Leonardo Colzani
IL MODELLO DI POINCARÉ
DELLA GEOMETRIA NON EUCLIDEA
Maurits Cornelis Escher
1
Limite del Cerchio 1960
I POSTULATI DI EUCLIDE:
(1) Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
(2) Una linea retta si può prolungare inde…nitamente.
(3) Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
(4) Tutti gli angoli retti sono uguali.
(5) Se una retta taglia altre due rette, prolungando le due rette, esse si
incontrano dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.
Un postulato di Proclo, equivalente al quinto, è che per un punto è possibile tracciare una ed una sola parallela ad una retta data. Negando il quinto
postulato, si ottiene una geometria non euclidea. La geometria euclidea è la
geometria su una super…cie con curvatura nulla. La geometria non euclidea ellittica è la geometria su una super…cie con curvatura positiva, la sfera, non ci
sono parallele e la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due
angoli retti. La geometria non euclidea iperbolica è la geometria su una super…cie con curvatura negativa, la pseudosfera, per un punto fuori da una retta è
possibile tracciare in…nite parallele alla retta, la somma degli angoli interni di
un triangolo è minore di due angoli retti, più un triangolo è grande minore è la
somma degli angoli, e non esistono triangoli con area arbitrariamente grande,....
La geometria non euclidea iperbolica è stata scoperta indipendentemente
da Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolai Ivanovic Lobacevsky (1792-1856),
János Bolyai (1802-1860), e modelli di questa geometria sono stati costruiti
da Eugenio Beltrami (1835-1900), Felix Christian Klein (1849-1925), e Jules
Henri Poincaré (1854-1912). Questi modelli mostrano che il quinto postulato di
Euclide non è conseguenza dei primi quattro, e che la geometria non euclidea è
consistente tanto quanto quella euclidea.
TRASFORMAZIONI LINEARI FRATTE
Una equazione di¤erenziale lineare omogenea del second’ordine con coe¢ cienti analitici ha soluzioni analitiche,
A (x)
d2 y
dy
+ B (x)
+ C (x) y = 0:
dx2
dx
2
Queste soluzioni sono ben de…nite in ogni aperto semplicemente connesso che
non contiene zeri del coe¢ ciente A (x) o poli di B (x) e C (x). Se la variabile
x gira intorno ad uno zero di A (x) o un polo di B (x) o C (x), una variabile si
trasforma in un’altra. In particolare, una base per le soluzioni fy1 (x) ; y2 (x)g
si trasforma in un’altra base fY1 (x) ; Y2 (x)g,
Y1 (x) = y1 (x) + y2 (x) ;
Y2 (x) = y1 (x) + y2 (x) ;
Y1 (x) =Y2 (x) =
y1 (x) =y2 (x) +
:
y1 (x) =y2 (x) +
La funzione z (x) = y1 (x) =y2 (x) prende quindi più valori, e la funzione
inversa x (z) è automorfa,
z+
z+
x (z) = x
:
De…nizione: Una trasformazione lineare fratta è una trasformazione della
sfera S = C [ f1g del tipo
z+
:
w=
z+
In coordinate omogenee z = z1 =z2 e w = w1 =w2 ,
w1
w2
z1
z2
=
:
Teorema:
(1) Due matrici multiple una dell’altra danno la stessa trasformazione e la
trasformazione è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Le trasformazioni w = ( z + ) = ( z + ) e z = ( w
) = ( w + ) sono l’una inversa
dell’altra. In particolare, l’insieme delle trasformazioni invertibili è un gruppo, il
gruppo lineare proiettivo PGL (2; C). Questo gruppo è generato dalle traslazioni
w = z + , dilatazioni e rotazioni w = z, e dall’inversione w = 1=z.
(2) Dati tre punti distinti fa; b; cg e tre punti distinti fA; B; Cg nella sfera
S, esiste una ed una sola trasformazione lineare w = T (z) con T (a) = A,
T (b) = B, T (c) = C.
(3) Le trasformazioni lineari fratte trasformano rette e cerchi in rette e cerchi, e conservano il birapporto
(a; b; c; d) =
a
a
c b
:
d b
c
:
d
(4) Le trasformazioni lineari fratte sono conformi, cioè conservano gli angoli
tra le curve.
Dimostrazione: (1) La dimostrazione che le trasformazioni lineari sono un
gruppo è immediata. Per dimostrare questo gruppo è generato dalle traslazioni,
3
dilatazioni, rotazioni, e dall’inversione, basta osservare che
z+
z+
=
( = )( z + ) + (
z+
= )
(
=
)=
2
z+ =
+ = :
(2) Nella trasformazione w = ( z + ) = ( z + ) i parametri f ; ; ; g sono
de…niti a meno di una costante, ci sono tre gradi di libertà e si possono imporre
tre condizioni. Più esplicitamente, la trasformazione
P (z) =
a c
:
b c
z
z
a
b
manda fa; b; cg in f0; 1; 1g e la trasformazione
Q (z) =
z
z
A C
:
B C
A
;
B
manda fA; B; Cg in f0; 1; 1g. Quindi Q 1 T (z) manda fa; b; cg in fA; B; Cg.
(3) Nel campo complesso le rette ed i cerchi hanno equazioni azz + bz + cz +
d = 0, se a = 0 è una retta e se a 6= 0 è un cerchio. Le traslazioni, dilatazioni,
rotazioni, e l’inversione, conservano la famiglia di queste equazioni. Per esempio,
l’inversione w = 1=z trasforma azz +bz +cz +d = 0 in dww+cw+dw+a = 0. La
dimostrazione che le traslazioni, dilatazioni, rotazioni, e l’inversione, conservano
il birapporto è simile. Per esempio, nel caso dell’inversione basta veri…care che
1=a
1=a
1=c 1=b
:
1=d 1=b
1=c
a
=
1=d
a
c b
:
d b
c
:
d
(4) Tutte le trasformazioni olomorfe invertibili sono conformi.
Teorema:
(1) Il gruppo degli automor…smi del disco fjzj < 1g sono le trasformazioni
lineari fratte
z
w = ei#
;
1
z
con 0 # < 2 e j j < 1.
(2) Ogni automor…smo del disco si fattorizza in R T R' , con R' = ei' z
e T (z) = (
z) = (1
z), 0
' < 2 e 0
< 1. In particolare, gli
automor…smi del disco agiscono in modo doppiamente transitivo sul disco, si
può mandare un punto del disco in un qualunque altro punto del disco e poi si
può girare intorno a questo punto.
Dimostrazione: (1) La trasformazione w = (
z) = (1
z) è l’inversa di
se stessa, scambia 0 con , e manda il cerchio fjzj = 1g in se. Infatti, se z = ei# ,
1
ei#
=
ei#
ei#
1
1
e i#
:
ei#
E jw=wj = 1. In…ne, se S(z) è un automor…smo del disco con S(0) = e
se T (z) = (
z) = (1
z), allora T S(z) trasforma il disco nel disco e …ssa
4
l’origine, T S(0) = 0 e, per il Lemma di Schwarz, jd=dz T S(0)j 1. Similmente,
per il lemma di Schwarz applicato all’automor…smo inverso, d=dz S 1 T 1 (0)
1. Quindi jd=dz T S(0)j = 1, e dal lemma di Schwarz si ricava che T S(z) = ei# z
è una rotazione. Quindi, S(z) = T ei# z .
(2) Se = e i' , allora
ei#
1
z
= ei(#
z
)
1
ei' z
:
ei' z
Teorema:
La trasformazione lineare fratta w = i (1 z) = (1 + z) è una mappa conforme del disco fjzj < 1g nel semipiano fIm(w) > 0g, e la trasformazione inversa z = (i w) = (i + w) è una mappa conforme del semipiano nel disco.
Se S(w) = (i w) = (i + w) e se F (z) è un automor…smo del disco, allora
S 1 F S(w) è un automor…smo del semipiano. Viceversa, se G(w) è un automor…smo del semipiano, allora SGS 1 (z) è un automor…smo del disco. In
particolare, i gruppi di automor…smi del disco e del semipiano sono isomor….
Dimostrazione: La mappa conforme z = (i w) = (i + w) trasforma la
terna f0; 1; 1g nella terna f1; i; 1g, e trasforma i in 0. Quindi trasforma il
semipiano fIm(w) > 0g nel disco fjzj < 1g.
LA METRICA DEL DISCO IPERBOLICO
In un mondo anisotropo con dei limiti di velocità v(z) che variano da punto
a punto, la via più rapida tra due punti è la curva che minimizza l’integrale
Z
Z
Z
jdzj
jdzj
=
:
dt =
jdzj =dt
v(z)
De…nizione: La lunghezza di una curva regolare a tratti = fz(t); a
rispetto ad una metrica conforme (z) jdzj, con (z) > 0, è
L( ) =
L’area di una regione
Z
(z) jdzj =
Z
a
t
bg
b
(z) jd=dt z(t)j dt:
rispetto ad una metrica conforme (z) jdzj è
Z Z
2
A( ) =
(x + iy)dxdy:
Si può introdurre nel disco fjzj < 1g una metrica riemanniana conforme con
la proprietà che gli automor…smi sono isometrie.
Teorema:
(1) Gli automor…smo del disco fjzj < 1g sono isometrie della metrica (z) jdzj
se e solo se (z) = (0) 1
2
jzj
1
.
5
1
2
(2) Le geodetiche nella metrica 1 jzj
jdzj sono i diametri del disco e
gli archi di cerchio perpendicolari al bordo del cerchio. Per ogni coppia di punti
passa una ed una sola geodetica.
2
(3) La distanza tra due punti z e w nel disco con la metrica 1
è
d (z; w) =
1
log
2
j1
j1
zwj + jz
zwj jz
wj
wj
jzj
1
jdzj
:
Equivalentemente, se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale
al bordo del disco fjzj < 1g, con z e w interni al disco e p e q sul bordo, la
distanza tra z e w è il logaritmo del birapporto tra i punti fz; w; p; qg,
d (z; w) =
1
1
log (z; w; p; q) = log
2
2
z
z
p w
:
q w
p
q
:
2
(4) Se z = x + iy, la misura 1 x2 y 2
dxdy è invariante per gli automor…smi del disco. L’area di un triangolo geodetico con angoli f ; ; g è
. Più in generale, l’area di un poligono geodetico semplicemente
connesso con n lati ed angoli f ; ; ; :::; g è (n 2)
( + + + ::: + ).
Dimostrazione: (1) La trasformazione w = S(z) è una isometria se e solo
se il vettore tangente alla curva S ( ) nel punto S (z (t)) ha lunghezza uguale al
vettore tangente alla curva nel punto z (t). Per una metrica conforme (z) jdzj,
(S (z (t))) jd=dt S (z (t))j = (S (z (t))) jd=dz S (z (t))j jd=dt z (t)j
=
(S (z (t)))
jd=dz S (z (t))j
(z (t))
(z (t)) jd=dt z (t)j :
Quindi, la trasformazione è una isometria se e solo se
(S (z))
jd=dz S (z)j = 1:
(z)
In particolare, con z = 0,
(S (0)) =
Se S(z) = ei# (
z) = (1
(0)
:
jd=dz S (0)j
z), allora
d
S(z) = ei#
dz
(1
In particolare, S (0) = ei#
1
2
z)
=
1
j1
e jd=dz S (0)j = 1
rica (z) jdzj è una isometria, allora (z) = (0) 1
6
2
j j
2:
zj
2
j j . Quindi, se la met2
jzj
1
. È ora semplice
veri…care che questa metrica è e¤ettivamente una isometria.
(S (z)) =
(0)
1
2
jS (z)j
(0)
=
1
2
j
zj
2
1
j j
2
j1
2
(0) j1
=
zj
zj
1
2
:
jzj
Quindi,
jd=dt S (z (t))j
1
2
jS (z (t))j
=
jd=dt z (t)j
1
2
jzj
:
(2) Si può confrontare la lunghezza di una curva = fz (t) = x (t) + iy (t)g
che connette l’origine 0 ad un punto 0 < p < 1 con la lunghezza del segmento
= fz (t) = x (t)g,
q
2
2
(d=dt x (t)) + (d=dt y (t))
jd=dt x (t)j
:
2
2
2
1 jx (t)j
1 x (t)
y (t)
Questo segue dal fatto che aumentando il numeratore e diminuendo il denominatore la frazione cresce. Quindi la lunghezza di è minore della lunghezza
di
e le geodetiche per l’origine sono i diametri. Una qualunque coppia di
punti a e b nel disco è l’immagine attraverso una trasformazione lineare fratta
w = S(z) dell’origine 0 e di un punto 0 < p < 1. Siccome gli automor…smi
del disco sono isometrie, l’immagine del segmento f0 t pg è la geodetica
che congiunge a a b. In…ne, un diametro è perpendicolare al bordo del disco
fjzj < 1g, e l’immagine di un diametro attraverso un automor…smo del disco è
un altro diametro, o un cerchio perpendicolare al bordo del disco. La geodetica
per questi punti a e b è il cerchio che passa per a, b, e per 1=b.
(3) La geodetica che congiunge l’origine 0 ad un punto z è il segmento
ftz; 0 t 1g, ed ha lunghezza
Z 1
1
jzj dt
1 + jzj
d (0; z) =
:
2 = 2 log 1
jzj
1
jtzj
0
Se e sono punti nel disco, con l’automor…smo S(z) = (
z) = (1
z)
si può trasportare in 0 e nel punto (
) = (1
) e, siccome S(z) è una
isometria,
d ( ; ) = d (0; (
) = (1
)) =
1
log
2
j1
j1
j+j
j j
j
j
:
Una de…nizione equivalente di distanza è la seguente. Dati i quattro punti
f0; ; 1; 1g, con 0 < < 1, la distanza tra 0 e 1 è la metà del logaritmo del
birapporto di f0; ; 1; 1g, 1=2 log (0; ; 1; 1) = 1=2 log ((1 + ) = (1
)). Siccome sia la distanza che il birapporto sono invarianti per trasformazioni lineari
fratte, se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale al bordo del
disco fjzj < 1g, con z e w interni al disco e p e q sul bordo, la distanza tra z e
w è la metà del logaritmo del birapporto dei punti fz; w; p; qg.
7
(4) Sia l’area A ( ) che il difetto angolare (n 2)
( + + + ::: + )
sono invarianti per gli automor…smi del disco e sono funzioni additive sull’insieme
dei poligoni geodetici semplicemente connessi. Quindi, queste quantità sono
proporzionali tra loro, A ( ) = c ((n 2)
( + + + ::: + )). Basta poi
calcolare la costante di proporzionalità su un particolare triangolo. Una dimostrazione alternativa segue dal corrispondente risultato nel semipiano. Con
la notazione z = x + iy e w = u + iv e con il cambio di variabili w =
i (1 z) = (1 + z) e z = (i w) = (i + w) tra il disco fjzj < 1g e il semipiano
2
fIm(w) > 0g, ad un quadratino con area 1 x2 y 2
dxdy nel disco è associato un quadratino con area v 2 dudv nel semipiano. Infatti, la trasformazione
2
z = (i w) = (i + w) è conforme ed ha derivata dz=dw = 2i= (i + w) , e
2
(1
x2
2
2i= (i + (u + iv))
dxdy
2
y2 )
=
1
j(i
2
2 dudv
(u + iv)) = (i + (u + iv))j
=
dudv
:
v2
Si può ora calcolare l’area di un triangolo
nel semipiano con vertici nei
)
punti Rei(
; Rei ; 1 ed angoli interni f ; ; 0g,
A( ) =
Z Z
dudv
=
v2
Z
@
du
=
v
Z
d=d# R cos (#)
d# =
R sin (#)
:
Nel disco fjzj < 1g con limite
2
di velocità 1 jzj
il bordo
è in…nitamente lontano. La
distanza tra due punti A e B
è la metà del logaritmo del
birapporto fA; B; P; Qg . La
somma degli angoli interni
al triangolo è minore di e
l’area è uguale al difetto
angolare
.
In un triangolo con lati fa; b; cg ed angoli f ; ; g ,
cosh (a) = cosh (b) cosh (c) sinh (b) sinh (c) cos ( ) ;
sinh (a)
sinh (b)
sinh (c)
=
=
:
sin ( )
sin ( )
sin ( )
Per esempio, in un triangolo rettangolo con vertici O = (0; 0), A = (a; 0),
8
B = (0; b), i cateti misurano
1
1+a
log
;
2
1 a
1
1+b
OB = log
;
2
1 b
!
p
p
1
1 + a2 b2 + a2 + b2
p
AB = log p
:
2
1 + a2 b2
a2 + b2
OA =
Si ha poi
1 + a2
;
1 a2
1 + b2
;
cosh (2OB) =
1 b2
1 + a2 + b2 + a2 b2
:
cosh (2AB) =
1 a2 b2 + a2 b2
cosh (2OA) =
Quindi il teorema di Pitagora non euclideo è
cosh (2AB) = cosh (2OA) cosh (2OB) :
Se il triangolo è piccolo, per a; b ! 0+ si ritrova il teorema di Pitagora
euclideo,
cosh (2OA) cosh (2OB)
1 + 2 a2 + b2 ;
cosh (2a) cosh (2b)
1 + 2AB 2 :
cosh (2AB)
In geometria non euclidea il raggio del cerchio e la lunghezza della circonferenza con centro (0; 0) passante per z sono
r = d (0; z) =
2 jzj
1
2
jzj
=
2
1
log
2
(exp (2r)
1 + jzj
1 jzj
;
exp ( 2r)) :
E ancora, al limite per r ! 0+ si ottiene la circonferenza euclidea 2 r.
Quanto visto nel disco si può estendere immediatamente ad un semipiano.
Teorema:
(1) Gli automor…smo del semipiano fjIm (z)j > 0g sono isometrie della met1
rica (z) jdzj se e solo se (z) = (i) (Im (z)) .
1
(2) Le geodetiche nella metrica (Im (z)) jdzj sono semirette verticali e archi
di cerchio perpendicolari all’asse reale. Per ogni coppia di punti passa una ed
una sola geodetica.
9
(3) Se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale al bordo del
semipiano, con z e w interni al semipiano e p e q sul bordo, la distanza tra z
e w è la metà del logaritmo del birapporto tra i punti fz; w; p; qg,
d (z; w) =
1
1
log (z; w; p; q) = log
2
2
z
z
p w
:
q w
p
q
:
1
(4) Nel semipiano con la metrica jIm (z)j jdzj l’area di un poligono geodetico semplicemente connesso con n lati ed angoli f ; ; ; :::; g è (n 2)
( + + + ::: + ).
Dimostrazione: La dimostrazione è analoga a quella del teorema precedente.
Più in generale, si può introdurre una metrica iperbolica in ogni dominio
semplicemente connesso distinto dall’intero piano. Se w = w (z) è una trasformazione conforme di un dominio nel disco fjwj < 1g, in si può de…nire la
metrica
jdw=dzj
2 dz:
1 jwj
Per visualizzare i piani delle geometrie euclidee e non euclidee, si possono
ritagliare e poi incollare assieme lungo i lati un certo numero di triangoli equilateri. Se in ogni vertice si incollano 3, o 4, o 5 triangoli, si ottengono un tetraedro,
un ottaedro, un icosaedro, poliedri che approssimano una sfera, una super…cie
con curvatura positiva. Se in ogni vertice concorrono 6 triangoli, si ottiene il
piano euclideo, che ha curvatura zero. Se in ogni vertice si incollano 7, 8, o più
triangoli, la super…cie si increspa e tende ad avere una curvatura negativa. La
geometria non euclidea ellittica è la geometria su una super…cie con curvatura
positiva, la geometria euclidea è la geometria su una super…cie con curvatura
nulla, e la geometria non euclidea iperbolica è la geometria su una super…cie con
curvatura negativa. In…ne, quanto visto in due dimensioni si può estendere a tre
dimensioni. Lo spazio è un semispazio. I piani sono piani o semisfere perpendicolari al bordo del semispazio. Le rette sono rette o semicerchi perpendicolari
al bordo del semispazio. La distanza è la metà del logaritmo del birapporto
tra i due punti nel semispazio ed i due punti sul bordo. Una interpretazione
…sica della geometria di Poincaré è un mondo caldo al centro ed in…nitamente
freddo al bordo. Spostandosi dal centro verso il bordo, un corpo si ra¤redda e
si contrae. Ma questi mutamenti di distanze e dimensioni si possono percepire
solo dall’esterno. Per chi vive all’interno di questo mondo e muovendosi si espande e si contrae insieme al corpo, uno stesso corpo appare uguale a se stesso
indipendentemente dalla sua posizione.
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