I numeri diagonali e i numeri laterali
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 13:15 - Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo 2011 11:51
Il caso del rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato è certamente uno dei casi, e forse il
primo, che condussero alla scoperta dell’incommensurabile. Nella scuola pitagorica si giunse in
epoca molto antica (certamente prima di Platone) all’acquisizione che il quadrato costruito sulla
diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato (teorema cosiddetto di Pitagora).
Se
d2 = 2 l2,
poiché
allora
Pertanto: se si pone il lato uguale ad 1, il rapporto tra diagonale e lato è:
Tuttavia tale rapporto resta fisso sempre, qualunque misura particolare si attribuisca al lato e
conseguentemente alla diagonale.
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Ora è un valore irrazionale: infatti, non è un numero intero, non è esprimibile con una frazione
ordinaria costituita da numeri finiti, e non è neppure un numero periodico; si potrebbe definirlo
come un
numero decimale illimitato aperiodico. Ma poiché tale valore
non è calcolabile mediante il rapporto di interi, bisogna concludere che non c’è rapporto finito di
commensurabilità tra diagonale e lato. Cioè non è possibile esprimere esattamente la radice
quadrata di 2 mediante un numero razionale
m/n
, vale a dire che è impossibile trovare due numeri interi
m
,
n
tali che si abbia:
ossia:
m 2 = 2n 2
cioè il doppio di un numero quadrato 2n2 non può essere un numero quadrato m 2 [1] .
Tuttavia,
quando ancora
noncorrispondente
era noto il carattere
di
, non conoscendo
il numero
a quelirrazionale
valore, si cercò
d’individuarlo.
Bisognava escogitare un procedimento per pervenire, dopo un certo numero di operazioni, al
calcolo di un tale valore.
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Si partì, a tale scopo, dalla seguente ipotesi:
se il quadrato costruito sulla diagonale è il doppio del quadrato costruito sul lato, bisogna allora
verificare se esista un numero, doppio di un certo numero quadrato (2n 2 ) tale che estraendone
la radice quadrata risulti un numero perfettamente esprimibile con una sola cifra o per mezzo di
una quantità finita di cifre; in tal caso, quest’ultimo numero, sottoposto all’operazione di
elevazione al quadrato, darà un altro numero quadrato (
m
2
), in modo che:
2n 2 = m 2
In breve: bisogna verificare se il doppio di un numero quadrato sia, a sua volta, un numero
quadrato.
Se si verifica che:
2n 2 = m 2
alloraun numero razionale in quanto
sarà
è, di certo,
un numero razionale.
E
poiché la misura della diagonale, questa risulterà espressa da un numero razionale; e, di
costituisce
conseguenza, la diagonale sarà commensurabile con il lato.
A tal fine si pensò di procedere ordinatamente ad aumentare la misura del lato, e
conseguentemente della diagonale, per vedere che cosa accadesse, mano a mano, tra i valori
numerici che esprimono l’area dei quadrati costruiti sul lato e sulla diagonale.
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Sorge quindi l’idea di trovare due numeri m ed n tali che con essi si ci avvicinino quanto più
possibile alla relazione
m 2 =2n 2 .
Pertanto:
- dato il lato uguale ad 1, il quadrato della misura del lato è uguale ad 1, e il quadrato della
misura della diagonale e uguale a 2 (= 2 * l);
- dato il lato uguale a 2, il quadrato della misura del lato è uguale a 4, e il quadrato della
misura della diagonale è 8 (= 2 * 4);
- dato il lato uguale a 3, il quadrato della misura del lato è 9, pertanto il quadrato della
misura della diagonale è 18 (= 2 * 9).
E così via.
Da questo procedimento, però, risultava che non esistono numeri quadrati (m 2 ), che siano
uguali al doppio di un certo numero quadrato (2
n
2
) sicché la diagonale restava ancora incommensurabile con il lato.
Non rimaneva, quindi, altra alternativa ai matematici antichi che tentare di approssimarsi al
valore
di
; e lo stesso
procedimento ora descritto offriva una possibilità.
Infatti, in alcuni casi il doppio di un certo numero quadrato differisce di 1, in più o in meno,
rispetto ad un altro numero quadrato.
Primo esempio:
- dato il lato uguale a 2, il suo quadrato è 4, il doppio di questo numero quadrato è 8;
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- dato il lato uguale a 3, il suo quadrato è 9; quindi il numero 8 (equivalente al quadrato
costruito sulla diagonale in una figura quadrata a lato uguale a 2) differisce di una unità, in
meno, rispetto al numero 9 (che esprime l’area del quadrato costruito sul lato uguale a 3).
Secondo esempio:
- dato il lato uguale a 5, il quadrato è 25, il doppio di questo numero quadrato è 50;
- dato il lato uguale a 7, il quadrato di questo numero è 49; anche ora si verifica che il
numero 50 (che esprime l’area del quadrato costruito sulla diagonale in una figura quadrata a
lato uguale a 5) differisce di una unità, ma ora in più, rispetto al numero 49 (che esprime l’area
del quadrato costruito sul lato uguale a 7).
Procedendo oltre si può costatare il verificarsi di altri casi simili. Ma, cosa ben più importante, si
possono stabilire due serie di valori numerici crescenti, di cui la prima:
(1, 2, 5, 12, 29, 70, 169…),
detta dei numeri laterali, contiene i numeri i cui quadrati, raddoppiati, differiscono di 1 dai
quadrati dei numeri corrispondenti nella seconda:
(1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 …),
detta dei numeri diagonali.
E se si indica con n un numero della prima serie (numero laterale) e con m il corrispondente
numero della seconda serie (numero diagonale), la relazione si può esprimere con la formula:
m 2 = 2n 2 ± 1.
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Tale equazione, dunque, risulta verificata per le seguenti coppie dei numeri diagonali-laterali:
1 e 1,
3 e 2,
7 e 5,
17 e 12,
41 e 29,
99 e 70,
239 e 169,
ecc…
Infatti ad esse corrispondono, rispettivamente, i seguenti valori:
1 = 2 – 1
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9=8+1
49 = 50 – 1
289 = 288 + 1
1681 = 1682 – 1
ecc…
Dall’analisi della tavola di queste coppie e dei valori corrispondenti risulta che i casi in cui si
verifica l’equazione sopra citata diventano sempre più rari mano a mano che si avanza nella
serie naturale dei numeri; inoltre, procedendo ordinatamente, si può costatare che i
raddoppiamenti dei quadrati dei numeri laterali risultano approssimati, alternativamente, per
difetto e per eccesso, ai quadrati dei numeri diagonali.
Altra e più importante constatazione è che nell’equazione sopra citata m 2 rappresenta un valore
approssimato di
2n 2 ;
allora
m
2
/n
2
è un valore approssimato di 2; cioè se si dividono i numeri diagonali al quadrato per i
corrispondenti numeri laterali al quadrato si otterranno dei numeri approssimati al 2; e di
conseguenza
m/n
darà
approssimato
; cioèunsevalore
si divide
un numerodidiagonale per il corrispondente numero laterale, si otterrà un
valore
all’incommensurabile
; e se approssimato
si procede sistematicamente
nella divisione, si avrà una serie di valori che saranno
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alternativamente
approssimati
a per eccesso; per di più a valori più grandi di m e di n la
, una volta per difetto
ed una volta
divisione darà valori che rappresentano progressivamente uno scarto sempre minore
nell’approssimazione
a vicini, una volta per difetto e una volta per eccesso, all’irrazionale
,, ossia
saràdare
sempre
infatti si
basta
uno più
sguardo ai valori decimali corrispondenti alle frazioni per costatarlo:
E saranno così ottenute due serie di valori convergenti, l’una per difetto e 1’altra per eccesso,
che
. hanno come loro limite
L’enunciato degli Elementi, cioè la Proposizione 10 del Libro II afferma:
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“Se si divide per metà una linea retta ed un’altra le è aggiunta, il quadrato di tutta la prima retta
più quella aggiunta ed il quadrato della retta aggiunta, presi ambedue assieme, sono il doppio
della somma del quadrato della metà della prima retta e del quadrato descritto, come su una
sola linea retta, sulla retta composta dalla metà della prima e da quella aggiunta” [2] .
Mentre nella Proposizione 9 del Libro II degli Elementi di Euclide si legge:
“Se si divide una linea retta in parti uguali e disuguali, la somma dei quadrati delle parti
disuguali è il doppio della somma del quadrato della metà della retta e del quadrato della parte
compresa fra i punti di divisione”.
Se si trascrivono algebricamente i due enunciati, indicando con d e l rispettivamente il numero
diagonale e il numero laterale e con
2n
e
m
i due segmenti di retta come nella Proposizione 10 del Libro II degli
Elementi
si ottiene la seguente formula per il teorema pitagorico:
d i = d i-1 + 2l i-1
l i = l i-1 + d i-1
mettendo i valori su due righe si ha:
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d i 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577 ,…,
l i 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 ,…,
Osservando il diagramma dei numeri diagonali e laterali si può vedere come:
“La somma dei quadrati di due numeri diagonali successivi è equivalente al doppio della
somma dei quadrati dei corrispondenti numeri laterali”.
Teone Smirneo chiama numeri laterali quelli della seconda riga e numeri diagonali quelli della
prima riga: infatti se i numeri della seconda riga indicano la lunghezza del lato di un quadrato, i
numeri della prima riga danno valori approssimati della lunghezza della diagonale.
Questa determinazione di valori approssimati della radice quadrata di 2 è stata quasi
certamente determinata in modo empirico ed ha lasciato traccia in Teone Smirneo (Exposition
des connaissance mathématique utiles pour la lecture de Platon
[3]
), e in Proclo nel commento alla
Repubblica
di Platone, infatti Proclo nel commentare
Repubblica
, VIII,546 c5, che riporta la distinzione tra la diagonale esprimibile e quella inesprimibile, ci
riferisce di un teorema “elegante” che i Pitagorici avrebbero dimostrato “per mezzo di numeri”
mentre lo stesso teorema sarebbe dimostrato “per mezzo di linee” nella Proposizione 10 del
Libro II degli
Elementi
di Euclide.
Il teorema pitagorico verte “sulle diagonali e sui lati” ed è lo stesso che Teone Smirneo presenta
nella sua prima sezione, L’Aritmetica, sotto il titolo di numeri diagonali e laterali, e Giamblico, in
Nicomachi Aritmeticam Introductionem
, in relazione al rapporto (logos) laterale e diagonale.
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Se si confrontano gli enunciati dei due teoremi, il primo dimostrabile aritmeticamente e il
secondo geometricamente, si trova che la diversità della loro enunciazione pone il problema di
una derivazione tra i due.
Gli studiosi (Zeuthen, Becker, Michel) considerano il teorema nella forma euclidea e ne
mostrano la parentela con quello sui numeri diagonali e laterali.
Però Proclo nel Commento al Libro I degli Elementi afferma che la proposizione 10 del Libro II
è valida sia geometricamente che aritmeticamente, rientrando in quei teoremi comuni tanto
all’Aritmetica che alla Geometria.
Se si vuole seguire l’indicazione di Proclo è necessario derivare l’enunciato della Proposizione
10 del Libro II dal teorema pitagorico, che per il riferimento di Platone sembra essere ben
anteriore all’enunciato euclideo.
Se osserviamo separatamente i valori di d ed l scopriamo che essi possono essere definiti
ricorsivamente, i numeri diagonali sono definiti tramite le formule:
d(1) = 1
d(2) = 3
d(x) = 2 * d(x – 1) + d(x – 2)
mentre i numeri laterali tramite le formule:
l(1) = 1
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l(2) = 2
l(x) = 2 * l(x – 1) + l(x – 2)
Possiamo pertanto utilizzare queste formule per ottenere un algoritmo per il calcolo dei numeri
diagonali e dei numeri laterali.
La meccanizzazione del calcolo rientra decisamente tra le aspirazioni sempre perseguite dalla
matematica;
un esempio critico è il metodo di Erone per il calcolo di
.
Se
x 2 = 2,
è
x * x = 2,
cioè:
.
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Supposto, dunque, che x 0 sia una approssimazione della soluzione x* dell’equazione, anche
lo è (anzi, se una lo è per difetto l’altra lo è per eccesso).
La media aritmetica delle due approssimazioni fornisce dunque un valore x 1 più vicino a x* di
quanto lo fosse
x
0
:
Il passo successivo è una ripetizione:
;
così ancora:
per n = 0,1,2,...... sintetizza la procedura ricorsiva [4] .
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[1] A. Frajese, Elementi di Euclide.
[2] trad. A.Frajese e L.Maccioni
[3] traduzione francese di J. Dupus, Parigi, Hachette, 1892, pp.70-75
[4] E. Ambrisi, Spunti in matematica discreta, in quaderno XXXVI Olimpiadi di Matematica,
Cesenatico,1995
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