Esercitazione 3

Esercitazione 3 del 9 marzo 2017
Dott.ssa Sabrina Pedrini
Effetto reddito e sostituzione; domanda aggregata
Domande a risposta multipla
1) Per effetto di sostituzione si intende:
(a) La variazione totale della quantità domandata di un bene a seguito della variazione del suo
prezzo.
(b) La variazione del prezzo di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un bene sostituto.
(c) La variazione della quantità domandata di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un
bene sostituto.
(d) La variazione della quantità domandata di un bene in seguito alla variazione del
suo prezzo, a parità di potere d’acquisto.
(e) Nessuna delle precedenti
2) La curva prezzo-consumo illustra:
a. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando i
prezzi dei due beni sono mantenuti costanti e il reddito aumenta.
b. le diverse combinazioni di due beni che il consumatore sceglie per massimizzare la
soddisfazione quando il prezzo di un vaia cambia e il reddito e il prezzo dell’altro bene sono
mantenuti costanti.
c. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando i
prezzi dei due beni variano nel tempo e il reddito è mantenuto costante.
d. le diverse combinazioni di due beni che massimizzano la soddisfazione del consumatore quando
il prezzo di un bene è mantenuto costante e il prezzo dell’altro e il reddito aumentano.
3) La curva di domanda di mercato è:
a. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; si
sposterà a destra al crescere del numero di consumatori.
b. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; è
funzione di reddito, gusti e mode e non è influenzata dal numero di consumatori.
c. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; si
sposterà a sinistra al crescere del numero di consumatori.
d. la somma orizzontale delle singole curve di domanda di tutti i consumatori del mercato; quando
gusti e mode si allontanano da un bene, il numero di consumatori del mercato scende e la curva di
domanda di mercato si sposta a destra.
4) Se nel mercato di un bene ci sono 30 consumatori, ciascuno con domanda individuale
q = (p/3) – (20/3) allora la curva di domanda di mercato p = f(Q) è data da:
a. q = 3p − 60;
b. q= 10p – 200;
c. q = 15p + 20;
d. Nessuna delle precedenti
Esercizio 4 (beni sostituti)
Emiliano è sempre disposto a cedere due pancakes per un gelato in più (e dunque il suo saggio
marginale di sostituzione dei pancakes per una gelato è costante e pari a 2). Il prezzo di una pancake
è 8€, il prezzo di un gelato è 3€ ed il reddito settimanale di Emiliano è 40€. Determinare il paniere
ottimale di Emiliano.
Svolgimento
Il saggio marginale di sostituzione di Emiliano fra pancake e gelato è costante: i due beni sono,
perciò, perfetti sostituti: la funzione di utilità sarà lineare e la mappa di curve di indifferenza sarà
costituita da rette inclinate negativamente.
[Teoria: In generale, si ipotizzi che la generica funzione di utilità lineare di Emiliano sia del tipo
U(xg , xp) =axg + bxp
con a e b costanti positive. La generica curva di indifferenza di livello û sarà dunque pari a
xg= û/b – axp/b
che è l’espressione di una retta. La mappa di indifferenza è dunque composta da rette negativamente
inclinate, con pendenza -a/b. Dato che il SMS non è altro che il valore assoluto (ossia il
controvalore positivo) della pendenza della curva di indifferenza, e dato che dall’espressione della
generica curva di indifferenza si evince facilmente che la sua pendenza (il suo coefficiente
angolare) è pari a -2, i dati dell’esercizio indicano che SMS p,g= (a/b) = 2, da cui si può ipotizzare
che a=2 e b=1. Questo ci permette di ottenere la seguente possibile funzione di utilità per Emiliano.
U(xg , xp) =2xg + xp
tra tutte le diverse curve di indifferenza appartenenti alla mappa descritta, Emiliano sceglierà quella
più elevata possibile, dato il suo reddito]
Il vincolo di bilancio di Emiliano è
Ed è tracciato in rosso nel grafico che segue.
Come si può notare da tale grafico, il paniere ottimale non può essere un punto di tangenza fra
vincolo di bilancio e mappa di indifferenza: il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza, infatti,
sono rette con inclinazione differente e, quindi, mai tangenti fra loro. Il vincolo di bilancio interseca
diverse curve di indifferenza, ma la più alta (cioè quella ad utilità maggiore) viene raggiunta quando
Emiliano consuma solo gelato: in questo caso tutto il reddito di Emiliano sarà allocato sull’acquisto
del gelato e si avrà
In corrispondenza di questo punto di consumo, l’utilità di Emiliano sarà
U(13,3 ; 0) =2(13,3) + 0 = 26,6.
In generale per i beni perfetti sostituti sia le curve di indifferenza, sia il vincolo di bilancio del
consumatore sono rette inclinate negativamente. Sono, quindi, possibili tre differenti casi:
1. il vincolo di bilancio ha pendenza maggiore della mappa di indifferenza.
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra
il vincolo di bilancio e l’asse verticale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare
solamente il bene 2 (asse verticale)
2. il vincolo di bilancio ha pendenza minore della mappa di indifferenza
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore si raggiunge nel punto di intersezione fra
il vincolo di bilancio e l’asse orizzontale: in altri termini, il consumatore sceglierà di consumare
solamente il bene 1 (asse orizzontale).
3. il vincolo di bilancio è parallelo alla mappa di indifferenza
In questo caso la curva di indifferenza ad utilità maggiore coincide con il vincolo di bilancio: in altri
termini, tutti i panieri sul vincolo di bilancio avranno la stessa utilità e saranno ottimi per il
consumatore.
Nel nostro caso, partendo da VDB ed esprimendo il vincolo in funzione del bene che si trova
sull'asse verticale otteniamo:
La pendenza del vincolo di bilancio è, quindi, pari a -3/8, mentre quella della mappa di indifferenza
è pari a -1/2: si tratta, quindi, del caso in cui la pendenza del vincolo di bilancio è minore di quella
della mappa di indifferenza. Come già visto il punto di ottimo del consumatore corrisponde, perciò,
al punto di intersezione del vincolo di bilancio con l’asse orizzontale:
Da cui il punto di ottimo:
Esercizio 2 (beni complementari)
Un consumatore ha una funzione di utilità data da U(x,y)=min(2x;3y) ed un reddito R=40. I prezzi
dei due beni sono px=2 e py=5.
1) Si rappresentino graficamente il vincolo di bilancio e la mappa di curve di indifferenza. In
particolare si consideri la curva di indifferenza di livello 12.
2) Si calcoli la scelta ottimale del consumatore.
3) Si supponga che il prezzo del bene y aumenti fino a py’=7. Si calcoli e si rappresenti nel
grafico precedente la nuova scelta ottimale del consumatore.
Svolgimento
1) Il vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py= 8 e intercetta orizzontale R/px= 20 e
pendenza in valore assoluto px/py= 2/5. Le curve in indifferenza sono a forma di L con
cuspidi lungo il raggio di equazione y=(2/3)x. Si tratta di beni perfetti complementi. La
curva di livello 12 presenta una cuspide per x=12/2=6 e y=12/3=4.
2) La scelta ottima del consumatore si trova intersecando il raggio lungo il quale giacciono
le cuspidi delle curve di indifferenza ed il vincolo di bilancio. Occorre quindi risolvere il
sistema formato da y=2/3x e 2x+5y=40 da cui x=15/2 e y=5. La curva di indifferenza
raggiunta ha livello 15.
3) Il nuovo vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py'=20/7. Ora il sistema da risolvere
è formato da y=2/3x e 2x+7y=40 da cui x=6 e y=4. La curva di indifferenza raggiunta ha
livello 12.
Esercizio 3
Un consumatore ha la seguente funzione di utilità U(x;y)=x+2y con prezzi px=2 e py=3 per i due
beni.
1) Si calcoli e si rappresenti la curva di indifferenza di livello 20.
2) Si determini il reddito necessario e la conseguente scelta ottimale per raggiungere questo livello
di utilità.
Svolgimento
1) La curva di indifferenza di livello 20 è data dalla retta di equazione 20 = x+2y ovvero
y= 10 – (1/2)x. Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 20 e pendenza -1/2.
2) Si tratta di beni perfetti sostituti quindi la scelta ottimale dipende dalla pendenza relativa di
vincolo di bilancio e curva di indifferenza. Il rapporto dei prezzi è 2/3 per cui il vincolo
risulta più inclinato della curva di indifferenza (il cui SMS è ½). Il consumatore acquisterà
quindi solo il bene sull’asse verticale, ossia y. In particolare, la quantità di bene y sull’asse
verticale che consente di raggiungere il livello di utilità 20 è proprio l’intercetta verticale
della curva di indifferenza di livello 20 trovata nel punto 1), ossia y*=10, mentre x*=0. Per
acquistare un tale paniere è necessario un reddito pari a R=py y*= 30.
Esercizio 4
Il consumatore ha una funzione di utilità data da
Il prezzo del bene
è
, il prezzo di
è
e il reddito a disposizione
.
3) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 6.
4) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore (
).
5) Supponendo che il prezzo del bene x aumenti e sia ora pari a 12, si determini nuovamente la
scelta ottima del consumatore.
6) Si scomponga l’effetto totale della variazione di prezzo del bene x in effetto di reddito e di
sostituzione utilizzando il metodo della variazione compensativa.
7) Si calcoli la variazione compensativa del reddito necessaria per la scomposizione del punto 4).
Svolgimento
Punto 1
La curva in questione ha equazione implicita 6=x1/2y1/3 ed esplicita y=63/x3/2. Passa per i punti (4,
27), (9,8), (36,1).
Punto 2
Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l’equazione del
vincolo di bilancio: 20=(4/3)x+y
Il SMS=(3y)/(2x) e px/py=4/3
Mettendo a sistema la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio si ottengono le grandezze x* e
y* che caratterizzano la scelta ottima.
(3y)/(2x)=4/3
20=(4/3)x+y
(x*; y*)=(9;8)
Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità possiamo verificare che il paniere
ottimale giace proprio sulla curva di indifferenza di livello 6 (U=6). Graficamente:
Punto 3
Dato il nuovo prezzo del bene x il nuovo vincolo di bilancio sarà: 20=12x+y
il nuovo rapporto tra i prezzi: px/py=12
e la condizione di tangenza sarà ora: (3y)/(2x)=4/3
da cui il sistema
(3y)/(2x)=12
20=12x+y
che ci permette di ottenere la nuova scelta ottima, che segue all'aumento del prezo del bene x:
(x**;y**)=(1;8)
Alla nuova scelta del paniere corrisponde un livello di utilità U=2.
Punto 4
L'effetto totale su x è dato dalla differenza tra la quantità di x di equilibrio con la nuova coppia di
prezzi e la quantità di x di equilibrio con la vecchia coppia di prezzi:
Effetto Totale su x: x*1-x*0= 1-9= -8
Per trovare l'effetto di sostituzione è invece necessario capire in che modo il consumatore può
continuare a consumare ottenendo lo stesso (U=6) livello di utilità ma ai nuovi prezzi (px=12).
Questo vuole dire rispettare il nuovo vincolo di bilancio, che vede un nuovo rapporto tra i prezzi e
un diverso livello di reddito, necessario a raggiungere i vecchi livelli di utilità. Per farlo disponiamo
solo di alcune informazioni: sappiamo che il nuovo punto (nuovo vincolo, vecchia curva di
indifferenza) sarà un punto in cui il consumatore effettua la scelta ottima (SMS=px'/py) in
corrispondenza del vecchio livello di utilità. La condizione di ottimo, con i prezzi nuovi (ossia
y=8x), viene messa in relazione con il livello di utilità U=6 che si vuole raggiungere:
L’effetto di sostituzione è dunque dato dalla differenza tra questo valore di x e quello dell’equilibrio
originario. Entrambi caratterizzano panieri di consumo che si collocano sulla stessa curva di
indifferenza, ma la cui composizione è diversa, cambiata dall'aumento del prezzo del bene:
Mentre l’effetto reddito, dato dalla differenza tra panieri che si trovano su vincoli che hanno la
stessa pendenza ma su curve di indifferenza diverse, sarà pari a:
L'effetto totale (x1-x0), quindi, è dato dalla combinazione di questi due effetti, reddito (x1-x2) e
sostituzione (x2-x0). Graficamente:
R2-R=54
Punto 5
Per calcolare la variazione compensativa è necessario calcolare la differenza tra il reddito che
occorrerebbe al consumatore per raggiungere il punto
e quello originario, ovvero quello che gli
è sufficiente a raggiungere
con i vecchi prezzi e
con i nuovi prezzi. Dobbiamo quindi scrivere
il vincolo di bilancio con i nuovi prezzi e sostituirvi i valori del paniere
lasciando come unica
incognita il reddito R:
la differenza tra questo reddito e quello originario
è la variazione compensativa, che corrisponde all'ammontare di denaro del quale l'individuo
avrebbe bisogno per essere compensato per gli effetti avversi della variazione del prezzo e
continuare a godere dello stesso livello di utlità (che in questo caso è l’approssimazione da noi usata
per il livello del potere di acquisto).
Esercizio 5 (domanda di mercato)
Un mercato è costituito da due soli consumatori. Il consumatore 1 ha funzione di domanda
individuale pari a
ed il consumatore 2 ha funzione di domanda pari a
1) Rappresentare graficamente le due funzioni di domanda individuali;
2) Calcolate e rappresentate sul grafico la funzione di domanda di mercato;
3) Supponete che la funzione di offerta del mercato sia
; calcolate l’equilibrio del mercato e
la quantità acquistata rispettivamente dal consumatore 1 e 2.
Svolgimento
Punto 1
Per trovare la domanda aggregata è sempre bene ricavare le singole domande in funzione del
prezzo, quindi:
Punto 2
Adesso possiamo trovare la domanda di mercato come somma delle singole domande per ogni
livello di prezzo:
La condizione
è necessaria perché la domanda individuale del consumatore 2 sia positiva.
Solo in quel caso la domanda di mercato è somma di entrambe le curve individuali. La condizione
assicura che la domanda individuale del consumatore 1 sia positiva. Nel caso quindi in cui
valga
la domanda di mercato coincide con quella del consumatore 1.
p
p = 12
p = 12 − 2 ⋅ Q D
p=8
p = 12 − 2 ⋅ q1D
p = 10 − Q D
p = 8 − 2 ⋅ q2D
q
q=4
q=6
Q D = 10
Punto 3
Per individuare l’equilibrio di mercato è necessario scrivere
;
o
Se si ipotizza che in equilibrio p*<8, dobbiamo quindi utilizzare la prima uguaglianza, la quale
determina un equilibrio con un prezzo
(e una quantità pari a
). In questo caso, quindi
l’ioptesi di partenza p<8 è confermata. Nel caso ipotizzassimo un prezzo di equilibrio
,
dovremmo utilizzare la seconda uguaglianza, la quale però produce un prezzo e una quantità di
equilibrio pari a
e
, ossia in particolare un prezzo che contraddice l’ipotesi di
partenza
. La coppia prezzo-quantità di equilibrio è dunque la prima delle due.
Sostituendo nelle due domande individuali il prezzo di equilibrio si ottengono i valori
e
.
p
p = 12
p = QS
p = 12 − 2 ⋅ Q D
p=8
p* = 5
p = 10 − Q D
q2D* = 1, 5
q1D* = 3, 5
q
Q* = 5