Fondamenti di
Astrofisica
Lezione 5
AA 2010/2011
Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Misura delle velocità delle stelle
Prima di descrivere come si misurano le masse delle stelle è necessario
premettere come si misurano le velocità.
Decomponiamo velocità in due componenti, una parallela ( vt ) ed una
perpendicolare alla linea di vista ( vr ).
vt
vr
La velocità trasversale può essere misurata solo se è noto il moto proprio θ̇
della stella e la sua distanza d, infatti
vt = θ̇ d
questa misura è chiaramente possibile solo per le sorgenti più vicine.
A. Marconi
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2
Effetto Doppler
Per la velocità lungo la linea di vista (radiale) si ricorre all’effetto Doppler, in
base al quale la lunghezza d’onda osservata di un fotone (λ) e quella con cui
è stato emesso dalla sorgente (λ0) è
λ = λ0
�
vr �
1+
con vr � c
c
dove vrad è la velocità relativa tra sorgente ed osservatore, ovvero nel nostro
caso la velocità radiale.
La convenzione per il segno di vrad è la seguente:
Sorgente che si avvicina
all’osservatore:
vrad < 0 → λ < λ0
la luce è “blue shifted”.
vrad
“Blue shift”
spostamento verso
il blu (ν ↑ , λ ↓)
A. Marconi
“Red shift”
spostamento verso
il rosso (ν ↓ , λ ↑)
Sorgente che si allontana
dall’osservatore:
vrad > 0 → λ > λ0
la luce è “red shifted”.
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3
Misura delle velocità delle stelle
Nel caso di una sorgente astrofisica se ne studia lo spettro e si misurano le
λoss delle righe di emissione o di assorbimento (osservate);
siccome conosciamo le λ0 a riposo (laboratorio) delle transizioni atomiche o
molecolari in esame, possiamo ricavare vrad come
vr = c
�
λoss − λ0
λ0
�
osservata
laboratorio
laboratorio
osservata
A. Marconi
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4
Stelle binarie
La misura diretta delle masse delle stelle è possibile solo in sistemi binari o
multipli.
Osservativamente i sistemi binari hanno la seguente classificazione:
Binarie visuali: entrambe le stelle risolvibili; si misurano i moti propri sul
piano del cielo e si ricostruiscono orbite attorno al centro di massa (CM).
Binarie astrometriche: solo una stella è visibile, il compagno è troppo
debole ma è rivelabile per lo spostamento della stella a seguito del moto
orbitale attorno al CM del sistema.
Binarie a eclisse: stelle non risolte ma piano dell’orbita è sufficientemente
inclinato rispetto alla linea di vista che una stella, periodicamente, eclissa
l’altra. Dalla curva di luce (F in funzione di t) si osservano minimi del
flusso in corrispondenza delle eclissi. In ogni periodo ci sono due minimi,
ed il periodo è la distanza tra due minimi dovuti alla stessa stella.
Binarie spettroscopiche: due stelle non risolte ma la cui natura binaria è
rivelata dallo spettro. Questo è dato dalla sovrapposizione da due sistemi
di righe a velocità diverse lungo la linea di vista. In alcuni casi, come in
un sistema stella+pianeta il compagno non si osserva spettralmente ma
si osserva la variazione della velocità della stella a seguito
dell’oscillazione attorno al CM.
A. Marconi
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5
Binarie Visuali
Flux
Flux
Binarie a Eclisse
Binarie Spettroscopiche
Il problema di Keplero a 2 corpi
Nel corso di Fisica I è stato risolto il problema di Keplero a 1 corpo, che si
applica in prima approssimazione al sistema Sole+Pianeta.
Nel problema ad 1 corpo si assume che un corpo (Sole) abbia una massa
molto maggiore dell’altro (Pianeta) per cui il primo possa considerarsi fermo.
Vediamo come il problema a 2 corpi può essere facilmente ricondotto al
problema ad 1 corpo utilizzando un riferimento opportuno.
Come per il problema ad 1 corpo, il moto a 2 corpi avviene in un piano, per
cui posso scegliere un riferimento xy e considerare i vettori posizione per il
corpo 1 e 2.
y
2
�r
1
�r2
�r = �r1 − �r2
�r1
x
A. Marconi
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9
Il problema di Keplero a 2 corpi
L’equazione di moto per il corpo 2 è
GM1 M2 �r
GM1 M2
¨
M2�r2 = −
=−
�r
2
3
r
r
r
�r = �r1 − �r2
per il III principio della dinamica, per il corpo 1 si ha
GM1 M2
¨
M1�r1 =
�r
3
r
per definizione, il centro di massa del
sistema (CM) è quel punto virtuale di
coordinate
y
2
�r2
M1�r1 + M2�r2
�
R=
M1 + M2
A. Marconi
�r
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CM
1
�r1
x
10
Il problema di Keplero a 2 corpi
Differenziando la definizione di CM, ed utilizzando le equazioni di moto per 1
e 2 si ottiene che
¨
�
(M1 + M2 )R = M1�r¨1 + M2�r¨2 = 0
ovvero il CM, in assenza di forze esterne o sta fermo o si muove di moto
rettilineo uniforme.
Possiamo scegliere un riferimento XY di cui il CM costituisce l’origine;
questo riferimento è inerziale.
Y
In questo riferimento, per definizione:
y
�
r
=
�
r
−
�
r
1
2
2
�
R=0
�r2
M1�r1 + M2�r2 = 0
M1�r1 = −M2�r2
ovvero i corpi 1 e 2 sono sempre
allineati con l’origine del sistema
di riferimento.
A. Marconi
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CM
�r1
X
1
x
11
Il problema di Keplero a 2 corpi
Considerando nuovamente il vettore distanza tra 1 e 2 posso scrivere
{
�r = �r1 − �r2
M1�r1 = −M2�r2
{
M2
�r1 = −
�r
M1 + M2
M1
�r2 =
�r
M1 + M2
ovvero sostituendo nell’equazione di moto per il corpo 2 (stessa forma che
nel riferimento xy) si ottiene
M1 M2 ¨
GM1 M2
�r = −
�r
3
M1 + M2
r
definisco la massa ridotta
A. Marconi
M 1 M2
µ=
M1 + M2
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12
Il problema di Keplero a 2 corpi
Si ottiene infine
G(M1 + M2 )µ
¨
µ �r = −
�r
3
r
Il moto dei due corpi 1 e 2 è pertanto equivalente a quello di un corpo di
massa μ (massa ridotta del sistema 1-2) nel potenziale generato dalla massa
M1+M2 fissa.
Siamo pertanto riusciti a ricondurre il problema a 2 corpi al problema ad 1
corpo che sappiamo risolvere, ovvero date le condizioni iniziali sappiamo
ottenere �
r(t) da cui possiamo ricavare �r1 (t) e �r2 (t)
A. Marconi
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13
Orbite in un sistema binario
r = �r(t) corrisponda ad un orbita ellittica con semiasse
Supponiamo che �
maggiore a e fuoco nell’origine del riferimento.
Le orbite di 1 e 2 sono anch’esse ellittiche con fuoco nell’origine e semiassi
Y
M2
a1 =
a
M1 + M2
�r1
M1
a2 =
a
M1 + M2
inoltre durante l’orbita il punto
virtuale di massa ridotta, 1, 2, e
l’origine sono sempre allineati
tra loro.
�r2
CM
�r
X
M1 < M2
In conclusione, sappiamo risolvere il moto di un sistema binario e, dati i
parametri che lo caratterizzano, sappiamo calcolare le orbite delle stelle che
lo costituiscono.
A. Marconi
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Orbite in un sistema binario
Nel caso più generale di un sistema binario legato, le orbite sono ellittiche.
Tuttavia considerare orbite ellittiche rispetto ad orbite circolare costituisce
solo una complicazione geometrica e non aggiunge nulla alla fisica del
problema.
Pertanto, per evitare che complicazioni matematiche nascondano la fisica
del problema ci metteremo nel caso di orbite circolare.
Nel caso di orbite circolari, il CM si trova nel centro delle circonferenze e le
accelerazioni sono date da
Y
2
|�ai | = ω ri
2π
ω=
T
dove ri è il raggio dell’orbita ( i=1,2 ),
ω la velocità angolare e T il periodo.
Per il corpo 1 possiamo quindi scrivere
�r
�v2
GM1 M2
M1 ω r 1 =
r2
2
�r1
CM
�r2
�v1
X
con r distanza tra i due corpi.
A. Marconi
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15
Orbite in un sistema binario
Ricordando che r1 = M1/(M1+M2) r si ricava infine
G(M1 + M2 )
ω =
r3
2
ovvero la legge di Keplero generalizzata al caso del problema a 2 corpi.
Questa legge vale anche nel caso di orbite ellittiche con r sostituito da a
distanza massima tra i due corpi ovvero il semiasse maggiore dell’orbita del
corpo di massa ridotta.
Sostituendo ω = 2 π/T si ottiene anche
P2
4π 2
=
3
r
G(M1 + M2 )
Un esempio dell’utilizzo della legge di Keplero per la stima delle masse è
proprio la determinazione della massa del Sole.
Se M2 = M⊙, M1 = M♁, M2 ≫ M1 si ha
�
�−2
�
�
3
4π r
r
T
33
M2 � 2
= 2 × 10 g
T G
1 AU
1 yr
2 3
A. Marconi
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Caso delle binarie visuali
In una binaria visuale si possono determinare direttamente le orbite delle
due stelle e quindi la distanza di ciascuna dal CM, θ1 e θ2 (angoli).
in generale, se le due orbite circolari sono su una piano
Y
inclinato rispetto alla linea di vista (i=0, face on),
si osserveranno orbite ellittiche con
semiassi minori θ1 cos i , θ2 cos i
Y
proiezione sul piano del cielo
�r1
X
�r2
X
Y
piano
dell’orbita
i
Z
vista face on (i=0);
XY piano dell’orbita
A. Marconi
vista di “taglio”
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17
Caso delle binarie visuali
Osservando per una parte sufficientemente lunga dell’orbita riesco a
determinare θ1 e θ2 e, se d è la distanza del sistema binario, ricordando la
relazioni tra r1 e r2 dovuta al fatto che l’origine è il CM
θ1 d
r1
M2
θ1
M2
=
=
ovvero
=
θ2 d
r2
M1
θ2
M1
combinato con la III legge di Keplero si ottiene
T2
4π 2
=
3
3
d (θ1 + θ2 )
G(M1 + M2 )
pertanto ho 2 equazioni in due incognite, ovvero, noti θ1, θ2, T e d posso
ricavare M1 e M2.
A. Marconi
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18
Esempio di binaria visuale
In un sistema binario (Mizar - Grande Carro)
si osservano due stelle, quella principale (A),
più brillante ed una compagna più debole (B).
Mizar A è anch’essa una binaria e dalle
osservazioni si ricava:
separazione massima θ = 3.0′′;
angolo parallattico p = 0.1′′;
Mizar A
anch’essa è
periodo orbitale P = 30 y;
una binaria!
la compagna è 5 volte più distante dal
J. Benson et al., NPOI Group, USNO, NRL
centro di massa rispetto alla stella
Dalla formula dei piccoli angoli e
principale.
dalla parallasse trigonometrica:
a = Dθ = 1 AU × (θ/p)
Applichiamo la 3a legge di Keplero:
(M1+M2) P2 = a3
(M1+M2) = (3.0′′/0.1′′)3/302 = 30 M☉
Rapporto tra le masse (centro di massa):
M1/M2 = a2/a1 = 5
A. Marconi
M1 = 25 M
M 2 = 5 M
€
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Caso delle binarie spettroscopiche
Nelle binarie spettroscopiche non posso misurare θ1 e θ2 ma posso utilizzare
l’informazione sulla velocità delle stelle lungo la linea di vista.
se i, j e k sono i versori degli assi del sistema XYZ centrato sul CM con XY
piano dell’orbita posso scrivere per la stella 2
�r2 = r2 (cos φ�i + sin φ�j)
�v2 = r2 φ̇(− sin φ�i + cos φ�j) = r2 ω(− sin φ�i + cos φ�j)
�n = −(sin i�j + cos i�k)
Z
dove n è il versore che identifica la linea
di vista (los, line of sight) ed è diretto
dall’osservatore alla sorgente
La velocità lungo la linea di vista
(misurata per effetto Doppler) è pertanto
i
ϕ
vlos,2 = �v2 · �n = −ωr2 sin i cos φ
quando ϕ = 0 l’oggetto di avvicina
all’osservatore e devo avere un blueshift.
Analogamente per il corpo 1
vlos,1 = �v1 · �n = ωr1 sin i cos φ da
A. Marconi
�n
Y
�r2
X
P
�v2
�v1 = −r1 ω(− sin φ�i + cos φ�j)
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20
Caso delle binarie spettroscopiche
Siccome il moto è circolare uniforme (ϕ(t) = ϕ0+ωt) le velocità osservate
avranno l’andamento sinusoidale riportato in figura
V
V0 +V2
V0
V0 -V1
t0
t0 +T
t
Nel caso in esame di orbite circolari, gli andamenti sono sinusoidali con
ampiezze V1 e V2 (V0 è la velocità sistemica ovvero la velocità del CM lungo
la linea di vista).
Misurando le velocità di 1 e 2 nel tempo riesco a determinare le ampiezze
delle curve ed anche il periodo T.
A. Marconi
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21
Caso delle binarie spettroscopiche
Combinando con le espressioni ottenute per le velocità lungo la linea di vista
ottengo
V1 = |vlos,1 (φ = π/2)| = ωr1 sin i
V1
r1
M2
=
=
V2
r2
M1
V2 = |vlos,2 (φ = π/2)| = ωr2 sin i
sostituendo r1 e r2 nella III legge di Keplero si ottiene anche
V1
r1 =
ω sin i
V2
r2 =
ω sin i
ovvero sostituendo il periodo
2
ω =
G(M1 + M2 )
(V1 + V2 )
3
ω 3 (sin i)3
3
(V1 + V2 )
(M1 + M2 )(sin i) =
T
2πG
3
da cui si nota come l’inclinazione dell’orbita sia un parametro che non posso
determinare.
A. Marconi
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22
Caso delle binarie spettroscopiche
Infine eliminando M2 dalle due equazioni precedenti si ottiene che nelle
binarie spettroscopiche
2
V2 (V1 + V2 )
M1 (sin i) =
T
2πG
3
ed analogamente posso ricavare M2.
Le masse le ottengo a meno di un fattore (sin i)3.
Se le binarie spettroscopiche sono anche binarie a eclisse allora i ≈ 90°
ovvero sin i ≈ 1 e riesco a misurare direttamente le masse.
In effetti combinando le informazioni spettroscopiche con le informazioni
dalle curve di luce posso ricavare tutti i parametri del sistema ovvero M1, M2,
L1, L2, R1, R2 e i (Ri sono i raggi delle stelle).
In molti casi riesco ad osservare lo spettro di una sola stella (l’altra è troppo
debole). Utilizzando le relazioni precedenti e sostituendo V2 = M1/M2 V1
�
P
M1
3
(M1 + M2 )(sin i) =
V1 1 +
2πG
M2
3
A. Marconi
�3
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23
Caso delle binarie spettroscopiche
ovvero
M23
P
3
(sin i) =
V13
(M1 + M2 )
2πG
quindi si riesce a misurare solo quella combinazione di masse e inclinazione.
Una semplificazione notevole si ha per M2 ≪ M1, per cui si ottiene
M2 sin i ≈
�
P
2πG
�1/3
2/3
V 1 M1
questo caso semplificato si applica con ottima approssimazione al caso dei
pianeti extrasolari (exoplanets) uno dei campi di ricerca più in voga al
momento.
In pratica per gli exoplanets rivelo la presenza del pianeta di massa M2 a
seguito delle oscillazioni della stella di massa M1 attorno al comune centro di
massa.
Si noti come per determinare M2 devo conoscere M1, a cui posso arrivare
conoscendo il tipo spettrale della stella.
A. Marconi
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24
Caso degli Exoplanets
Uno degli scopi più importanti per la ricerca e lo studio degli exoplanets è
trovare un pianeta roccioso come la Terra posto nella fascia abitabile attorno
ad una stella (la regione in cui H2O può esistere allo stato liquido).
Successivamente, si dovrebbe ottenere lo spettro dell’atmosfera del pianeta
e rivelare acqua e ossigeno (quest’ultimo segno della presenza di alghe e/o
piante) o anche sostanze prodotte da attività di tipo “industriale”.
Cosa occorre per rivelare un pianeta tipo Giove alla distanza di 1 AU attorno
ad una stella tipo Sole?
Dalla III legge di Keplero
�
2π
T
�2
G(M1 + M2 )
GM1
=
�
3
(r1 + r2 )
r23
per r2 = 1 AU, per orbite attorno a M1 = M⊙, il periodo è T = 1 yr.
Combinato con MJ ~ 10-3 M⊙ si ottiene
�
�1/3
2πG
−2/3
V 1 � M2 M1
sin i
T
�
�−1/3
7
3.15 × 10 s
−3
33
33
−2/3
−1
V1 � 10 2 × 10 g (2 × 10 g)
=
31
m
s
2π 6.7 × 10−8 c.g.s.
A. Marconi
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25
Caso degli Exoplanets
si può quindi scrivere
V1 = 31 m s
−1
�
��
M2
10−3 M⊙
M1
M⊙
�−2/3 �
T
1 yr
�−1/3
Se volessimo rivelare una Terra attorno ad un Sole, basta ricordare che
M♁ ≈ 3 × 10-6 M⊙ quindi si avrebbe
V1 = 31 m s
−1
�
−6
3 × 10 M⊙
10−3 M⊙
��
M1
M⊙
�−2/3 �
T
1 yr
�−1/3
= 9.3 cm s−1
Sono misurabili velocità così piccole?
Spettrografi “normali” ad alta risoluzione arrivano ad accuratezze dell’ordine
di
∆λ
≈ 10−6 ricordando che
λ
∆v
∆λ
=
c
λ
si ha
∆v � 300 m s
−1
ben superiori alle velocità massime di oscillazione della stella attorno al CM.
A. Marconi
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26
Caso degli Exoplanets
Esistono però strumenti ottimizzati per avere un’alta risoluzione spettrale
unita ad un’alta stabilità per cui si possono raggiungere accuratezze
dell’ordine di
∆v � 1 m s−1
uno strumento di questo tipo è HARPS montato al telescopio da 3.6m
dell’ESO (La Silla).
Con queste accuratezze si possono rivelare facilmente pianeti tipo Giove a
piccole distanze da una stella ma siamo ben lontani dal rivelare “Terre” in
fasce abitabili.
Quest’ultimo è proprio uno degli scopi per la costruzione di ELT.
Al momento sono stati scoperti circa 400 exoplanets tutti con masse tipo
Giove entro poche AU da stelle di piccola massa (≤ M⊙).
Recentemente sono stati scoperti il primo pianeta "roccioso" ma anche un
pianeta di massa simile a quella della Terra (≈2 M♁). Purtroppo nessuno dei
due si trova nella fascia abitabile.
A. Marconi
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27
Esempio di Exoplanet
Stella
HD 209458
(d≈50 pc)
M1 =1.1 M☉
(dal tipo
spettrale)
ΔV ~ 10 m/s
V1 = 86 m/s, T = 3.5 d per cui M2 = 0.7 MJ/(sin i) e r2 = 0.05 AU
trovata diminuzione di ~1.5% del flusso della stella a seguito di eclisse
da parte del pianeta per cui (sin i) ~ 1.
A. Marconi
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28
Immagine di un pianeta
T=2700K
~1/100
~1/30
T=1240K
Stella 2M1207: L ~ 0.004 L☉ M ~ 35 MJ T ~ 2700 K
(nana marrone, non reazioni nucleari ma emette energia per collasso
gravitazionale come fanno i pianeti gassosi come Giove o il compagno)
Pianeta 2M1207b: L ~ 5 × 10-5 L☉ M ~ 5 MJ T ~ 1240 K
Immagine possibile solo perchè la stella è debole e il pianeta è lontano!
A. Marconi
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31
Pianeta in fascia abitabile (Apr 2009)
Gliese 581
M3V (3450K)
d = 6.3 pc
M1 = 0.3 M☉
L = 0.013 L☉
H2O vapore
H2O ghiaccio
Pianeta e
P = 3.15 d
M2 = 1.9 M♁
Pianeta b
P = 5.36 d
M2 = 16 M♁
Pianeta c
P = 12.9 d
M2 = 5 M ♁
Pianeta d
P = 66.8 d
M2 = 7 M ♁
Masse a meno di (sin i)!
Nella fascia abitabile (H2O liquida) ma troppo massiccio per
essere roccioso (in base ai modelli di formazione pianeti);
gassoso, forse ricoperto da grandi oceani di H2O
Pianeta roccioso (Settembre 2009)
Stella CoRot-7
G9V (T~5400 K)
d ~ 150 pc
L ~ 0.4 L☉
M1 ~ 0.2 M☉
Pianeta CoRot-7b
M2 ~ 4.8 M♁
r2 ~ 0.017 AU
Provoca diminuzione del flusso della
stella di ~1/3000 durante il passaggio
davanti alla stella (misurata col satellite
Corot) da cui si deduce
R ~ 1.8 R♁
ρ ~ 0.8 ρ♁ ~ 4.5 g cm-3
pianeta roccioso!
Analogo al transito di Venere sul Sole.
Transito di Venere sul Sole
