( )2 ( ) ( ) a b ( )= a2

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Docente: Ana Millán Gasca
a.a. 2009-2010
Complementi ed esercitazioni 6
(Tema II I numeri interi)
Assiomi di Peano per i numeri naturali:
Si consideri:
un insieme N i cui elementi si chiamano numeri
un elemento di N indicato con 1
"# N
una funzione successore che associa ad ogni numero naturale un successore sc : N "
per i quali si hanno i seguenti assiomi
assioma 1ogni numero naturale ha un successore e uno solo, e inoltre due numeri diversi
!
hanno successori diversi
assioma 2 l’elemento 1 non è il successore di alcun numero
assioma 3 (induzione) Se a un sottoinsieme A di N appartiene l’elemento privilegiato 1 e
anche il successore di ogni numero del sottoinsieme, vale a dire, se A verifica le seguenti due
condizioni:
(i) 1 " A
(ii) se k " A, allora k + 1 " A
allora A = N
!
1) Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione dei numeri
! le identità notevoli:
naturali, dimostri
!
2
(a + b) = a 2 + b 2 + 2ab
2
(a " b) = a 2 + b 2 " 2ab
(a + b) # (a " b) = a 2 " b 2
2) Calcoli mentalmente, applicando le leggi dell’aritmetica:
(i) 12 " 26 # 20 "12
!
(ii) 77 + 33
(iii) 50 + (18 + 20)
(iv) 4 " 9 " 50
!
Ricordi la gerarchia nelle operazioni che serve a interpretare correttamente le espressioni
aritmetiche e algebriche: le moltiplicazioni devono essere eseguite prima delle addizioni, e quindi
!
quando si vuole dare priorità alle addizioni bisogna usare una parentesi. Ad esempio:
3" 2 + 4 " 3 = 18
3" (2 + 4) " 3 = 54
1
!
3) Rifletta sul modello delle scatole di palline o bottoni per i numeri naturali (si veda materiale
didattico, lezione 3)
a) Si tratta di un modello che esprime un approccio ordinale oppure un approccio cardinale al
numero naturale? Argomenti la sua risposta
b) Questo modello può essere utile per mettere in evidenza la base intuitiva su cui si fondano le
leggi fondamentali della aritmetica. Per moltiplicare a e b si forma una nuova scatola con a
righe, ciascuna composta di b palline, ottenendo così anche b colonne, ciascuna composta di
a palline. Proponga degli esempi di questo modello per verificare la proprietà commutativa
della moltiplicazione e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
«Modelli geometrici analoghi alle nostre scatole di palline, quali l’antico abaco,
furono diffusamente utilizzati per il calcolo numerico fino al Medioevo avanzato, e
vennero poi lentamente sostituiti da metodi simbolici molto superiori, basati sul
sistema decimale.»
(Courant, Robbins, Che cos’è la matematica, p. 39)
4) Rifletta sui regoli colorati come modello concreto del concetto astratto di numero naturale.
a) Si tratta di un modello che esprime un approccio ordinale oppure un approccio cardinale al
numero naturale? Argomenti la sua risposta
b) Anche questo modello può essere utile per mettere in evidenza la base intuitiva su cui si
fondano le leggi fondamentali della aritmetica. Proponga degli esempi per illustrare la
validità delle proprietà dell’addizione dei numeri naturali. Tali esempi, costituiscono una
dimostrazione delle proprietà?
5) Esplori le somme successive della successione dei numeri dispari:
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Ogni numero dispari è della forma 2 " n #1 (si veda ESERCITAZIONI 5, n. 3b)
Calcoliamo quindi
!
1
1+ 3
1+ 3 + 5
1+ 3 + 5 + 7
(«OK, disse Roberto, risparmiati le spiegazioni. Lo capisce anche uno stupido cosa succede.
Sono tutti numeri saltellati, né più, né meno» Il mago dei numeri, La quinta notte.)
!
Provi a ottenere una formula per la somma dei primi n numeri dispari, e quindi la dimostri
usando il principio di induzione
6) Calcoli il valore delle somme delle potenze di due: le prime due, le prime tre, le prime quattro, e
così via.
2
Rifletta sull’andamento di questa fila di numeri e provi a ottenere una formula per la somma
delle prime n potenze di 2, con n un numero naturale scelto a piacere. Dimostri la formula
applicando il principio di induzione.
7) Le parole numerali, i simboli numerici e il concetto astratto di numero.
N.B. Prepari un breve schema del tema da svolgere e scriva quindi la risposta in modo chiaro e
conciso in una cartella circa.
8) Calcoli il valore delle prime somme dei cubi dei numeri naturali:
13
13 + 2 3
13 + 2 3 + 33
13 + 2 3 + 33 + 4 3
....
Dimostri che la somma dei cubi dei numeri naturali da 1 a n è uguale al quadrato della somma
dei numeri da 1 a n, vale a dire
!
" n ( n + 1) % 2
1 + 2 + 3 + ...+ n = $
'
# 2 &
3
3
3
3
2
n 2 ( n + 1)
(Si tratta quindi di dimostrare la formula 1 + 2 + 3 + ...+ n =
, applicando il
4
!
principio di induzione).
3
3
3
3
9) Dimostri la proposizione geometrica seguente:
!
Tracciando n rette in un piano non si può dividere il piano in più di 2 n parti.
10) Dimostri la proposizione geometrica seguente:
!
La somma degli angoli di un poligono convesso di n + 2 lati è n angoli piatti.
11) La successione o “fila” dei numeri Pn , così come i numeri triangolari, i pari o i dispari, sono
!
progressioni aritmetiche: a partire da un numero iniziale,
tutti i successivi si ottengono
sommando al precedente un numero fisso detto differenza.
(i)
(ii)
Provi a costruire la progressione aritmetica con primo elemento 1 è differenza 3 e
proponga una formula esplicita per calcolare i termini.
Provi a costruire la progressione aritmetica con primo elemento 4 è differenza 10 e
proponga una formula esplicita per calcolare i termini.
12) Dimostri la seguente formula per la somma di n termini consecutivi di una progressione
aritmetica di primo termine 1 e differenza 4
1+ 5 + 9 + ...+ ( 4n + 1) = 2n 2 + 3n + 1
3
!
13) Scriva il numero miletrecentocinquanta nei sistemi di numerazione che conosce e indichi per
ognuno di essi la decomposizione del numero usata per rappresentarlo.
14) Descriva per estensione o per comprensione due sottoinsiemi finiti e due sottoinsiemi infiniti di
N.
15) Consideri i seguenti due sottoinsiemi dell’insieme dei numeri naturali N: A è l’insieme dei
multipli di 3 e B è l’insieme dei numeri naturali che danno resto 1 nella divisione per 3
A = {3" k,k # N }
B = {3" k + 1,k # N }
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Indichi tre elementi di ognuno di questi insiemi
Rappresenti graficamente gli insiemi A, B e l’insieme dei numeri naturali N con un
!
diagramma di Eulero-Venn
A e B sono disgiunti?
L’insieme dei multipli di 9 è un sottoinsieme di A?
16) Consideri l’insieme A dei numeri naturali che danno resto 3 nella divisione per 4 e risponda ai
quesiti seguenti.
(a) Scriva questo insieme per estensione e per comprensione.
(b) Trovi un sottoinsieme di A.
(c) Sia B l’insieme dei multipli di 4. Trovi A " B .
17) Definizione e proprietà della relazione “essere maggiore o uguale” nell’insieme dei numeri
naturali
!
18) Scriva simbolicamente l’insieme dei divisori di 20 e trovi, se esiste, l’elemento minimo e
l’elemento massimo. Trovi minimo e massimo, se esistono, per l’insieme dei numeri dispari; per i
numeri quadrati; per un segmento iniziale di lunghezza l? Quale è l’elemento minimo di N? Quale è
l’elemento minimo di Z? E di N " {0} ?
19) In una progressione aritmetica di primo termine a e differenza d si può sempre calcolare la
!
somma dei primi n termini
con la formula seguente:
(n + 1) " (2a + nd)
2
Verificare la formula in alcuni casi delle progressioni costruite nell’esercizio 11.
20) Dimostrare, con il principio di induzione la seguente uguaglianza:
!
1
1
1
1
n
+
+
+ ...+
=
1" 2 2 " 3 3" 4
n " ( n + 1) n + 1
2
(Per gli esercizi 8 e 11, ricordare le identità notevoli, come ( a + b) = a 2 + 2ab + b 2 .)
!
4!
21) Le frazioni del tipo
1 1 1 1 1
, , , , ,...
1 2 3 4 5
!
si chiamano frazioni unitarie. L’insieme delle frazioni unitarie ha un elemento minimo? Ha un
elemento massimo? Considerare il numero 0,35 e trovare una frazione unitaria minore di questo
numero decimale.
22) Riscriva gli assiomi di Peano prendendo come elemento privilegiato lo 0.
23) Enunci la definizione matematica di contare (e di insieme finito)
24) Risponda alle seguenti domande giustificando la sua risposta sulla base delle definizioni
matematiche opportune:
a) l’insieme delle vocali italiane è un insieme finito?
b) l’insieme dei numeri dispari è un insieme numerabile?
25) Risponda alle seguenti domande giustificando la sua risposta sulla base delle definizioni
matematiche opportune:
(a) L’insieme dei multipli di 5 è un insieme numerabile? Giustifichi la risposta.
(b) L’insieme dei divisori di 100 è un insieme finito? Giustifichi la risposta.
26) Calcolare:
(i) 18-20; (ii) 56-35; (iii) 75 " (#2) ; (iv) 43" 3; (v) (-15) " (#4 ); (vi) 6 " 5 # 2; (vi) (-2 +14 ) " (#12)
27) Spieghi le proprietà di cui godono le operazioni con i numeri naturali e come le loro limitazioni
portano ad ampliare il sistema dei numeri della matematica
!
!
28) Consideri l’insieme degli opposti dei numeri pari. Ha un minimo? Ha un massimo?
29) Compili un riepilogo di regole per lo zero:
sc(0) = ; n + 0 = ; 0 + 0 = ; n " 0 = ; n " n = ; 0 " 0 = ; 0 ÷ n =; 0 =
30) Dimostri che, dati z,l " Z, se z # l, allora $ l # $z .
!
31) Compili un elenco completo delle proprietà delle operazioni di addizione e di moltiplicazione
nell’insieme Z.
!
32) Quale proprietà ha l’addizione di numeri interi che non ha l’addizione di numeri naturali? Dia
l’enunciato e proponga un esempio.
33) Per ognuna di queste affermazioni semplici prepari un riepilogo schematico della teoria
sviluppata nella lezione:
(i) i numeri naturali sono infiniti
5
(ii) i numeri naturali si possono confrontare fra di loro
(iii) i numeri naturali si possono addizionare e moltiplicare
34) Per ognuna delle affermazioni dell’esercizio 18, indichi qualche semplice esperienza elementare
del bambino, intorno alla realtà fisica.
35) Per ognuna delle affermazioni dell’esercizio 18, progetti qualche semplice esperienza
elementare del bambino che può essere proposta prima della scuola dell’obbligo
36) Per ognuna delle affermazioni dell’esercizio 18, progetti qualche semplice esperienza
elementare del bambino che può essere proposta nel primo mese della classe prima.
37) Sia C l’insieme delle cifre che servono a scrivere il numero cento quaranta mila duecento sei e
consideri il segmento iniziale I3 di N. Determinare:
(a)
(b)
l’insieme intersezione di C e I3
l’insieme unione di C e I3
38) “Il matematico può, almeno in certo grado, prescindere dalle questioni propriamente filosofiche
che qui si riattavano: se, e fino a che punto e in qual senso, l’idea di un oggetto in generale e della
sua identificazione e discriminazione da altri oggetti, resulti da esperimenti; e se ancora da
esperimenti fisici e psicologici rilevi la corrispondenza che poniamo fra oggetti e oggetti, in cui altri
vede piuttosto la consapevolezza delle facoltà associative dello stesso pensiero. Sebbbene accade
pure di scorgere un qualche influsso del presupposto filosofico sull’indirizzo della critica
matematica, per esempio nella preferenza che alcuni critici danno al numero ordinale sul cardinale,
perché quello, a differenza di questo, sembra riflettere l’idea del tempo, e perché venga ritenuto
come primo nell’acquisto psicologico”
F. Enriques, Questioni riguardanti la matematica elementare. Parte I. Critica dei principi, vol. 1, La
serie infinita dei numeri, 3° edizione, 1924, p. 235.
Secondo lei, la scelta degli assiomi di Peano è dettata da una preferenza del numero ordinale sul
cardinale o viceversa? E invece la definizione di numero per astrazione a partire dall’idea di
corrispondenza biunivoca fra insiemi?
39) Consideri la proprietà dei numeri naturali descritta in notazione simbolica nel modo seguente:
1+ 2 + ...+ n =
(a)
(b)
(c)
(d)
n " ( n + 1)
2
#n $ N
Enunci a parole la proprietà descritta da questa formula.
Verifichi la validità della formula per il numero naturale 5.
!
Che numeri si ottengono
applicando questa formula?
Dimostri la proprietà.
6