Logica proposizionale - Università degli studi di Bergamo

Università di Bergamo
Ingegneria Informatica
Anno accademico 20162017
Foglio 4
Algebra e Logica Matematica
Logica proposizionale
Esercizio 4.1.
1) Togliere le parentesi superue alle seguenti formule ben formate:
(a) ((A → B) ∨ (¬A))
(b) ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))
(c) ((A → B) ∧ A)
(d) ((A ∨ (¬C)) → B).
2) Rimettere le parentesi alle forme
(a) C → ¬(A ∨ C) ∧ A → B
(b) C → A → A → ¬A ∨ B .
Esercizio 4.2.
precedente.
Esercizio 4.3.
Costruire le tavole di verità per le f.b.f. del primo punto dell'esercizio
Vericare se le seguenti espressioni sono tautologie:
1) (((A → B) → B) → B)
2) ((A ↔ B) ↔ (A ↔ (B ↔ A)))
3) ((A ↔ B) → (A → B)).
Dimostrare (e ricordare !!!) che le seguenti coppie di forme enunciative
sono semanticamente equivalenti:
Esercizio 4.4.
1) ¬(A ∨ B) e ¬A ∧ ¬B
2) ¬(A ∧ B) e ¬A ∨ ¬B
3) A ∧ (B ∨ C) e (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
4) A ∨ (B ∧ C) e (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
5) A → B e ¬A ∨ B
1
6) A → B e ¬(A ∧ ¬B)
Una possibile denizione di ↔ è che le due f.b.f. seguenti siano semanticamente equivalenti:
7) A ↔ B e (A → B) ∧ (B → A)
Esercizio 4.5.
Trovare una f.b.f. semanticamente equivalente alla negazione di
P = (A ∨ ¬B) ∧ A ∧ (¬C ∨ A ∧ C)
in cui le negazioni si applicano solo a A, B e C.
Esercizio 4.6.
Dimostrare la verità o la falsità delle seguenti aermazioni
1) (A → B) è conseguenza semantica di (A ↔ B)
2) (¬B ∧ A) è conseguenza semantica di (¬A ∧ B)
Esercizio 4.7.
1) Scrivere la tavola di verità della formula
P = (A → ¬B) → (C → ¬B ∨ A)
e scrivere una f.b.f. semanticamente equivalente, usando solo i connettivi ¬, ∨, ∧.
2) Questa formula è conseguenza semantica di {A, B}?
3) Questa formula si può dedurre da {A, B} nel sistema di deduzione naturale?
Trovare una formula enunciativa coi connettivi ¬, ∨ e ∧ che abbia come
funzione di verità:
A1 A2 A3 f (A1 , A2 , A3 )
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Esercizio 4.8.
Dire se esiste una deduzione
A1 → A2 ` ¬f (A1 , A2 , A3 )
e giusticare la risposta.
2
Esercizio 4.9.
Dimostrare facendo uso del teorema di deduzione che
A → (B → C), B ` A → C.
Rifare la dimostrazione senza usare il teorema di deduzione.
Esercizio 4.10.
Dimostrare che:
1) ` (¬A → A) → A
2) A → B, B → C ` A → C
3) A → (B → C) ` B → (A → C)
4) ` (A → (B → C)) ↔ (A ∧ B → C) (osservazione: questo spiega l'implicazione del
??)
5) ` (¬B → ¬A) → (A → B)
6) ` (¬A → B) → (¬B → A)
dove A, B , C sono f.b.f.
Osservazione: la formula ?? è una delle varianti della dimostrazione per assurdo mentre
la ?? è la dimostrazione per contrapposizione.
Esercizio 4.11.
Si consideri la seguente formula:
P = (((¬A) ∨ C) ↔ B)
1) Togliere le parentesi superue;
2) Determinare l'insieme delle sottoformule di P ;
3) Rappresentare l'albero sintattico di P ;
4) Costruire la tavola di verità di P ;
5) Dire se P è una formula soddisfacibile e, in caso aermativo, se è una tautologia;
6) Scrivere P in forma normale congiuntiva e in forma normale disgiuntiva;
7) Determinare una formula semanticamente equivalente ad P e contenente solo i
connettivi ¬ e →.
Sia Γ = {B → A, (¬B → A) ∧ (A → B)}. Dimostrare che A ∧ B è
conseguenza semantica di Γ.
Esercizio 4.12.
Esercizio 4.13.
Dimostrare per via semantica che dalle seguenti ipotesi:
1) Se Barbara va al mare allora almeno uno tra Alberto, Carlo e Davide va al mare;
2) Se Davide va al mare allora Carlo va al mare;
3) Almeno uno tra Barbara e Alberto va al mare e se Carlo va al mare allora Barbara non
ci va;
si può dedurre:
4) Alberto va al mare.
Esercizio 4.14.
Date le frasi:
1) Se Alberto ha ucciso Giuseppe o Berta ha visto Chiara, allora Damiano era in
discoteca o Fabiano è complice
2) Se Alberto ha ucciso Giuseppe, allora Damiano non era in discoteca
3) Fabiano è complice o Alberto non ha ucciso Giuseppe
Dimostrare che dalle formule che rappresentano 1 e 2 si può dedurre 3 sia semanticamente
che nel sistema di deduzione naturale.
Esercizio 4.15.
Si considerino i seguenti enunciati:
A. Se Anna è bionda o Beatrice è castana, allora Carla è mora.
B . Se Anna è bionda allora Carla non è mora.
C . Carla è mora o Anna non è bionda.
Mostrare semantica che A, B |= C . Provare lo stesso risultato usando la Deduzione
Naturale e la Risoluzione. Scrivere una formula F che non sia contradittoria e tale che
A ∧ B sia conseguenza semantica di F .
Esercizio 4.16.
Vericare che l'insieme di fbf Γ = {¬A, ¬A → B ∨ C, B → A ∨ C} è
soddisfacibile.
Trovare una formula della logica proposizionale f (A, B, C) che non sia una contraddizione
e tale che l'insieme di fbf Γ ∪ {f (A, B, C)} = {¬A, ¬A → B ∨ C, B → A ∨ C, f (A, B, C)} =
Γ1 sia insoddisfacibile.
La formula A è una conseguenza semantica di {¬A → B ∨ C, B → A ∨ C, f (A, B, C)} =
Γ2 ? Vericare il risultato trovato usando il metodo di risoluzione.