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L’omotetia
DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice
omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano
che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A’ tale che
• i punti O, A e A’ siano allineati
• il rapporto
OA
è uguale alla costante k
OA
Omotetia inversa
Se i punti A e A’ sono disposti dalla stessa parte rispetto ad O,
l’omotetia si dice diretta.
DEFINIZIONE. Se i punti A e A’ sono disposti da parti opposte
rispetto ad O, l’omotetia si dice inversa.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 214
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Le proprietà delle figure omotetiche
Consideriamo, ad esempio, i triangoli ABC e A’B’C’ che si corrispondono in un’omotetia diretta (a) e
indiretta (b) di centro O e caratteristica k = 1 . Notiamo che:
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i lati corrispondenti dei due triangoli sono paralleli e di conseguenza gli angoli corrispondenti
nei due triangoli sono congruenti;
i lati corrispondenti non sono congruenti, ma il loro rapporto è sempre pari al valore di k.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 214
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Le proprietà delle figure omotetiche
PROPRIETÀ. L’omotetia, diretta ed inversa, fra due figure stabilisce una corrispondenza biunivoca
tra i punti del piano che:
• mantiene il parallelismo tra i lati lasciando quindi inalterata l’ampiezza degli angoli;
• cambia le misure dei lati corrispondenti, secondo un rapporto costante uguale alla
caratteristica.
In sintesi:
il parallelismo fra i lati
Omotetia
la posizione nel piano e la misura dei lati
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 215
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Le proprietà delle figure omotetiche
Consideriamo i triangoli ABC e A’B’C’ che si
corrispondono in un’omotetia diretta di centro
O e caratteristica k = 3
In questo caso il triangolo ottenuto rappresenta
un ingrandimento del triangolo ABC.
In generale è possibile dire che:
PROPRIETÀ. Le dimensioni di una figura in una omotetia (diretta o inversa) dipendono dal valore del
rapporto:
• per k > 1 si ottiene un ingrandimento;
• per k < 1 si ottiene un rimpicciolimento.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 215
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La similitudine
DEFINIZIONE. La similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene applicando alla
stessa figura e in successione un’isometria ed un’omotetia (o viceversa). Le figure che si
corrispondono in questo tipo di trasformazione si dicono simili.
Consideriamo le seguenti figure ottenute componendo:
• una traslazione di vettore v1 con un’omotetia
di centro O e k =
• un’omotetia diretta di centro O e k = 2 con
una simmetria assiale di asse a.
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In entrambi i casi i due triangoli ABC e A”B”C” hanno gli angoli congruenti, mentre si è modificata la
lunghezza dei lati corrispondenti che tuttavia mantengono un rapporto costante.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 217
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La similitudine
PROPRIETÀ. La similitudine è una trasformazione geometrica che lascia immutate le ampiezze
degli angoli, ma varia la lunghezza dei segmenti corrispondenti secondo un rapporto costante che si
chiama rapporto di similitudine e si indica con k.
In sintesi:
la lunghezza dei segmenti
Similitudine
la congruenza fra gli angoli
DEFINIZIONE. Due o più poligoni si dicono simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti
e le misure dei lati omologhi legate da un rapporto costante.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 217
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I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni
A = A’ ;
B = B’ ;
C = C’
Se misuriamo i lati corrispondenti e calcoliamo i loro rispettivi
rapporti, troveremo che sono in proporzione ovvero che hanno lo
stesso rapporto:
A’B’ : AB = B’C’ : BC = C’A’ : CA = k
Possiamo concludere che:
1° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente
congruenti.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 219
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2
I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo le condizioni
A = A’
A’B’ : AB = A’C’ : AC = k
Se misuriamo con il goniometro le altre due coppie di angoli
corrispondenti troveremo che:
B = B’
C = C’
Calcolando il rapporto tra l’altra coppia di lati omologhi, troveremo
che anche quest’ultima ha lo stesso rapporto delle prime due
coppie di lati omologhi:
B’C’ : BC = A’B’ : AB = A’C’ : AC = k
Possiamo dedurre che:
2° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo
fra essi compreso congruente.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 219
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I criteri di similitudine dei triangoli
Consideriamo due triangoli ABC e A’B’C’ in cui poniamo la condizione
A’B’ : AB = B’C’ : BC = A’C’ : AC = k
Se misuriamo con un goniometro l’ampiezza degli angoli, vedremo che quelli corrispondenti hanno la
stessa ampiezza:
A = A’ ;
B = B’ ;
C = C’
Possiamo dedurre che:
3° CRITERIO DI SIMILITUDINE. Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti in
proporzione.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 219
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I teoremi della similitudine
Il teorema della parallela al lato di un triangolo
TEOREMA. In un triangolo, una parallela ad un lato
individua un nuovo triangolo simile a quello dato e divide i
lati intersecati in segmenti direttamente proporzionali.
In simboli:
AD : DC = BE : EC
Una conseguenza di tale teorema è che:
TEOREMA. La parallela ad un lato di un triangolo condotta
per il punto medio di un altro lato divide il terzo lato in due
segmenti congruenti.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 222
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I teoremi della similitudine
Il teorema delle altezze corrispondenti di due triangoli simili
TEOREMA. In due triangoli simili le altezze sono proporzionali
alle rispettive basi. In simboli:
C’H’ : CH = A’B’ : AB
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 222
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I teoremi della similitudine
Il teorema dei perimetri di due poligoni simili
TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto tra le misure di
due lati corrispondenti; in simboli:
2pABC : 2pABC AB: AB k
Più in generale:
TEOREMA. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al rapporto tra le misure di
due lati corrispondenti.
TEOREMA. Tutte le misure lineari corrispondenti di due poligoni simili stanno tra loro nello stesso
rapporto di similitudine.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 223
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3
I teoremi della similitudine
Il teorema delle aree di due poligoni simili
TEOREMA. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale
al quadrato del rapporto tra due lati corrispondenti; in simboli:
Area: Area AB : AB k 2
2
2
Ad esempio, considerando la figura a lato,
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AB: AB
3
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 224
AABCD 16 4 2
AABCD
9 3
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Il primo teorema di Euclide
Consideriamo i triangoli ABC e AHC. Per il primo criterio di
similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in
proporzione, quindi:
AB : AC = AC : AH
Consideriamo i triangoli ABC e HBC. Per il primo criterio di
similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in
proporzione, quindi:
AB : BC = BC : HB
Alla luce delle precedenti proporzioni possiamo enunciare il seguente
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 225
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Il secondo teorema di Euclide
Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e HBC. Essi hanno gli angoli
ordinatamente congruenti
AHC = CHB = 90° CAH = HCB
ACH = HBC
I due triangoli sono dunque simili ed avranno i lati corrispondenti in
proporzione:
AH : HC = HC : HB
Alla luce di questa relazione possiamo enunciare il seguente
TEOREMA. In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 226
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Interpretazione geometrica dei teoremi di Euclide
Primo teorema di Euclide
TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato
costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un
rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Secondo teorema di Euclide
TEOREMA. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito
sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente ad un rettangolo
che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 227
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