Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis
Dipartimento di Matematica, Informatica e Economia
Università della Basilicata
a.a. 2014-15
Spazio vettoriale delle matrici
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis Dipartimento di Matematica, Informatica Corso
e Economia
di Matematica
Università
perdella
la Chimica
Basilicata a.a. 2014-15
Spazio vettoriale delle matrici
Un importante spazio vettoriale è lo spazio delle matrici.
Siano m ed n due interi positivi. Per matrice intendiamo una tabella
rettangolare ordinata di numeri reali che chiamiamo elementi della
matrice.
Generalmente per indicare una matrice useremo una notazione del
tipo


a1,1 a1,2 · · · a1,n
 a2,1 a2,2 · · · a2,n 


A= .
..  .
 ..
. 
am,1 am,2 · · ·
am,n
Ogni matrice è composta da righe e da colonne. Quella considerata ha
m righe ed n colonne. In questo caso diciamo che la matrice A è di
tipo (m, n), oppure, se gli elementi di A sono reali, che A ∈ Rm×n .
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Definizioni
Per i = 1, . . . , m e j = i, . . . , n, con ai,j denotiamo l’elemento di
A situato all’intersezione della i-esima riga con la j-esima
colonna e scriviamo A = (ai,j )i=1,...,m .
j=1,...,n
L’indice i è detto indice di riga, mentre l’indice j è detto indice di
colonna.
La matrice A si riduce ad un vettore riga quando m = 1 e ad un
vettore colonna quando n = 1.
Nel caso in cui m = n = 1, la matrice rappresenterà
semplicemente un numero.
Nel caso in cui m = n la matrice si dice quadrata o di ordine n e
l’insieme degli elementi (a1,1 , a2,2 , . . . , an,n ) ne costituisce la
diagonale principale.
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Spesso conviene considerare la matrice A come tabella i cui
elementi sono a loro volta sottomatrici della tabella iniziale di
numeri. Per esempio A potrebbe venire rappresentata in una
delle forme seguenti:


a1,j
 a2,j 


A = (a1 , a2 , . . . , an ), dove aj =  . 
 .. 
am,j
o



A=

b1
b2
..
.



,

dove bi = (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,n ).
bn
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Operazioni tra matrici
L’operazioni di somma è definita solo tra matrici dello stesso tipo.
Se A = (ai,j )i=1,...,m e B = (bi,j )i=1,...,m sono due matrici di tipo (m, n)
j=1,...,n
j=1,...,n
allora la matrice A + B è ancora di tipo (m, n) ed è cosı̀ definita:

a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 · · · a1,n + b1,n
 a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 · · · a2,n + b2,n

A+B = (ai,j +bi,j )i=1,...,m = 
..
..
j=1,...,n

.
.
am,1 + bm,2 am,2 + bm,2 · · ·
am,n + bm,n
L’elemento neutro è la matrice nulla 0 avente tutte le componenti
nulle.
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


.

Definiamo ora l’operazione prodotto per scalare.
Dato un numero α ∈ R possiamo definire la nuova matrice αA:


αa1,1 αa1,2 · · · αa1,n
 αa2,1 αa2,2 · · · αa2,n 


αA = (αai,j )i=1,...,m =  .
..  .
.
j=1,...,n
 .
. 
αam,1 αam,2 · · · αam,n
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Prodotto tra matrici
Sia A una matrice di tipo (m, p) e B una matrice di tipo (p, n), la
matrice prodotto C = AB, C = (ci,j ), di tipo (m, n), è definita nel
modo seguente:
ci,j =
p
X
ai,k bk,j ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
k=1
Osserviamo che il prodotto è definito solamente quando il numero
delle colonne di A è uguale al numero di righe di B.
In generale, AB 6= BA, cioè la proprietà commutativa del prodotto non
è valida; anzi, il prodotto BA può non essere definito, o se lo è, può
dare una matrice di tipo diverso.
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Esercizi
Calcolare la matrice C = AB dove:
1


1 −1 2 −2
A =  2 −3 1 −2 
0 1 −2 0

1
 2
B=
 0
−1

1
0 

1 
1
2


2 0
1
 1 −1 0 

A=
 1 1 −4 
2 1 −4


2 −1 3
B= 1 0 0 
0 1 0
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La matrice quadrata di ordine n

1
 0


I= 0
 ..
 .
0 0 ...
1 0 ...
0 1 ...
.. .. ..
. . .
0 0 0 ...
0
0
0
..
.







1
è tale che IA = AI = A per ogni matrice A quadrata di ordine n.
Essa viene chiamata matrice unità o identità.
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Trasposta di una matrice
Se A = (ai,j )i=1,...,m la trasposta di A, che denotiamo con AT , è la
j=1,...,n
matrice
AT = (aj,i )i=1,...,m .
j=1,...,n
AT è, pertanto, la matrice di tipo (n, m) ottenuta scambiando tra di
loro le righe e le colonne di A.
Valgono le seguente proprietà:
(AT )T = A
(λA)T = λAT ,
(A ±
B)T
=
AT
λ∈R
± BT
(AB)T = BT AT
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Da ora in poi, salvo avviso contrario, tratteremo esclusivamente
matrici reali quadrate.
Dunque, data una matrice quadrata A ∈ Rn×n , vediamo alcune
definizioni.
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Traccia di una matrice
La traccia di A, che denotiamo con tr(A), è la somma degli elementi
diagonali di A, ossia
n
X
tr(A) =
aii .
i=1
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Determinante di una matrice
Il determinante di A, che denotiamo con det (A), è un numero reale
che può essere calcolato usando la seguente regola:
Regola di Laplace. Il determinante di una matrice quadrata
A ∈ Rn×n soddisfa la seguente formula per un qualunque valore di i
fissato nell’insieme {1, 2, . . . , n}

se n = 1

 a1,1
n
X
det(A) =
(−1)i+j ai,j det(Ai,j )
se n > 1


j=1
dove Ai,j denota la sottomatrice di A di ordine n − 1 ottenuta
eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna di A.
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Proprietà del Determinante
det (A) = det (AT )
det (λA) = λn det (A), λ ∈ R
det (AB) = det (A) det (B)
se due righe o due colonne di una matrice sono uguali, il
determinante è nullo
lo scambio di due righe (o di due colonne) in una matrice
provoca un cambiamento nel segno del determinante della stessa
Se A è una matrice diagonale o triangolare risulta
det(A) =
n
Y
ai,i
i=1
quando det(A) 6= 0 i vettori colonna (riga) risultano linearmente
indipendenti, e viceversa. Pertanto det(A) = 0 se e solo se i
vettori colonna (riga) sono linearmente dipendenti, cioè se e solo
se almeno una delle colonne (righe) può essere espressa come
combinazione lineare delle altre.
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Proprietà delle matrici
Definizione
Una matrice A ∈ Rn×n si dice densa se la maggior parte dei suoi
elementi è non nullo.
Definizione
Una matrice A ∈ Rn×n si dice sparsa se possiede un numero di
elementi nulli almeno dell’ordine di n.
Osservazione Per memorizzare in un calcolatore una matrice sparsa
(soprattutto se n è molto grande) è possibile utilizzare solo tre vettori
della stessa lunghezza: uno per memorizzare gli elementi non nulli,
uno per memorizzare i corrispondenti indici di riga ed uno per
memorizzare i corrispondenti indici di colonna.
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Matrici strutturate
Definizione
Una matrice si dice strutturata se i suoi elementi sono disposti
secondo una regola nota.
Vediamo alcuni esempi di matrici strutturate.
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Matrici diagonali, tridiagonali e triangolari







0
a1,1
0
..
.
0
a2,2
..
.
···
···
..
.
..
.
0
0
..
.
0
an,n



,


a1,1
a1,2
0

 a
 2,1


 0

 ..
 .
0
a2,2
..
.
..
.
···
a2,3
..
.
..
.
0
diagonale

a1,1

 a2,1

 .
 ..
an,1
0
a2,2
..
.
an,2
···
..
.
..
.
..
.
an,n−1
0
..
.
0
an−1,n
an,n
tridiagonale
···
..
.
..
.
...
0
..
.
0
an,n
triangolare inferiore




,






a1,1
0
..
.
0
a1,2
a2,2
..
.
···
...
...
..
.
0
a1,n
a2,n
..
.
an,n





triangolare superiore
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









Matrici di Hessemberg

a1,1
a1,2
0

 a
 2,1
 .
 .
 .

 ..
 .
an,1
a2,2
..
.
a2,3
..
.
..
.
...
an,2
···
..
.
..
.
..
.
an−1,n
0
..
.
0
an−1,n
an,n
Hessenberg inferiore


a1,1
a1,2










 a
 2,1


 0

 ..
 .
0
a2,2
..
.
···
...
..
.
..
.
..
.
0
...
..
.
..
.
an,n−1
Hessenberg superiore
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an,n
..
.
..
.
an−1,n
an,n










Matrice Simmetrica
Definizione
Una matrice A si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta AT ,
cioè
A = AT .
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Matrice Simmetrica e Definita Positiva
Definizione
Una matrice simmetrica A si dice definita positiva se per ogni vettore
y ∈ Rn , y 6= 0, si ha yT Ay > 0
Per stabilire se una data matrice simmetrica A è definita positiva o
meno useremo il seguente criterio:
Criterio di Sylvester Una matrice simmetrica A ∈ Rn×n è definita
positiva se e solo se
det(Ak ) > 0,
k = 1, . . . , n,
dove det(Ak ) rappresenta il determinante della sottomatrice
principale di ordine k, cioè della sottomatrice formata dalle
intersezioni delle prime k righe e k colonne di A.
La matrice Ak dicesi minore principale di testa di ordine k.
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Matrici a diagonale dominante
Una matrice A ∈ Rn×n è detta a diagonale dominante per righe se
|ai,i | >
n
X
|ai,j |,
i = 1, . . . , n,
j=1,j6=i
e a diagonale dominante per colonne se
|aj,j | >
n
X
|ai,j |,
j = 1, . . . , n.
i=1,i6=j
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Matrici non singolari
Quando det(A) 6= 0 la matrice è detta non singolare o invertibile.
Se det(A) 6= 0 allora esiste una ed una sola matrice (non singolare)
B ∈ Rn×n tale che
AB = BA = I.
La matrice B, che denoteremo sempre con il simbolo A−1 , viene
chiamata matrice inversa di A.
Una matrice non invertibile ovvero tale che det(A) = 0 viene detta
singolare
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Prese due matrici non singolari C, D ∈ Rn×n , le seguenti regole
risultano valide:
(CD)−1 = D−1 C−1
(CT )−1 = (C−1 )T
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Norme di Vettori e Matrici
Una norma vettoriale è una funzione che associa ad un vettore x ∈ Rn
un numero reale kxk con le seguenti proprietà:
1
kxk > 0,
∀x 6= 0 e kxk = 0 ⇔ x = 0;
2
kcxk = |c|kxk,
3
kx + yk ≤ kxk + kyk,
∀c ∈ R;
∀y ∈ Rn .
Le norme vettoriali più frequentemente utilizzate sono:
kxk∞ = max |xi |,
kxk1 =
1≤i≤n
n
X
|xi |,
norma infinito
norma 1
i=1
kxk2 =
n
X
!1
√
2
|xi |
2
=
xT x,
norma euclidea (o norma 2)
i=1
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Analogamente, una norma matriciale è una funzione che associa ad
una matrice A ∈ Rn×n il numero reale kAk tale che
1
kAk > 0,
∀A 6= 0 e kAk = 0 ⇔ A = 0;
2
kcAk = |c|kAk,
3
kA + Bk ≤ kAk + kBk,
∀c ∈ R;
∀B ∈ Rn×n ;
Inoltre è possibile provare che le principali norme di matrice
soddisfano anche la seguente proprietà
4. kABk ≤ kAkkBk,
∀B ∈ Rn×n .
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Le norme matriciali più note sono:
kAk∞ = max
n
X
1≤i≤n
kAk1 = max
1≤j≤n
|ai,j |, norma infinito;
j=1
n
X
|ai,j |, norma 1;
i=1
q
kAk2 = ρ(AT A), norma spettrale
(ρ(B) denota il raggio spettrale della matrice B, cioè il modulo
massimo degli autovalori di B);

1
2
n X
n
X
2
|ai,j |  , norma di Frobenius (o norma
kAkF = 
i=1 j=1
euclidea).
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Date una norma vettoriale e una matriciale, si dice che le due norme
sono compatibili se
kAxk ≤ kAkkxk,
∀A ∈ Rn×n , x ∈ Rn .
Una norma vettoriale può risultare compatibile con più norme
matriciali.
Ad ogni norma vettoriale è possibile associare una norma matriciale
nel seguente modo:
kAk = sup
x6=0
kAxk
= sup kAxk.
kxk
kxk=1
Una norma cosı̀ definita viene chiamata naturale o indotta da quella
del vettore.
Per le norme matriciali naturali si ha dunque:
kIk = sup kIxk = 1.
kxk=1
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È banale verificare che le norme matriciali k · k∞ , k · k1 e k · k2 sono
naturali.
La norma k · kF non è naturale in quanto
kIkF =
n
X
!1
2
1
=
√
n.
i=1
Si ha che, per x ∈ Rn e A ∈ Rn×n
kxk∞
induce kAk∞
kxk1
induce kAk1
kxk2
induce kAk2
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Cifre decimali corrette nell’approssimazione di vettori
Sia x = [x1 , x2 ] il vettore esatto e x∗ = [x1∗ , x2∗ ] il vettore che
approssima x.
Supponiamo che
1
|x1 − x1∗ | ≤ 10−r
2
e
1
|x2 − x2∗ | ≤ 10−s .
2
allora
1
kx − x∗ k∞ = max{|x1 − x1∗ |, |x2 − x2∗ |} ≤ 10−n ,
2
dove
n = min{r, s},
e x∗ approssima x con n cifre decimali corrette.
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In Matlab per x, y vettori entrambi riga o colonna e di eguale
lunghezza
norm(x-y,inf) calcola kx − yk∞ .
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Cifre significative corrette nell’approssimazione di
vettori
Sia x = [x1 , x2 ] il vettore esatto e x∗ = [x1∗ , x2∗ ] il vettore che
approssima x.
Se
max{|x1 − x1∗ |, |x2 − x2∗ |}
kx − x∗ k∞
1
=
≤ 10−p+1 ,
kxk∞
max{|x1 |, |x2 |}
2
allora x∗ approssima x con p cifre significative corrette.
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Esempio
x = [0.5 3],
y = [0.50000005 3.000000001]
>>x=[0.5 3]; y=[0.50000005 3.000000001];
>>norm(x-y,inf)
ans =
5.000000002919336e-008
>>norm(x-y,inf)/norm(x,inf)
ans =
1.666666667639779e-008
y approssima x con 7 cifre decimali corrette e 8 cifre significative
corrette.
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