Oltre il Teorema di Pitagora

Oltre il Teorema di Pitagora
Riassumiamo le caratteristiche del problema che dobbiamo risolvere servendoci della seguente
figura:
Dobbiamo calcolare la misura del segmento AB che corrisponde al raggio della
circonferenza percorsa da ogni località della Terra che si trova ad una latitudine di
α °. In pratica dobbiamo risolvere il triangolo rettangolo OBA conoscendo la misura
della sua ipotenusa OB (6368 Km raggio medio della terra) e il valore dell’angolo
OBA ( pari alla latitudine α del luogo).
Possiamo ipotizzare che il segmento di cui dobbiamo individuare la misura,
diminuisca linearmente mano a mano che la latitudine aumenta fino a 90°. Si tratta
di una pura ipotesi che dovremo perciò controllare verificando la correttezza o
meno dei risultati ottenuti. In altre parole se il segmento (OC) all’Equatore vale
6368 Km e al Polo vale zero, quando la latitudine vale 45° dovrebbe valere la metà
di 6368 Km cioè 3184 Km e quando la latitudine vale 60° ( 2/3 di 90°) esattamente
1/3 di 6368 km cioè 2123 Km.. L’andamento previsto è rappresentato dalla
seguente figura:
Le latitudini scelte (45° e 60°) non sono casuali. Si tratta di angoli particolari per cui è
agevole verificare i risultati ottenuti. Nel caso della latitudine di 45° il triangolo OBA
è necessariamente la metà di un quadrato che ha una diagonale che vale 6368 Km.
In questo tipo di situazione è facile determinare la misura del lato AB (lato del
quadrato) facendo il rapporto tra la diagonale e la radice quadrata di due otteniamo:
6368 𝐾𝐾𝐾𝐾
√2
= 4502 𝐾𝐾𝐾𝐾
Il valore ottenuto è diverso da quello che avevamo ricavato precedentemente
ragionando in termini di andamento lineare (3184 Km). Una ulteriore conferma
può essere ottenuta operando in modo analogo con l’angolo di 60°. Il metodo
proposto che ipotizzava un variazione lineare della misura del segmento al variare
della latitudine non è corretto.
E’ necessario individuare un’altra strada che ci permetta di creare una relazione tra
quello che abbiamo: l’ipotenusa del triangolo rettangolo e un suo angolo
Procediamo in altro modo. Disegniamo tre triangoli rettangoli con delle particolari
misure dei lati in modo da poter agevolmente fare i nostri calcoli. Le misure di
questi triangoli sono indicate nella figura seguente:
Le misure sono state scelte tra le cosiddette terne pitagoriche. Il triangolo con i
cateti di 3 cm e 4 cm avrà necessariamente l’ipotenusa di 5 cm. Quello con cateti di
6 cm e 8 cm l’avrà di 10 cm mentre l’ultimo a destra avrà la misura della ipotenusa
pari a 15 cm. I tre triangoli sono simili tra loro in virtù del il Terzo criterio di
similitudine in quanto hanno tutti i lati proporzionali. Il secondo triangolo, ad
esempio, è simile al primo in quanto tutti i suoi lati sono il doppio di quelli del primo.
Anche il terzo è simile al primo in quanto tutti i suoi lati sono tripli di quelli del
primo. Una interessante conseguenza del fatto che i triangoli sono simili è che
hanno tra loro angoli congruenti. La misura dell’angolo compreso tra l’ipotenusa e il
cateto minore è quindi in tutti e tre i triangoli pari a α°. Con un goniometro
possiamo misurare l’ampiezza dell’angolo magari utilizzando per la misura il
triangolo più grande . Tale valore è intorno ai 53°.
Eseguiamo qualche semplice calcolo alla ricerca di qualche relazione tra i diversi
elementi in gioco.
Calcoliamo in tutti e tre i triangoli il rapporto tra cateto minore e ipotenusa.
𝟑𝟑
𝟓𝟓
= 0,6
𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 0,6
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟎𝟎, 𝟔𝟔
Come si vede il valore di questo rapporto, essendo sempre lo stesso, non dipende
dalle misure dei lati. Il rapporto dipende dall’ampiezza dell’angolo alfa. Questo
valore che non ha unità di misura ma è un numero puro prende il nome di coseno
dell’angolo α. Non spaventatevi non è difficile determinare il coseno di un qualsiasi
angolo basta avere a disposizione una calcolatrice scientifica ed utilizzare il tasto cos
(abbreviazione di coseno).
Avendo a disposizione i coseni il nostro problema è risolto. Ritorniamo allo schema
da cui siamo partiti:
Tanto per intenderci
𝑨𝑨𝑨𝑨
𝑶𝑶𝑶𝑶
= cosα
da cui con una semplice trasformazione otteniamo quello che cercavamo
AB = OB cosα
Abbiamo individuato un metodo per calcolare la misura del segmento AB.
Applichiamolo subito.
La latitudine di Civitanova Marche vale 43° 18’ 36” cioè 43,31° .Il calcolo che
dobbiamo fare è:
AB = 6368* cos(43,31°)= 6368* 0,728 = 4635,90 km
Calcolato il raggio della circonferenza che Civitanova Marche percorre in un giorno
possiamo agevolmente calcolare la velocità :
V=
𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟐𝟐𝟐𝟐
= 1213,06 Km/h
La velocità è molto elevata ma è di ben 456 km/h inferiore a quella con cui si
muovono i punti sull’Equatore.
Prova per esercizio a trovare la velocità dei punti della Terra che si trovano sul
Circolo polare Artico… Sarà per questo che le popolazioni nordiche sono così calme
e flemmatiche?
Un altro esercizio potrebbe essere quello di determinare la latitudine dei punti della
superficie terrestre che si muovono alla velocità di 1000 Km/h.
Prima di concludere si può notare che anche il rapporto del cateto maggiore di un
triangolo con l’ipotenusa rappresenta un valore significativo che prende il nome di
seno dell’angolo.
Per cui possiamo dire che :
𝑂𝑂𝑂𝑂
Per cui
𝑂𝑂𝑂𝑂
= senα
OA= OB senα
Il seno di un qualsiasi angolo si può determinare facilmente utilizzando in una
calcolatrice scientifica il tasto sen.In pratica utilizzando opportunamente i seni ed i
coseni possiamo risolvere facilmente un qualsiasi triangolo rettangolo. Dopo questo
duro lavoro le nostre conoscenze si sono ampliate . Con Pitagora possiamo risolvere
un triangolo conoscendo la misura di due dei suoi lati, utilizzando il seno e il coseno
possiamo farlo conoscendo la misura di un lato e quella di un angolo.
Avere nella cartucciera più munizioni fa sempre comodo dovendosi avventurare
nella giungla della conoscenza…
Il metodo dei seni e dei coseni è molto comodo, come abbiamo potuto verificare,
quando non è agevole determinare una lunghezza. Una situazione di questo tipo si
verificava quando per dirigere il tiro dell’artiglieria contro le mura di una fortezza
nemica si doveva determinare l’alzo dei cannoni per stabilire la gittata. Riferedoci
alla figura quello che serviva era la misura del segmento OB.
B
O
Chiaramente i difensori mai avrebbero permesso che qualcuno si avvicinasse alle
mura per misurare la distanza… Il problema si poteva risolvere senza correre troppi
rischi realizzando uno schema del tipo:
B
A
O
In cui l’angolo in A è chiaramente retto. La misura del cateto AO può essere misurata
agevolmente senza doversi avvicinare alle mura nemiche. L’angolo AOB si può
calcolare con un Teolodite. Il gioco è fatto.
Teodolite
Dato che :
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑂𝑂𝑂𝑂
= cos 𝛼𝛼 avremo che OB=
𝐴𝐴𝐴𝐴
cos 𝛼𝛼
Lo sviluppo di questa parte della matematica che prende il nome di Trigonometria
ha avuto avvio nei secoli passati proprio per risolvere problemi di tipo balistico.
Qualcuno chiaramente si chiederà come facevano a quel tempo, in cui non
disponevano di calcolatrici scientifiche, a calcolare la misura di seno e coseno per i
diversi angoli. La risposta è semplice : utilizzavano delle tabelle compilate con
certosina pazienza.