Matematica finanziaria

Mauro D’Amico
Michele Impedovo
Enrico Moretto
Matematica
finanziaria
Esercizi
Aggiornamenti al capitolo 3
3 Calcolo delle probabilità
3.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
3.2 Spazio dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Spazi con misura di probabilità . . . . . . . . . . . . .
3.5 Probabilità condizionate e indipendenza . . . . . . . .
3.6 Simulazioni (uso di Excel) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Teorema di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Numeri aleatori discreti . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Numeri aleatori continui . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Distribuzioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Valore atteso, varianza, deviazione standard . . . . . .
3.12 Funzioni di numeri aleatori . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Vettori aleatori e covarianza . . . . . . . . . . . . . . .
Quarta edizione
Egea tools 2008
Isbn 9788875340391
Prezzo € 10,50
109
110
112
113
115
119
120
123
129
138
144
148
151
Capitolo 3
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
3.1
Insiemi
3.1 Indichiamo con A l’insieme complementare di A rispetto ad un
insieme-universo .
Ω
A
A
Risulta A [ A =
e A \ A = ?. Dati due sottoinsiemi di , A e
B, veri…care mediante i diagrammi di Venn che A [ B = A \ B e che
A \ B = A [ B (leggi di De Morgan).
3.2 Indichiamo con AnB (o anche con A B) l’insieme degli elementi
di A che non appartengono a B. Veri…care mediante i diagrammi di
Venn che AnB = A \ B.
3.3 Sia
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2g, B = f2; 3; 4g. Calcolare
A [ B, A \ B e veri…care che sono uguali. Calcolare A \ B, A [ B, e
veri…care che sono uguali.
Risposta. A [ B = f1; 2; 3; 4g, A [ B = f5; 6g, A = f3; 4; 5; 6g,
B = f1; 5; 6g, A \ B = f5; 6g.
3.4 Sia = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2; 5; 6g, B = f2; 4; 5g. Calcolare
AnB, A \ B e veri…care che sono uguali.
Risposta. AnB = f1; 6g, B = f1; 3; 6g, A \ B = f1; 6g.
3.5 Sia = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2g, B = f2; 4; 5g, C = f2; 3; 4g.
Calcolare A [ (B \ C), (A [ B) \ (A [ C) e veri…care che sono uguali
(proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione).
110
Calcolo delle probabilità
Risposta. B\C = f2; 4g, A[(B\C) = f1; 2; 4g. A[B = f1; 2; 4; 5g,
A [ C = f1; 2; 3; 4g, (A [ B) \ (A [ C) = f1; 2; 4g.
3.6 Sia
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2; 3; 4g, B = f2; 4; 5g, C =
f2; 3; 4g. Calcolare A\(B [C), (A\B)[(A\C) e veri…care che sono
uguali (proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione).
Risposta. B[C = f2; 3; 4; 5g, A\(B[C) = f2; 3; 4g. A\B = f2; 4g,
A \ C = f2; 3; 4g, (A \ B) [ (A \ C) = f2; 3; 4g.
3.7 Sia = f1; 2; 3; : : :g l’insieme dei numeri naturali.
a) Se A è l’insieme dei multipli di 3 e B l’insieme dei multipli di 5,
qual è l’insieme A [ B? e l’insieme A \ B?
b) Se A è l’insieme dei multipli di 4 e B l’insieme dei multipli di 6,
qual è l’insieme A [ B? e l’insieme A \ B?
Risposta. a) A [ B = f3; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; : : :g è l’insieme dei
multipli di 3 o di 5. A \ B = f15; 30; 45; : : :g è l’insieme dei multipli
di 3 e di 5, cioè l’insieme dei multipli di 15.
b) A [ B = f4; 6; 8; 12; 16; 18; 20; : : :g è l’insieme dei multipli di 4 o di
6. A \ B = f12; 24; 36; : : :g è l’insieme dei multipli di 4 o di 6, cioè
l’insieme dei multipli di 12.
3.2
Spazio dei risultati
3.8 Si lanciano quattro monete. Qual è lo spazio
si rileva sia la faccia uscita sia l’ordine?
Risposta. contiene 16 elementi:
dei risultati se
= fT T T T; T T T C; T T CT; T CT T; : : : ; CCCCg
Se invece non si rileva l’ordine con cui sono uscite le diverse facce
allora lo spazio dei risultati è più piccolo:
fT T T T; T T T C; T T CC; T CCC; CCCCg
3.9 Si lanciano due dadi, rilevando l’ordine delle facce uscite; lo
spazio dei risultati ha 36 elementi:
= f[1; 1]; [1; 2]; [2; 1]; : : : ; [6; 6]g
Sia A il sottoinsieme di caratterizzato da il secondo dado mostra
la faccia 1, sia B il sottoinsieme caratterizzato da la somma dei dadi
è 7. Elencare gli elementi di A, di B, di A [ B, A \ B, di AnB.
Spazio dei risultati
111
Risposta. Un modo per vedere lo spazio dei risultati consiste nel
sistemarli nella seguente tabella dove la prima colonna indica quale
faccia del primo dado è uscita mentre la prima riga denota quale
faccia del secondo dato si è veri…cata.
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
A, B, A [ B, A \ B, AnB sono gli insiemi degli elementi evidenziati
con la retinatura grigia nelle …gure seguenti
A
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
B
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
A[B
A\B
AnB
112
Calcolo delle probabilità
3.10 Si lancia una moneta …nché non esce T (TESTA). Qual è lo
spazio dei risultati?
Risposta. Lo spazio dei risultati ha in…niti elementi:
= fT; CT; CCT; CCCT; : : :g
3.3
Algebre
3.11 Sia = fa; b; c; d; eg.
a) Scrivere tutti gli elementi della più piccola algebra
fag.
b) Scrivere tutti gli elementi della più piccola algebra
fb; eg.
c) Scrivere tutti gli elementi della più piccola algebra
fag e fb; eg.
Risposta. a) f?; fag ; fb; c; d; eg ; g.
b) f?; fb; eg ; fa; c; dg ; g.
c) f?; fag ; fb; eg ; fc; dg ; fa; b; eg ; fa; c; dg ; fb; c; d; eg ;
che contiene
che contiene
che contiene
g.
3.12 Sia dato lo spazio dei risultati di un esperimento aleatorio.
L’algebra più piccola che si può costruire (talmente piccola da essere
inservibile) è ovviamente A = f?; g. L’algebra più grande che si può
costruire è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di , cioè l’insieme delle
parti di , indicato con } ( ). Se
è …nito e contiene n elementi,
quanti elementi contiene } ( )? In altri termini: quanti sono tutti i
sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
Risposta. } ( ) contiene 2n elementi. Infatti la costruzione di un
generico sottoinsieme A di
possiamo pensarla così: per ogni elemento di abbiamo due scelte: metterlo in A o non metterlo in A.
In totale abbiamo 2 2 : : : 2 (n volte) scelte possibili, cioè 2n modi
diversi di costruire un sottoinsieme di .
3.13 Scrivere l’insieme delle parti dello spazio = fa; b; cg.
Risposta. } ( ) contiene 23 = 8 elementi: } ( ) = f?; fag ; fbg ; fcg ;
fa; bg ; fb; cg ; fa; cg ; g.
3.14 Sia = fx 2 R : 0 x < 1g. Si vuole costruire un’algebra che
contenga gli intervalli A = [0; 0:2), B = [0:2; 0:5), C = [0:5; 1). Qual
è l’algebra più piccola che si riesce a costruire?
Risposta.
f?; [0; 0:2); [0:2; 0:5); [0:5; 1); [0; 0:5); [0:2; 1); [0; 0:2) [ [0:5; 1); [0; 1)g :
Spazi con misura di probabilità
3.4
113
Spazi con misura di probabilità
3.15 A e B sono eventi di uno spazio , con Pr(A) = 1=3, Pr(B) =
1=4, Pr(A \ B) = 1=12. Calcolare: a) Pr(A [ B), b) Pr(AnB), c)
Pr(BnA), d) Pr A \ B , e) Pr A [ B .
Risposta.
Ω
A
B
3/12
1/12
2/12
a) Pr(A [ B) = 1=3 + 1=4 1=12 = 1=2,
b) Pr(AnB) = 1=3 1=12 = 1=4,
c) Pr(BnA) = 1=4 1=12 = 1=6,
d) Pr A \ B = Pr A [ B = 1=2,
e) Pr A [ B = Pr A \ B = 11=12.
3.16 Si lanci un dado regolare e si considerino gli eventi A (esce un
numero pari) e B (esce un numero minore di 5). Calcolare Pr (A),
Pr (B), Pr (A \ B), Pr (A [ B).
Risposta. Risulta A = f2; 4; 6g, B = f1; 2; 3; 4g, A \ B = f2; 4g,
A [ B = f1; 2; 3; 4; 6g. Dunque Pr (A) = 1=2, Pr (B) = 2=3, Pr(A \
B) = 1=3, Pr (A [ B) = 5=6.
3.17 A e B sono eventi di uno spazio , con Pr(A) = 0:2, Pr(B) =
0:5. a) Tra quali valori è necessariamente compresa Pr(A \ B)? E
Pr(A [ B)? b) Idem con Pr(A) = 0:6, Pr(B) = 0:8.
Risposta. a) 0 Pr(A \ B) 0:2, 0:5 Pr(A [ B) 0:7.
b) 0:4 Pr(A \ B) 0:6, 0:8 Pr(A [ B) 1.
3.18 Siano A e B due eventi di uno spazio e siano noti Pr (A) e
Pr (B). Quali sono il minimo e il massimo valore per Pr (A \ B)?
Risposta. Se Pr (A) + Pr (B) 1 allora Pr (A \ B) è minimo (e vale
0) se A e B sono disgiunti.
Ω
A
B
114
Calcolo delle probabilità
Se invece Pr (A) + Pr (B) > 1 (e quindi A e B non possono essere
disgiunti) allora il valore minimo di Pr (A \ B) è Pr (A) + Pr (B) 1.
Ω
A∩B
A
B
Pr (A \ B) è invece massimo, e vale min (Pr (A) ; Pr (B)), se A e B
sono uno contenuto nell’altro.
Ω
A=A∩B
B
In generale risulta
max (0; Pr (A) + Pr (B)
1)
Pr (A \ B)
min (Pr (A) ; Pr (B))
dove con max ( ; ; :::) [min ( ; ; :::)] s’intende il valore più grande [piccolo] tra quelli presenti all’interno della parentesi.
3.19 Siano A e B due eventi di uno spazio e siano noti Pr (A) e
Pr (B). Quali sono il minimo e il massimo valore per Pr (A [ B)?
Risposta. Il valore minimo di Pr (A [ B) si ha in ogni caso quando
A e B sono uno contenuto nell’altro, e vale max (Pr (A) ; Pr (B)).
Ω
A
B=A∪B
Probabilità condizionate e indipendenza
115
Se Pr (A) + Pr (B) 1 allora Pr (A [ B) è massimo, e vale Pr (A) +
Pr (B), se A e B sono disgiunti.
Ω
A
B
Se invece Pr (A) + Pr (B) > 1 allora Pr (A [ B) può valere al più 1.
Ω
A
B
In generale risulta
max (Pr (A) ; Pr (B))
Pr (A [ B)
min (Pr (A) + Pr (B) ; 1)
3.20 A e B sono eventi, con Pr(A) = 0:3, Pr(B) = 0:5, Pr(A [ B) =
0:6. Calcolare: a) Pr(A \ B) b) Pr A \ B , c) Pr A [ B .
Risposta. a) Pr(A \ B) = Pr(A) + Pr (B) Pr(A [ B) = 0:2.
b) Pr A \ B = 1 Pr (A \ B) = 0:8.
c) Pr A [ B = 1 Pr (A [ B) = 0:4.
3.5
Probabilità condizionate e indipendenza
3.21 La tabella seguente è un estratto dalle tavole di mortalità in
Italia, che indicano, per 100 000 nati, il numero di sopravvissuti dopo
t anni.
t
sopravvissuti
0
100000
40
96909
50
94781
60
89317
70
75988
80
48396
Valutare, attraverso le frequenze, le seguenti probabilità condizionate.
a) Un individuo di 40 anni è vivo tra 20 anni.
116
Calcolo delle probabilità
b) Un individuo di 50 anni è vivo tra 20 anni.
c) Un individuo di 60 anni è vivo tra 20 anni.
d) È più probabile che una persona di 45 anni sia viva tra 15 anni
oppure che una persona di 55 anni sia viva tra 5 anni?
89317
Risposta. a) Pr (vivo a 60 annijvivo a 40 anni)
92%.
96909
75988
80%.
b) Pr(vivo a 70 annijvivo a 50 anni)
94781
48396
c) Pr(vivo a 80 annijvivo a 60 anni)
54%.
89317
d) Pr(vivo a 60 annijvivo a 55 anni) > Pr(vivo a 60 annijvivo a 45
anni): infatti i numeratori sono uguali, e la prima probabilità ha il
denominatore minore.
3.22 A e B sono eventi legati a un esperimento aleatorio, con
Pr (A) > 0 e Pr (B) > 0. Dimostrare:
a) Se B A allora Pr(AjB) = 1.
Pr (A)
b) Se A B allora Pr(AjB) =
.
Pr (B)
c) Se A e B sono incompatibili allora Pr(AjB) = 0.
Pr (A \ B)
Risposta. a) B A =) A \ B = B =) Pr (AjB) =
=
Pr (B)
Pr (A \ B)
Pr (B)
= 1. b) A B =) A \ B = A =) Pr (AjB) =
=
Pr (B)
Pr (B)
Pr (A)
Pr (A \ B)
0
. c) A \ B = ? =) Pr (AjB) =
=
= 0.
Pr (B)
Pr (B)
Pr (B)
3.23 A e B sono eventi legati a un esperimento aleatorio, con
Pr(A) > 0 e Pr(B) > 0. Dimostrare:
a) Pr(AjB) > Pr(A) () Pr(A \ B) > Pr(A) Pr(B) () Pr(BjA) >
Pr(B) (gli eventi A e B si dicono in questo caso positivamente correlati )
b) Pr(AjB) < Pr(A) () Pr(A \ B) < Pr(A) Pr(B) () Pr(BjA) <
Pr(B) (gli eventi A e B si dicono in questo caso negativamente correlati )
c) Pr(AjB) = Pr(A) () Pr(A \ B) = Pr(A) Pr(B) () Pr(BjA) =
Pr(B) (gli eventi A e B si dicono in questo caso stocasticamente
indipendenti, o semplicemente indipendenti ).
Risposta. a) sfruttando la de…nizione di probabilità condizionaPr (A \ B)
ta, la prima disugualianza può essere riscritta come
>
Pr (B)
Pr(A); moltiplicando ambo i membri per Pr (B), si ha Pr (A \ B) >
Pr (A) Pr (B). Dividendo adesso ambo i membri per Pr (A) si resta
Probabilità condizionate e indipendenza
117
Pr (A \ B)
> Pr (B); usando ancora la de…nizione di probabilità
Pr (A)
condizionata s’ottiene Pr (BjA) > Pr (B).
b) Nella risposta a) basta sostituire > con <.
c) Nella risposta a) basta sostituire > con =.
con
3.24 A e B sono eventi legati a un esperimento aleatorio, con
Pr(A) = 1=3, Pr(B) = 1=4, Pr (A \ B) = 1=12. Calcolare:
a) Pr(AjB), b) Pr(AjB), c) Pr(BjA), d) Pr(BjA), e) Pr(AjB).
1=12
1
Risposta. a) Pr(AjB) =
= = Pr (A): dunque A e B sono
1=4
3
Pr A \ B
2=12
2
=
= ; si osservi che
indipendenti. b) Pr(AjB) =
Pr (B)
1=4
3
risulta Pr (AjB) + Pr AjB = 1: infatti, dato B, si veri…ca A oppure
si veri…ca A. Inoltre risulta Pr AjB = Pr A : anche A e B sono
Pr (A \ B)
1=12
1
indipendenti. c) Pr (BjA) =
=
= = Pr (B); come
Pr (A)
1=3
4
sappiamo la relazione di indipendenza tra due eventi è simmetrica.
Pr B \ A
3=12
3
d) Pr(BjA) =
=
= = Pr B : anche B e A sono
Pr (A)
1=3
4
Pr A \ B
1=2
2
indipendenti. e) Pr(AjB) =
=
= = Pr A : anche
3=4
3
Pr B
A e B sono indipendenti. Questo esercizio è la veri…ca empirica di
una proprietà generale: se A e B sono indipendenti anche A e B, A
e B, A e B lo sono.
3.25 Si lanciano due dadi regolari. Calcolare le seguenti probabilità
condizionate.
a) La somma è 4, dato che il primo dado è 3.
b) Il primo dado è 3, dato che la somma è 4.
c) Gli eventi la somma è 4 e il primo dado è 3 sono indipendenti?
d) La somma è 7, dato che il primo dado è 3.
e) Il primo dado è 3, dato che la somma è 7.
f) Gli eventi la somma è 7 e il primo dado è 3 sono indipendenti?
1=36
Risposta. a) Pr (d1 + d2 = 4jd1 = 3) =
= 1=6.
1=6
b) Pr(d1 = 3jd1 + d2 = 4) = 1=3.
c) No: Pr (d1 = 3jd1 + d2 = 4) = 1=3 6= Pr (d1 = 3) = 1=6.
1=36
1
d) Pr (d1 + d2 = 7jd1 = 3) =
= .
6=36
6
1=36
1
e) Pr (d1 = 3jd1 + d2 = 7) =
= .
6=36
6
118
Calcolo delle probabilità
f) Sì: Pr (d1 = 3jd1 + d2 = 7) = 1=6 = Pr (d1 = 3).
Questo esercizio mostra quanto possa essere poco intuitivo riconoscere
l’indipendenza.
3.26 Un’urna contiene 6 palline rosse (R) e 3 palline blu (B). Se ne
pescano due insieme. Calcolare:
a) la probabilità Pr(R1) che la prima pallina sia rossa.
b) la probabilità Pr(B1) che la prima pallina sia blu.
c) la probabilità Pr(R2jR1) che la seconda pallina sia rossa sapendo
che la prima è rossa.
d) la probabilità Pr(R2jB1) che la seconda pallina sia rossa sapendo
che la prima è blu.
e) la probabilità Pr(B2jR1) che la seconda pallina sia blu sapendo
che la prima è rossa.
f) la probabilità Pr(B2jB1) che la seconda pallina sia blu sapendo
che la prima è blu
Risposta. a) Pr(R1) = 6=9 = 2=3. b) Pr (B1) = 3=9 = 1=3. c)
Pr(R2jR1) = 5=8; non è necessario calcolare Pr (R2 \ R1) = Pr (R1),
è su¢ ciente osservare che se la prima pallina è rossa, nell’urna restano
5 rosse e 3 blu. d) Pr (R2jB1) = 6=8 = 3=4. e) Pr (B2jR1) = 3=8. f)
Pr (B2jB1) = 2=8 = 1=4.
Il grafo seguente illustra i possibili risultati e le corrispondenti probabilità.
6/9
3/9
B1
R1
5/8
3/8
6/8
2/8
R2|R1
B2|R1
R2|B1
B2|B1
5/12
1/4
1/4
1/12
3.27 Si consideri l’esperimento che consiste nello scegliere a caso un
numero reale nell’intervallo
= [0; 1) (è esattamente ciò che viene
simulato dal comando =CASUALE() di Excel). Possiamo interpretare
l’espressione scegliere a caso nel modo seguente: la probabilità che
il numero estratto sia compreso tra a e b sia b a; per esempio, è
ragionevole supporre che se un numero reale è scelto a caso in [0; 1)
Simulazioni (uso di Excel)
119
allora la probabilità che sia compreso tra 0.5 e 0.7 è 0.2.
a) Si considerino gli eventi A = [0; 0:5) e B = [0:4; 0:8). Stabilire
se A e B sono indipendenti, positivamente correlati o negativamente
correlati.
b) Idem con A = [0; 0:5) e B = [0:2; 0:6).
c) Idem con A = [0; 0:5) e B = [0:3; 0:7).
Risposta. a) Risulta Pr (A) = 0:5, Pr (B) = 0:4, A \ B = [0:4; 0:5)
e dunque Pr (A \ B) = 0:1. Risulta
Pr (AjB) =
Pr (A \ B)
0:1
=
= 0:25 < Pr (A)
Pr (B)
0:4
A e B sono dunque negativamente correlati: se so che il numero
estratto è compreso tra 0.4 e 0.8 allora la probabilità che sia compreso
tra 0 e 0.5 necessariamente diminuisce.
b) Risulta Pr (A) = 0:5, Pr (B) = 0:4, A \ B = [0:2; 0:5) e dunque
Pr (A \ B) = 0:3. Risulta
Pr (AjB) =
0:3
Pr (A \ B)
=
= 0:75 > Pr (A)
Pr (B)
0:4
A e B sono dunque positivamente correlati: se so che il numero estratto è compreso tra 0.2 e 0.6 allora la probabilità che sia compreso tra
0 e 0.5 necessariamente aumenta.
c) Risulta Pr (A) = 0:5, Pr (B) = 0:4, A \ B = [0:3; 0:5) e dunque
Pr (A \ B) = 0:2. Risulta
Pr (AjB) =
Pr (A \ B)
0:2
=
= 0:5 = Pr (A)
Pr (B)
0:4
A e B sono dunque indipendenti: se so che il numero estratto è
compreso tra 0.3 e 0.7 allora la probabilità che sia compreso tra 0 e
0.5 non cambia.
3.6
Simulazioni (uso di Excel)
Per una guida a queste attività consultare i …le 7.1-7.4 al sito
www.unibocconi.it/pmd
3.28 Simulare il lancio di 3 dadi e stimare la probabilità che la
somma sia 10.
Risposta. La probabilità valutata classicamente è 1=8 = 12:5%.
120
Calcolo delle probabilità
3.29 Simulare il lancio di 3 dadi e stimare la probabilità che il
massimo delle tre facce sia 4.
Risposta. La probabilità valutata classicamente è 37=216 = 17:1%.
3.30 Simulare il lancio di 3 dadi e stimare la probabilità che almeno
due facce siano uguali.
Risposta. La probabilità valutata classicamente è 4=9 = 44:4%.
3.31 Simulare il lancio di 4 monete truccate (p(T) = 0.6) e stimare
la probabilità che ci siano almeno due T.
Risposta. La probabilità valutata classicamente è 513=625 = 82:1%.
3.7
Teorema di Bayes
3.32 Un test diagnostico per l’accertamento di una malattia non è
mai perfetto. C’è una certa percentuale di falsi negativi, cioè persone
malate che risultano negative al test, e una certa percentuale di falsi
positivi, cioè persone sane che risultano positive al test. I dati che
solitamente si conoscono sono:
P = Pr(Mal ) = percentuale di malati nella popolazione, cioè la probabilità che una persona scelta a caso sia malata.
p1 = Pr(NegjMal ) = percentuale di falsi negativi, cioè la probabilità
che una persona malata risulti negativa al test.
p2 = Pr(PosjSan) = percentuale di falsi positivi, cioè la probabilità
che una persona sana risulti positiva al test.
I problemi da risolvere sono in generale i seguenti:
Se una persona risulta positiva al test, qual è la probabilità che sia
davvero malata?
Se una persona risulta negativa al test, qual è la probabilità che sia
davvero sana?
a) Risolvere con p = p1 = p2 = 0:1.
b) Risolvere con p = 0:1, p1 = p2 = 0:01.
c) Risolvere con p = 0:1, p1 = p2 = 0.
Risposta. Risulta in ogni caso:
Pr (Mal jPos) / Pr (Mal ) Pr (PosjMal )
Pr (SanjPos) / Pr (San) Pr (PosjSan)
a) Pr (Mal jPos) / 0:1 0:9 = 0:09; Pr (SanjPos) / 0:9 0:1 = 0:09.
0:09
Quindi Pr (Mal jPos) = Pr (SanjPos) =
= 50%. Risulta0:09 + 0:09
to sorprendente, vero? Il test è del tutto ine¢ ciente e quindi inutile.
b) Pr (Mal jPos) / 0:1 0:99 = 0:099; Pr (SanjPos) / 0:9 0:01 =
Teorema di Bayes
121
0:099
= 91:7%;
0:099 + 0:009
Pr (SanjPos) = 8:3%. Se il test è positivo c’è una probabilità dell’8:3%
di essere sani.
c) Pr(Mal jPos) / 0:1 1 = 0:1; Pr(SanjPos) = 0:9 0 = 0. Quindi
Pr(Mal jPos) = 1 e Pr(SanjPos) = 0: è (ovviamente) l’unico caso in
cui il test è risolutivo.
0:009. Quindi Pr (Mal jPos) =
3.33 Una fabbrica ha tre linee produttive che producono chip di
memoria. La prima linea produce il 50% dei pezzi e ha un tasso di
pezzi difettosi del 4%, la seconda linea produce il 30% dei chip e ha
un tasso di pezzi difettosi del 5% mentre la terza linea produce il 20%
dei chip e ha un tasso di pezzi difettosi del 1%. Si estrae un chip a
caso.
a) Sapendo che il chip è difettoso, quali sono le probabilità che sia
stato prodotto rispettivamente dalla prima, seconda, terza linea produttiva?
b) Qual è la probabilità che il chip estratto a caso sia difettoso?
c) Costruire una tabella che dia l’interpretazione dei risultati in termini di frequenza, su un campione di 1000 pezzi estratti a caso.
Risposta. Indichiamo con I, II, III le tre linee produttive e con D
il pezzo difettoso. I dati sono i seguenti: Pr(I) = 0:5, Pr(DjI) = 0:04,
Pr(II) = 0:3, Pr(DjII) = 0:05, Pr(III) = 0:2, Pr(DjIII) = 0:01.
a) Risulta Pr(IjD) / 0:5 0:04 = 0:02, Pr(IIjD) / 0:3 0:05 = 0:015,
Pr(IIIjD) / 0:2 0:01 = 0:002. Quindi risulta
Pr(IjD) =
0:02
0:02 + 0:015 + 0:002
Pr(IIjD) =
0:015
0:037
Pr(IIIjD) =
0:002
0:037
54%
41%
5%
b) Pr(D) è uguale al denominatore di ciascuno dei rapporti appena
calcolati, e quindi è uguale alla somma dei tre valori proporzionali
alle probabilità richieste: 0:02 + 0:015 + 0:002 = 3:7%.
c) L’interpretazione frequentista del problema, su un campione di
1000 pezzi estratti a caso, è data dalla seguente tabella (D = difet-
122
Calcolo delle probabilità
toso, N D = non difettoso).
I
II
III
D
20
15
2
37
ND
480
285
198
963
500
300
200
1000
Ad esempio 20 è la frequenza dei pezzi che sono sia prodotti dalla
macchina I sia difettosi: f r (I \ D). Allora Pr(IjD) si calcola come
rapporto tra la frequenza f r(I \ D) = 20, e f r(D) = 37: Pr(IjD) =
20=37 54%.
3.34 Il daltonismo è una patologia ereditaria più comune nei maschi
che nelle femmine: sono daltonici il 7% dei maschi e solo lo 0.5%
delle femmine. Si prende un campione di persone composto in ugual
numero di maschi e femmine.
a) Quanti sono in percentuale i maschi tra i daltonici del campione?
E le femmine?
b) Qual è la percentuale di daltonici del campione?
Risposta. Indichiamo con M e F maschi e femmine, con D e
N daltonici e normali. I dati sono i seguenti: Pr (DjM ) = 0:07,
Pr (DjF ) = 0:005, Pr (M ) = Pr (F ) = 0:5.
a) Pr(M jD) / 0:5 0:07 = 0:035, Pr (F jD) / 0:5 0:005 = 0:0025;
0:035
dunque Pr (M jD) =
= 93:3%,
0:035 + 0:0025
0:0025
= 6:7%.
Pr (F jD) =
0:035 + 0:0025
b) Pr (D) = 0:035 + 0:0025 = 0:0375 = 3:75%.
3.35 In una valigia contenente banconote da 100 euro, vi sono alcune
banconote false. In particolare, risulta falso il 10% delle banconote
con numero di serie pari e l’8% di quelle con numero di serie dispari.
Le banconote con numero di serie pari sono il 40% del totale.
a) Calcolare la probabilità che una banconota sia autentica sapendo
che ha numero di serie pari.
b) Calcolare la probabilità che una banconota sia falsa. Che cosa si
può dire della correlazione tra i due eventi {la banconota ha numero
di serie pari } e {la banconota è falsa}?
c) Calcolare la probabilità che una banconota abbia numero di serie
pari sapendo che è falsa.
d) Calcolare la probabilità che una banconota abbia numero di serie
pari e sia falsa.
Numeri aleatori discreti
123
e) Calcolare la probabilità che una banconota abbia numero di serie
pari oppure sia falsa.
f) Calcolare la probabilità che una banconota abbia numero di serie
pari e sia falsa oppure abbia numero di serie dispari e sia autentica.
Risposta. Sia A ={la banconota è falsa} e B ={la banconota
ha numero di serie pari}. I dati sono i seguenti: Pr(B) = 0:4,
Pr(AjB) = 0:1, Pr(AjB) = 0:08.
a) Pr(AjB) = 1 Pr (AjB) = 0:9.
b) Pr(A) = Pr(AjB) Pr(B) + Pr(AjB) Pr(B) = 0:1 0:4 + 0:08 0:6 =
0:088. Poiché Pr(A) = 0:088 < Pr(AjB) = 0:1, A e B sono positivamente correlati.
Pr (AjB)
0:9
c) Pr(BjA) = Pr(B)
= 0:4
0:455 (teorema di Bayes).
Pr (A)
0:088
d) Pr(A \ B) = Pr(AjB) Pr(B) = 0:1 0:4 = 0:04.
e) Pr(A[B) = Pr(A)+Pr (B) Pr(A\B) = 0:088+0:4 0:04 = 0:448.
f) Pr (A \ B) [ A \ B = Pr (A \ B) + Pr A \ B (infatti i due
eventi A\B e A\B sono incompatibili) = Pr (A \ B)+Pr A [ B =
0:04 + 0:552 = 0:592.
3.8
Numeri aleatori discreti
3.36 La roulette è un esperimento il cui spazio dei risultati è
= f0; 1; 2; : : : ; 36g
e tutti i risultati elementari hanno la stessa probabilità:
Pr (0) = Pr (1) = Pr (2) = : : : = Pr (36) =
1
37
a) Il giocatore A punta 1 sull’evento Manque (i numeri da 1 a 18);
se esce Manque vince 1 (ritira la sua posta raddoppiata) altrimenti
perde la posta. Scrivere il numero aleatorio X rappresentato dalla
vincita (o perdita) aleatoria di A come funzione da in R; scrivere
la distribuzione di probabilità di X.
b) Il giocatore B punta 1 sull’uscita dello 0; se esce 0 vince 35 (ritira
36 volte la sua posta) altrimenti perde la posta. Scrivere il numero
aleatorio Y rappresentato dalla vincita (o perdita) aleatoria di B come
funzione da in R; scrivere la distribuzione di probabilità di Y .
Risposta. a) Risulta
X (!) =
1 ! = 0 or 19
1
1 ! 18
!
36
124
Calcolo delle probabilità
La distribuzione di probabilità di X è
8
>
< 1
X
>
: 19
37
la seguente:
1
18
37
b) Risulta
1 ! 6= 0
35 ! = 0
Y (!) =
La distribuzione di probabilità di Y è
8
>
< 1
Y
>
: 36
37
la seguente:
35
1
37
3.37 Rappresentare gra…camente la funzione di probabilità del numero aleatorio X che ha la seguente distribuzione.
100 100 200
0:5
0:3 0:2
X
a) Calcolare Pr (X = 100), Pr(X = 0).
b) Calcolare Pr(X < 100), Pr(X
100), Pr(X < 100), Pr(X
100), Pr(X < 200), Pr(X 200).
c) Calcolare Pr(X > 100), Pr(X
100), Pr(X > 100), Pr(X
100), Pr(X > 200), Pr(X 200).
d) Calcolare Pr(X < 123), Pr(X > 123), Pr(X > 234), Pr(X < 234).
Risposta. Il diagramma a bastoncini è il seguente.
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-200
-100
0
100
200
300
a) Pr(X = 100) = 0:5, Pr(X = 0) = 0.
b) Pr(X < 100) = 0, Pr(X
100) = 0:5, Pr(X < 100) = 0:5,
Numeri aleatori discreti
125
Pr(X 100) = 0:8, Pr(X < 200) = 0:8, Pr(X 200) = 1.
c) Pr(X > 100) = 0:5, Pr(X
100) = 1, Pr(X > 100) = 0:2,
Pr(X 100) = 0:5, Pr(X > 200) = 0, Pr(X 200) = 0:2.
d) Pr(X < 123) = 0:8, Pr(X > 123) = 0:2, Pr(X > 234) = 0,
Pr(X < 234) = 1.
3.38 Si lanciano due dadi regolari. Si considerino i seguenti NA:
X = la somma delle due facce
Y = la di¤erenza (in modulo) delle due facce
Z = il massimo delle due facce
a) Si consideri il risultato ! : I dado = 2, II dado = 5; calcolare X(!),
Y (!), Z(!).
b) Per ciascun NA descrivere la funzione di probabilità e tracciare il
diagramma a bastoncini.
Risposta. Per calcolare le diverse distribuzioni, può essere utile la
tabella dell’esercizio 3.9.
a) X (!) = 7, Y (!) = 3, Z (!) = 5.
b) il numero aleatorio somma delle due facce ha come valore minimo 2
(nel caso escano due facce con il numero 1) e come valore massimo 12
(nel caso escano due facce con il numero 6). La funzione di probabilità
di X ed il diagramma relativo sono
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Il numero aleatorio Y ha funzione di probabilità e relativo diagramma
126
Calcolo delle probabilità
a bastoncini
0
1
2
3
4
5
6=36 10=36 8=36 6=36 4=36 2=36
Y
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
In…ne il numero aleatorio che indica il valore massimo ottenuto lanciando due dadi ha come funzione di probabilità e relativo diagramma
1
2
3
4
5
6
1=36 3=36 5=36 7=36 9=36 11=36
Z
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
3.39 La distribuzione di probabilità di un numero aleatorio X è la
seguente.
10 12 15 18
X
s 0:6 3s 0:2
a) Calcolare s.
b) Rappresentare gra…camente la funzione di probabilità di X.
Risposta. a) Deve risultare s + 0:6 + 3s + 0:2 = 1, da cui s = 0:05.
Risulta dunque
X
10 12 15 18
0:05 0:6 0:15 0:2
Numeri aleatori discreti
127
b) Il gra…co della funzione di probabilità è il seguente.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
8
10
12
14
16
18
20
3.40 Un tiratore, che colpisce il bersaglio con probabilità costante
p = 1=5 (e lo manca con probabilità q = 1 p = 4=5), tira …no a che
non colpisce il bersaglio. Il numero X di tiri necessari per colpire il
bersaglio la prima volta è aleatorio. Se assumiamo che ogni tiro sia
indipendente dai precedenti, la probabilità di colpire il bersaglio al
1 tiro è p, di colpirlo al 2 tiro è qp, al 3 è q 2 p, al quarto è q 3 p, . . . .
a) Descrivere la funzione di probabilità di X e rappresentarla gra…camente.
b) Veri…care che la serie delle probabilità converge a 1.
c) Calcolare la probabilità Pr(X = 10) di colpire il bersaglio entro i
primi 10 tiri.
Risposta. a) La funzione di probabilità è la seguente.
X
(
1
1
5
2
4
25
3
16
125
4
64
625
:::
:::
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
128
Calcolo delle probabilità
b) In generale
p + qp + q 2 p + q 3 p + : : : = p
1
X
qn = p
n=0
c) Pr (X = 10) = p
9
P
qn = p
n=0
1
1
q
=1
1 q 10
= 89:3%.
1 q
3.41 Si lanciano due monete ugualmente truccate, in cui esce T con
probabilità p = 0:7 (e quindi esce C con probabilità q = 0:3).
a) Descrivere lo spazio dei risultati .
b) Descrivere il numero aleatorio X = numero di T e calcolare le
probabilità Pr(X = n) con n = 0; 1; 2.
c) Tracciare il diagramma a bastoncini della distribuzione di X.
Risposta. a) = fT T; T C; CT; CCg.
b) Risulta X (T T ) = 2, X (T C) = X (CT ) = 1, X (CC) = 0.
c) Poiché le due monete sono indipendenti le probabilità sono le
seguenti:
Pr (T T ) = 0:7 0:7 = 0:49
Pr (T C) = Pr(CT ) = 0:7 0:3 = 0:21
Pr(CC) = 0:3 0:3 = 0:09
La distribuzione di X è dunque la seguente.
0
1
2
0:09 0:42 0:49
X
c)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.42 Il numero aleatorio discreto X ha la seguente funzione di
probabilità.
1
2
3
4
X
0:1 0:2 0:3 0:4
Numeri aleatori continui
129
a) Tracciare il gra…co della sua funzione di ripartizione F .
b) Calcolare F (2), F (2:5), F (3).
Risposta. a) Il gra…co di F è il seguente.
2
F ( x)
1
0
1
2
3
4
5
6
x
b) F (2) = F (2:5) = Pr(X
Pr(X 3) = 0:6.
3.9
2) = Pr (X
2:5) = 0:3, F (3) =
Numeri aleatori continui
3.43 Il numero aleatorio continuo X assume valori compresi tra 5 e
7 e ha la seguente distribuzione (uniforme su ciascun intervallo):
X
[5; 6] (6; 6:2] (6:2; 7]
0:6
0:3
0:1
Costruire la funzione di densità di probabilità f (x) e tracciarne il
gra…co.
Risposta. La funzione di densità è la seguente:
8
0
x<5
>
>
> 0:6 = 0:6
>
5 x 6
< 6 5
0:3
=
1:5
6
< x 6:2 .
f (x) =
6:2 6
>
0:1
>
>
6:2 < x 7
> 7 6:2 = 0:125
:
0
7<x
Ad essa si è arrivati considerando come, dato che la probabilità che
X assuma un valore compreso in uno dei tre intervalli [5; 6], (6; 6:2]
o (6:2; 7] è costante all’interno dell’intervallo e tenendo conto che
la probabilità è l’area sottesa alla densita di probabilità f (x), va
determinata l’altezza dei rettangoli di base 6 5 = 1, 6:2 6 = 0:2 e
7 6:2 = 1:2 le cui aree sono le rispettive probabilità 0:6, 0:3 e 0:1.
Deve allora valere
(6 5)
| {z }
BASE
x
|{z}
ALTEZZA
= |{z}
0:6
AREA
130
Calcolo delle probabilità
da cui si ricava x = 60:65 = 0:5. Similmente si procede per gli altri
due intervalli. Il gra…co relativo è
2
f ( x)
1
4
5
6
7
8
x
3.44 Si consideri un numero aleatorio continuo X con distribuzione
uniforme tra 8 e 12.
a) Determinare e tracciare il gra…co della densità di probabilità f .
b) Determinare e tracciare il gra…co della funzione di ripartizione F .
Risposta. La densità f (x) è diversa da 0 solo nell’intervallo [8; 12].
Poiché deve risultare
+1
Z
f (x) dx =
1
Z12
f (x) dx = 1
8
e poiché f è costante su [8; 12] il suo valore deve essere
e 0 altrove. Il gra…co è il seguente.
1
12
8
= 0:25
0.4
0.3
f ( x)
0.2
0.1
6
8
10
12
14
0.1
x
b) La funzione di ripartizione F (x) è la funzione integrale di f con
Numeri aleatori continui
131
centro in 8, cioè tale che F (8) = 0.
Zx
f (t) dt =
1
Zx
8
8
>
<
0
1
1
dt =
(x 8)
>
4
: 4
1
x<8
8
x
12
x > 12
1
F ( x)
0.5
6
8
10
12
14
16
x
3.45 Il numero aleatorio continuo X ha la seguente densità di probabilità:
8
0 x 1
< x
2 x
1<x 2
f (x) =
:
0
altrove
a) Veri…care che f (x) è una densità di probabilità e tracciarne il
gra…co.
b) È più probabile che X assuma valori compresi tra 0:4 e 0:5 oppure
tra 0:9 e 1?
c) Qual è l’intervallo di ampiezza 0:1 in cui X ha la maggior probabilità di cadere?
d) Calcolare la funzione di ripartizione F .
e) Calcolare F (0:8), F (1:2). Quale informazione fornisce la di¤erenza
F (1:2) F (0:8)?
Risposta. a) Risulta
+1
Z
f (x) dx =
1
Z1
0
x dx +
Z2
1
(2
x) dx = 1
132
Calcolo delle probabilità
Il gra…co è il seguente.
1
f ( x)
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
b) È su¢ ciente osservare il gra…co di f (x): Pr(0:4
Pr(0:9 X 1). Risulta infatti
Pr(0:4
X
0:5) =
X
Z1
0:5
Z
X
0:5) <
x dx = 0:045 = 4:5%
0:4
Pr(0:9
1) =
x dx = 0:095
0:9
c) Sempre osservando il gra…co si nota che l’intervallo di ampiezza 0:1
in cui si ha la massima densità di probabilità è [0:95; 1:05]. Risulta
Pr(0:95
X
1:05) =
Z1
x dx +
0:95
1:05
Z
(2
x) dx = 0:0975 = 9:75%
1
d) F (x) = 0 in ( 1; 0). Tra 0 e 1 F (x) è la primitiva della funzione
x tale che F (0) = 0; tra 1 e 2 F (x) è la primitiva di 2 x tale che
F (1) = 1=2.
F (x) =
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
0
1 2
x
2
1 2
x + 2x
2
1
x<0
0
1
x
1
1<x
2
x>2
Numeri aleatori continui
133
1
F ( x)
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
e) Risulta F (0:8) = 0:32 = Pr(X
0:8), F (1:2) = 0:68 = Pr(X
1:2). F (1:2) F (0:8) = Pr(0:8 X 1:2).
3.46 Il numero aleatorio X ha densità di probabilità
ax 1 x2
0
f (x) =
0
x 1
altrove
a) Calcolare a.
b) Calcolare Pr (0:4 X 0:6) e Pr (0:8 X 1:2).
c) Calcolare la funzione di ripartizione F (x) di X.
d) Calcolare, mediante F , le probabilità del punto b).
Risposta. a) Per la condizione di normalizzazione deve risultare
Z1
ax 1
x2
dx = 1
0
Poiché
Z1
ax 1
x2
dx = a
1 2
x
2
1 4
x
4
0
1
0
1
= a
4
allora a = 4.
b) Risulta
Z0:6
Z0:6
f (x) dx = 4x 1
0:4
x2
1 2
x
2
1 3
x
4
1
dx = 4 x2
2
1 3
x
4
dx = 4
0:4
0:6
=
37
= 0:296
125
=
81
= 0:1296
625
0:4
e
Z1:2
Z1
f (x) dx = 4x 1
0:8
0:8
2
x
1
0:8
134
Calcolo delle probabilità
c) La funzione di ripartizione è, nell’intervallo [0; 1], la funzione integrale di f con centro in 0:
F (x) =
Zx
f (t) dt =
1
Zx
t2
4t 1
dt = 4
1 2
t
2
1 4
t
4
0
Dunque
F (x) =
f .2
2
()0
x
F
1
0.8
0.6
0.4
.5
8
<
:
0
2x2
x4
1
x
= 2x2
x4
0
x<0
0 x 1
x>1
d) Risulta
Pr (0:4
X
0:6) = F (0:6)
F (0:4) = 0:5904
0:2944 = 0:296
e
Pr (0:8
X
1:2) = F (1:2)
F (0:8) = 1
0:8704 = 0:1296
3.47 Si consideri un numero aleatorio continuo X con densità
f (x) =
ax4
0
1 x 1
altrove
a) Calcolare a.
b) Stabilire per quale valore di s la probablità Pr ( s X s) è
almeno 90%.
c) Calcolare F ( 1), F (0), F (1), dove F è la funzione di ripartizione
di X.
Numeri aleatori continui
135
Risposta. a) Poiché f è simmetria rispetto all’asse y, la condizione
di normalizzazione si può scrivere anche nel seguente modo:
2
Z1
ax4 dx = 1
0
Poiché
2
Z1
ax4 dx = 2a
1 5
x
5
0
1
0
2
= a
5
deve risultare a = 5=2. Il gra…co di f (x) è
0.5
()−
fx
3
2
1
b) Per la simmetria di f rispetto all’asse y risulta
2
Zs
5 4
x dx > 0:9
2
0
Poiché
Zs
5 4
1
2
x dx = 5 x5
2
5
0
s
= s5
0
p
da s5 > 0:9 si ricava s > 5 0:9 0:9791.
c) Non occorre calcolare l’espressione di F (x). Per la simmetria di f
possiamo concludere:
F ( 1) = 0
F (0) = 1=2
F (1) = 1
136
Calcolo delle probabilità
3.48 Si consideri un numero aleatorio X la cui funzione di ripartizione è
8
0
x< 1
<
a x3 + 1
1 x 1
F (x) =
:
1
x>1
a) Determinare il valore di a.
b) Calcolare f (x), la densità di probabilità di X.
c) Calcolare la probabilità che X assuma valori minori di 1=2.
Risposta. a) F deve essere continua, dunque deve risultare
a ( 1)3 + 1 = 0
(veri…cato per ogni a) e
a 13 + 1 = 1
da cui a = 1=2. Il gra…co della F (x) allora è
0.5
−
2
()1
x
F
b) Derivando F tra
1 e 1 si ottiene
( 3
x2
f (x) =
2
0
1<x<1
altrove
c) Risulta
Pr (X < 1=2) = F
1
2
=
9
= 56:3%
16
3.49 Si consideri un numero aleatorio X la cui funzione di ripartizione è
1
F (x) =
1+e x
Numeri aleatori continui
137
50.5
010
−
x()10.5
F
a) Calcolare Pr (0 < X < 1).
b) Stabilire per quale valore c la probabilità che X assuma valori
minori di c supera il 99%.
Risposta. a) Risulta
Pr (0 < X < 1) = F (1)
F (0) =
1
1 + 1=e
1
2
0:231
b) Deve risultare
Pr (X < c) = F (c) =
Risolvendo, da 1 + e
4:595.
c
<
1
1+e
100
si ricava e
99
c
c
<
>
99
100
1
e quindi c > ln 99
99
3.50 Si consideri un numero aleatorio X la cui densità di probabilità
è
0
x<0
f (x) =
x
xe
x 0
ed il cui gra…co è
1xp
8
6
4
2
e0
0.4
0.3
0.2
()0.1
−
x
0
⋅
a) Veri…care la condizione di normalizzazione.
b) Calcolare F (x), la funzione di ripartizione di X.
c) Calcolare c tale che Pr (X c) = 1=2.
138
Calcolo delle probabilità
Risposta. a) Integrando per parti si ottiene
Z
xe
x
dx =
xe
Z
x
e
x
x
dx =
xe
b
0
b!1
x
e
=
e
x
(1 + x)
e quindi
Z1
xe
x
dx = lim
e
b!1
x
(1 + x)
= lim
e
b
(1 + b) + 1 = 1
0
b) Le primitive di f (x) nell’intervallo [0; +1) sono tutte e sole le
funzioni del tipo
e x (1 + x) + c
Poiché deve essere F (0) = 0, cioè e 0 (1 + 0) + c = 0, allora c = 1.
Quindi
0
x<0
F (x) =
1 e x (1 + x)
x 0
Allo stesso risultato si arriva calcolando la funzione integrale di f (x)
con centro in 0:
F (x) =
Zx
te
t
dt =
e
t
(1 + t)
x
0
=1
e
x
(1 + x)
0
3.10
Distribuzioni particolari
3.51 (Usare Excel). Si consideri il numero aleatorio discreto X con
distribuzione di Poisson di parametro = 2.
a) Calcolare Pr(X = n) per n = 0; 1; 2; : : : ; 10.
b) Calcolare Pr(X 3), Pr(1 < X 3).
c) Se F (x) è la funzione di ripartizione di X, calcolare, F (1:7).
Risposta. a) Il comando di Excel =POISSON(n; ;FALSO) fornisce la
probabilità che un numero aleatorio con distribuzione di Poisson di
parametro assuma il valore n, cioè il valore f (n) = Pr (X = n)),
mentre =POISSON(n; ;VERO) fornisce F (n) = Pr (X n).
Distribuzioni particolari
139
Ecco la tabella costruita con Excel.
lambda
2
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p(X=n)
0.135335
0.270671
0.270671
0.180447
0.090224
0.036089
0.01203
0.003437
0.000859
0.000191
3.82E-05
p(X<=n)
0.135335
0.406006
0.676676
0.857123
0.947347
0.983436
0.995466
0.998903
0.999763
0.999954
0.999992
Nel diagramma seguente è invece rappresentata la funzione di probabilità di X.
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
b) Pr (X 3) = Pr (X = 0)+Pr (X = 1)+Pr (X = 2)+Pr (X = 3)
85:7%. Pr (1 < X 3) = Pr (X = 2) + Pr (X = 3) = 45:1%.
c) F (1:7) = Pr (X 1:7) = Pr (X = 0) + Pr (X = 1) = 40:6%.
3.52 (Usare Excel). Due clienti della stessa compagnia di assicurazioni hanno un numero aleatorio di incidenti annuo con distribuzione di Poisson di parametri rispettivamente 1 = 0:5 e 2 = 2:5.
a) Calcolare, per ciascun cliente, le probabilità di avere 0, 1, 2, 3
incidenti all’anno.
b) Qual è, nei due casi, la probabilità di avere più di 1 incidente?
c) Qual è, nei due casi, la probabilità di avere al più 1 incidente?
d) Qual è, nei due casi, la probabilità di avere almeno 1 incidente?
140
Calcolo delle probabilità
Risposta. a) Ecco le tabelle.
lambda n p(X=n)
0.5 0 0.606531
1 0.303265
2 0.075816
3 0.012636
p(X<=n) lambda n p(X=n)
p(X<=n)
0.606531
2.5 0 0.082085 0.082085
0.909796
1 0.205212 0.287297
0.985612
2 0.256516 0.543813
0.998248
3 0.213763 0.757576
Con 1 = 0:5 (assicurato virtuoso) la probabilità si concentra sui
primissimi valori di n (99.8% per i valori 0, 1, 2, 3) e diventa rapidamente trascurabile, mentre con 2 = 2:5 (assicurato sinistroso) la
probabilità si distribuisce in modo signi…cativo anche su valori maggiori.
b) L’assicurato virtuoso commette più di 1 incidente con probabilità
Pr(X > 1) = 1 Pr(X = 0) Pr(X = 1) 9%. L’assicurato sinistroso commette più di 1 incidente con probabilità circa del 71%.
c) L’assicurato virtuoso commette al più 1 incidente con probabilità
Pr(X
1)
91%. L’assicurato sinistroso commette al più 1 incidente con probabilità Pr(X 1) 29%.
d) L’assicurato virtuoso commette almeno 1 incidente con probabilità Pr(X > 0) = 1 Pr (X = 0)
30%. L’assicurato sinistroso
commette almeno 1 incidente con probabilità circa del 92%.
3.53 Il tempo di attesa (in minuti) ad un call center è un numero
aleatorio continuo X con distribuzione esponenziale di parametro ,
cioè con densità
0
x<0
f (x) =
x
e
x 0
a) Dimostrare che per ogni
+1
Z
> 0 risulta
e
x
dx = 1.
0
b) Posto = 0:2, calcolare le probabilità che il tempo d’attesa sia
minore di 1 minuto, compreso fra 1 e 3 minuti, maggiore di 3 minuti.
Risposta. a) Risulta
+1
Z
e
x
dx = lim
e
b!+1
x b
0
= lim
b!+1
e
b
+1=1
0
R1
b) Risulta Pr (X < 1) = 0:2 e
0:2x
dx = 18:1%; Pr (1 < X < 3) =
0
R3
0:2 e
1
0:2x
dx = 27%; Pr (X > 3) = 0:2
+1
R
e
3
0:2x
dx = 54:9%.
Distribuzioni particolari
141
3.54 Due call center hanno tempi d’attesa aleatori con distribuzione
esponenziale di parametri 1 = 0:5 e 2 = 2. Qual è il più e¢ ciente,
cioè quello dove sono più probabili tempi d’attesa brevi?
Risposta. Nella …gura seguente sono tracciati i gra…ci di f (x) (linea
continua) e g(x) (linea tratteggiata)
2
f ( x)
g ( x)
1
0
2
4
x
che sono le funzioni di densità con distribuzione esponenziale di parametri rispettivamente 1 = 0:5 e 2 = 2. Osserviamo che g(x) è
maggiore di f (x) per valori di x vicini a 0: questo signi…ca che è più
probabile avere tempi di attesa minori per g(x) che per f (x): il call
center 2 è più e¢ ciente del call center 1.
3.55 Supponiamo che il numero aleatorio continuo X = altezza di
uno studente maschio della Bocconi abbia distribuzione normale; da
un’indagine statistica di un paio di anni fa, risulta che l’altezza media
è m = 180 cm e la deviazione standard è s = 6 cm.
a) Scrivere la funzione densità di probabilità f (x) di X e tracciarne
il gra…co.
b) Calcolare la probabilità che uno studente sia alto meno di 175 cm.
c) Calcolare la probabilità che l’altezza di uno studente sia compresa
tra 175 e 185 cm.
d) Calcolare la probabilità che uno studente sia alto più di 185 cm.
Risposta. a) Risulta
1
f (x) = p e
6 2
1 x 180
2
6
2
142
Calcolo delle probabilità
0.08
0.06
0.04
0.02
160
b) Pr (X < 175) =
170
175
R
180
190
200
f (x) dx = 20:2%. Per calcolare questo in-
1
tegrale si può usare Excel; il comando =DISTRIB.NORM(x; m; s;
VERO) fornisce il valore in x della funzione di ripartizione F (x) di
una distribuzione normale si parametri m e s, cioè fornisce Pr (X x).
Il parametro VERO serve per la probabilità cumulata; con FALSO si
ottiene il valore della densità in x.
c) Pr (175
X
185) = Pr (X < 175) =
185
R
f (x) dx = F (185)
175
F (175) = 59:5%.
d) Pr (X > 185) =
+1
R
f (x) dx = 1
F (185) = 20:2% (si ricordi che
185
la distribuzione è simmetrica rispetto a 180).
3.56 Il diametro di un cuscinetto a sfere prodotto da una macchina
è un numero aleatorio continuo X con distribuzione normale di parametri m = 12 mm e = 0:02 mm. Il controllo di qualità prevede che
possano essere messi in vendita solo pezzi con diametro compreso tra
11.98 e 12.02 mm. Qual è la probabilità che un pezzo scelto a caso
possa essere messo in vendita?
Risposta. La funzione di densità è
1
1
p e 2
0:02 2
12:02
R
12:02) =
f (x) dx
f (x) =
Pr (11:98
X
x 12
0:02
2
0:68:3; la probabilità che
11:98
un pezzo possa essere messo in vendita (tale probabilità può essere
Distribuzioni particolari
143
interpretata come una stima della percentuale di cuscinetti a sfera
che superano il controllo di qualità) è 68:3%. Si dimostra che tale
valore non dipende né da m né da : la probabilità che un numero
aleatorio con distribuzione normale assuma valori che distano non più
di da m vale 68:3% per qualsiasi distribuzione normale:
Pr (m
X
m + ) = 68:3%
10
5
12.08
12.06
12.04
12.02
12
11.98
11.96
11.94
11.92
20
15
In modo analogo si ottiene, per qualunque distribuzione normale
risulta:
Pr (m
2
X
m + 2 ) = 95:4%
Pr (m
3
X
m + 3 ) = 99:7%
10
5
12.08
12.06
12.04
12.02
12
11.98
11.96
11.94
11.92
20
15
e
10
5
12.08
12.06
12.04
12.02
12
11.98
11.96
11.94
11.92
20
15
144
Calcolo delle probabilità
Dunque la probabilità che un numero aleatorio con distribuzione
normale si allontani da m per più di 3 è quasi nulla, solo 0:3%.
3.11
Valore atteso, varianza, deviazione standard
3.57 Dalle statistiche ISTAT desumiamo la distribuzione di probabilità per il numero di …gli per donna in Italia.
X
0
1
2
3
4
5
0:28 0:33 0:29 0:06 0:03 0:01
(la probabilità di avere 6 o più …gli è trascurabile). Calcolare il valore
atteso di …gli per donna.
Risposta. Risulta E (X) = 0 0:28 + 1 0:33 + 2 0:29 + 3 0:06 + 4
0:03 + 5 0:01 = 1:26.
3.58 Sia dato il numero aleatorio discreto X con la seguente distribuzione.
1
2
3
4
X
0:1 0:2 0:3 0:4
a) Calcolare il valore atteso E(X).
b) Veri…care che risulta E (X E (X)) = 0.
c) Calcolare la varianza Var(X).
d) Calcolare la deviazione standard (X).
Risposta. a) E (X) = 1 0:1 + 2 0:2 + 3 0:3 + 4 0:4 = 3.
b) Risulta
X
E (X) = X
3
2
1 0
1
0:1 0:2 0:3 0:4
E (X 3) = 2 0:1 + ( 1) 0:2 + 0 0:3 + 1 0:4 = 0.
c) Var(X) =p12 0:1 + 22 0:2 + 32 0:3 + 42 0:4 32 = 1.
d) (X) = Var (X) = 1.
3.59 Il numero aleatorio discreto X ha la seguente distribuzione di
probabilità.
2 7
X
p 1 p2
a) Determinare p1 e p2 in modo che E(X) = 6.
b) Determinare p1 e p2 in modo che 2 (X) = 4.
c) Per quali valori di p1 e p2 la varianza di X è massima?
d) Esistono valori p1 e p2 per i quali la varianza è nulla?
Valore atteso, varianza, deviazione standard
145
Risposta. a) E(X) = 2p1 + 7p2 = 6. Si tratta di risolvere il sistema
2p1 + 7p2 = 6
p1 + p2 = 1
che ammette l’unica soluzione p1 = 1=5, p2 = 4=5.
b) Var(X) = 4p1 +49p2 (2p1+7p2)2 . Si tratta di risolvere il sistema
4p1 + 49p2 (2p1 + 7p2)2 = 4
p1 + p2 = 1
che ammette le due soluzioni simmetriche p1 = 1=5, p2 = 4=5 (la
stessa del punto a) e p1 = 4=5, p2 = 1=5.
c) Ponendo p1 = p, p2 = 1 p, risulta
E (X) = 2p + 7 7p = 7 5p
Var (X) = 4p + 49 49p (7 5p)2 = 25p (1
p)
Var (X) è dunque una funzione quadratica di p, con punto di massimo
nel vertice p = 1=2. Questo è un risultato di carattere generale: per
un numero aleatorio discreto che può assumere due soli valori x1 , x2 ,
la varianza è massima se la probabilità è distribuita in parti uguali
sui due valori: p1 = p2 = 50%.
d) La varianza è nulla se e solo se la probabilità è concentrata in un
solo punto, quindi se p1 = 1 e p2 = 0, oppure in modo simmetrico
p1 = 0 e p2 = 1.
3.60 Sia dato il numero aleatorio continuo X che ha densità uniforme sull’intervallo [3; 5].
a) Calcolare il valore atteso E(X).
b) Calcolare la varianza e la deviazione standard di X.
Risposta. La densità di probabilità di X è:
f (x) =
1=2
0
3
x 5
altrove
R5 1
x dx = 4: è ovvio che se la distribuzione è
3 2
uniforme il valore atteso è il punto medio dell’intervallo [3; 5].
r
Z5
Z5
1
1 2
1 2
1
2
b) Var(X) =
x
4 dx =
x dx 4 = . (X) =
2
2
3
3
a) Risulta E (X) =
0:578.
3
3
146
Calcolo delle probabilità
3.61 Sia dato il numero aleatorio continuo X la cui funzione di
densità di probabilità è
8
0 x<1
< 0:5
0:25
1 x 3
f (x) =
:
0
altrove
a) Calcolare il valore atteso E(X).
b) Veri…care che E (X E (X)) = 0.
c) Calcolare la varianza e la deviazione standard di X.
Z1
Z3
1
Risposta. a) E(X) = 0:5x dx + 0:25x dx = + 1 = 1:25.
4
0
b) E (X
1
1:75
Z0:25
Z
1:25) =
0:5x dx +
0:25x dx =
1:25
c) Var(X) =
37
.
48
(X) =
Z1
0:5 (x
0
r
0:25
Z3
1:25)2 dx+
0:25 (x
3 3
+ = 0.
8 8
1:25)2 dx =
1
37
48
0:878.
3.62 Un numero aleatorio continuo X ha densità
f (x) =
ax2
0
0
x 1
altrove
a) Calcolare a.
b) Calcolare il valore atteso E(X).
c) Calcolare la probabilità che X sia minore di E(X).
d) Calcolare varianza e deviazione standard di X.
Risposta. a) Deve risultare
+1
Z
Z1
1
f (x) dx = ax2 dx = a = 1
3
1
0
da cui a = 3 e f (x) = 3x2 .
Z1
3
b) E(X) = 3x3 dx = .
4
0
c) Pr(X
Z3=4
3=4) = 3x2 dx = 27=64
0
42:2%.
31 43
+
=
96 96
Valore atteso, varianza, deviazione standard
d) Var(X) =
Z1
3x4
dx
3
4
147
2
= 3=80 = 0:0375.
(X) =
0
0:194.
r
3
80
3.63 Un numero aleatorio continuo X ha densità
8 a
>
1 x 2
< 3
x
f (x) =
>
:
0
altrove
a) Calcolare a.
b) Calcolare il valore atteso E (X) di X.
c) Calcolare la probabilità che X sia minore di E(X).
Risposta. a) Deve risultare
+1
Z
Z2
a
3
f (x) dx =
dx = a = 1
3
x
8
1
1
8
8
e f (x) = 3 in [1; 2].
3
3x
Z2
8
4
b) E (X) =
dx = .
2
3x
3
da cui a =
1
c) Pr (X
4=3) =
Z4=3
7
8
dx =
= 58:3%.
3
3x
12
1
3.64 Si considerino le due funzioni f (x) e g(x) rappresentate nei
gra…ci seguenti.
f .5
3
0
()1
x
g
2
a) Indichiamo con X e Y due numeri aleatori che abbiano come densità di probabilità rispettivamente f e g su [0; 1] e 0 altrove. Quanto
148
Calcolo delle probabilità
valgono E(X) e E(Y )?
b) Quale dei due numeri aleatori ha varianza maggiore?
Risposta. a) Poiché in entrambi i casi la densità di probabilità è
simmetrica rispetto a 1=2, risulta E(X) = E(Y ) = 1=2.
b) Il gra…co di f (x) mostra che la densità di probabilità di X aumenta allontanandosi dal valore atteso, mentre per g(x) accade il
contrario: la densità di Y è massima vicino a 1/2 e decresce …no a 0
allontanandosi. Dunque Var(X) > Var(Y ).
3.65 Sia dato il numero aleatorio discreto X che ha distribuzione
uniforme sui valori 1, 2, 3, 4, 5, cioè che ha funzione di probabilità
1
2
3
4
5
1=5 1=5 1=5 1=5 1=5
f (x) =
a) Calcolare il valore atteso di X.
b) Calcolare la varianza e la deviazione standard.
Risposta. a) Poiché la distribuzione è uniforme, E(X) è la media
aritmetica dei valori assunti da X:
1
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3
5
b) Var(X) = E X 2
p
(X) = 2 1:41.
3.12
2
E (X) =
1
(1 + 4 + 9 + 16 + 25)
5
9 = 2.
Funzioni di numeri aleatori
3.66 Un numero aleatorio X ha la seguente distribuzione
X
2
4
6
0:5 0:4 0:1
a) Calcolare E(X) e Var(X).
b) Sia u(x) = 3x + 10 e Y = u(X). Scrivere la distribuzione di Y .
c) Calcolare E(Y ) e Var(Y ).
Risposta. a) E(X) = 2 0:5 + 4 0:4 + 6 0:1 = 3:2. Var(X) =
4 0:5 + 16 0:4 + 36 0:1 3:22 = 1:76.
b) Risulta
16 22 28
Y
0:5 0:4 0:1
c) Poiché u(x) è lineare, risulta E(Y ) = 3 E(X) + 10 = 19:6 e
Var(Y ) = 9 Var(X) = 15:84.
Funzioni di numeri aleatori
149
3.67 Il danno aleatorio X causato ogni anno ad una compagnia
di assicurazioni da un certo cliente ha la seguente distribuzione di
probabilità.
0 1000 2000
X
0:9 0:08 0:02
a) Calcolare il danno atteso m.
b) Calcolare la deviazione standard del danno.
c) Calcolare la probabilità che la compagnia paghi 1200 euro; calcolare la probabilità che paghi più di 1200 euro.
d) Se la compagnia si impegna per contratto a pagare solo il 90% del
danno causato, qual è la distribuzione di Y , il numero aleatorio che
esprime il danno e¤ettivamente pagato dall’assicurazione? Calcolare
il valore atteso e la deviazione standard di Y .
Risposta. a) m = E(X) = 0 0:9 + 1000 0:08 + 2000 0:02 = 120.
b) Var(X) = 0 0:9 + 10002 0:08 + 20002 0:02 1202 = 145600.
(X) 382.
c) Pr (X = 1200) = 0. Pr (X > 1200) = 0:08 + 0:02 = 10%.
d) u(x) = 0:9x e quindi
0 900 1800
0:9 0:08 0:02
Y
d) E(Y ) = 0:9 E(X) = 108.
(Y ) = 0:9 (X) = 343:42.
3.68 Sia X un numero aleatorio discreto con la seguente distribuzione di probabilità.
X
1
2
5
0:7 0:2 0:1
e sia u (x) = x2 , Y = u(X).
a) Scrivere la distribuzione di Y .
b) Calcolare E(X) e E(Y ).
c) Risulta E(Y ) = E(X)2 : VERO o FALSO?
Risposta. a) Risulta
Y
1
4 25
0:7 0:2 0:1
b) E(X) = 1 0:7+2 0:2+5 0:1 = 1:6. E(Y ) = 1 0:7+4 0:2+25 0:1 = 4.
c) FALSO: 1:62 6= 4. In generale E (u (X)) 6= u (E (X)). L’uguaglianza vale sistematicamente se u(x) è lineare, cioè u(x) = ax + b.
150
Calcolo delle probabilità
3.69 Sia dato il numero aleatorio continuo X con funzione di densità
di probabilità
2x
0 x 1
f (x) =
0
altrove
e sia data la funzione u(x) = 3x + 2.
a) Calcolare il valore atteso di X e di Y = u(X).
b) Calcolare la varianza di X e di Y .
Risposta. a) Risulta
E (X) =
Z1
2x2 dx =
2
3
0
Ricordiamo che se Y = u (X) = aX + b allora E (Y ) = a E (X) + b.
Dunque
E (Y ) = 3 E (X) + 2 = 4
Z1
Z1
2 2
2 2
1
b) Var (X) =
x
2x dx = 2x3 dx
=
. Ri3
3
18
0
0
cordiamo che se Y = u (X) = aX + b allora Var (Y ) = a2 Var (X).
Dunque
1
1
Var (Y ) = 32
=
18
2
3.70 Il numero aleatorio X ha densità di probabilità
f (x) =
ax (1 x)
0
0
x 1
altrove
a) Calcolare a.
b) Calcolare il valore atteso E (X) di X.
c) Calcolare il valore atteso del numero aleatorio Y = 10X 4.
d) Calcolare il valore atteso del numero aleatorio Z = X 2 + 1.
Risposta. a) Per la condizione di normalizzazione deve risultare
Z1
ax (1
x) dx = 1
0
Poiché
Z1
0
ax (1
1
x) dx = a x
2
1 3
x
3
1
=a
0
1
2
1
3
1
= a
6
Vettori aleatori e covarianza
151
allora a = 6 e la densità di probabilità di X ha, tra 0 e 1, il gra…co
seguente.
0.5
0.8
0.6
2fx()10.4
.2
b) Poiché f è simmetrica rispetto a x = 1=2, non può che essere
E (X) = 1=2. Controlliamo:
E (X) =
Z1
6x2 (1
1 3
x
3
x) dx = 6
1 4
x
4
0
1
=6
0
1
3
1
4
=
1
2
c) Risulta
E (Y ) = E (10X
4) = 10 E (X)
4=1
d) Risulta
2
E (Z) = E X + 1 =
Z1
x2 + 1 6x (1
x) dx =
0
= 6 x3 + x
3.13
x4
x2
1
0
=
13
10
Vettori aleatori e covarianza
3.71 Si lanciano due monete. Sia
X = numero di teste (T)
Y = numero di variazioni (per esempio in TC c’è 1 variazione, in TT
non ci sono variazioni)
a) Costruire la funzione di probabilità congiunta del vettore aleatorio
X
Y .
b) X e Y sono indipendenti?
Risposta. a) Lo spazio dei risultati è
= fT T; T C; CT; CCg.
Le probabilità (congiunte e marginali) sono illustrate nella seguente
152
Calcolo delle probabilità
tabella a doppia entrata.
XnY
0
1
2
Pr (Y )
0
1=4
0
1=4
1=2
1
0
1=2
0
1=2
Pr (X)
1=4
1=2
1=4
1
b) X e Y non sono indipendenti. Per esempio Pr(X = 0 e Y =
1) = 0, Pr(X = 0) = 1=4, Pr(Y = 1) = 1=2, e quindi Pr(X = 0 e
Y = 1) 6= Pr(X = 0) Pr(Y = 1).
3.72 Si gioca alla roulette. Consideriamo lo spazio dei risultati
sempli…cato
= fR; N; 0g
che tiene conto solo del fatto che il numero uscito sia rosso, nero,
oppure lo 0 (che non è né rosso né nero). Il giocatore A punta 1 sul
Rosso, il giocatore B punta 1 sul numero 0. Se esce un numero rosso
A vince 1; se esce lo 0 B vince 35. Chi non vince perde la posta.
a) Indicati con X e Y i numeri aleatori che rappresentano le vincite (o
perdite) rispettivamente di A e B, scrivere il vettore aleatorio Z = X
Y
come come funzione da in R2 .
b) Calcolare il valore atteso di Z.
c) Scrivere il numero aleatorio XY come funzione da in R e calcolare la distribuzione di probabilità di XY .
d) Calcolare la covarianza di X e Y .
Risposta. a) Risulta
Z (R) =
1
1
,
b) Le distribuzioni di X
(
1
X
19
37
Z (N ) =
1
1
,
Z (0) =
1
35
e Y sono le seguenti:
(
1
1 35
Y
36 1
18
37
37 37
e dunque
E (X) =
E (Z) =
19 18
+
=
37 37
1=37
1=37
1
,
37
E (Y ) =
36 35
+
=
37 37
1
,
37
Vettori aleatori e covarianza
153
c) Risulta
XY (R) = X (R) Y (R) = 1
XY (N ) = X (N ) Y (N ) = 1
XY (0) = X (0) Y (0) = 35
e dunque
XY
8
>
<
1
1
35
>
: 18
37
18
37
1
37
d) Per la covarianza di X e Y risulta:
Cov (X; Y ) = E (XY ) E (X) E (Y ) =
35
37
1
=
372
1296
1369
0:947
3.73 Si consideri il vettore aleatorio Z = X
Y , di cui si conoscono
le distribuzioni delle singole componenti (distribuzioni di probabilità
marginali).
XnY
2
4
6 Pr (X)
1
0:7
3
0:3
Pr (Y ) 0:2 0:4 0:4
1
Supponiamo che X e Y siano ritenute indipendenti.
a) Calcolare le probabilità congiunte.
b) Calcolare F (2; 5), dove F (x; y) è la funzione di ripartizione del
vettore aleatorio, FX (2) e FY (5), dove FX (x) e FY (y) sono le funzioni
di ripartizione di X e Y . Veri…care che risulta F (2; 5) = FX (2)FY (5).
c) Calcolare il valore atteso E (Z) del vettore aleatorio.
d) Calcolare la distribuzione e il valore atteso del numero aleatorio
XY .
e) Veri…care che risulta Cov(X; Y ) = 0.
Risposta. a) Se X e Y sono ritenute indipendenti allora Pr(X = xi
e Y = yj ) = Pr(X = xi ) Pr(Y = yj ) per ogni i, j.
XnY
1
3
Pr (Y )
b) F (2; 5) = Pr (X
X
2 e Y
2
0:14
0:06
0:2
2eY
4
0:28
0:12
0:4
5).
6
0:28
0:12
0:4
Pr (X)
0:7
0:3
1
Osservando la tabella l’evento
1
1
5 si veri…ca per le coppie
o
, dunque
2
4
154
Calcolo delle probabilità
Pr (X 2 e Y
5) = 0:14 + 0:28 = 0:42 = F (2; 5). Il valore della
funzione di ripartizione di X calcolata in x = 2 è FX (2) = Pr (X 2) =
Pr (X = 1) = 0:7. Il valore della funzione di ripartizione di Y calcolata in y = 5 è FY (5) = Pr (Y
5) = Pr (Y = 2 o Y = 4) = 0:2+0:4 =
0:6. FX (2)FY (5) = 0:7 0:6 = 0:42 = F (2; 5).
c) Risulta E(X) = 0:7 + 0:9 = 1:6, E(Y ) = 0:4 + 1:6 + 2:4 = 4:4,
1:6
.
E (Z) =
4:4
d) La distribuzione di XY è la seguente.
XY
2
4
6
12
18
0:14 0:28 0:34 0:12 0:12
Dunque risulta E(XY ) = 2 0:14+4 0:28+6 0:34+12 0:12+18 0:12 =
7:04.
e) Cov(X; Y ) = E (XY ) E(X) E(Y ) = 7:04 1:6 4:4 = 0.
3.74 Si consideri il vettore aleatorio Z = X
Y . Si assegnano le distribuzioni marginali delle componenti (le stesse dell’es. precedente).
XnY
1
3
Pr (Y )
2
4
6
0:2
0:4
0:4
Pr (X)
0:7
0:3
1
a) Nell’ipotesi che Pr X = 1 e Y = 4) = 0:3 e Pr X = 3 e Y = 6) =
0:1, calcolare le altre probabilità congiunte. X e Y sono ritenute
indipendenti?
b) Calcolare E (Z): è lo stesso dell’esercizio precedente?
c) Calcolare Cov (X; Y ): è lo stesso dell’esercizio precedente?
Risposta. a) Se Pr X = 1 e Y = 4) = 0:3 allora necessariamente
Pr X = 3 e Y = 4) = 0:4 0:3 = 0:1. Ragionando in modo analogo
per le altre probabilità congiunte si completa la tabella.
XnY
1
3
Pr (Y )
2
0:1
0:1
0:2
4
0:3
0:1
0:4
6
0:3
0:1
0:4
Pr (X)
0:7
0:3
1
X e Y non sono ritenute indipendenti.
b) Il valore atteso di un vettore aleatorio non dipende dalla distribuzione della probabilità congiunta, ma solo dalle probabilità marginali delle singole componenti, dunque si ottiene lo stesso vettore
Vettori aleatori e covarianza
155
dell’esercizio precedente:
E (Z) =
E (X)
E (Y )
1:6
4:4
=
c) Invece E (XY ), e di conseguenza anche Cov (X; Y ), dipendono
dalle distribuzioni marginali. Infatti la distribuzione di E (XY ) è ora
la seguente:
2
4
6 12 18
XY
0:1 0:3 0:4 0:1 0:1
e dunque
Cov (X; Y ) = E (XY )
E (X) E (Y ) = 6:8
3.75 Del vettore aleatorio Z =
marginali delle componenti:
XnY
0
1
Pr (Y )
X
Y
7:04 =
0:24
sono assegnate le distribuzioni
0
1
0:3
0:7
Pr (X)
0:4
0:6
1
Indichiamo con a una delle quattro probabilità congiunte, per esempio a = Pr (X = 1 e Y = 1).
a) Calcolare E (X) e E (Y ).
b) Indichiamo con a una delle quattro probabilità congiunte, per
esempio a = Pr (X = 1 e Y = 1). Completare la tabella delle probabilità congiunte.
c) Per quale valore di a la covarianza del vettore aleatorio Z è minima? Per quale valore di a è massima?
d) Per quale valore di a risulta che X e Y sono indipendenti?
Risposta. a) Dai dati ricaviamo subito E (X) = 0:6 e E (Y ) = 0:7.
b) La tabella delle probabilità congiunte in funzione di a è la seguente:
XnY
0
1
Pr (Y )
0
a 0:3
0:6 a
0:3
1
0:7 a
a
0:7
Pr (X)
0:4
0:6
1
c) Risulta
Cov (X; Y ) = 1 1 a
0:6 0:7 = a
0:42
156
Calcolo delle probabilità
Poiché tutte le probabilità devono essere non negative, il sistema
8
a 0:3 0
>
>
<
0:7 a 0
> 0:6 a 0
>
:
a 0
fornisce l’informazione 0:3
covarianza minima:
a
0:6. Per a = 0:3 abbiamo la
Cov (X; Y ) = a
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0
0:3
0:3
0:42 =
1
0:4
0:3
0:7
0:12
Pr (X)
0:4
0:6
1
Per a = 0:6 abbiamo la covarianza massima
Cov (X; Y ) = a
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0:3
0
0:3
0:42 = 0:18
1
0:1
0:6
0:7
Pr (X)
0:4
0:6
1
d) X e Y sono indipendenti se e solo se a = 0:42.
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0:12
0:18
0:3
1
0:28
0:42
0:7
Pr (X)
0:4
0:6
1
3.76 Si consideri la funzione di probabilità congiunta del vettore
aleatorio Z = X
Y :
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0:2
0
1
0:2
0:4
2
0
0:2
Pr (X)
a) Calcolare le distribuzioni di probabilità marginali di X e Y .
b) Calcolare il vettore atteso E (Z).
Vettori aleatori e covarianza
157
c) Calcolare la matrice varianze-covarianze del vettore aleatorio.
d) X e Y sono indipendenti?
Risposta. a) La tabella a doppia entrata completa è la seguente.
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0:2
0
0:2
1
0:2
0:4
0:6
2
0
0:2
0:2
Pr (X)
0:4
0:6
1
b) Risulta E (X) = 0:6, E (Y ) = 1, dunque
E (Z) =
0:6
1
c) Risulta Var (X) = 0:6 0:36 = 0:24, Var (Y ) = 1:4 1 = 0:4,
Cov (X; Y ) = E (XY ) 0:6 1 = 1 0:4 + 2 0:2 0:6 = 0:2. La
matrice varianze-covarianze del vettore aleatorio Z è la seguente.
X
=
0:24 0:2
0:2 0:4
d) X e Y non sono indipendenti; se lo fossero risulterebbe
Cov (X; Y ) = 0:
3.77 Si considerino due titoli che a scadenza hanno valori aleatori
X e Y con le seguenti distribuzioni.
X
1000 1200
0:7
0:3
Y
600 700
0:6 0:4
Si stima che sia nulla la probabilità che X e Y abbiano entrambe
valore massimo.
a) Calcolare la distribuzione di probabilità congiunta del vettore
aleatorio Z = X
Y .
b) Calcolare la probabilità condizionata Pr (Y = 600jX = 1000).
c) Calcolare E(Z).
d) Calcolare il valore atteso e la varianza del portafoglio costituito da
10 unità del titolo X e 15 del titolo Y .
Risposta. a) Per ipotesi Pr (X = 1200 e Y = 700) = 0. Questa
informazione ci permette di completare in modo univoco la tabella a
158
Calcolo delle probabilità
doppia entrata che dà la probabilità congiunta.
XnY
1000
1200
Pr (Y )
600
0:3
0:3
0:6
700
0:4
0
0:4
Pr (X)
0:7
0:3
1
b)
Pr (Y = 600jX = 1000) =
Pr (Y = 600 e X = 1000)
0:3
=
Pr (X = 1000)
0:7
0:429:
1060
.
640
d) E(10X + 15Y ) = 10 E(X) + 15 E(Y ) = 10600 + 9600 = 20200.
Var (10X + 15Y ) = 100 Var (X)+225 Var (Y )+300 Cov (X; Y ). Dato
che Var (X) = 8400, Var (Y ) = 2400, Cov (X; Y ) = 2400, risulta
Var (10X + 15Y ) = 660000.
c) E (Z) =
3.78 Data la seguente tabella a doppia entrata
XnY
2
4
1
0:4
0
3
0
0:3
5
0:1
0:2
a) Calcolare la funzione di probabilità del numero aleatorio Z = XY .
b) E(XY ) = E(X) E(Y ). VERO o FALSO?
c) Calcolare la funzione di probabilità del numero aleatorio W =
X +Y.
d) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). VERO o FALSO?
Risposta. a) Poiché Pr (X = 2 e Y = 3) = Pr (X = 4 e Y = 1) = 0,
risulta
2 10 12 20
XY
0:4 0:1 0:3 0:2
b) FALSO. Risulta E(XY ) = 2 0:4 + 10 0:1 + 12 0:3 + 20 0:2 = 9:4.
Completiamo la tabella con le probabilità marginali.
XnY
2
4
Pr (Y )
1
0:4
0
0:4
3
0
0:3
0:3
5
0:1
0:2
0:3
Pr (X)
0:5
0:5
1
Vettori aleatori e covarianza
159
Risulta quindi E(X) = 3, E(Y ) = 2:8, E(X) E(Y ) = 8:4 6= E(XY ).
c) Poiché Pr (X + Y = 5) = 0, risulta
3
7
9
0:4 0:4 0:2
X +Y
d) VERO. E (X + Y ) = 1:2 + 2:8 + 1:8 = 5:8 = E (X) + E (Y ).
3.79 Si considerino i due numeri aleatori X e Y che hanno la
seguente distribuzione di probabilità congiunta.
XnY
0
1
Pr (Y )
0
0:1
0:2
0:3
1
0:3
0:1
0:4
2
0:1
0:2
0:3
Pr (X)
0:5
0:5
1
Veri…care che Cov(X; Y ) = 0, ma X e Y non sono indipendenti.
Risposta. E(X) = 0:5, E(Y ) = 1, E(XY ) = 0:1 + 0:4 = 0:5.
Cov(X; Y ) = E(XY ) E(X) E(Y ) = 0. Tuttavia X e Y non sono
indipendenti: si osserva che, ad esempio, Pr X = 0 e Y = 0) = 0:1
mentre Pr X = 0) Pr Y = 0) = 0:15.
3.80 Si consideri la seguente distribuzione di probabilità congiunta.
XnY
2
4
1
0:4
0:2
3
0:3
0:1
a) Calcolare E(X), E(Y ).
b) Calcolare la funzione di ripartizione del numero aleatorio W =
2X + 3Y .
c) Veri…care che risulta E(W ) = 2 E(X) + 3 E(Y ).
d) Calcolare Var (X), Var (Y ), Var(W ), Cov(X; Y ).
e) Veri…care che risulta Var(2X + 3Y ) = 4 Var(X) + 9 Var(Y ) +
12 Cov(X; Y ).
Risposta. a) Completiamo la tabella con le probabilità marginali.
XnY
2
4
Pr (Y )
1
0:4
0:2
0:6
3
0:3
0:1
0:4
Pr (X)
0:7
0:3
1
Risulta E(X) = 1:4 + 1:2 = 2:6, E(Y ) = 0:6 + 1:2 = 1:8.
b) Risulta
W = 2X + 3Y
7 11 13 17
0:4 0:2 0:3 0:1
160
Calcolo delle probabilità
c) E(W ) = 2:8 + 2:2 + 3:9 + 1:7 = 10:6; 2 E(X) + 3 E(Y ) = 5:2 + 5:4 =
10:6.
d) Var (X) = 0:84; Var (Y ) = 0:96; Var(W ) = 123:4 10:62 = 11:04.
Cov(X; Y ) = E (XY ) E (X) E (Y ) = 4:6 4:68 = 0:08.
e)
Var (W ) = Var(2X + 3Y ) =
= 4 Var(X) + 9 Var(Y ) + 2 2 3 Cov(X; Y ) = 11:04: