Elettronica II – La giunzione p-n:
calcolo della relazione
tensione-corrente
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica II – La giunzione p-n: calcolo della relazione tensione-corrente – p. 1
Densità di carica elettrica
La densità di carica ρ è il rapporto tra la carica elettrica
contenuta all’interno di un volume e il volume stesso:
∆Q
∆x∆y∆z
∆z
ρ=
∆y
∆x
In un semiconduttore drogato, la densità totale dei carica è:
ρ = q0 (p − n + ND − NA )
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Equazione di Poisson
La densità di carica elettrica è legata al potenziale elettrico
dall’equazione di Poisson:
∇2V = −
ρ
ε
dove ε è la costante dielettrica e ∇2 è l’operatore di Laplace:
2
2
2
∂
∂
∂
+
+
V
∇2V =
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
Se consideriamo solo le variazioni lungo l’asse x (caso
monodimensioale), l’equazione di Poisson è:
q0
dE
d 2V
= − (p − n + ND − NA )
=−
2
dx
dx
ε
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Approssimazione di svuotamento
cariche fisse
-
+
-
p
+
+
-
n
regione di
svuotamento
Esistono due zone neutre in cui le concentrazioni dei
portatori (n e p) sono costanti:
nella zona p le concentrazioni sono p p (lacune
maggioritarie) e n p (elettroni minoritari)
nella zona n le concentrazioni sono nn (elettroni
maggioritari) e pn (lacune minoritarie)
La zona di svuotamento è completamente svuotata di
portatori: n = p = 0
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Profili per una giunzione a gradino
drogaggio:
ND - NA
concentrazioni:
n, p
ND
nn
-xp
xn
-pp
x
-NA
La giunzione è in x = 0; il drogaggio è di tipo p per x < 0 e di
tipo n per x > 0. La regione di svuotamento si estende da
−x p a xn . Le aree colorate rappresentano la densità di
cariche fisse nella regione di svuotamento.
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Equazione di Poisson per la giunzione
Con l’approssimazione di svuotamento, l’equazione di
Poisson assume le seguenti forme:
per −x p < x < 0 (cioè nella regione di svuotamento dal
lato p):
q0 NA
dE
d 2V
=
=
−
dx2
dx
ε
per 0 < x < xn (cioè nella regione di svuotamento dal
lato n):
q0 ND
dE
d 2V
=
−
=
−
dx2
dx
ε
per x < −x p oppure per x > xn (nella zona neutra):
dE
d 2V
=0
=
−
dx2
dx
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Campo elettrico nella giunzione (1)
Integrando l’equazione di Poisson si calcola il campo
elettrico:
nella zona neutra (per x < −x p oppure per x > xn ):
E =0
nella regione di svuotamento dal lato p (per
−x p < x < 0):
E (x) = −
q0 NA
(x + x p )
ε
nella regione di svuotamento dal lato n (per 0 < x < xn ):
E (x) = −
q0 ND
(xn − x)
ε
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Campo elettrico nella giunzione (2)
campo elettrico:
E
-xp
xn
x
Il vettore campo elettrico è continuo −→ il valore di
E (x = 0) può essere calcolato indifferentemente partendo
dal lato p o dal lato n, e si ottiene lo stesso valore; quindi:
NA x p = ND xn
e la regione di svuotamento di estende di più nella parte
meno drogata.
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Equazione di continuità (1)
∆x)
∆z
+
J n(x
)
J n(x
∆y
∆x
x
x+
∆x
In un volume ∆x∆y∆z la velocità di incremento del numero di
elettroni è legata alla differenza tra la corrente entrante e
quella uscente, e alla differenza tra la generazione Gn e la
ricombinazione Rn :
Jn (x) Jn (x + ∆x)
∂n
−
∆x∆y∆z =
∆y∆z + (Gn − Rn ) ∆x∆y∆z
∂t
−q0
−q0
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Equazione di continuità (2)
Dividendo per il volume ∆x∆y∆z:
1 Jn (x + ∆x) − Jn(x)
∂n
=
+ Gn − R n
∂t
q0
∆x
e sostituendo il rapporto incrementale con la derivata, si ha:
1 ∂ Jn
∂n
=
+ Gn − R n
∂t
q0 ∂ x
Questa è l’equazione di continuità per gli elettroni.
In modo analogo si ricava l’equazione di continuità per le
lacune:
1 ∂ Jp
∂p
=−
+ Gp − Rp
∂t
q0 ∂ x
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Iniezione (1)
L’equazione del potenziale di giunzione è:
VJ =
kT
nn
ln
q0 n po
dove il secondo pedice o in n po indica l’assenza di tensione
applicata esternamente alla giunzione.
Risolvendo rispetto a n po , si ottiene:
q0VJ
n po = nn exp −
kT
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Iniezione (2)
VD
-
+
+
VJ
Applicando ai capi del diodo una tensione diretta VD , la
concentrazione dei portatori minoritari diventa:
q0 (VJ −VD )
n p = nn exp −
kT
(la tensione VJ è discorde rispetto ai segni dei terminali del
diodo!)
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Iniezione (3)
Quando un diodo conduce corrente, vengono iniettati
portatori (elettroni che si muovono dal lato n verso il lato p,
e lacune che si muovono dal lato p verso il lato n).
L’eccesso di portatori dovuto all’iniezione si indica con:
n0p = n p − n po
dove n po è la concentrazione dei portatori minoritari in
assenza di iniezione.
V
q
0
D
−1
n0p = n po exp
kT
q0VD
0
Analogamente, per le lacune: pn = pno exp kT − 1
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Basso livello di iniezione
La condizione di basso livello di iniezione si ha quando la
concentrazione dei portatori iniettati è minore della
concentrazione dei portatori maggioritari, cioè quando,
anche tenendo conto dei portatori iniettati,
np pp
e
pn n n
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Ricombinazione netta (1)
La ricombinazione netta U è la differenza tra
ricombinazione e generazione:
U = R−G
In condizioni di iniezione, il prodotto tra le concentrazioni
dei portatori è maggiore del quadrato della concentrazione
intrinseca:
np > n2i
e quindi la ricombinazione prevale sulla generazione.
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Ricombinazione netta (2)
In condizioni di basso livello di iniezione, la ricombinazione
netta è proporzionale all’eccesso di portatori minoritari.
Nel semiconduttore drogato p la ricombinazione netta è:
n0p n p − n po
=
Un =
τn
τn
dove τn è il tempo di vita medio degli elettroni.
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Corrente nella giunzione (1)
La derivata di J p rispetto a x è:
∂ Jp
∂ E (x)
∂ p(x)
∂ 2 p(x)
= q0 µ p p(x)
+ µ p E (x)
− q0 D p
∂x
∂x
∂x
∂ x2
Poiché nella zona neutra E (x) = 0, l’equazione di continuità
diventa:
∂p
∂ 2 p(x)
= Dp
−U p
∂t
∂ x2
e, in condizioni di basso livello di iniezione,
∂p
∂ 2 p(x) pn − pno
= Dp
−
∂t
∂ x2
τp
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Corrente nella giunzione (2)
In regime stazionario tutte le derivate rispetto al tempo
sono nulle; quindi l’equazione di continuità diventa:
∂ 2 p(x) p0n
−
=0
Dp
∂ x2
τp
e la soluzione nella zona neutra di tipo n (per x > xn ) è del
tipo:
!
!
x
−
x
x
−
x
n
n
+ B exp p
p0n (x) = A exp − p
D pτ p
D pτ p
con A e B costanti da determinare in base alle condizioni al
contorno.
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Corrente nella giunzione (3)
Nell’equazione:
x − xn
p0n (x) = A exp − p
D pτ p
!
x − xn
+ B exp p
D pτ p
!
p
la costante D p τ p = L p è la lunghezza di diffusione.
Poiché la concentrazione di portatori diminuisce
allontanandosi dalla giunzione, deve essere B = 0.
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Corrente nella giunzione (4)
L’andamento della concentrazione dei portatori iniettati è:
x − xn
0
pn (x) = A exp −
Lp
Usando la formula dell’iniezione dei portatori minoritari, si
calcola la costante A, ottenendo:
q
x
−
x
V
0
D
n
− 1 exp −
p0n (x) = pno exp
kT
Lp
e la corrente è:
x − xn
d pn
pno
q0VD
= q0 D p
− 1 exp −
exp
J p (x) = −q0 D p
dx
Lp
kT
Lp
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Corrente nella giunzione (5)
Dall’equazione:
x − xn
d pn
pno
q0VD
= q0 D p
− 1 exp −
exp
J p (x) = −q0 D p
dx
Lp
kT
Lp
prendendo il valore della densità di corrente per x = xn , si
ha:
q0VD
pno
exp
−1
J p (xn ) = q0 D p
Lp
kT
Moltiplicando per la sezione della giunzione S, si ricava
l’intensità di corrente:
pno
q0VD
q0VD
− 1 = IS exp
−1
exp
ID = Sq0 D p
Lp
kT
kT
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