Istituzioni di Matematiche II – Prima prova intermedia 27 aprile 2004

Istituzioni di Matematiche II – Prima prova intermedia 27 aprile 2004
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Si consegni questo testo assieme allo svolgimento
1. La formula che mi permette di ricavare il volume V di un cono in dipendenza dalla sua altezza h e
del raggio di base r è V = 13 πhr2 . Esprimere in m3 , in dm3 e in cm3 il volume di un cono con h = 3
dm e r = 35 cm. Usare per π il valore approssimato π ≈ 3.
2. Indicare (senza necessariamente svolgerli) che calcoli dovreste fare per determinare il raggio di
base r di un cono il cui volume V è 25.718 cm3 , e la cui altezza h è 3 dm.
3. Un cono ha altezza di misura h non specificata, raggio di base di misura r e volume V = 417 cm 3 .
Dire, giustificando la risposta, quale (o quali) tra i seguenti coni ha volume doppio del volume del
cono dato
(a) un cono con raggio di base pari a 2r e altezza pari a h;
(b) un cono con raggio di base pari a r e altezza pari a 2h;
(c) un cono con raggio di base pari a 2r e altezza pari a 2h.
Avreste dato una risposta diversa se nei dati iniziali non fosse stato dato un valore numerico per V ?
4. Dite (giustificando ciascuna risposta) se esiste o se non è possibile che esista una formula mediante
la quale ottenere
(a) la lunghezza di una diagonale di un rombo conoscendo (solo) l’altra diagonale;
(b) l’area di un triangolo equilatero conoscendo (solo) il perimetro.
5. Considerando gli oggetti in figura, costruire:
(a) Le immagini dei punti P e Q rispetto all’omotetia di centro O e rapporto k = 3.
(b) L’immagine del triangolo di vertici A, B e C rispetto all’omotetia di centro O e rapporto k = 1/2.
(c) L’immagine del rettangolo di vertici E, F, G e H rispetto all’omotetia di centro O e rapporto
k = 2.
B
H
G
E
F
A
O
P
Q
C
6. Raggruppare le seguenti figure in gruppi di figure simili
7. Prendendo come unità di misura l’area di un quadretto vorremmo disegnare un campionario di
quadrati con i vertici sulla quadrettatura. È facilissimo disegnare un quadrato di area 1 con i vertici
sulla quadrettatura. Proviamo allora a disegnare quadrati con i vertici sulla quadrettatura di area 2,
3, 4 e 5 quadretti. Ci accorgiamo che riusciamo a disegnarli tutti tranne uno. Quali siamo in grado
di disegnare e quali no? (Giustificare la risposta.)
8. Una possibile definizione corretta di “parallelogramma” è “quadrilatero cha ha i lati a due a due
paralleli”. Dire (giustificando ciascuna risposta) quale o quali fra le seguenti costituiscono altre
possibili definizioni corrette di parallelogramma:
(a) poligono che ha i lati a due a due paralleli;
(b) quadrilatero che ha i lati a due a due uguali;
(c) quadrilatero che ha gli angoli opposti uguali.
9. Un poligono è “rosso” se ha due lati uguali e l’angolo compreso è di 45 ◦ . Dite se esiste o se non è
possibile che esista
(a) un triangolo rosso;
(b) un triangolo rettangolo rosso;
(c) un triangolo ottusangolo rosso;
(d) un quadrilatero rosso.
(Per ciascuna domanda, se rispondete sı̀ disegnate un esempio, se rispondete no date una giustificazione.)
10. Quante diagonali ha una piramide a base pentagonale? Giustificare la risposta.