Università di Bergamo Ingegneria Informatica Anno accademico 20162017 Foglio 4 Algebra e Logica Matematica Logica proposizionale Esercizio 4.1. 1) Togliere le parentesi superue alle seguenti formule ben formate: (a) ((A → B) ∨ (¬A)) (b) ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))) (c) ((A → B) ∧ A) (d) ((A ∨ (¬C)) → B). 2) Rimettere le parentesi alle forme (a) C → ¬(A ∨ C) ∧ A → B (b) C → A → A → ¬A ∨ B . Esercizio 4.2. precedente. Esercizio 4.3. Costruire le tavole di verità per le f.b.f. del primo punto dell'esercizio Vericare se le seguenti espressioni sono tautologie: 1) (((A → B) → B) → B) 2) ((A ↔ B) ↔ (A ↔ (B ↔ A))) 3) ((A ↔ B) → (A → B)). Dimostrare (e ricordare !!!) che le seguenti coppie di forme enunciative sono semanticamente equivalenti: Esercizio 4.4. 1) ¬(A ∨ B) e ¬A ∧ ¬B 2) ¬(A ∧ B) e ¬A ∨ ¬B 3) A ∧ (B ∨ C) e (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 4) A ∨ (B ∧ C) e (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 5) A → B e ¬A ∨ B 1 6) A → B e ¬(A ∧ ¬B) Una possibile denizione di ↔ è che le due f.b.f. seguenti siano semanticamente equivalenti: 7) A ↔ B e (A → B) ∧ (B → A) Esercizio 4.5. Trovare una f.b.f. semanticamente equivalente alla negazione di P = (A ∨ ¬B) ∧ A ∧ (¬C ∨ A ∧ C) in cui le negazioni si applicano solo a A, B e C. Esercizio 4.6. Dimostrare la verità o la falsità delle seguenti aermazioni 1) (A → B) è conseguenza semantica di (A ↔ B) 2) (¬B ∧ A) è conseguenza semantica di (¬A ∧ B) Esercizio 4.7. 1) Scrivere la tavola di verità della formula P = (A → ¬B) → (C → ¬B ∨ A) e scrivere una f.b.f. semanticamente equivalente, usando solo i connettivi ¬, ∨, ∧. 2) Questa formula è conseguenza semantica di {A, B}? 3) Questa formula si può dedurre da {A, B} nel sistema di deduzione naturale? Trovare una formula enunciativa coi connettivi ¬, ∨ e ∧ che abbia come funzione di verità: A1 A2 A3 f (A1 , A2 , A3 ) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Esercizio 4.8. Dire se esiste una deduzione A1 → A2 ` ¬f (A1 , A2 , A3 ) e giusticare la risposta. 2 Esercizio 4.9. Dimostrare facendo uso del teorema di deduzione che A → (B → C), B ` A → C. Rifare la dimostrazione senza usare il teorema di deduzione. Esercizio 4.10. Dimostrare che: 1) ` (¬A → A) → A 2) A → B, B → C ` A → C 3) A → (B → C) ` B → (A → C) 4) ` (A → (B → C)) ↔ (A ∧ B → C) (osservazione: questo spiega l'implicazione del ??) 5) ` (¬B → ¬A) → (A → B) 6) ` (¬A → B) → (¬B → A) dove A, B , C sono f.b.f. Osservazione: la formula ?? è una delle varianti della dimostrazione per assurdo mentre la ?? è la dimostrazione per contrapposizione. Esercizio 4.11. Si consideri la seguente formula: P = (((¬A) ∨ C) ↔ B) 1) Togliere le parentesi superue; 2) Determinare l'insieme delle sottoformule di P ; 3) Rappresentare l'albero sintattico di P ; 4) Costruire la tavola di verità di P ; 5) Dire se P è una formula soddisfacibile e, in caso aermativo, se è una tautologia; 6) Scrivere P in forma normale congiuntiva e in forma normale disgiuntiva; 7) Determinare una formula semanticamente equivalente ad P e contenente solo i connettivi ¬ e →. Sia Γ = {B → A, (¬B → A) ∧ (A → B)}. Dimostrare che A ∧ B è conseguenza semantica di Γ. Esercizio 4.12. Esercizio 4.13. Dimostrare per via semantica che dalle seguenti ipotesi: 1) Se Barbara va al mare allora almeno uno tra Alberto, Carlo e Davide va al mare; 2) Se Davide va al mare allora Carlo va al mare; 3) Almeno uno tra Barbara e Alberto va al mare e se Carlo va al mare allora Barbara non ci va; si può dedurre: 4) Alberto va al mare. Esercizio 4.14. Date le frasi: 1) Se Alberto ha ucciso Giuseppe o Berta ha visto Chiara, allora Damiano era in discoteca o Fabiano è complice 2) Se Alberto ha ucciso Giuseppe, allora Damiano non era in discoteca 3) Fabiano è complice o Alberto non ha ucciso Giuseppe Dimostrare che dalle formule che rappresentano 1 e 2 si può dedurre 3 sia semanticamente che nel sistema di deduzione naturale. Esercizio 4.15. Si considerino i seguenti enunciati: A. Se Anna è bionda o Beatrice è castana, allora Carla è mora. B . Se Anna è bionda allora Carla non è mora. C . Carla è mora o Anna non è bionda. Mostrare semantica che A, B |= C . Provare lo stesso risultato usando la Deduzione Naturale e la Risoluzione. Scrivere una formula F che non sia contradittoria e tale che A ∧ B sia conseguenza semantica di F . Esercizio 4.16. Vericare che l'insieme di fbf Γ = {¬A, ¬A → B ∨ C, B → A ∨ C} è soddisfacibile. Trovare una formula della logica proposizionale f (A, B, C) che non sia una contraddizione e tale che l'insieme di fbf Γ ∪ {f (A, B, C)} = {¬A, ¬A → B ∨ C, B → A ∨ C, f (A, B, C)} = Γ1 sia insoddisfacibile. La formula A è una conseguenza semantica di {¬A → B ∨ C, B → A ∨ C, f (A, B, C)} = Γ2 ? Vericare il risultato trovato usando il metodo di risoluzione.