Forza di Coulomb e campo elettrico - Liceo Classico Scientifico XXV

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ELETTROSTATICA
Problemi di Fisica
Elettrostatica
La Legge di Coulomb e il Campo elettrico
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ELETTROSTATICA
Problema
Data la distribuzione di carica rappresentata in figura, calcolare la forza totale che agisce sulla
carica Q posta nell’origine degli assi cartesiani. I dati sono:
Q1 = -2e
Q2 = +4e
Q3 = +5e
Q4 = -e
D1 = 3 cm
D2 = 2 cm
D3 = 2 cm
D4 = 3 cm
α 1 = 30°
α 2 = 45°
α 3 = 0°
α 4 = 80°
Q = +6e
Distribuzione delle cariche
Soluzione
Applicando la legge di Coulomb, determiniamo il valore delle singole forze che agiscono sulla
carica Q per effetto dell’interazione con la distribuzione di cariche:
F1 = K ⋅
Q ⋅ Q1
D12
= 9 ⋅ 109 ⋅
9 ⋅ 109 ⋅ 12 ⋅ 2,6 ⋅ 10−38
9 ⋅ 10− 4
F2 = K ⋅
F3 = K ⋅
F4 = K ⋅
Q ⋅ Q2
D22
Q ⋅ Q3
D23
Q ⋅ Q4
D24
6e ⋅ 2e
(3 ⋅ 10 )
−2 2
=
9 ⋅ 109 ⋅ 12e2
9 ⋅ 10− 4
=
9 ⋅ 109 ⋅ 12 ⋅ (1,6 ⋅ 10−19 )2
9 ⋅ 10− 4
=
= 31,2 ⋅ 10−25N
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
24e 2
(2 ⋅ 10 )
−2 2
30e 2
(2 ⋅ 10 )
−2 2
6e 2
(3 ⋅ 10 )
−2 2
=
=
=
9 ⋅ 10 9 ⋅ 24 ⋅ 2,6 ⋅ 10 −38
4 ⋅ 10 − 4
9 ⋅ 10 9 ⋅ 30 ⋅ 2,6 ⋅ 10 −38
4 ⋅ 10 − 4
9 ⋅ 10 9 ⋅ 6 ⋅ 2,6 ⋅ 10 −38
9 ⋅ 10
−4
= 140,4 ⋅ 10 − 25 N
= 67,5 ⋅ 10 − 25 N
= 6 ⋅ 10 − 25 N
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ELETTROSTATICA
Rappresentiamo graficamente queste forze, riportandole in scala sul sistema di assi cartesiani,
e con l’aiuto dell’algebra vettoriale (metodo del parallelogramma) determiniamo la forza
risultante che agisce sulla carica Q:
Diagramma delle forze
A questo punto determiniamo il modulo e l’argomento della forza risultante che agisce su Q ,
facendo uso delle seguenti nozioni sui vettori:
Componenti del vettore F
Modulo del vettore F
FX = F ⋅ cos α
FY = F ⋅ senα
F = FX2 + FY2
Argomento del vettore F
tgα =
FY
FX
α = arctgα
Le componenti delle singole forze sono:
Componenti di F1
Componenti di F2
F1X = F1 ⋅ cos α 1 = 31,2 ⋅ 10 −25 ⋅ cos 30° = 27 ⋅ 10 −25 N
F2X = F2 ⋅ cos α 2 = 140,4 ⋅ 10 −25 ⋅ cos 45° = 99,3 ⋅ 10 −25 N
F1Y = F1 ⋅ senα 1 = 31,2 ⋅ 10 − 25 ⋅ sen30° = 15,6 ⋅ 10 − 25 N
F2 Y = F2 ⋅ senα 2 = 140,4 ⋅ 10 − 25 ⋅ sen45° = 99,3 ⋅ 10 − 25 N
Componenti di F3
Componenti di F4
F3X = F3 = 67,5 ⋅ 10 −25 N
F4X = F4 ⋅ cos α 4 = 6 ⋅ 10 −25 ⋅ cos 80° = 1,04 ⋅ 10 −25 N
F3Y = 0
F4 Y = F4 ⋅ senα 4 = 6 ⋅ 10 − 25 ⋅ sen80° = 5,9 ⋅ 10 − 25 N
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ELETTROSTATICA
Le componenti della forza risultante sono date dalla somma algebrica delle componenti delle
singole forze:
FXT =
∑F
= F1X + F2X − F3X + F4X = 27 ⋅ 10 −25 + 99,3 ⋅ 10 −25 − 67,5 ⋅ 10 −25 + 1.04 ⋅ 10 −25 = 59,8 ⋅ 10 −25 N
FYT =
∑F
= F1Y − F2 Y − F4 Y = 15,6 ⋅ 10 −25 − 99 ⋅ 10 −25 − 5,9 ⋅ 10 −25 = −89,3 ⋅ 10 −25 N
X
Y
In definitiva il modulo e l’argomento della forza risultante sono dati da:
FT =
2
2
FXT
+ FYT
=
(59,8 ⋅ 10 ) + (89,3 ⋅ 10 )
− 25 2
− 25 2
=
3576 ⋅ 10 − 50 + 7974 ⋅ 10 − 50 = 11550 ⋅ 10 − 50
= 107,4 ⋅ 10 − 25 N
tgα =
FYT
− 89,3 ⋅ 10 −25
= −1,49
=
FXT
59,8 ⋅ 10 − 25
α = arctgα = −56,2
Problema
La forza esercitata su una carica Q1 = 0,95·10-15 C quando una seconda carica Q2 = 3,25·10-14
C è posta a una distanza d = 0,84 · 10-3 m è di F = 16,4 · 10-15 N.
Determinare il valore della costante dielettrica in cui sono immerse le cariche.
Soluzione
La costante dielettrica relative del mezzo si calcola come formula inversa della legge di
Coulomb:
F=
1
Q ⋅Q
Q1 ⋅ Q2
⋅ 1 2 2 ⇒ 4πε0εR ⋅ F ⋅ d2 = Q1 ⋅ Q2 ⇒ εR =
=
4πε0εR
d
4πε0 ⋅ F ⋅ d2
0,95 ⋅ 10−15 ⋅ 3,25 ⋅ 10−14
4π ⋅ 8,854 ⋅ 10
−12
⋅ 16,4 ⋅ 10
−15
−3 2
⋅ (0,84 ⋅ 10 )
=
3,1 ⋅ 10−29
1287 ⋅ 10
−33
= 2,4 ⋅ 10−3 ⋅ 104 = 24
Il valore 24 corrisponde all’alcol etilico.
Problema
In ciascuno dei vertici di un triangolo rettangolo isoscele, di
cateto 6,0 cm, è posta una carica positiva q = 1,0·10-7 C.
Determinare il vettore forza elettrica agente su
ciascuna carica
Soluzione
1.
FORZA TOTALE AGENTE SULLA CARICA IN A
Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta in A agisce una forza totale che è la
somma vettoriale delle forze che le cariche poste in B ed in C esercitano sulla carica posta in A:
FT = FB + FC
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ELETTROSTATICA
L’intensità delle forze FB e FC si calcolano attraverso la legge di Coulomb:
FB = K ⋅
FC = K ⋅
q⋅q
AB 2
q⋅q
AC 2
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
0,06 2
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
0,08 2
= 0,025 N
= 0,014
N
dove:
AC =
AB 2 + BC 2 =
0,06 2 + 0,06 2 = 0,08
m
2.
FORZA TOTALE AGENTE SULLA CARICA IN B
Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta in B agisce una forza totale che è la
somma vettoriale delle forze che le cariche poste in A
ed in C esercitano sulla carica posta in B:
FT = FA + FC
L’intensità delle forze FA e FC sono:
FA = K ⋅
FC = K ⋅
3.
q⋅q
AB 2
q⋅q
BC 2
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
0,06 2
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
0,06 2
= 0,025 N
= 0,025 N
FORZA TOTALE AGENTE SULLA CARICA IN C
Per il principio di sovrapposizione, sulla carica posta
in C agisce una forza totale che è la somma
vettoriale delle forze che le cariche poste in A ed in
B esercitano sulla carica posta in C:
FT = FA + FB
L’intensità delle forze FA e FB sono:
FA = K ⋅
FB = K ⋅
q⋅q
BC 2
q⋅q
BC 2
dove: AC =
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
0,08 2
1,0 ⋅ 10 −7 ⋅ 1,0 ⋅ 10 −7
AB 2 + BC 2 =
0,06 2
= 0,014 N
= 0,025 N
0,06 2 + 0,06 2 = 0,08 m
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ELETTROSTATICA
Problema
Data la distribuzione di carica rappresentata in figura, calcolare il campo elettrico prodotto
nell’origine degli assi cartesiani.
I dati sono:
Q1 = -3e
Q2 = +4e
Q3 = +5e
Q4 = -e
D1 = 3 cm
D1 = 2 cm
D3 = 2 cm
D4 = 3 cm
α 1 = 30°
α 2 = 70°
α 3 = 40°
α 4 = 45°
Distribuzione delle cariche
Soluzione
Le quattro cariche generano nell’origine degli assi i vettori campo elettrico E1, E2, E3, E4,
rispettivamente. Dobbiamo quindi trovare modulo e direzione di questi quattro vettori.
Per trovare i moduli applichiamo la definizione di campo elettrico:
Q1
= 9 ⋅ 109 ⋅
(3 ⋅ 10 )
Q2
= 9 ⋅ 109 ⋅
4e
E1 = K ⋅
E2 = K ⋅
D12
D22
E3 = K ⋅
E4 = K ⋅
3e
−2 2
(2 ⋅ 10 )
−2 2
Q3
= 9 ⋅ 109 ⋅
Q4
= 9 ⋅ 109 ⋅
D23
D24
9 ⋅ 109 ⋅ 3 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
=
=
5e
(2 ⋅ 10 )
−2 2
9 ⋅ 109 ⋅ 4 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
4 ⋅ 10
=
e
(3 ⋅ 10 )
9 ⋅ 10− 4
−2 2
−4
9 ⋅ 109 ⋅ 5 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
=
4 ⋅ 10− 4
9 ⋅ 109 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
9 ⋅ 10− 4
= 4,8 ⋅ 10−6 N / C
= 14,4 ⋅ 10−6N / C
= 18 ⋅ 10−6 N / C
= 1,6 ⋅ 10−6 N / C
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ELETTROSTATICA
Ora dobbiamo trovare l’orientamento dei quattro vettori campo elettrico nell’origine, tenendo
presente che per una carica positiva il vettore campo elettrico è un vettore uscente dalla
carica, mentre per una carica negativa è un vettore entrante nella carica.
L’orientamento dei vettori è riportato nel seguente diagramma, dove abbiamo anche trovato
graficamente il vettore campo elettrico totale agente nell’origine:
Diagramma del campo elettrico
Adesso possiamo trovare le componenti di ciascun vettore su ogni asse e quindi le componenti
del vettore campo elettrico totale ET:
Componenti di E1
Componenti di E2
E1X = E1 ⋅ cos α 1 = 4,8 ⋅ 10 −6 ⋅ cos 30° = 4,2 ⋅ 10 −6 N / C
E2X = E2 ⋅ cos α 2 = 14,4 ⋅ 10 −6 ⋅ cos 70° = 4,9 ⋅ 10 −6 N / C
E1Y = E1 ⋅ senα 1 = 4,8 ⋅ 10 − 6 ⋅ sen30° = 2,4 ⋅ 10 − 6 N / C
E2 Y = E2 ⋅ senα 2 = 14,4 ⋅ 10 − 6 ⋅ sen70° = 13,5 ⋅ 10 − 6 N / C
Componenti di E3
Componenti di E4
E3X = E3 ⋅ cos α 3 = 18 ⋅ 10 −6 ⋅ cos 40° = 13,8 ⋅ 10 −6 N / C
E 4X = E 4 ⋅ cos α 4 = 1,6 ⋅ 10 −6 ⋅ cos 45° = 1,1 ⋅ 10 −6 N / C
E3Y = E3 ⋅ senα 3 = 18 ⋅ 10 − 6 ⋅ sen40° = 11,6 ⋅ 10 − 6 N / C
E 4 Y = E 4 ⋅ senα 4 = 1,6 ⋅ 10 − 6 ⋅ sen45° = 1,1 ⋅ 10 − 6 N / C
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ELETTROSTATICA
E XT =
∑E
X
= E1X − E 2X + E3X + E 4X = 4,2 ⋅ 10 −6 − 4,9 ⋅ 10 −6 + 13,8 ⋅ 10 −6 + 1,1 ⋅ 10 −6 = 14,2 ⋅ 10 −6 N / C
E YT =
∑E
Y
= E1Y − E2 Y + E3Y − E 4 Y = 2,4 ⋅ 10 −6 − 13,5 ⋅ 10 −6 + 11,6 ⋅ 10 −6 − 1,1 ⋅ 10 −6 = −0,6 ⋅ 10 −6 N / C
Per ottenere il modulo di ET ci serviremo del teorema di Pitagora e per ottenere la sua
orientazione utilizzeremo la definizione di tangente:
E T = E2XT + E2YT =
(14,2 ⋅ 10 ) + (− 0,6 ⋅ 10 )
−6 2
−6 2
=
202 ⋅ 10 − 12 + 0,36 ⋅ 10 − 12 =
202,4 ⋅ 10 − 12 =
= 0,014 ⋅ 10 − 6 N / C
tgα =
E YT
− 0,6 ⋅ 10 −6
= −0,04
=
E XT
14,2 ⋅ 10 − 6
α = arctgα = −2,3°
Problema
Quattro cariche puntiformi sono disposte nei vertici di un quadrato come in figura. Dopo aver
eseguito una rappresentazione in scala dei campi generati dalle singole cariche nel centro del
quadrato, determinare il vettore campo elettrico totale.
(Q1 = +3 · 10-10 C
Q2 = +6 · 10-10 C
Q3 = +6 · 10-10C
Q
4
= -2 · 10-10C
L = 10 cm)
Soluzione
Q1
Q2
E3
D
L
E1
E4
E2
ET
Q3
Q4
La distanza di ciascuna carica dal centro del quadrato è pari alla metà della diagonale del
quadrato, che si calcola applicando il teorema di Pitagora al triangolo di lato L:
D = L2 + L2 =
2L2 = L ⋅ 2 = 0,1 ⋅ 2 = 0,14m ⇒
D
= 0,07m
2
Il campo elettrico prodotto da ciascuna carica nel centro del quadrato è dato da:
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E1 = K ⋅
E3 = K ⋅
Q1
⎛D⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
2
Q3
⎛D⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
2
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
ELETTROSTATICA
3 ⋅ 10 −10
(0,07)
2
6 ⋅ 10 −10
(0,07)
2
= +5,5 ⋅ 10 2 N / C
= +11 ⋅ 10 2 N / C
E2 = K ⋅
E4 = K ⋅
Q2
⎛D⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
Q4
⎛D⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
2
2
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
6 ⋅ 10 −10
(0,07)
2
= +11 ⋅ 10 2 N / C
(−2 ⋅ 10 −10 )
(0,07)
2
= −3,7 ⋅ 10 2 N / C
A questo punto siamo in grado di riportare in scala i singoli campi elettrici e determinare
graficamente il campo elettrico totale prodotto nel centro del quadrato. Come si vede dalla
figura, i campi elettrici E2 e E3 sono uguali ed opposti, quindi si annullano, mentre E1 e E2 sono
concordi e quindi si possono sommare. Pertanto il campo elettrico totale è dato da:
E T = E1 + E 4 = 5,5 ⋅ 10 2 + 3,7 ⋅ 10 2 = 9,2 ⋅ 10 2 N / C