Esercizi aggiuntivi – Unità A2
Esercizi svolti
Esercizio 1
Un circuito RL serie, con R = 60 Ω e L = 30 mH, è alimentato con tensione V = 50 V e assorbe la corrente
I = 0,4 A. Calcolare: la frequenza; l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente; le potenze (attiva, reattiva, apparente). Scrivere le espressioni di v(t) e i(t) e disegnare il diagramma vettoriale del circuito.
Soluzione
Il circuito in esame è rappresentato nella figura A2.1.
R
L
–
VR
–
VL
–
I
Figura A2.1
Esercizio svolto 1.
Schema del circuito.
–
V
Il modulo dell’impedenza e il valore della reattanza sono dati da:
Z=
V 50
=
= 125 Ω ;
I 0, 4
X L = Z 2 − R 2 = 1252 − 60 2 = 109, 7 Ω
Dal valore della reattanza si determinano quelli della pulsazione e della frequenza:
ω=
XL
109, 7
=
= 3, 655 × 10 3 s −1
L 30 × 10 −3
f=
ω 3655
=
= 581, 7 Hz
2π
2π
L’angolo di sfasamento tra tensione e corrente corrisponde all’argomento dell’impedenza, dato da:
cosϕ =
R 60
=
= 0, 48 ;
Z 125
ϕ = 61, 3° = 1, 07 rad
Applicando le formule generali si ricavano i valori delle potenze:
P = VI cosϕ = 50 × 0, 4 × 0, 48 = 9, 6 W
Q = VI senϕ = 50 × 0, 4 × 0, 877 = 17, 5 var S = VI = 50 × 0, 4 = 20 VA
Prendendo come riferimento a fase zero la corrente, la tensione sarà in anticipo di 61,3° sulla corrente, come
indicato sul diagramma vettoriale di figura A2.2, nel quale le tensioni parziali sono uguali a:
VR = V cosϕ = 50 × 0,48 = 24 V ;
VL = V senϕ = 50 × 0,877 = 43,9 V
Im
ϕϕ = 61,3°
–
VL
–
V
O
–
VR
Figura A2.2
Esercizio svolto 1.
Diagramma vettoriale.
ϕ
–
I
Re
Le espressioni sinusoidali della corrente e della tensione sono date da:
i = 2 I sen(ω t + ϕ I ) = 2 × 0, 4 sen(3655 t + 0) = 0, 566 sen(3655 t )
v = 2 V sen(ω t + ϕ V ) = 2 × 50 sen(3655 t + 1, 07) = 70, 7 sen(3655 t + 1, 07)
1
Esercitazioni
A2 • Circuiti in corrente alternata monofase
2
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
Esercitazioni
Esercizio 2
Un resistore con R = 25 Ω è in parallelo con un induttore avente L = 0,2 H. La tensione di alimentazione ha valore efficace V = 50 V, con frequenza 50 Hz. Calcolare: le correnti parziali e quella totale; l’impedenza e l’ammettenza del circuito; le potenze; i parametri del circuito equivalente serie. Disegnare il diagramma vettoriale.
Soluzione
Il circuito in esame è riportato nella figura A2.3.
–
I
–
IR
I parametri dell’ammettenza sono dati da:
G=
1 1
= = 0, 04 S ;
R 25
BL =
–
V
1
1
=
= 0,159 S
ω L 2π × 50 × 0, 2
Prendendo come riferimento a fase zero la tensione si determinano, adottando il calcolo simbolico, le correnti:
V = 50 + j 0 = 50 V
I R = GV = 0, 04 × 50 = 2 A
I L = − jBL V = − j 0,159 × 50 = − j 7, 95 A
I = I R + I L = (2 − j 7, 95) A
I = 2 2 + 7, 952 = 8, 2 A
ϕ I = arcgt
R
–
IL
L
Figura A2.3
Esercizio svolto 2.
Schema del circuito.
−7, 95
= −75, 9°
2
Riportando i valori complessi sul piano di Gauss, si disegna il diagramma vettoriale di figura A2.4.
Im
–
IR
O
–
IL
–
V
ϕ
Re
–
I
ϕ = – 75,9°
Figura A2.4
Esercizio svolto 2.
Diagramma vettoriale.
L’ammettenza e l’impedenza del circuito sono date da:
Y = G − jBL = (0, 04 − j 0,159) S ; Y = 0, 04 2 + 0,159 2 = 0,164 S
Z=
1
1
=
= (1, 488 + j 5, 915) Ω ;
Y 0, 04 − j 0,159
Z = 6,134 Ω
Le potenze (attiva, reattiva e apparente) sono uguali a:
P = VI R = 50 × 2 = 100 W
Q = VI L = 50 × 7, 95 = 397, 5 var
S = VI = 50 × 8, 2 = 410 VA
Applicando le formule di conversione si calcolano i parametri del circuito equivalente serie, partendo da
quelli, noti, dell’ammettenza:
G
B
− 0,159
0, 04
XS = − L2 = −
= 5, 915 Ω
2 =
2 = 1, 488 Ω
Y
Y
0,164
0,164 2
Si può constatare che tali parametri sono gli stessi dell’impedenza precedentemente calcolata; passare da
un’ammettenza a un’impedenza significa, infatti, passare dal circuito parallelo a quello serie equivalente e viceversa.
RS =
3
A2 • Circuiti in corrente alternata monofase
Nel circuito di figura A2.5 il condensatore è di tipo variabile, con capacità C regolabile da zero a 200 μF.
Calcolare il valore che deve assumere C per avere un bipolo complessivamente ohmico-induttivo, con fattore di
potenza 0,8. In tali condizioni calcolare: la corrente con V = 50 V, le tensioni parziali e disegnare il diagramma
vettoriale. Calcolare inoltre il valore di C per ottenere la condizione di risonanza e le potenze in tale funzionamento.
R
L
–
VR
–
VL
C
R = 10 Ω
L = 100 mH
C = 0 ÷ 200 μF
–
I
f = 50 Hz
–
VC
–
V
Figura A2.5
Esercizio svolto 3.
Soluzione
Il triangolo dell’impedenza, nella condizione indicata dal testo, è riportato nella figura A2.6.
Da essa si ricava:
cosϕ = 0, 8 ⇒ ϕ = 36, 9° ; senϕ = 0, 6 ; tgϕ = 0, 75
ω = 2π f = 2π × 50 = 314 s −1
X L = ω L = 314 × 100 × 10 −3 = 31, 4 Ω
X L − XC = R tgϕ = 10 × 0, 75 = 7, 5 Ω
XC = X L − R tgϕ = 31, 4 − 7, 5 = 23, 9 Ω
C=
1
1
=
= 133 μF
ω XC 314 × 23, 9
L’impedenza del bipolo è data da:
Z = R + jX L − jXC = 10 + j 31, 4 − j 23, 9 = (10 + j 7, 5) Ω ;
– jXC
Z = 12, 5 Ω ∠36,9°
jXL
Prendendo come riferimento a fase zero la tensione totale si ha:
V = 50 V ∠0°
I=
V
50
=
∠(0° ± 36,9°) = 4 A ∠ ± 36,9°
Z 12, 5
I = 4[cos( −36, 9°) + j sen( −36, 9°)] = (3, 2 − j 2, 4) A
VR = R I = 10(3, 2 − j 2, 4) = (32 − j 24) V ; VR = 32 2 + 24 2 = 40 V
VL = jX L I = j 31, 4(3, 2 − j 2, 4) = (75, 4 + j 100, 5) V ;
VL = 75, 4 2 + 100, 52 = 125, 6 V
VC = − jXC I = − j 23, 9(3, 2 − j 2, 4) = ( −57, 4 − j 76, 5) V ;
VC = 57, 4 2 + 76, 52 = 95, 6 V
–
Z
ϕ
XL – XC
R
Figura A2.6
Esercizio svolto 3.
Triangolo
dell’impedenza
per cosϕ = 0,8.
Esercitazioni
Esercizio 3
Esercitazioni
4
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
Il diagramma vettoriale del circuito è riportato nella figura A2.7. Esso evidenzia gli sfasamenti delle tensioni
parziali rispetto alla corrente e l’angolo di ritardo di questa rispetto alla tensione totale, trattandosi di un circuito
complessivamente di tipo RL.
–
VL
Im
Figura A2.7
Esercizio svolto 3.
Diagramma vettoriale.
–
VLC
–
V
O
ϕ
Re
–
VR
–
I
–
VC
In questo caso la condizione di risonanza non è ottenuta variando la frequenza, ma agendo sul condensatore.
Uguagliando le due reattanze e indicando con Cr il valore di capacità che provoca la risonanza, si ha:
X L = XC ; ω L =
1
1
1
; Cr = 2 =
= 101, 4 μF
2
ω Cr
ω L 314 × 0,1
Lasciando costante la tensione applicata ed essendo, in questa condizione, Z = R, il nuovo valore della corrente è dato da:
Ir =
V 50
=
=5 A
R 10
I valori delle reattanze sono entrambe pari a 31,4 Ω (XC = XL) e quindi le potenze sono date da:
P = RIr2 = 10 × 52 = 250 W
QT = QL + QC = 785 − 785 = 0
QL = X L Ir2 = 31, 4 × 52 = 785 var
QC = − XC Ir2 = −31, 4 × 52 = −785 var
S = P = 250 VA
È importante constatare che in questa condizione di funzionamento, con V costante, essendo massima la corrente e anche il fattore di potenza (pari a 1), il circuito assorbe la massima potenza attiva.
Esercizio 4
Per il circuito di figura A2.8 calcolare R, IR, IC, IT con f = 50 Hz. Calcolare poi, tenendo costante la tensione, la
frequenza occorrente per ottenere un angolo di fase totale di 30°. In tali condizioni determinare la potenza apparente.
–
IT
–
IR
P = 400 W
–
IC
C = 10 μF
V = 50 V
–
V
R
C
Figura A2.8
Esercizio svolto 4.
Soluzione
Conoscendo la potenza attiva si risale alla conduttanza e quindi alla resistenza:
G=
P 400
=
= 0,16 S ;
V 2 50 2
R=
1
1
=
= 6, 25 Ω
G 0,16
Dopo aver calcolato la suscettanza capacitiva si determinano le correnti, tenendo presente lo sfasamento di
90° tra la corrente resistiva e quella capacitiva:
BC = ω C = 2π fC = 2π × 50 × 10 × 10 −6 = 3,142 × 10 −3 S
IC = BC V = 3,142 × 10 −3 × 50 = 0,157 A
I R = GV = 0,16 × 50 = 8 A ;
IT = I R2 + IC2 = 82 + 0,1572 ≅ 8 A
–
–
–
la IR –non cambia, mentre varia la IC , che assumerà un valore tale da
Variando la frequenza, con V costante,
–
portare a 30° l’angolo di anticipo di IT rispetto a V , come indicato sul diagramma vettoriale di figura A2.9, da cui
si ricava:
IC = I R tg 30° = 8 × 0, 577 = 4, 62 A
BC =
IC 4, 62
=
= 0, 0924 S ;
V
50
ω=
BC
0, 0924
=
= 9240 s −1
C 10 × 10 −6
f=
ω 9240
=
= 1470 Hz
2π
2π
Im
–
IC
–
IT
30°
O
–
IR
–
V
Re
Figura A2.9
Esercizio svolto 4.
Triangolo delle correnti
nel caso ϕ = 30°.
In tali condizioni la corrente totale e la potenza apparente saranno date da:
IT = I R2 + IC2 = 82 + 4, 62 2 = 9, 24 A
S = VIT = 50 × 9, 24 = 462 VA
Esercizi proposti
Esercizio 5
Un bipolo passivo, di tipo RL, assorbe la corrente I = 5 A e la potenza apparente S = 500 VA, con fattore di potenza 0,8. Calcolare il circuito equivalente serie e parallelo del bipolo. Supponendo di collegare, in parallelo allo
stesso, un resistore puro con R = 20 Ω, calcolare la corrente totale assorbita, lasciando inalterata la tensione di
alimentazione.
–
–
–
[Z S = (16 + j12) Ω; Y P = (0,04 – j0,03) S; I T = 9,49 A ∠–18,4°]
5
Esercitazioni
A2 • Circuiti in corrente alternata monofase
6
Modulo A • Risoluzione delle reti elettriche lineari in corrente alternata monofase
Esercitazioni
Esercizio 6
–
–
Per il circuito di figura A2.10 determinare la tensione di uscita Vu, la tensione d’ingresso Vi, il guadagno di tensione AV e l’angolo di sfasamento tra la tensione d’ingresso e quella d’uscita.
–
I
R1
–
IL
–
VI
–
IR
XL
–
IC
–
Vu
XC
R
R = 0,96 kΩ
R1 = 1 kΩ
XL = 1,5 kΩ
IR = 1,25 mA
XC = 0,5 kΩ
Figura A2.10
Esercizio proposto 6.
–
–
[Vw = 1,2 V ∠0°; Vi = 2,93 V ∠33,1°; Av = 0,41; ϕ = 33,1°]
Esercizio 7
Per il circuito di figura A2.11 calcolare I e Vu alle frequenze f1 = 150 Hz e f2 = 1500 Hz.
R
R = 20 kΩ
–
I
–
Vi
C
–
Vu
C = 50 nF
Vi = 10 V ∠0°
Figura A2.11
Esercizio proposto 7.
–
–
[f1 = 150 Hz: I 1 = 0,344 mA ∠46,7°; Vu1 = 7,29 V ∠–43,3°;
–
–
f2 = 1500 Hz: I 2 = 0,4975 mA ∠6°; Vu2 = 1,06 V ∠–84°]
Esercizio 8
Un resistore assorbe la potenza P = 0,5 W e la corrente I = 10 mA, con fase –30°. Calcolare la resistenza, i valori complessi della corrente e della tensione e le espressioni di i e di v in funzione del tempo, per f = 50 Hz.
Disegnare il diagramma vettoriale.
–
–
[R = 5 kΩ; I = (8,66 – j 5) mA; V = (43,3 – j 25) V;
i = 0,01414 sen (314,2 t – 0,524); v = 70,71 sen (314,2 t – 0,524)]
Esercizio 9
–
Un resistore con R = 100 Ω assorbe la corrente I = (2 + j 2) A, sinusoidale con f = 50 Hz. Calcolare: il valore efficace della tensione; la potenza attiva; l’espressione della potenza istantanea in funzione del tempo. Disegnare il
diagramma vettoriale.
[V = 282,4 V; P = 800 W; p = 1600 sen2 (314,2 t + 0,7854)]
Esercizio 10
–
Un induttore puro, avente L = 5 mH, è alimentato con la tensione V = (10 – j 20) V, sinusoidale con frequenza
1500 Hz. Calcolare la reattanza, la suscettanza e i valori efficaci della tensione e della corrente. Disegnare il diagramma vettoriale. Supponendo costante il valore efficace della tensione, spiegare come varia la corrente al variare della frequenza e disegnarne qualitativamente il grafico.
[XL = 47,1 Ω; BL = 21,2 mS; V = 22,4 V; I = 0,475 A]
A2 • Circuiti in corrente alternata monofase
7
Un condensatore puro assorbe la potenza reattiva Q = −12 var alimentato con tensione sinusoidale di valore efficace 24 V e frequenza 50 Hz. Calcolare il valore della capacità e quello della frequenza alla quale si ha
Q = −120 var.
[C = 66,3 μF; f = 500 Hz]
Esercizio 12
–
–
Del circuito di figura A2.12 calcolare, con T aperto: l’induttanza, l’angolo di sfasamento tra VAB e I1 , la potenza
attiva. Con T chiuso determinare: la corrente I e le potenze. Disegnare il diagramma vettoriale del circuito con
T chiuso.
L
R1
–
I1
R2
T
R1 = 50 Ω
R2 = 100 Ω
VAB = 120 V
f = 200 Hz
I1 = 1,2 A ( T aperto)
–
I
Figura A2.12
Esercizio proposto 12.
–
VAB
A
B
[L = 68,9 mH; ϕ1 = 60°; P = 72 W; I = 2,08 A;
P = 216 W (T chiuso); Q = 125 var; S = 250 VA]
Esercitazioni
Esercizio 11
