Esercizi in preparazione del compito in classe 3

FLUIDI
Un tronco fluttua in un fiume con il 25% del suo volume al di sopra della superficie
dell’acqua. Calcolare la densità del tronco.
In condizioni di equilibrio la forza peso del tronco deve essere equilibrata dalla spinta di
Archimede, cioè dal peso del liquido spostato dalla parte del tronco immersa. Ossia:
P = FA
→ mT g = ρ acqua ⋅ Vimmerso g
→ ρ T V = ρ acqua ⋅Vimmerso
Sappiamo che il volume immerso è il 75% del volume complessivo, quindi:
ρ T V = ρ acqua ⋅ 0,75V
→ ρ T = 0,75 ⋅ ρ acqua
→ ρ T = 750 Kg / m 3
When an object is suspended to a dynamometer in air, it indicates a force of 75 N. When the
same object is immersed in water, the dynamometer indicates a force of 45 N. Find the
density of the object.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Quando un oggetto è sospeso ad un dinamometro in aria, esso indica una forza di 75 N. Quando
lo stesso oggetto è immerso nell’acqua, il dinamometro indica una forza di 45 N. Determina la
densità dell’oggetto”
La densità di un oggetto è per definizione il rapporto tra massa e volume, cioè
ρo =
m
V
La massa del corpo può essere determinata subito, perché sappiamo che la forza peso è 75 N,
quindi:
FP = mg
→ m=
FP
g
Il volume può essere calcolato a partire dalla forza di Archimede; infatti si ha
FA = ρ A ⋅ g ⋅ V
→ V =
FA
ρA ⋅ g
La forza di Archimede corrisponde alla differenza tra la forza peso misurata quando l’oggetto è in
aria (ovviamente trascuriamo la forza di Archimede dovuta all’aria stessa) e la forza misurata
quando l’oggetto è immerso nell’acqua, cioè
FA = F1 − F2 = 30 N
In definitiva si ha:
Fp
ρo =
m
=
V
F
75
g
= ρ A P = 1000 ⋅
= 2500 Kg / m 3
Fa
FA
30
ρA ⋅ g
Una piccola boa di forma cilindrica con raggio 15 cm, è ancorata in mare (densità acqua
marina 1025 kg/m3). Ad un tratto sulla boa atterra un gabbiano ed essa affonda di 1,0 cm.
Determinare la massa del gabbiano.
Per il principio di Archimede, il peso del gabbiano provoca un affondamento della boa tale che
l’aumento del volume immerso corrisponda ad un peso dell’acqua uguale a quello del gabbiano. In
figura è rappresentato in rosso l’aumento del volume immerso.
Tale volume può essere facilmente calcolato, dal momento che la boa è cilindrica. La massa del
gabbiano è uguale a tale volume moltiplicato per la densità dell’acqua di mare. Si ha quindi:
M = ρ ⋅ V = ρ ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ h = 1025 ⋅ 3,14 ⋅ 0,15 2 ⋅ 0,01 = 0,72 kg
MOTO IN DUE DIMENSIONI
3) A boat must cross a river 150 meters wide that has a current of 1.5 m/s. It starts from point
A while keeping the bow perpendicular to the current and lands at point C which is located 28
meters downstream of point B. Determine the speed of the boat compared to the water.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Una barca deve attraversare un fiume largo 150 m che ha una corrente di 1,5 m/s. Essa parte dal
punto A mantenendo la prua perpendicolare alla corrente e approda nel punto C che si trova 28
metri a valle del punto B. Determina la velocità della barca rispetto alla corrente”
Possiamo calcolare il tempo impiegato per la traversata, considerando che la corrente ha trasportato
la barca per un tratto di 28 metri:
t=
BC 28
=
= 18,7 s
vc
1,5
Il tempo trovato è quello impiegato dalla barca a traversare il fiume tenendo la prua perpendicolare
alla corrente. Possiamo quindi calcolare la velocità della barca:
v=
4)
AB 150
=
= 8,0 m / s
t
18,7
Una pallina rotola su un tavolo con velocità 2,8 m/s e cade dal bordo che si trova ad
un’altezza di 90 cm dal pavimento. Determinare a che distanza dal tavolo raggiunge il
pavimento.
Abbiamo un tipico esempio di moto bidimensionale. Lungo la direzione dell’asse x il moto è
rettilineo uniforme con velocità Vx. La distanza d a cui cade la pallina è quindi:
d = Vx ⋅ t
Il tempo di volo della pallina può essere determinato considerando che lungo l’asse y la pallina è in
caduta libera da un altezza h con velocità iniziale nulla. Si ha quindi:
h=
1
g ⋅t2
2
→ t=
2h
g
In definitiva si può scrivere:
d = Vx ⋅
2h
g
→ d = 2,8 ×
2 × 0,9
= 1,20 m
9,8
2) Un aeroplano vola verso est con velocità, rispetto all’aria, di modulo 210 m/s;
contemporaneamente un vento soffia in una direzione che forma un angolo di 20° ad ovest
del nord con velocità di modulo 38 m/s. Calcolare modulo e direzione della velocità
dell’aereo rispetto al suolo.
La situazione è raffigurata nello schema seguente. Il vettore A indica la velocità dell’aereo, B la
velocità del vento ed R il vettore risultante, cioè la velocità rispetto al suolo
R è quindi la somma vettoriale di A e B. Occorre quindi calcolare le componenti dei vettori A e B;
si ha:
Ax = 210
Ay = 0
B x = 38 ⋅ cos110° = −13
B y = 38 ⋅ sin 110° = 35,7
da cui:
R x = 197
R y = 35,7
Possiamo quindi calcolare modulo e direzione del vettore R:
R = 197 2 + 35,7 2 = 200 m / s
⎛ Ry
⎝ Rx
α = tan −1 ⎜⎜
⎞
35,7 ⎞
⎟⎟ = tan −1 ⎛⎜
⎟ = 10,3°
⎝ 197 ⎠
⎠
3) A boy runs along the pier and jumps into the sea horizontally, with a speed of 5.5 m / s.
The pier is 1.8 m high above the water. Find the modulus of the speed the boy has, just
before entering into the water.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un ragazzo corre lungo il molo e salta in mare orizzontalmente, con una velocità di 5,5 m/s. Il
molo è alto 1,8 m al di sopra dell’acqua. Trova il modulo della velocità che il ragazzo ha appena
prima di entrare nell’acqua”
La situazione è schematizzata in figura:
Ancora una volta abbiamo un moto bidimensionale: lungo l’asse x è un moto rettilineo uniforme e
lungo l’asse y uniformemente accelerato.
La componente x della velocità durante la caduta rimane invariata. Lungo l’asse y invece può essere
ottenuta dalla formula:
v y = 2 gh
→ v y = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 1,8 = 5,9 m / s
si ha quindi:
v = v x2 + v y2 = 5,5 2 + 5,9 2 = 8,1 m / s
1)
Un nuotatore vuole traversare un fiume largo 35 m. Per farlo nuota
perpendicolarmente alla riva con una velocità di 0,7 m/s. Quando il nuotatore giunge
sull’altra sponda, approda in un punto che si trova 45 m più a valle rispetto al punto da
cui è partito. Calcolare la velocità della corrente.
La situazione è schematizzata nella figura seguente:
Il moto del nuotatore è un tipico esempio di moto bidimensionale. Osserviamo che su entrambi gli
assi il moto è rettilineo uniforme; Vx è la velocità costante del nuotatore, che si muove in direzione
perpendicolare alle rive, e Vy è la velocità della corrente che dobbiamo calcolare.
Per risolvere il problema possiamo determinare quanto tempo impiega il nuotatore a traversare il
fiume:
t=
S
Vx
→ t=
35
= 50 s
0,7
Sappiamo che in questo stesso tempo la corrente provoca uno spostamento di 45 metri; possiamo
quindi calcolare la velocità:
Vy =
H
t
→ Vy =
45
= 0,9 m / s
50
2) Muovendosi ad una velocità costante di 36 Km/h, un’automobile percorre una strada in
salita che forma un angolo di 5° con l’orizzontale. Calcolare il dislivello in verticale percorso
dall’auto dopo 10 minuti.
La situazione è schematizzata in figura:
Per calcolare il dislivello percorso dall’auto, siamo interessati solo al moto in verticale, ossia alla
componente della velocità lungo l’asse y.
Prima di procedere con i calcoli conviene trasformare le grandezze in unità del S.I.
V=36 Km/h = 10 m/s
t = 10 minuti = 600 s
Determiniamo adesso la componente verticale della velocità:
V y = V ⋅ sin 5° = 10 ⋅ 0,0871 = 0,871 m / s
il dislivello coperto è quindi:
h = V y ⋅ t = 0,871 ⋅ 600 = 523 m
3) Un ragazzo che si trova alla finestra ad un’altezza di 6 m dal suolo, lancia un pallone in
orizzontale con una velocità di 4 m/s. Calcolare a che distanza in orizzontale cade il pallone,
trascurando tutti gli attriti
La situazione è schematizzata in figura.
Il moto avviene in due dimensioni. Lungo l’asse x il moto è rettilineo uniforme e avviene con
velocità di 4 m/s. Lungo l’asse y invece il moto è uniformemente accelerato, con velocità iniziale
nulla, perché il pallone, sotto l’effetto della gravità, è in caduta libera.
La distanza a cui cade il pallone è:
d = Vx ⋅ t
dove t è il tempo impiegato dal pallone a cadere dall’altezza di 6 m, ossia:
h=
1 2
gt
2
→ t=
2h
g
sostituendo t nella prima equazione si ha:
d = Vx ⋅
1)
2h
2×6
= 4×
= 4,4 m
9,8
g
Un’auto percorre una curva di raggio 12 m; il coefficiente di attrito tra pneumatici e
asfalto è pari a 0,9. Determinare la massima velocità che può avere l’auto senza uscire
di strada.
La massima velocità è quella a cui corrisponde una forza centripeta uguale alla massima forza di
attrito, cioè
mv 2
= μ ⋅ mg
R
v = 0,9 × 9,8 × 12 = 10 m / s
FC = FA
→
→ v = μ⋅g⋅R
LE LEGGI DELLA DINAMICA
2)
Un secchio pieno d’acqua di massa 4,5 kg viene sollevato con un’accelerazione di 1,48
m/s2 da una fune di massa trascurabile. Calcolare la tensione della fune.
La situazione è schematizzata in figura:
Per la 2° legge di Newton deve essere:
F = ma
dove F è la risultante delle forze agenti, cioè:
T − P = ma
3)
→ T = mg + ma
→ T = m( g + a )
→ T = 4,5 × (9,81 + 1,48) = 51 N
Un blocco di massa 2,4 Kg è appoggiato su un piano orizzontale. Il coefficiente di
attrito tra il blocco e il piano è pari a 0,65. Al blocco viene applicata, parallelamente
al piano, una forza di 25 N. Stabilire se il blocco si muove e, in caso affermativo, qual è
la sua accelerazione
La massima forza di attrito che può sviluppare il blocco è:
FA = μ ⋅ m ⋅ g = 0,65 × 2,4 × 9,8 = 15 N
Questa forza è inferiore a quella che viene applicata al blocco, quindi lo stesso si muoverà con
accelerazione data dalla relazione:
F − FA
25 − 15
→ a=
= 4,2 m / s 2
2,4
m
Una pallina ruota sospesa ad una cordicella di lunghezza L = 1,20 m e nel suo moto
forma un angolo α =60° con la verticale. Determinare la velocità di rotazione della
pallina.
ma = F − FA
4)
→ a=
Di seguito è riportato lo schema delle forze che agiscono sulla pallina, cioè la forza peso, lo forza
centrifuga e la tensione del filo:
Di seguito lo schema delle stesse forze in un sistema di riferimento che ha origine nel centro della
pallina:
La condizione di equilibrio sull’asse x conduce all’equazione:
Tx = FC
e quella sull’asse y all’equazione:
Ty = P
Abbiamo quindi il sistema:
⎧T sin α = FC
⎨
⎩T cos α = P
Dividendo membro a membro le due equazioni si ottiene:
mv 2
→ tan α =
R ⋅ mg
F
tan α = C
P
→ v = Rg tan α
Teniamo presente che il raggio R si può ottenere a partire dalla lunghezza del filo L:
R = L sin α
per cui si ha:
v = L sin α tan α ⋅ g = 4,2 m / s
5)
The teacher, to explain the force of friction, pushes the chair, that has a mass of 40 kg,
with a constant force of 100 N so that it moves with a constant speed of 0.4 m / s. Find
the coefficient of dynamic friction between the chair and floor.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“L’insegnante, per spiegare la forza di attrito, spinge la cattedra, che ha una massa di 40 Kg, con
una forza costante di 100 N cosicché si muove con una velocità costante di 0,4 m/s. Trova il
coefficiente di attrito dinamico tra la cattedra e il pavimento.”
Sappiamo che la cattedra si muove con velocità costante (il valore di 0,4 m/s è irrilevante: ciò che
importa è che la velocità sia costante), quindi deve essere nulla la risultante delle forze che agiscono
sulla cattedra. In altri termini deve essere:
F = FA
6)
→ F = μ d ⋅ mg
→ μd =
F
mg
→ μd =
100
= 0,26
40 × 9,8
Un bambino è seduto sulla piattaforma di una giostra a 2,0 m di distanza dal centro; il
coefficiente di attrito tra il bambino e la piattaforma è 0,80. Calcolare la massima
velocità di rotazione del bambino prima che inizi a scivolare.
La situazione è schematizzata nella figura seguente.
Il bambino (rappresentato dal punto blu) si trova al bordo della giostra. Su di esso agiscono due
forze opposte: la forza di attrito e la forza centrifuga. In condizioni di equilibrio deve essere:
FA = FC
→ μ ⋅ mg = m
v2
R
→ v = μgR
→ v = 0,8 × 2 × 9,8 = 3,9 m / s