli effetti
Un generatore di tensione con tensione nulla
è equivalente ad un corto circuito
Un generatore di corrente con corrente nulla è
equivalente ad un circuito aperto
47
Principio di sovrapposizione degli effetti
Nello studio di una rete lineare mediante il principio
di sovrapposizione degli effetti, ogni singolo effetto
può essere determinato applicando i metodi
elementari, visti in precedenza, per il calcolo di reti
con un solo generatore presente
Il principio è valido solo per il calcolo delle tensioni e
delle correnti, e non per il calcolo delle potenze
(prodotto di tensione per corrente ⇒ “non lineare”)
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24
24
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Principio di sovrapposizione degli effetti
Il principio è valido solo per il calcolo delle tensioni
e delle correnti, e non per il calcolo delle
potenze = prodotto (⇒ non lineare) di tensione
per corrente
i = i ' + i ";
(e1 + e2 )2
= R (i '+ i ")2 ;
R
p ≠ p ' + p " = R (i ')2 + R (i ")2
p=
49
Principio di sovrapposizione degli effetti
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25
25
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Sovrapposizione degli effetti
v AB
e1 e2
e
+ +a + 4
R R2
R4
I
II
III
IV
= 1
= vAB
+ vAB
+ vAB
+ v AB
;
1
1
1
+ +
R1 R2 R4
51
Esempio: Sovrapposizione degli effetti
−1
v IAB
v AB
 1
1 
e1
e1 
+ 
R1
 R2 R4  ;
=
=
−1
1
1
1
 1
1 
+
+
R
+
+
1


R1 R2 R4
 R2 R4 
e 2 = 0; a = 0; e 4 = 0
e1 e2
e
+
+a+ 4
R1 R2
R4
I
III
=
= v AB
+ v IIAB + v AB
+ vAIVB ;
1
1
1
+
+
R1 R2 R4
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26
26
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Sovrapposizione degli effetti
−1
vIAB
−1
 1
1
 1 1 
e1  + 
e2  + 
R2 R4 

II
 R1 R4  ;
=
−1 ; v AB =
−1
 1

 1
1
1 
R1 +  + 
R2 +  + 
 R2 R4 
 R1 R4 
−1
−1
 1
1
1 
vIII
+
+  ; vIABV
AB = a 
 R1 R2 R 4 
 1
1
e4  + 
R1 R2 

=
−1
 1 1 
R4 +  + 
 R1 R2 
53
Metodi di calcolo di reti con più generatori
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27
27
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Thevenin
Il teorema di Thevenin è il teorema fondamentale
per la rappresentazione di bipoli e, più in
generale, di multipoli lineari
55
Teorema di Thevenin
Consideriamo un bipolo A, costituito da una rete
di generatori e di resistori ideali (bipolo lineare),
chiuso su di un bipolo B di carico (eventualmente
B può anche non essere lineare)
In base al teorema di equivalenza, il bipolo B può
essere sostitutito da un generatore ideale di
corrente di valore i(t)
a
a
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28
28
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Thevenin
Dopo la sostituzione la rete è lineare
La tensione sul bipolo viene scritta
sovrapponendo due effetti:
quello dei generatori interni al bipolo A
quello del generatore di corrente introdotto in base
al teorema di equivalenza
57
Teorema di Thevenin
Effetto (complessivo) dei soli generatori interni al
bipolo A
il generatore di corrente che simula il carico B è
spento
il contributo alla tensione cercata è un contributo
di tensione a vuoto
a a
a
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29
29
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Thevenin
Effetto del solo generatore di corrente esterno,
che simula il carico B
tutti i generatori interni al bipolo A sono spenti
ai due morsetti di questo bipolo si misura una
resistenza equivalente
a
b
59
Teorema di Thevenin
Effetto del solo generatore di corrente esterno,
che simula il carico B
il secondo contributo alla tensione cercata è un
contributo di caduta di tensione resistiva dovuta al
generatore esterno
a
b
60
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30
30
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Rappresentazione Thevenin
La somma dei due contributi porge l’equazione
Thevenin
v = v 0 + R0 i
che è anche l’equazione costitutiva del bipolo in
figura a destra
a
61
Rappresentazione Thevenin
Teorema di Thevenin:
a
un bipolo lineare ammette come rappresentazione
un bipolo costituito dalla serie di un generatore
ideale di tensione ed un resistore
la tensione del generatore di tensione e la
resistenza del resistore sono rispettivamente la
tensione a vuoto e la resistenza equivalente del
bipolo lineare
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62
31
31
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Metodi di calcolo di reti con più generatori
63
Teorema di Norton
Il teorema di Norton è il teorema duale di quello
di Thevenin per la rappresentazione di bipoli e,
più in generale, di multipoli lineari
64
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32
32
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Norton
Consideriamo un bipolo A, costituito da una rete
di generatori e di resistori ideali (bipolo lineare),
chiuso su di un bipolo B di carico (eventualmente
B può anche non essere lineare)
In base al teorema di equivalenza, il bipolo B può
essere sostitutito da un generatore ideale di
tensione di valore v(t)
a
a
65
Teorema di Norton
Dopo la sostituzione la rete è lineare
La corrente nel bipolo viene scritta
sovrapponendo due effetti:
quello dei generatori interni al bipolo A
quello del generatore di tensione introdotto in base
al teorema di equivalenza
a
a
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33
33
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Norton
Effetto (complessivo) dei soli generatori interni al
bipolo A
il generatore di tensione che simula il carico B è
spento
il contributo alla corrente cercata è un contributo
di corrente di corto circuito
a
67
Teorema di Norton
Effetto del solo generatore di tensione esterno,
che simula il carico B
tutti i generatori interni al bipolo A sono spenti;
ai due morsetti del generatore di tensione si
misura una resistenza equivalente
a
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34
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Teorema di Norton
Effetto del solo generatore di tensione esterno,
che simula il carico B
il secondo contributo alla corrente cercata è un
contributo di corrente che attraversa la resistenza
equivalente del bipolo A, ed è dovuta al solo
generatore esterno
a
69
Rappresentazione Norton
La somma dei due contributi porge l’equazione
Norton
i = i0 + G0 v
che è anche l’equazione costitutiva del bipolo in
figura a destra
a
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35
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Rappresentazione Norton
Teorema di
Norton:
a
un bipolo lineare ammette come rappresentazione
un bipolo costituito dal parallelo di un generatore
ideale di corrente ed un resistore
la corrente del generatore di corrente e la
conduttanza del resistore sono rispettivamente la
corrente di corto circuito e la conduttanza
equivalente del bipolo lineare
71
Metodi di calcolo di reti con più generatori
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Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Thevenin e Norton: casi particolari
Non tutti i bipoli lineari ammettono
rappresentazione sia Thevenin che Norton
Però, per un dato bipolo lineare, esiste sempre
almeno una delle due rappresentazioni
I bipoli lineari che ammettono solo una delle due
rappresentazioni costituiscono dei casi notevoli
(eccezioni)
73
Thevenin e Norton: casi particolari
Il bipolo in figura a sinistra non ammette
rappresentazione Thevenin (non è comandabile
in corrente). Non può infatti essere lasciato a
vuoto
Tale bipolo ha l’equivalente Norton riportato in
figura a destra
a
a
a
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37
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Thevenin e Norton: casi particolari
Il bipolo in figura a sinistra non ammette
rappresentazione Norton (non è comandabile in
tensione). Non può infatti essere chiuso su di un
corto circuito
Tale bipolo ha l’equivalente Thevenin riportato in
figura a destra
75
Metodi di calcolo di reti con più generatori
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38
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
A parte i precedenti casi eccezionali, secondo le
convenzioni riportate in figura, per un bipolo
lineare rappresentabile Thevenin e Norton si
hanno i seguenti legami tra tensione a vuoto v 0 ,
corrente di corto circuito iCC ,e resistenza
equivalente R0:
v0 = R0 iCC
iCC = v0 / R0
R0 = v0 / iCC
77
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
A parte casi eccezionali, si hanno dunque tre
possibilità per calcolare l’equivalente di un dato
bipolo lineare
determinare la tensione a vuoto e la corrente di
cortocircuito in maniera diretta, R0 secondo la
formula:
R0 = v0 / iCC
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39
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
determinare la resistenza equivalente e la tensione
a vuoto in maniera diretta, iCC secondo la formula:
iCC = v0 / R0
determinare la resistenza equivalente e la corrente
di corto circuito in maniera diretta, v0 secondo la
formula:
v0 = R0 iCC
79
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
In generale, dovendo rappresentare Thevenin o
Norton un dato bipolo, una delle tre possibilità
risulta più conveniente (dal punto di vista della
complessità del problema ed anche dei calcoli)
delle altre due
Solo l’esercizio ed il mestiere consentono di
individuare a priori la possibilità più conveniente
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40
Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Legami tra circuiti Thevenin e Norton
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Esempio: Thevenin e Norton
Rappresentare secondo Thevenin e Norton il
bipolo di morsetti MN
a
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Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Thevenin e Norton
Tensione a vuoto (3 partitori di tensione + 1
KVL)
R1
e; R1 = ( Ra + Rb ) (Rc + Rd )
R + R1
Rb
=
v HK ;
⇓
a
Ra + Rb
Rd
=
v ;
⇓
Rc + Rd HK
vHK =
vMK
vNK
 Rb
Rd 
vMN = v MK − v NK = vHK 
−

 Ra + Rb Rc + Rd 
83
Esempio: Thevenin e Norton
Corrente C.C. (rete elementare + 2 partitori di
corrente + 1 KCL)
e
; R2 = Ra Rc + Rb Rd
R + R2
Rc
ia =
i;
⇓
Ra + Rc
Rd
ib =
i;
⇓
Rb + Rd
i=
a
a
 Rc
Rd 
iCC = ia − ib = i 
−

 Ra + Rc Rb + R d 
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Elettrotecnica I
Metodi particolari per il calcolo di reti
Esempio: Thevenin e Norton
Resistenza equivalente in maniera diretta
Rete non a scala ⇒ trasformazione triangolo
stella
Risulta qui più conveniente calcolare la resistenza
equivalente come rapporto della tensione a vuoto
sulla corrente di cortocircuito
a
a
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