Registro delle lezioni - Dipartimento di Matematica

Registro delle lezioni del corso di Analisi Matematica 2
a. a. 2011/2012
Lunedı̀ 27 febbraio
Presentazione del corso; ripasso sulle successioni; Serie numeriche; definizione
di serie convergente, divergente, indeterminata; esempi di serie geometrica e telescopica.
Martedı̀ 28 febbraio
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (con dimostrazione). Serie
a termini posivi: esistenza del limite delle somme parziali (con dim), criteri per
serie a termini positivi: confronto (dim), confronto asintotico (dim), rapporto,
radice.
Mercoledı̀ 29 febbraio
Operazioni algebriche tra serie: somma e moltiplicazione di due serie e moltiplicazione di una serie per un numero non nullo. Esercizi su successioni e serie
numeriche.
Venerdı̀ 2 marzo
Criterio integrale (dim); serie armonica generalizzata. Resto n-esimo e approssimazione. Criterio di Leibniz per serie a termini alterni. Definizione e criterio
di convergenza assoluta per serie a termini di segno qualunque.
Lunedı̀ 5 marzo
Dimostrazione del criterio di Leibniz. Esercizi sulle serie numeriche.
Martedı̀ 6 marzo
Serie di potenze. Successioni di funzioni, definizioni di convergenza puntuale e uniforme. Serie di potenze, definizioni e teorema di convergenza, esempi.
Mercoledı̀ 7 marzo
Raggio di convergenza; criterio del rapporto per serie di potenze (dim); criterio
della radice per serie di potenze. Esercizi.
Venerdı̀ 9 marzo
Operazioni algebriche sulle serie di potenze. Somma e prodotto alla Cauchy di
due serie. Derivazione e integrazione di serie di potenze. Sviluppi di log(1 + x),
arctan(x).
Lunedı̀ 12 marzo
Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange. Funzioni analitiche, condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor.
Martedı̀ 13 marzo
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Sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari.
Mercoledı̀ 14 marzo
Esercitazione: serie di potenze.
Venerdı̀ 16 marzo
Funzioni tra spazi euclidei. Norma, prodotto scalare e vettoriale.
Punto interno/esterno/di frontiera in Rn , insieme aperto/chiuso in Rn , esempi.
Lunedı̀ 19 marzo
Punti di accumulazione, punti isolati. Insiemi limitati, compatti, convessi, connessi (di Rn ). Funzioni reali di n variabili reali, grafico, insieme di livello.
Martedı̀ 20 marzo
Limiti e continuità per funzioni reali di più variabili reali.
Mercoledı̀ 21 marzo
Calcolo differenziale. Derivate parziali prime, gradiente, derivata direzionale, differenziabilità e piano tangente.
Venerdı̀ 23 marzo
Esercitazione su limiti e continuità.
Lunedı̀ 26 marzo
Differenziale. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Conseguenze della
differenziabilità (dim). Formula del gradiente per le derivate direzionali (dim).
Martedı̀ 27 marzo
Teorema della funzione composta (dim). Teorema di Lagrange e applicazioni
(dim). Funzioni Lipschitziane.
Mercoledı̀ 28 marzo
Funzioni Lipschitziane (condizione sufficiente, con dim). Esercizi sul calcolo
differenziale in più variabili.
Venerdı̀ 30 marzo
Derivate seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Derivate di ordine
successivo. Formula di Taylor in più variabili.
Lunedı̀ 2 aprile
Convessità per funzioni di più variabili. Richiami sulle forme quadratiche.
Definizione di punto di massimo (minimo) relativo o assoluto. Teorema di Weierstrass. Teorema di Fermat (dim).
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Martedı̀ 3 aprile
Classificazione dei punti critici tramite la matrice hessiana (dim). Esercizi.
Mercoledı̀ 4 aprile
Punti di sella. Punti critici con matrice hessiana semidefinita. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali: matrice jacobiana, teorema di derivazione della
funzione composta.
Mercoledı̀ 11 aprile
Esercitazione sul calcolo differenziale in Rn .
Venerdı̀ 13 aprile
Esercitazione sulla ricerca di massimi e minimi liberi.
Lunedı̀ 16 aprile
Curve in Rm . Curve regolari.
Martedı̀ 17 aprile
Curve congruenti. Lunghezza di un arco regolare e ascissa curvilinea.
Mercoledı̀ 18 aprile
Integrale curvilineo di prima specie.
Venerdı̀ 20 aprile
Esercitazione sulle curve.
Lunedı̀ 23 aprile
Curve di livello. Estremi vincolati: metodo parametrico.
Martedı̀ 24 aprile
Estremi vincolati: metodo dei molteplicatori di Lagrange.
Venerdı̀ 27 aprile
Integrale doppio secondo Riemann in un rettangolo e formule di riduzione.
Lunedı̀ 30 aprile
Insiemi misurabili e integrale doppio. Formule di riduzione in insiemi semplici.
Mercoledı̀ 2 maggio
Proprietà dell’integrale doppio e degli insiemi misurabili. Teorema sul cambio
di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari.
Venerdı̀ 4 maggio
Esercitazione su massimi e minimi vincolati.
Lunedı̀ 7 maggio
Esempio di cambiamento di variabili per integrali doppi. Integrali tripli: cenni
alla costruzione, formule di riduzione.
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Martedı̀ 8 maggio
Integrali tripli: integrazione per fili e per strati. Cambi di variabile, coordinate
cilindriche e sferiche. Integrali doppi impropri.
Mercoledı̀ 9 maggio
Esercitazione su integrali doppi e tripli.
Venerdı̀ 11 maggio
Baricentro e primo teorema di Guldino. Superfici in R3 .
Lunedı̀ 14 maggio
Superfici regolari in R3 . Piano tangente, parametrizzazioni congruenti, orientabilità, bordo.
Martedı̀ 15 maggio
Integrale superficiale, area. Integrale di flusso.
Mercoledı̀ 16 maggio
Secondo teorema di Guldino. Integrale di flusso. Integrale di linea. Operatori
differenziali.
Venerdı̀ 18 maggio
Esercitazione su integrali su curve e su superfici.
Lunedı̀ 21 maggio
Divergenza e rotore. I teoremi di Green e di Gauss in R2 .
Martedı̀ 22 maggio
Il teorema della divergenza in R3 . Relazioni fra immagine e nucleo dei principali
operatori differenziali.
Mercoledı̀ 23 maggio
Campi vettoriali e lavoro, campi conservativi e irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi.
Venerdı̀ 25 maggio
Esercitazione su integrali di flusso e circuitazione.
Lunedı̀ 28 maggio
Esercitazione: esercizi di riepilogo.
Martedı̀ 29 maggio
Calcolo di potenziali. Teorema di Stokes.
Mercoledı̀ 30 maggio
Esercizi di riepilogo
Venerdı̀ 1 giugno
Esercizi di riepilogo
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