Recensione libro Villani (aritm e algebra)
In L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE,
SEZ. B, N. 1 FEBBRAIO 2004
RECENSIONE
Vinicio Villani, Cominciamo da Zero. Domande, risposte e
commenti per saperne di più sui perché della Matematica
(Aritmetica e Algebra), Collana “Complementi di Matematica per
l’Indirizzo Didattico, volume 12”, Pitagora Editrice, Bologna 2003,
216 pp., € 17, ISBN 88-371-1406-0.
Questo libro è rivolto in primo luogo a chi
fa - o si prepara a fare - l'insegnante di
matematica nella scuola secondaria, in
particolare quella superiore, ma può essere
molto utile a chiunque insegni matematica.
L'Autore non ha bisogno di presentazione,
per la sua autorevolezza nella comunità
matematica e perché sono noti a tutti i suoi
contributi non solo alla ricerca matematica,
ma anche alla didattica. Nella prefazione
l’Autore scrive: "Sono partito da una
constatazione: i libri scolastici e quelli
divulgativi si occupano soprattutto del
‘cosa’; i trattati di didattica della
matematica dedicano principalmente la loro
attenzione al ‘come’. Scarseggiano invece le pubblicazioni aventi
l'obiettivo di far riflettere sui ‘perché’ dell'aritmetica e dell'algebra". Il
libro è suddiviso in 35 paragrafi. Sarebbe troppo lungo, quindi,
trascrivere qui di seguito l’intero indice. In relazione al tema trattato, i
paragrafi possono a grandi linee essere suddivisi tra quelli che si
occupano di aritmetica (fino al 20), di algebra (prevalentemente dal 21 al
32) e altri che riguardano questioni più generali (ad esempio gli ultimi,
33-35). Riportiamo però un ampio estratto dell’indice per fornire
un’indicazione di quali argomenti sono affrontati e per constatare
immediatamente il notevolissimo interesse didattico del libro.
Prefazione
1. Zero è un numero? Perché ?
2. Perché 1+1 fa 2? E perché 2+2 fa 4?
6. Perché si amplia l'insieme dei numeri naturali passando ai numeri interi? E
perché meno per meno fa più?
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9. La teoria delle proporzioni è ancora attuale al giorno d’oggi?
11. Perché i calcoli con numeri decimali finiti, frazioni e percentuali sono
difficili?
12. Perché non ci si ferma ai razionali e si introducono i numeri reali?
13. Perché i matematici usano metodi tanto complicati per costruire i numeri
reali, mentre basterebbe introdurli come allineamenti decimali (finiti e infiniti)?
14. A che serve lo studio dei radicali?
17. Che relazione c'è tra i numeri della matematica e i numeri delle calcolatrici
e dei computer
18. Perché non ci si ferma ai numeri reali, e si introducono i numeri complessi?
19. Cos'è un numero? E cos'è una struttura numerica?
20. Perché la sequenza degli ampliamenti numerici non prosegue al di là dei
complessi?
…
27. A che serve la regola di Ruffini?
…
33. Postulato, Assioma, Principio, Teorema, Lemma, Corollario, Proposizione,
Legge, Regola, Proprietà, Criterio,… Perché tanti significanti per due soli
significati?
34. Qual è la struttura logica di una dimostrazione per induzione?
35. Qual è (o dovrebbe e potrebbe essere) il ruolo di assiomi, definizioni,
teoremi e loro dimostrazioni, esempi, esercizi, problemi, uso del linguaggio
naturale e del simbolismo matematico, prospettiva storica, nell’insegnamentoapprendimento della matematica nelle scuole secondarie?
Postfazione.
Bibliografia.
Indice analitico.
Anche se l’Autore dichiara di volersi occupare soprattutto dei “perché”
dell’aritmetica e dell’algebra, in realtà il libro fornisce molte indicazioni
su “come” è opportuno insegnare oggi questi argomenti. È quindi
indubbio che l’insegnamento dell’aritmetica e dell’algebra può trarre
grande vantaggio dalla risposta ai “perché” presentati in questo libro.
Nella Postfazione (p. 209) l’Autore riporta esplicitamente, tra le ragioni
dell’approfondimento dei “perché”, la seguente:
Per i docenti, una riflessione sui ‘perché’ della matematica è fondamentale al
fine di programmare con cognizione di causa il proprio insegnamento,
sfrondando i rami secchi e tenendo conto delle trame che collegano tra loro gli
argomenti concettualmente rilevanti, anche se diversamente etichettati e
sparpagliati tra i programmi di anni diversi.
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Lo stile del libro - come tutti i lavori di Villani - è preciso, stringato e
acuto. L’Autore ha la capacità di esprimere in modo chiarissimo questioni
che non sono semplici e che costituiscono dei nodi fondamentali per
l’apprendimento-insegnamento della matematica a tutti i livelli, in
particolare nella scuola secondaria. Questo volume, che si segnala per la
sua profondità, può dare un contributo notevole a chiarire i dubbi che un
insegnante incontra quando deve presentare in classe questi argomenti. I
temi cruciali dell’apprendimento-insegnamento dell’aritmetica e
dell’algebra nella scuola secondaria sono rivisti e analizzati sulla scorta
della grande esperienza didattica dell’Autore. La lettura di questo libro fa
riflettere e aiuta a rendere più approfondite le ragioni e le finalità
dell’insegnamento di queste parti fondamentali del curricolo di
matematica, depurandole dalle cattive “abitudini” e dalle parti ormai
obsolete. Di questo c’è grande necessità soprattutto oggi in cui, anche nel
nostro paese, sono in discussione i curricoli di matematica per ogni
ordine di scuola. Il lettore potrà ritrovare in questo volume molti
argomenti che di sicuro ha incontrato nella scuola secondaria o
all’università e che avrà proposto in classe, constatando – spesso senza
trovare un aiuto nei libri di testo scolastici o in quelli universitari – la
difficoltà a proporre ai propri allievi questi temi.
L’Autore presenta molte osservazioni sui libri di testo e sulla insistenza
posta su certi argomenti superati presenti nella pratica di insegnamento
dell’aritmetica e dell’algebra (le proporzioni, i radicali, la regola di
Ruffini,…). Tra i tanti che si potrebbero citare ricordiamo alcuni passi
particolarmente significativi che si occupano della giustificazione della
regola dei segni per la moltiplicazione tra numeri relativi, dell’analisi dei
fraintendimenti degli allievi sui numeri negativi e il segno meno (pp. 3738). Voglio anche citare, per l’approfondita analisi didattica, il bellissimo
paragrafo 11, che si occupa delle difficoltà e degli errori degli allievi
incontrano alle prese con i calcoli con i numeri decimali finiti, con le
frazioni e le percentuali. Particolarmente illuminanti e di vivo interesse
didattico - senza voler trascurare gli altri - sono i paragrafi dal 12 al 17
(vedi pp. 70-71 in particolare) dedicati ai numeri reali, ai radicali e alle
approssimazioni numeriche. Sono inoltre preziose, dal punto di vista
didattico, le osservazioni sul termine “precisione” usato in matematica e
nel linguaggio comune (p. 87) e le annotazioni (p. 123 e seguenti) sulle
difficoltà incontrate dagli allievi nel passaggio dall’aritmetica all’algebra,
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a causa spesso di un insegnamento stereotipato e ripetitivo di regole non
adeguatamente motivate. A proposito dell’insegnamento dell’algebra,
riprendendo un memorabile articolo scritto con Giovanni Prodi (Anche il
calcolo letterale può essere intelligente, in “Archimede” 34, n. 4, 1982),
Villani osserva:
stranamente i libri di testo, e di conseguenza anche gli insegnanti, riguardo al
calcolo algebrico, si limitano ad elencare un gran numero di regole prescrittive
apparentemente slegate tra loro e non inserite in un quadro teorico globale.
Eppure anche l’algebra, al pari della geometria e di ogni altro settore della
matematica, è una teoria costituita da assiomi e teoremi.
Dal paragrafo 22 al 29 il libro contiene si occupa dei polinomi e fa
chiarezza su molti problemi e consuetudini didattiche negative che ancora
resistono nell’insegnamento dell’algebra. Non c’è lo spazio qui per
ricordare numerosi altri passi illuminanti del libro, ma è opportuno ancora
citare le osservazioni sulle definizioni (pp. 134-135), sulle equazioni
equivalenti (p. 174) e sui polinomi e le frazioni algebriche visti in senso
formale e in senso funzionale (p. 184).
Il libro si conclude con una Postfazione, ricca di riflessioni didattiche,
un’ottima bibliografia e l’indice analitico e dei nomi.
In conclusione dobbiamo dunque essere grati a Vinicio Villani per aver
scritto questo libro, perché in esso ci offre un prezioso condensato della
sua grande esperienza di docente di Didattica della Matematica - nel
corso di laurea in matematica e nella SSIS Toscana (di cui è stato
Direttore e dove è tuttora docente) - che mette assieme, in modo
sistematico, una serie di riflessioni e di approfondimenti che prima di
questa pubblicazione si potevano leggere con difficoltà, perché affidati a
interventi in atti di convegni o sparsi in riviste non sempre reperibili.
Il libro quindi dovrebbe essere letto non solo dagli insegnanti, ma anche
studiato e discusso nei luoghi dove si formano gli insegnanti, nelle Scuole
di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario e - almeno per la
parte dedicata all’Aritmetica - nei Corsi di Laurea in Scienze della
Formazione Primaria.
L'intenzione dell'Autore (Prefazione, p. 1) è quella di completare questo
libro con un altro dedicato ai "perché "degli altri settori della matematica
preuniversitaria (geometria, analisi, statistica e probabilità, logica).
Considerato l’interesse didattico di questo volume, auspichiamo
vivamente che l’editore pubblichi anche la seconda parte.
Luigi Tomasi ([email protected])
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