testi - Università di Trento

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SECONDA PROVETTA DI ALGEBRA B
TRENTO, 25 NOVEMBRE 2016
Nota: Questi sono gli esercizi delle quattro diverse versioni della provetta che
sono state assegnate. L’esercizio x.y è l’esercizio x della versione y.
Esercizio 1.1. Sia p un primo. Si (
mostri
che per ogni i tale che 0 < i < p si ha che
)
p
p divide il coefficiente binomiale
.
i
Esercizio 1.2. Sia p un primo.
Si mostri che il polinomio
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
è irriducibile in Z[x].
Esercizio 1.3. Sia p un primo. Si (
mostri
che per ogni i tale che 0 < i < p si ha che
)
p
p divide il coefficiente binomiale
.
i
Esercizio 1.4. Sia p un primo.
Si mostri che il polinomio
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
è irriducibile in Z[x].
Esercizio 2.1.
(1) Sia α ∈ C. Si dica quando α è algebrico su Q.
(2) Siano α, β ∈ C. Si mostri che se α, β sono algebrici su Q, allora anche
α + β, α · β lo sono.
Esercizio 2.2. Sia E un campo finito. Si mostri che esistono un primo p e un intero
positivo n tale che | E | = pn .
Esercizio 2.3.
(1) Sia α ∈ C. Si dica quando α è algebrico su Q.
(2) Siano α, β ∈ C. Si mostri che se α, β sono algebrici su Q, allora anche
α + β, α · β lo sono.
Esercizio 2.4. Sia E un campo finito. Si mostri che esistono un primo p e un intero
positivo n tale che | E | = pn .
Esercizio 3.1. Sia p un primo.
Si mostri che il polinomio
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
è irriducibile in Z[x].
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PROVETTA DI ALGEBRA B
Esercizio 3.2. Sia p un primo. Si (
mostri
che per ogni i tale che 0 < i < p si ha che
)
p
p divide il coefficiente binomiale
.
i
Esercizio 3.3. Sia p un primo.
Si mostri che il polinomio
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
è irriducibile in Z[x].
Esercizio 3.4. Sia p un primo. Si (
mostri
che per ogni i tale che 0 < i < p si ha che
)
p
p divide il coefficiente binomiale
.
i
Esercizio 4.1. Sia E un campo finito. Si mostri che esistono un primo p e un intero
positivo n tale che | E | = pn .
Esercizio 4.2.
(1) Sia α ∈ C. Si dica quando α è algebrico su Q.
(2) Siano α, β ∈ C. Si mostri che se α, β sono algebrici su Q, allora anche
α + β, α · β lo sono.
Esercizio 4.3. Sia E un campo finito. Si mostri che esistono un primo p e un intero
positivo n tale che | E | = pn .
Esercizio 4.4.
(1) Sia α ∈ C. Si dica quando α è algebrico su Q.
(2) Siano α, β ∈ C. Si mostri che se α, β sono algebrici su Q, allora anche
α + β, α · β lo sono.
PROVETTA DI ALGEBRA B
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Esercizio 5.1. Sia F = { 0, 1 } il campo con due elementi.
(1) Si trovino tutti i polinomi monici e irriducibili di grado 4 in F[x].
(2) Fra questi c’è f = x4 + x + 1. Si costruisca un campo E con 16 elementi
come E = F[α], ove α è una radice di f .
(3) Si mostri che ogni elemento di E si scrive in modo unico come
(5.1.1)
a0 + a1 α + a2 α2 + a3 α3 ,
con ai ∈ F.
(4) Si esprimano le potenze di α nella forma (5.4.1).
(5) Si trovino i polinomi minimi su F di tutti gli elementi di E.
Esercizio 5.2. Sia F = { 0, 1 } il campo con due elementi.
(1) Si trovino tutti i polinomi monici e irriducibili di grado 4 in F[x].
(2) Fra questi c’è f = x4 + x3 + 1. Si costruisca un campo E con 16 elementi
come E = F[α], ove α è una radice di f .
(3) Si mostri che ogni elemento di E si scrive in modo unico come
(5.2.1)
a0 + a1 α + a2 α2 + a3 α3 ,
con ai ∈ F.
(4) Si esprimano le potenze di α nella forma (5.4.1).
(5) Si trovino i polinomi minimi su F di tutti gli elementi di E.
Esercizio 5.3. Sia F = { 0, 1 } il campo con due elementi.
(1) Si trovino tutti i polinomi monici e irriducibili di grado 4 in F[x].
(2) Fra questi c’è f = x4 + x + 1. Si costruisca un campo E con 16 elementi
come E = F[α], ove α è una radice di f .
(3) Si mostri che ogni elemento di E si scrive in modo unico come
(5.3.1)
a0 + a1 α + a2 α2 + a3 α3 ,
con ai ∈ F.
(4) Si esprimano le potenze di α nella forma (5.4.1).
(5) Si trovino i polinomi minimi su F di tutti gli elementi di E.
Esercizio 5.4. Sia F = { 0, 1 } il campo con due elementi.
(1) Si trovino tutti i polinomi monici e irriducibili di grado 4 in F[x].
(2) Fra questi c’è f = x4 + x3 + 1. Si costruisca un campo E con 16 elementi
come E = F[α], ove α è una radice di f .
(3) Si mostri che ogni elemento di E si scrive in modo unico come
(5.4.1)
a0 + a1 α + a2 α2 + a3 α3 ,
con ai ∈ F.
(4) Si esprimano le potenze di α nella forma (5.4.1).
(5) Si trovino i polinomi minimi su F di tutti gli elementi di E.