12-09-07

Analisi Matematica II
12 settembre 2007 ore 11 - Versione A
CODICE DELL’INSEGNAMENTO (come indicato sullo statino):
Cognome, Nome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Avvertenza: La prova d’esame si compone di 3 esercizi. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e
conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte che devono essere consegnati e su ciascuno dei quali deve essere
riportato cognome, nome, matricola del candidato e nome dell’insegnamento.
Esercizio 1. (10 punti)
Si consideri la regione
n
o
3
C = (x, y, z) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 2, 6 − z ≥ x2 + y 2 , x ≥ 0, z ≥ 0 .
a) Rappresentare graficamente C.
b) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = x2 − 2xz, y 2 + 3xz, z 2 − 2yz attraverso la superficie Σ,
bordo di C, con normale orientata verso l’esterno di C. (Si suggerisce l’uso del Teorema della divergenza).
Esercizio 2. (10 punti)
Si consideri la funzione f : definita nell’intervallo [−π, π) come

4
se −π ≤ x ≤ − π2


f (x) = 0
se − π2 < x ≤ 0


−2x se 0 < x < π
e prolungata su tutto R come funzione periodica di periodo 2π.
a) Rappresentare il grafico di f nell’intervallo (−2π, 2π).
b) Calcolare il polinomio di Fourier del primo ordine (quindi la combinazione lineare delle tre funzioni 1, sin x,
cos x, che meglio approssima f in norma quadratica).
c) Calcolare la norma quadratica kf k2 nell’intervallo fondamentale [−π, π].
d) Detta a0 +
∞
X
(ak cos kx + bk sin kx) la serie di Fourier di f , calcolare la somma della serie
k=1
∞
X
π a2k + b2k
k=2
usando la formula di Parseval.
Esercizio 3. (10 punti)
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
(
x0 = αx + y
y 0 = −16x − αy.
a) Studiare la stabilità della soluzione nulla al variare di α.
b) Determinare tutti i valori di α per cui esistono soluzioni periodiche non costanti (suggerimento: ricordare come
si scrive l’integrale generale).
c) Posto α = 5, si consideri il campo vettoriale
Z G(x, y) = (16x + 5y, 5x + y). Mostrare che per ogni soluzione
γ(t) = (x(t), y(t)), con t ∈ [0, 3], risulta
G · dP = 0.
γ
d) Posto α = 4, determinare tutte le soluzioni e indicare quali sono quelle limitate su [0, +∞).
Analisi Matematica II
12 settembre 2007 ore 11 - Versione B
CODICE DELL’INSEGNAMENTO (come indicato sullo statino):
Cognome, Nome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Avvertenza: La prova d’esame si compone di 3 esercizi. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e
conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte che devono essere consegnati e su ciascuno dei quali deve essere
riportato cognome, nome, matricola del candidato e nome dell’insegnamento.
Esercizio 1. (10 punti)
Si consideri la regione
n
o
3
C = (x, y, z) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 3, z − 2 ≤ x2 + y 2 , y ≥ 0, z ≥ 0 .
a) Rappresentare graficamente C.
b) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = x2 + 3xy, y 2 − 2yz, z 2 − 2xz attraverso la superficie Σ,
bordo di C, con normale orientata verso l’esterno di C. (Si suggerisce l’uso del Teorema della divergenza).
Esercizio 2. (10 punti)
Si consideri la funzione f : definita nell’intervallo [−π, π) come
 −3x se −π ≤ x ≤ 0


se 0 < x ≤ π2
f (x) = 0


−6
se π2 < x < π
e prolungata su tutto R come funzione periodica di periodo 2π.
a) Rappresentare il grafico di f nell’intervallo (−2π, 2π).
b) Calcolare il polinomio di Fourier del primo ordine (quindi la combinazione lineare delle tre funzioni 1, sin x,
cos x, che meglio approssima f in norma quadratica).
c) Calcolare la norma quadratica kf k2 nell’intervallo fondamentale [−π, π].
d) Detta a0 +
∞
X
(ak cos kx + bk sin kx) la serie di Fourier di f , calcolare la somma della serie
k=1
∞
X
π a2k + b2k
k=2
usando la formula di Parseval.
Esercizio 3. (10 punti)
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
(
x0 = αx + y
y 0 = −25x − αy.
a) Studiare la stabilità della soluzione nulla al variare di α.
b) Determinare tutti i valori di α per cui esistono soluzioni periodiche non costanti (suggerimento: ricordare come
si scrive l’integrale generale).
c) Posto α = 2, si consideri il campo vettoriale
Z G(x, y) = (25x + 2y, 2x + y). Mostrare che per ogni soluzione
γ(t) = (x(t), y(t)), con t ∈ [0, 2], risulta
G · dP = 0.
γ
d) Posto α = 5, determinare tutte le soluzioni e indicare quali sono quelle limitate su [0, +∞).
Analisi Matematica II
12 settembre 2007 ore 11 - Versione C
CODICE DELL’INSEGNAMENTO (come indicato sullo statino):
Cognome, Nome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Avvertenza: La prova d’esame si compone di 3 esercizi. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e
conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte che devono essere consegnati e su ciascuno dei quali deve essere
riportato cognome, nome, matricola del candidato e nome dell’insegnamento.
Esercizio 1. (10 punti)
Si consideri la regione
n
o
3
C = (x, y, z) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 4, 9 − z ≥ x2 + y 2 , y ≥ 0, z ≥ 0 .
a) Rappresentare graficamente C.
b) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = 2x2 − 3xz, 2y 2 − 6yz, 3z 2 − 4xz attraverso la superficie Σ,
bordo di C, con normale orientata verso l’esterno di C. (Si suggerisce l’uso del Teorema della divergenza).
Esercizio 2. (10 punti)
Si consideri la funzione f : definita nell’intervallo [−π, π) come

2π se −π ≤ x ≤ − π2


f (x) = 0
se − π2 < x ≤ 0


2x se 0 < x < π
e prolungata su tutto R come funzione periodica di periodo 2π.
a) Rappresentare il grafico di f nell’intervallo (−2π, 2π).
b) Calcolare il polinomio di Fourier del primo ordine (quindi la combinazione lineare delle tre funzioni 1, sin x,
cos x, che meglio approssima f in norma quadratica).
c) Calcolare la norma quadratica kf k2 nell’intervallo fondamentale [−π, π].
d) Detta a0 +
∞
X
(ak cos kx + bk sin kx) la serie di Fourier di f , calcolare la somma della serie
k=1
∞
X
π a2k + b2k
k=2
usando la formula di Parseval.
Esercizio 3. (10 punti)
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
(
x0 = αx + y
y 0 = −9x − αy.
a) Studiare la stabilità della soluzione nulla al variare di α.
b) Determinare tutti i valori di α per cui esistono soluzioni periodiche non costanti (suggerimento: ricordare come
si scrive l’integrale generale).
c) Posto α = 7, si consideri il campo vettoriale
G(x, y) = (9x + 7y, 7x + y). Mostrare che per ogni soluzione
Z
γ(t) = (x(t), y(t)), con t ∈ [0, 4], risulta
G · dP = 0.
γ
d) Posto α = 3, determinare tutte le soluzioni e indicare quali sono quelle limitate su [0, +∞).
Analisi Matematica II
12 settembre 2007 ore 11 - Versione D
CODICE DELL’INSEGNAMENTO (come indicato sullo statino):
Cognome, Nome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Avvertenza: La prova d’esame si compone di 3 esercizi. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e
conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte che devono essere consegnati e su ciascuno dei quali deve essere
riportato cognome, nome, matricola del candidato e nome dell’insegnamento.
Esercizio 1. (10 punti)
Si consideri la regione
n
o
3
C = (x, y, z) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 5, z − 4 ≤ x2 + y 2 , x ≥ 0, z ≥ 0 .
a) Rappresentare graficamente C.
b) Calcolare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = 3x2 − 4xz, 2y 2 − 6xz, 2z 2 − 4yz attraverso la superficie Σ,
bordo di C, con normale orientata verso l’esterno di C. (Si suggerisce l’uso del Teorema della divergenza).
Esercizio 2. (10 punti)
Si consideri la funzione f : definita nell’intervallo [−π, π) come
 −5x se −π ≤ x ≤ 0


se 0 < x ≤ π2
f (x) = 0


5π
se π2 < x < π
e prolungata su tutto R come funzione periodica di periodo 2π.
a) Rappresentare il grafico di f nell’intervallo (−2π, 2π).
b) Calcolare il polinomio di Fourier del primo ordine (quindi la combinazione lineare delle tre funzioni 1, sin x,
cos x, che meglio approssima f in norma quadratica).
c) Calcolare la norma quadratica kf k2 nell’intervallo fondamentale [−π, π].
d) Detta a0 +
∞
X
(ak cos kx + bk sin kx) la serie di Fourier di f , calcolare la somma della serie
k=1
∞
X
π a2k + b2k
k=2
usando la formula di Parseval.
Esercizio 3. (10 punti)
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
(
x0 = αx + y
y 0 = −4x − αy.
a) Studiare la stabilità della soluzione nulla al variare di α.
b) Determinare tutti i valori di α per cui esistono soluzioni periodiche non costanti (suggerimento: ricordare come
si scrive l’integrale generale).
c) Posto α = 3, si consideri il campo vettoriale
G(x, y) = (4x + 3y, 3x + y). Mostrare che per ogni soluzione
Z
γ(t) = (x(t), y(t)), con t ∈ [0, 5], risulta
G · dP = 0.
γ
d) Posto α = 2, determinare tutte le soluzioni e indicare quali sono quelle limitate su [0, +∞).