TestAnalisiGeometria - Facolta di Ingegneria

Domande di “Analisi Matematica” tratte dai
Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi.
(1) Sia A l’insieme dei numeri dispari minori di 56 e divisibili per 3. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
(a) L’insieme A è vuoto.
(b) L’insieme A contiene esattamente 9 elementi.
(c) 11 ∈ A.
(d) 3 6∈ A.
(e) Gli elementi di A sono tutti numeri primi.
log2 (1 + x)
=1
(2) Risulta
log2 x
(a) Per nessun valore di x.
(b) Se e solo se x > 1.
(c) Per x = 1.
(d) Per ogni valore di x.
(e) Se e solo se 0 < x < 1.
r
1
(3) Per 0 ≤ x ≤ 2π l’insieme di definizione della funzione f (x) =
è
cos x − sin x
(a) Formato da un solo elemento.
(b) Tutto l’intervallo [0, 2π].
(c) [0, π4 [∪] 5π
4 , 2π].
(d) Formato da un numero infinito di numeri reali ma non da tutto l’intervallo [0, 2π].
(e) L’insieme vuoto.
1
(4) Dati due numeri reali x, y diversi da zero si ha (2x+y · 2−y ) xy =
(a) 2x · 2y .
(b) 2x+y .
x+y
(c) 2 y .
1
(d) 2 y .
(e) Non ha senso.
(5) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x3 + 2x ≤ 0.
(a) Per nessuna x.
(b) È soddisfatta per x ≤ 0.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x ≤ −2.
(e) È soddisfatta per x = −2 o x = 2.
√
(6) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione 3 x2 + 2x ≤ x.
(a) È soddisfatta per x < −1 o per 0 < x < 1.
(b) È soddisfatta per −1 ≤ x ≤ 0 o per x ≥ 2.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x > −1.
(e) È soddisfatta per x > 2.
2
(7) Determinare per quali valori di x è soddisfatta l’ equazione 4x −1 = 1.
(a) È soddisfatta per x = 1 o per x = −1.
(b) Per nessuna x.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x = 1.
1
2
√
(e) È soddisfatta per x = 2.
(8) Se arctan x ∈] − π4 , 0[, allora
(a) Si ha −1 < x < 0.
(b) Si ha − 14 < x < 0.
(c) Si ha x < 0.
(d) Non esiste alcun valore di x.
(e) Si ha x > 0.
(9) Dato il numero reale x 6= 1, l’espressione
10
X
xk = 1 + x + x2 + x3 + . . . + x10 è uguale a
k=0
(a) x11 .
(b) 11x5 .
(c) Non ha senso.
1 − x11
.
(d)
1−x
(e) 1 − x10 .
(10) L’insieme di definizione della funzione f (x) = sin
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
x+2
x+1
è
(a) R.
(b) ] − ∞, −1[∪] − 1, +∞[.
(c) R \ {0}.
(d) ]0, +∞[.
(e) ∅.
La scomposizione in fattori del polinomio (x3 + y 3 )2 è
(a) (x + y)2 (x2 − y 2 ).
(b) (x + y)2 (x2 − xy + y 2 )2 .
(c) (x − y)3 (x2 + y 2 ).
(d) Impossibile.
(e) (x − y)3 (x + y 2 ).
Risulta 2 log3 (1 + x) = log3 (1 + |x|)
(a) Se e solo se x = 0.
(b) Se e solo se x > 0.
(c) Per nessun valore di x.
(d) Per ogni valore di x.
(e) Se e solo se x < 1.
p
Per 0 ≤ x ≤ 2π l’insieme di definizione della funzione f (x) = (cos x)2 − 1 è
(a) Formato da un solo elemento.
(b) Tutto l’intervallo [0, 2π].
(c) Formato solo dai numeri 0, π, 2π.
(d) Formato da un numero infinito di numeri reali ma non da tutto l’intervallo [0, 2π].
(e) L’insieme vuoto.
1
Dati due numeri reali x, y diversi da zero si ha (3xy · 3y ) xy =
(a) 3x · 3y .
(b) 3x+y .
x+y
(c) 3 y .
x+1
(d) 3 x .
(e) Non ha senso.
Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x3 + 2x ≤ 0.
(a) Per nessuna x.
3
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(b) È soddisfatta per x ≤ 0.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x ≤ −2.
(e) È soddisfatta per x = −2 o x = 2.
√
Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione 3 x2 + 2x ≤ x.
(a) È soddisfatta per x < −1 o per 0 < x < 1.
(b) È soddisfatta per −1 ≤ x ≤ 0 o per x ≥ 2.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x > −1.
(e) È soddisfatta per x > 2.
√
Determinare per quali valori di x è soddisfatta l’ equazione 3 x2 + 2x = x.
(a) È soddisfatta per x = −1 o per x = 0 o per x = 2.
(b) Per nessuna x.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x = −1.
(e) È soddisfatta per x = 2.
Se log(1 + x) ∈]0, 1[, allora
(a) Si ha −1 < x < 0.
(b) Si ha 0 < x < e.
(c) Si ha 0 < x < e − 1.
(d) Non esiste alcun valore di x.
(e) Si ha x > 0.
sin 2x
Dato il numero reale x, l’espressione
è uguale a
1 − cos 2x
(a) 1.
cos x
(b)
.
sin x
(c) Non ha senso.
1
(d)
.
2 sin x
sin x
.
(e)
cos x
x+1
L’insieme di definizione della funzione f (x) = log
è
x−1
(a) R \ {1}.
(b) ] − ∞, −1[∪]1, +∞[.
(c) R \ {0}.
(d) ]0, +∞[.
(e) ∅.
La scomposizione in fattori del polinomio x4 + 2x2 + 1 è
(a) (x + 1)2 (x − 1)2 .
(b) (x2 + 1)2 .
(c) (x2 + 1)(x2 − 1).
(d) Impossibile.
(e) (x − 1)2 (x2 + 1).
Posto
A = 210000 ,
B = 10001000 ,
determinare le disuguaglianze corrette
C = 83339 ,
D = 322001
4
(23)
(24)
(25)
(26)
(a) A < D < C < B.
(b) A < B < C < D.
(c) B < A < D < C.
(d) D < C < A < B.
(e) C < D < B < A.
La diseguaglianza (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 è verificata se e solo se:
(a) x > 3.
(b) x 6= 1, 2, 3.
(c) x > 1.
(d) x < 1 oppure x > 3.
(e) 1 < x < 2 oppure x > 3.
L’equazione log 14 x = 21 ha soluzione uguale a
(a) 14 .
(b) Non ha soluzione.
(c) 2.
(d) − 12 .
(e) 12 .
Stabilire quante soluzioni reali ha l’equazione nell’incognita x: x(x2 − 200) = x(x2 − x).
(a) Una.
(b) Due.
(c) Non è mai soddisfatta.
(d) Tre.
(e) Infinite.
4−x
Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione
< 2.
x
4
(a) È soddisfatta per x > 3 .
(b) È soddisfatta per x < 0 oppure x > 34 .
(c) È soddisfatta per x > 4.
(d) Non è mai soddisfatta.
(e) È soddisfatta per ogni x 6= 0.
(27) Il dominio di definizione della funzione log
x−1
x+1
− 2 è
(a) ]0, +∞[.
(b) ]2, +∞[.
(c) ] − 3, −1[.
(d) ] − ∞, −1[.
(e) ∅.
(28) Se un angolo misura 16o sessagesimali, allora la sua misura in radianti α verifica:
(a) α < 14 .
(b) 12 < α < 1.
(c) 14 < α < 22
75 .
(d) α è un numero razionale.
(e) α = 0.2791.
(29) La media aritmetica dei numeri a, b e c è 25. Se d = 5, qual è la media aritmetica dei
numeri a, b, c e d?
(a) 10.
(b) 20.
(c) 12, 5.
5
(d) 15.
(e) 7, 5.
(30) Sia A l’insieme dei numeri dispari minori di 52 e divisibili per 5. Quale delle seguenti
affermazioni è vera?
(a) L’insieme A è vuoto.
(b) L’insieme A contiene 5 elementi.
(c) 20 ∈ A.
(d) 15 6∈ A.
(e) Gli elementi di A sono tutti numeri primi minori di 52.
(31) La scomposizione in fattori del polinomio x4 − 2x2 + 1 è
(a) (x + 1)2 (x − 1).
(b) (x − 1)2 (x + 1)2 .
(c) (x2 + 1)2 .
(d) Impossibile.
(e) (x − 1)2 (x + 1).
2
(32) Risulta 31+x = 91−|x|
(a) Se e solo se x = −1.
(b) Se e solo se x > 0.
√
√
(c) Se e solo se x = −1 + 2 o x = 1 − 2.
(d) Per ogni valore di x.
(e) Se e solo se x < 1.
1
(33) Per 0 ≤ x ≤ π l’insieme di definizione della funzione f (x) =
è
tan x − 1
(a) Formato da un solo elemento.
(b) Tutto l’intervallo [0, π].
(c) Formato solo dai numeri 0, π.
(d) Formato da un numero finito di numeri reali.
(e) L’insieme [0, π] \ { π4 , π2 }.
q
(34) Il numero 4 √8164 è uguale a
(a)
(b)
(c)
(d)
2
3.
9
8.
3
√
.
2 2
√3 .
8
√
3 4
2 2.
(e)
(35) L’equazione sin 2x = 2 sin x è verificata se e solo se
(a) cos x = 1.
(b) x = kπ con k ∈ Z.
(c) Non è mai soddisfatta.
(d) x = π2 + kπ con k ∈ Z.
(e) È soddisfatta per ogni x ∈ R.
√
(36) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x − 1 ≤ x2 − 1.
(a) È soddisfatta per x ≤ −1.
(b) È soddisfatta per x ≤ −1 oppure x ≥ 1.
(c) È soddisfatta per x ≥ 1.
(d) Non è mai soddisfatta.
(e) È soddisfatta per x ≥ 2.
6
(37) Il dominio di definizione della funzione log
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
x+1
x+2
− 2 è
(a) ]0, +∞[.
(b) ]2, +∞[.
(c) ] − 3, −2[.
(d) ] − ∞, −2[.
(e) ∅.
Se e1+x ∈]1, 2[, allora
(a) Si ha −1 < x < 0.
(b) Si ha 0 < x < 1.
(c) Si ha −1 < x < log 2 − 1.
(d) Non esiste alcun valore di x.
(e) Si ha x > 0.
Il numero log2 48 è uguale a
(a) 5.
(b) 4 + log2 3.
(c) 4 log2 3.
(d) 24.
(e) 96.
L’espressione (2n + 2n+1 )2 , con n intero positivo, è uguale a
(a) 4n + 4n+1 .
(b) 9 · 4n .
2
(c) 4n +n .
4n+2
(d) 2
.
(e) 42n+2 .
La scomposizione in fattori del polinomio x3 + 3x2 + 3x + 1 è
(a) (x + 1)2 (x + 2).
(b) (x + 1)3 .
(c) (x − 1)3 .
(d) Impossibile.
(e) (x − 1)3 (x + 1).
Risulta 31+x = 91−|x|
(a) Se e solo se x = −1.
(b) Se e solo se x > 0.
(c) Se e solo se x = −1 o x = 1/3.
(d) Per ogni valore di x.
(e) Se e solo se x < 1.
(43) Per 0 ≤ x ≤ 2π l’insieme di definizione della funzione f (x) =
1
è
2 sin x − 1
(a) Formato da un solo elemento.
(b) Tutto l’intervallo [0, 2π].
(c) Formato solo dai numeri 0, π, 2π.
(d) Formato da un numero finito di numeri reali.
(e) L’insieme [0, 2π] \ { π6 , 5π
6 }.
(44) Dati due numeri reali x, y maggiori di zero si ha log(x2 y) − 3 log y =
(a) 6 log(x · y).
(b) log(x + y).
(c) log(2x · 3y ).
7
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
x
(d) 2 log .
y
(e) Non ha senso.
Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x3 + x2 − 2x > 0.
(a) Per nessuna x.
(b) È soddisfatta per x > 1.
(c) È soddisfatta per −2 < x < 0 o per x > 1.
(d) È soddisfatta per x < −2.
(e) È soddisfatta per x < −2 o per x > 1.
Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione log2 (x + 1) ≤ 3.
(a) È soddisfatta per x > 0.
(b) È soddisfatta per −1 < x ≤ 7.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) Non è mai soddisfatta.
(e) È soddisfatta per x > 2.
√
Determinare per quali valori di x è soddisfatta l’ equazione x2 + 2 = x − 1.
(a) Non è mai soddisfatta.
(b) È soddisfatta per x = 0.
(c) È sempre soddisfatta.
(d) È soddisfatta per x = − 21 .
(e) È soddisfatta per x = 2.
Se e1+x ∈]0, 1[, allora
(a) Si ha −1 < x < 0.
(b) Si ha 0 < x < e.
(c) Si ha x < −1.
(d) Non esiste alcun valore di x.
(e) Si ha x > 0.
Sia A l’insieme dei numeri razionali che soddisfano l’equazione x3 − 2x2 + 1 = 0. Quale
delle seguenti espressioni è vera?
(a) L’insieme A è vuoto.
(b) A = {1}.
(c) 1 6∈√A.
(d) 1+2 5 ∈ A.
√
√
(e) A = { 1+2 5 , 1−2 5 , 1}.
L’insieme di definizione della funzione f (x) = log |x + 1| è
(a) R.
(b) ] − ∞, −1[∪] − 1, +∞[.
(c) R \ {0}.
(d) ]0, +∞[.
(e) ∅.
8
Domande di “Algebra e Geometria” tratte dai
Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi.
(1) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z

 2x + y = 1
z=2

4x + 2y = 2
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ha
(a) una sola soluzione.
(b) solo soluzioni positive.
(c) tre soluzioni.
(d) nessuna soluzione.
(e) infinite soluzioni.
La retta r e il piano α siano perpendicolari. Il luogo dei punti dello spazio a distanza fissata
d(> 0) da r e da α è
(a) una sfera
(b) una circonferenza
(c) due circonferenze
(d) un cilindro
(e) un cono
Il resto della divisione del polinomio x4 + 1 per il polinomio x2 + 1 è
(a) 2
(b) 0
(c) x − 1
(d) x + 1
(e) 1
Nel piano cartesiano Oxy si considerino il punt P (1, −3) e la retta r di equazione y = x.
Il simmetrico P 0 di P rispetto ad r (nella simmetria ortogonale) è
(a) (−3, −1).
(b) (−3, 1).
(c) (−1, 3).
(d) (−1, −3).
(e) (3, −1).
Siano r ed s due rette sghembe, R1 e R2 due punti distinti di r e S1 e S2 due punti distinti
di s. Allora le rette R1 S1 e R2 S2 sono
(a) parallele.
(b) incidenti.
(c) sghembe.
(d) complanari.
(e) ortogonali.
Il pavimento di una stanza di 5, 1m × 9, 6m deve essere rivestito di mattonelle di ceramica
quadrate di lato 4dm. Quante mattonelle (intere) occorre acquistare per pavimentare la
stanza?
(a) 306.
(b) 300.
(c) 288.
(d) 312.
(e) 315.
9
(7) Si consideri l’equazione x3 + 1 = 0. Le sue radici (nel campo complesso) sono
(a) x = 1 ed x = −1 contata due volte.
(b) x = −1 ed x = 1 contata due volte.
(c) x = −1 contata tre volte.
(d) x = −1 e x = ±i.
(e) nessuna delle precedenti.
(8) Fissati due punti M ed N dello spazio, il luogo dei punti P dello spazio tali che il triangolo
M N P sia rettangolo in P è
(a) l’insieme vuoto.
(b) due punti.
(c) una circonferenza.
(d) una sfera.
(e) un cono.
(9) Nello spazio ordinario siano dati tre punti M, N, R non allineati. Quante sono le circonferenze passanti per i tre punti?
(a) 3.
(b) 2.
(c) 1.
(d) 0.
(e) infinite.
(10) Le seguenti curve
E : 3x2 + y 2 = 1,
P : y = 2x2 − 1
hanno in comune
(a) 4 punti distinti.
(b) 3 punti distinti.
(c) 2 punti distinti.
(d) un punto con molteplicità 4.
(e) nessun punto.
(11) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z

 x + 2y = 1
z=2

2x + 4y = −2
ha
(a) una sola soluzione.
(b) solo soluzioni positive.
(c) tre soluzioni.
(d) nessuna soluzione.
(e) infinite soluzioni.
(12) Siano A e B due punti del piano (per es. A(0, 0) e B(0, 1)). Il luogo geometrico dei punti P
del piano che verificano la condizione |P A| = 2|P B|, dove il simbolo |...| indica la lunghzza
del segmento, è
(a) una parabola
(b) una circonferenza
(c) una retta
(d) un’iperbole
(e) un poligono
(13) Si consideri l’equazione x3 − 1 = 0. Le sue radici (nel campo complesso) sono
10
(a) x = 1 e x = −1 contata due volte.
(b) x = 1 contata tre volte.
(c) x − 1 e x = ±i.
(d) x = −1 e x = 1 contata due volte.
(e) nessuna delle precedenti.
(14) Nel piano cartesiano Oxy si considerino le rette r1 e r2 aventi equazioni
r1 : a1 x + b1 y = c1 ,
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
r2 : a2 x + b2 y = c2 .
Esse sono perpendicolari se
(a) a1 b1 c1 = −a2 b2 c2 .
(b) −a1 a2 = b1 b2 .
(c) a1 b2 = −a2 b1 .
(d) a1 b2 = a2 b1 .
(e) a1 c1 = −a2 c2 .
Siano A, B, C, D i vertici di un quadrato. Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da
A, B, C, D è
(a) l’unione di due piani.
(b) l’unione di quattro sfere.
(c) una retta.
(d) due rette.
(e) quattro punti.
Un foglio di carta quadrato viene piegato in due parti uguali in modo da formare due
rettangoli sovrapposti. Sapendo che il perimetro del rettangolo è 12cm, qual è l’area del
quadrato originario?
(a) 9cm2 .
(b) 4cm2 .
(c) 8cm2 .
(d) 16cm2 .
(e) 25cm2 .
Se i lati di un triangolo misurano 6cm, 12cm, e 5cm, allora il triangolo
(a) è acutangolo.
(b) è equiangolo.
(c) è rettangolo.
(d) è scaleno.
(e) non può esistere.
Se si taglia un cubo con un piano, allora la sezione non può essere
(a) un triangolo.
(b) un rettangolo.
(c) un pentagono.
(d) un esagono.
(e) un ottagono.
Il resto della divisione del polinomio x4 + 1 per il polinomio x3 + 1 è
(a) 0.
(b) 2.
(c) 1 − x.
(d) x + 1.
(e) 1.
Le seguenti curve
E : 3x2 + y 2 = 1,
P : y = 2x2 − 1
11
hanno in comune
(a) 4 punti distinti.
(b) 3 punti distinti.
(c) 2 punti distinti.
(d) un punto contato quattro volte.
(e) nessun punto.
(21) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z

 x+y+z =0
x+y−z =0

2x + 2y − 2z = 2
ha
(a) una sola soluzione.
(b) solo soluzioni positive.
(c) tre soluzioni.
(d) nessuna soluzione.
(e) infinite soluzioni.
(22) Quale delle seguenti affermazioni è quella vera?
(a) La somma di più vettori può essere nulla.
(b) Il modulo della somma di due vettori è sempre maggiore del modulo dei singoli vettori.
(c) La differenza di due vettori può avere modulo negativo.
(d) Il modulo della differenza di due vettori è sempre minore del modulo dei singoli vettori.
(e) Il modulo della somma di due vettori è sempre uguale alla somma dei moduli dei due
vettori.
(23) L’equazione (x + 1)3 = x3 + 1
(a) non ha soluzioni.
(b) ha una sola soluzione.
(c) ha due soluzioni.
(d) ha tre soluzioni.
(e) ha infinite soluzioni.
(24) Nel piano cartesiano Oxy si consideri la circonferenza C di equazione
x2 + y 2 − 4x − 6y + 12 = 0.
Il punto P (0, 3)
(a) è interno a C.
(b) è esterno a C.
(c) appartiene a C.
(d) la distanza di P da C è uguale a 3.
(e) la distanza di P da C è uguale a 2.
(25) Il luogo dei punti equidistanti da una retta nello spazio è
(a) un piano parallelo alla retta.
(b) l’unione di due sfere.
(c) un cilindro rotondo.
(d) un cono rotondo.
(e) un prisma infinito.
(26) Un foglio di carta rettangolare viene piegato in modo da ottenere due rettangoli uguali
(sovrapponibili). Se vogliamo che il rapporto a/b (con a > b) tra i lati del rettangolo
originario sia uguale a quello dei lati dei rettangoli ottenuti, allora a/b è uguale a
12
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1/2.
2.
√
2.
1,
√ 5.
3.
(27) Si considerino una sfera di raggio R e un cilindro rotondo di raggio r < R. L’intersezione
tra le due superfici, se non è vuota, è
(a) una circonferenza.
(b) due circonferenze .
(c) può essere una circonferenza.
(d) può essere due circonferenze.
(e) può essere una parabola.
(28) Se r
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ed s
r ed
r ed
r ed
r ed
r ed
sono due rette dello spazio che non hanno alcun punto in comune, allora
s sono complanari.
s sono parallele.
s non sono complanari.
s sono sghembe.
s possono essere parallele.
(29) Il resto della divisione del polinomio x5 + 1 per il polinomio x2 + 1 è
(a) 1.
(b) −1.
(c) 1 − x.
(d) x + 1.
(e) x3 − x.
(30) Le seguenti curve
E : 3x2 + y 2 = 1,
hanno in comune
(a) 4 punti distinti.
(b) 3 punti distinti.
(c) 2 punti distinti.
(d) un punto contato quattro volte.
(e) nessun punto.
P : y = 2x2 − 2