Gravitazione universale

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Gravitazione universale
01 - Gravitazione universale.
Newton scoprì la legge della gravitazione universale attorno alla metà del '600. Si dice che egli
fosse rifugiato in campagna durante una epidemia di peste e che un giorno, dalla caduta di una
mela,
egli intuisse l'universalità della forza di gravità.
La rivoluzione copernicana stava producendo una profonda trasformazione in tutti i campi del
sapere umano. Ad un tratto non era più la terra al centro dell'universo, ma tutto orbitava attorno
al sole. Certe affermazioni della Bibbia erano da questa teoria messe in discussione e soprattutto
la "posizione" dell'uomo, come centro del creato, era ridimensionata.
L'ipotesi copernicana, infine, "costringeva" gli scienziati a chiedersi perché i corpi ruotassero
attorno
al sole, in quanto la filosofia di Aristotele non era più sufficiente a soddisfare questi interrogativi.
Si
cominciava a ricercare il "perché scientifico" della cose, si iniziava a produrre teorie scientifiche
che,
tramite il linguaggio della matematica, fossero in grado di essere verificate dalle osservazioni e
dagli
esperimenti secondo il nuovo modo di "pensare la natura" introdotto da Galileo.
Newton pubblicò (nel 1686) le sue scoperte sulla gravità, assieme ai principi della meccanica, in un
testo fondamentale per il pensiero scientifico, solo dopo una ventina d'anni da quelle intuizioni.
Non
si sa se la storia della mela sia vera o no, ma sicuramente è verosimile.
Se la mela cade, per il principio d'inerzia (già scoperto da Galileo), una forza deve agire su di essa,
se
no essa dovrebbe permanere nel suo stato di quiete. Anche la luna, per ruotare attorno alla terra,
deve
risentire dell'azione di una forza (centripeta) che le fa compiere un moto circolare (non rettilineo
uniforme).
Newton intuì che la forza che fa cadere la mela è la stessa che fa ruotare la luna attorno alla
terra !
Newton scoprì che la forza gravitazionale è una forza universale, che agisce qui sulla terra e fuori
da
essa, in ogni luogo dell'universo. La fisica di Aristotele distingueva invece fra la terra ed il cielo e
proponeva
due "modelli" diversi. I "corpi terrestri", "corruttibili", cadendo, tendevano a ricongiungersi alla
terra che li
aveva generati. I "corpi celesti", invece, essendo "incorruttibili", ruotavano su orbite "perfette"
(circolari)
attorno alla terra.
Newton, invece, tramite il metodo scientifico, con esperimenti ed osservazioni, trova una formula
matematica in grado di spiegare i fenomeni "terrestri" così come quelli "celesti".
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La formula della gravitazione universale di Newton afferma essenzialmente che la forza
gravitazionale fra
due corpi è direttamente proporzionale alle masse dei due corpi ed inversamente proporzionale
al
quadrato della distanza fra essi.
Anche Hooke aveva intuito la natura della gravitazione (prima di Newton !) ma non era giunto ad
una
sua formulazione matematica esatta. Newton, pur essendo a conoscenza delle scoperte di Hooke,
non
ne fece mai menzione nei suoi scritti e per questo i rapporti fra i due scienziati deteriorarono presto
(Newton era noto anche per il suo ... caratteraccio).
La teoria della gravitazione universale di Newton rappresenta il primo grande esempio di
unificazione
delle leggi fisiche della storia :
tutti i fenomeni gravitazionali presenti nell'universo vengono spiegati con una semplice
formula !!!
La caduta dei gravi qui sulla terra, il moto della luna e dei pianeti attorno al sole, il moto delle
stelle, tutti
questi fenomeni sono descritti con grande precisione da una semplice formula !
I viaggi spaziali, poi, qualcuno ha detto, sono una "applicazione" tecnologica della formula di
Newton !
02 - Formulazione matematica della forza di gravità.
Consideriamo due corpi materiali, che per semplicità considereremo sferici ed omogenei, di
massa
e
, posti ad una distanza d fra i loro centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con i
loro centri di massa o baricentri, punti in cui si può considerare concentrata tutta la massa dei
corpi) :
La formula matematica che descrivere la forza di gravità che si instaura fra due corpi è :
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dove F è la forza di gravità e G è la cosiddetta costante di gravitazione universale.
Come abbiamo già affermato, questa forza è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed
inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra essi.
Il fatto che la forza di gravità è proporzionale alle masse, significa che, per esempio, raddoppiando
una
di esse, la forza raddoppia.
Il fatto che la forza di gravità è inversamente proporzionale a quadrato della distanza, significa che
se,
per esempio, la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto.
03 - Costante di gravitazione universale.
La costante di gravitazione universale G vale, nel sistema di misura internazionale (S.I.) circa,
e si misura in
(ovvero newton per metro quadro fratto chilogrammo quadro).
Il motivo di questa "strana" unità di misura è molto semplice. Esprimendo la formula di Newton
nelle
unità di misura corrispondenti alle grandezze in gioco, si ottiene :
.
Sostituendo poi l'unità di misura di G definita sopra si ha :
da cui, semplificando, si ottiene l'identità N = N (newton = newton) come deve essere.
La costante G è una costante molto piccola che vale in tutto l'universo ed il cui valore può essere
ricavato
in molti modi (osservando il moto dei corpi celesti, per esempio, ma anche con misure fatte sulla
terra).
Una delle misure terrestri "classiche" di essa è stata eseguita da Cavendish (1798) usando un
pendolo a
torsione.
Si tratta di un filo appeso che viene fatto ruotare dall'azione della forza di gravità fra masse
applicate
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alla sua estremità e masse fisse. Il filo, ruotando, si oppone con una forza di reazione alla debole
forza
gravitazionale fra le masse. Questa forza può essere misurata facilmente conoscendo le proprietà
di
torsione del filo.
Usando poi la formula della forza gravitazionale, si ricava direttamente G .
04 - Esempio di applicazione della legge di gravitazione universale.
Consideriamo un corpo di 70 kg e chiediamoci con quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è
attratto dalla terra.
Sia m la massa del corpo (pari a 70 kg ) e sia M la massa della terra (pari a circa
Sia R il raggio terrestre (circa
kg ).
m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :
(mettiamo alla fine le unità di misura).
Eseguiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze (ed usando la notazione scientifica,
che
consiste nell'utilizzare le potenze di 10 e di esprimere ogni numero in unità seguite dalla parte
decimale ) :
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.
Abbiamo così calcolato la forza (in newton) con cui questo corpo di 70 kg è attratto dalla terra
utilizzando
la legge della gravitazione universale, la stessa che agisce fra stelle, pianeti, ovunque.
Come possiamo verificare l'esattezza di questo risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla
superficie
terrestre, cade con la stessa accelerazione che è indipendente dalla massa del corpo (consideriamo
l'attrito
con l'aria trascurabile). Questa accelerazione, detta accelerazione di gravita, è denominata con g
e vale
circa 9,81 m/s² (la si può misurare direttamente con tutta la precisione che si vuole)
Per la seconda legge della dinamica si ha :
F=m·g
per cui otteniamo :
.
Questo risultato è "coerente" con quello trovato in precedenza (la differenza dipende dalle
approssimazioni
effettuate).
05 - Altri esempi di applicazione della legge di gravitazione universale.
La legge di gravitazione universale è, come sappiamo, espressa dalla formula matematica :
dove F rappresenta la forza gravitazionale con cui si attirano due corpi, G è la costante di
gravitazione
universale,
corpi.
ed
sono le masse dei due corpi e d è la distanza fra i centri di massa dei due
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Consideriamo ora due esempi di applicazione della legge di gravitazione universale.
06 - Calcolo della massa del sole.
Consideriamo il moto della terra attorno al sole. Esso avviene su di una traiettoria che può
essere
considerata circolare (in effetti l'orbita è ellittica, ma la distanza fra i due fuochi dell'ellisse è
relativamente piccola, per cui l'orbita può considerarsi pressoché circolare).
La terra è attirata dal sole dalla forza gravitazionale
che la "costringe" a percorrere un'orbita
circolare (quasi). Se sulla terra non agisse nessuna forza essa, per il primo principio della dinamica,
si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (e non circolare !).
La forza gravitazionale che fa percorrere alla terra una traiettoria circolare è uguale alla forza
centripeta
che, come sappiamo, è presente quando un corpo compie una traiettoria circolare.
Scriviamo allora :
.
Il perché queste due forze sono uguali dipende dal fatto che sulla terra agisce la sola forza
gravitazionale
prodotta dal sole (le altre, prodotte da altri corpi celesti, sono trascurabili) per cui, in questo caso,
possiamo
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affermare che :
la forza centripeta coincide con la forza gravitazionale.
La formula della forza centripeta, come già sappiamo, è :
dove m è la massa della terra, v è la velocità periferica della terra attorno al sole ed R è la
distanza
terra-sole.
Uguagliando la formula della forza gravitazionale con quella della forza centripeta otteniamo :
dove con M abbiamo indicato la massa del sole e con m quella della terra ( R è la distanza terrasole).
Da questa equazione possiamo ricavare l'incognita M (la massa del sole) con alcuni semplici
passaggi.
Se dividiamo entrambi i membri dell'equazione per la massa della terra m , che vi è presente in
entrambe,
otteniamo :
.
Dividere entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero (purché diverso da 0 ) non
cambia
l'uguaglianza stessa. Per esempio, l'uguaglianza :
rimane un'uguaglianza se dividiamo ambo i membri per 2 :
perché si ottiene :
6=6.
Tornando alla formula da cui ricaveremo la massa del sole, semplificando le m , si ottiene :
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.
Se moltiplichiamo ambo i membri (facendo questo l'equazione non cambia, analogamente a
quando
si divide ambo i membri per uno stesso numero) dell'equazione per R (che è presente in entrambi i
denominatori) otteniamo :
da cui, semplificando le R :
Ora moltiplichiamo ambo i membri ancora per R e dividiamo per G . Otteniamo così :
,
da cui, semplifichiamo, perveniamo al risultato :
che fornisce finalmente la massa del sole cercata.
Tenendo presente che la costante di gravitazione universale vale (circa) :
,
la velocità periferica di rotazione della terra attorno al sole è (circa) :
e che la distanza terra-sole è (circa) :
,
sostituendo questi valori nella formula che dà la massa del sole e calcolando, otteniamo infine :
(il simbolo
significa "circa uguale").
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La "potenza" della formula di Newton della gravitazione universale è incredibile !!! Con semplici
calcoli
siamo in grado di determinare con buona precisione la massa della nostra cara stella !!!
07 - Calcolo della velocità di un satellite in orbita.
Consideriamo un satellite artificiale in orbita circolare attorno alla terra. Perché esso non cada o
si
disperda nello spazio (così come nel caso dei pianeti attorno al sole) occorre che la forza
centripeta
che lo fa ruotare su un'orbita circolare sia uguale alla forza di gravità con cui la terra lo attira a sé.
Supponiamo che il raggio della terra sia R e la distanza del satellite dalla superficie terrestre sia h
(si noti che che h normalmente è piccola rispetto ad R ). Uguagliando la forza di gravità con la
forza
centripeta, come nell'esempio precedente, possiamo scrivere :
(dove M è la massa della terra, m la massa del satellite).
Dividendo ambi i membri dell'equazione per m e moltiplicando per (R + h) , semplificando si
ottiene :
ovvero :
.
Per ricavare il valore della velocità v basta fare la radice quadrata del secondo membro, cioè :
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.
Lasciamo al lettore volenteroso il compito di calcolare numericamente questa velocità per valori
diversi
a piacere di h (i valori di R ed M sono riportati nel resoconto dell'incontro precedente).
Se non fosse chiaro il perché abbiamo posto v = radice quadrata ... , potremmo notare che se una
certa quantità A al quadrato vale 16 , la quantità A sarà uguale a 4 , ovvero alla radice quadrata
di 16 . Cioè se :
allora :
.
In verità, anche il valore negativo -4 , se elevato al quadrato, dà 16 , ma qui noi consideriamo
solo
grandezze positive.
08 - Ripasso sulle leggi di Newton.
Newton riuscì a sintetizzare la descrizione dei fenomeni della meccanica e della gravitazione nelle
tre leggi della dinamica e nella legge della gravitazione universale. Si tratta del primo, e
forse più grande, processo di unificazione del sapere scientifico. In poche leggi, espresse in
forma matematica, vengono descritti una infinità di fenomeni naturali.
Non ci stancheremo mai di sottolineare la grandezza, la potenza e la bellezza della mirabile sintesi
che Newton operò nel tentativo di comprendere le leggi di natura !!!
Ricordiamoli :
-1-
1' principio della dinamica o principio d'inerzia (già scoperto da Galileo) : un corpo
non soggetto a forze, si muove con velocità costante (in intensità, direzione e verso)
(rispetto ad un sistema di riferimento inerziale).
-2-
2' principio della dinamica : una forza che agisce su un corpo gli imprime una
accelerazione (variazione di velocità) proporzionale alla forza stessa (il coefficiente
di proporzionalità si chiama massa). Il principio si esprime matematicamente con la
nota formula F = m · a .
-3-
3' principio della dinamica : ad ogni forza corrisponde una forza contraria (uguale in
intensità ed in direzione, ma contraria in verso).
-4-
Legge di gravitazione universale : due corpi si attirano con un forza gravitazionale
che è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed inversamente proporzionale
al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro centri di massa).
09 - Sul concetto di massa. Massa inerziale. Massa gravitazionale.
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Il concetto di massa è uno dei concetti della fisica più "complicati" da definire.
Una prima definizione intuitiva che di solito si dà, afferma che essa è la quantità di materia che
un
corpo possiede. Questa definizione è però solo qualitativa (cosa significa infatti quantità di materia
?)
ed ha il solo pregio di introdurre facilmente nell'argomento.
La massa, come ogni grandezza fisica, deve essere misurabile. Ecco allora che la definizione di
quantità di materia non può essere adeguata essendo troppo vaga.
Per definire la massa allora occorrono le leggi, espresse in formule matematiche, che la invocano.
Esistono quindi due tipi di massa :
la massa inerziale, quella che compare nella formula del 2' principio della dinamica :
e la massa gravitazionale, quella che compare nella formula della legge di gravitazione :
.
Si tratta di due tipi di massa diversi, perché definiti in fenomeni di tipo diverso e quindi da formule
matematiche diverse.
Quanto qui affermato può stupire alquanto : fino ad ora abbiamo parlato di un solo tipo di massa !
Ma vediamo allora di dare una definizione più precisa dei due tipi di massa.
La massa inerziale indica la "resistenza" che un corpo oppone alla variazione del suo stato
di moto.
Infatti, se applichiamo una stessa forza a due corpi diversi, otteniamo differenti accelerazioni.
Se per esempio applichiamo una forza di 100 N (newton) ad un corpo di massa inerziale 10.000 kg
otteniamo una accelerazione pari a :
.
Se invece applichiamo la stessa forza ad un corpo di massa inerziale 5 kg , otteniamo
l'accelerazione
.
Un corpo di massa inerziale maggiore oppone una maggiore "resistenza" alla variazione del suo
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stato di
moto per cui, a parità di forza, si ottiene una accelerazione minore. Un corpo di massa inerziale
minore
oppone una minore "resistenza" alla variazione del suo stato di moto per cui, a parità di forza,
si ottiene
una accelerazione maggiore.
A causa della formula F = m · a che esprime il 2' principio della dinamica, possiamo quindi
definire
la massa inerziale come il rapporto :
.
Per calcolare la massa inerziale di un corpo basta allora dividere la forza che agisce su di esso per
la
accelerazione che esso subisce. A parità di forza, maggiore accelerazione significa massa inerziale
minore, minore accelerazione significa massa inerziale maggiore (più precisamente, accelerazione
e
massa inerziale sono inversamente proporzionali).
La massa gravitazionale indica la "capacità" che hanno i corpi di attirarsi gravitazionalmente.
La forza gravitazionale che si instaura fra due corpi è, ripetiamo, direttamente proporzionale alle
masse
dei corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro
centri
di massa).
Qual è il legame fra i due tipi di massa ?
L'esperienza mostra però che massa inerziale e massa gravitazionale sono legate fra loro (per
questo motivo si giustifica l'uso dello stesso temine "massa").
In effetti, grazie ad esperimenti sofisticati, si verifica che massa inerziale e massa gravitazionale
coincidono (con grande precisione), e questo fatto non è ovvio tanto da rappresentare una nuova
legge di natura che Einstein chiamò principio di equivalenza. L'equivalenza fra i due tipi di
massa
costituisce la base logica su cui si fonda la teoria della relatività generale.