E LEMENTI DI DEMOGRAFIA
4. Mortalità della popolazione
Posa Donato
k [email protected]
Maggio Sabrina
k [email protected]
D IP. TO
DI
U NIVERSITÀ DEL S ALENTO
S CIENZE E CONOMICHE E M ATEMATICO -S TATISTICHE
FACOLTÀ DI E CONOMIA
a.a. 2008/2009
Elementi di demografia
4. Mortalità della popolazione
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Mortalità della popolazione
La mortalità rappresenta la principale componente negativa del movimento
della popolazione.
In Italia, i decessi sono generalmente accertati mediante denunce di morte:
le informazioni relative all’evento-morte (nome e cognome del deceduto, età,
sesso, causa di morte, ecc.) sono riportate in apposite schede compilate dagli
uffici di stato civile ed inviate all’ISTAT, che procede all’elaborazione delle
tavole di mortalità.
Lo studio della mortalità può essere realizzato con riferimento
al totale dei decessi avvenuti in un determinato periodo, oppure in una
determinata popolazione (mortalità generale o generica),
ad alcuni sottoinsiemi di popolazione opportunamente definiti (mortalità
specifica).
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4. Mortalità della popolazione
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Mortalità della popolazione
In particolare, nell’ambito della mortalità specifica è possibile distinguere:
la natimortalità, dove i nati morti sono considerati i neonati che non
abbiano dato alcun segno di vita e che, all’esame clinico, risultino di
aver compiuto almeno 180 giorni di vita intrauterina, altrimenti l’evento
viene classificato come aborto;
la mortalità perinatale, rappresentata dalla somma tra la natimortalità e
la mortalità infantile dovuta a cause endogene (ovvero a malformazioni
o a circostanza particolari verificatesi durante il parto) e riguardante i
decessi durante la prima settimana o il primo mese di vita;
la mortalità infantile, ovvero la mortalità che colpisce i nati vivi nell’intervallo tra la nascita ed il primo compleanno.
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4. Mortalità della popolazione
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Mortalità della popolazione: misure di mortalità
Al fine di valutare il livello di mortalità di una popolazione in un determinato intervallo di tempo (anno di calendario) ed in un ambito territoriale, è
necessario ricorrere al calcolo di indici statistici, quali
i tassi di mortalità generici, ottenuti mediante il rapporto percentuale
tra il numero medio annuo dei decessi verificatisi in un determinato
periodo e l’ammontare medio della popolazione dalla quale si ipotizza
provengano i decessi;
i tassi di mortalità specifici, ottenuti mediante il rapporto percentuale tra
il numero dei morti in un determinato periodo e la popolazione media
residente nello stesso periodo. E’ possibile calcolare tassi specifici per
età, per sesso, per stato civile, ecc.
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4. Mortalità della popolazione
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Mortalità della popolazione: misure di mortalità
Si è osservato come la mortalità sia particolarmente legata all’età, per cui è
possibile misurarla mediante tassi specifici per età.
Tuttavia, la valutazione del rischio di morte può essere effettuata con accuratezza, mediante il calcolo della probabilità di morte per età ipotizzando
l’assenza di flussi migratori (popolazione chiusa). A tal proposito, è possibile
distinguere:
la probabilità di morte tra compleanni, ovvero
qx =
g Mx
g Px
,
x = 0, 1, 2, . . .
la probabilità di morte tra 2 date successive (o probabilità prospettive
di morte), ovvero il numero di morti nell’anno t, provenienti dagli individui appartenenti alla generazione g, in età x (anni compiuti) al primo
gennaio dell’anno t:
qx/x+1 =
g M (t)
g Px (1/1/t)
,
x = 0, 1, 2, . . .
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4. Mortalità della popolazione
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Probabilità di morte per età: osservazioni
Nell’analisi longitudinale, le probabilità di morte tra compleanni, indicate con qx , sono calcolate per tutte le età di una generazione; mentre, nell’analisi trasversale, le probabilità di morte tra compleanni qx
sono calcolate alle diverse età di tutte le generazioni in un determinato
intervallo temporale (di solito si considera il biennio).
Le probabilità di morte tra compleanni hanno generalmente la finalità di
consentire la costruzione delle cosiddette tavole di mortalità.
Le probabilità di morte tra 2 date successive, indicate con qx/x+1 , sono
riferite ad una generazione g e misurano il rischio che hanno, in media,
gli individui appartenenti alla generazione g, in età x, al tempo t, di
essere in vita, in età x + 1, alla fine dell’intervallo [t, t + 1].
Le probabilità prospettive di morte sono utilizzate generalmente nelle
previsioni demografiche.
Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni
Si calcoli, per la popolazione maschile residente nella provincia di Brescia, la probabilità di
morte tra il 60 ed il 61 compleanno relativa al biennio 1978-1979.
A tale proposito, si può ricorrere alla formula
qx =
g Mx
g Px
(x = 0, 1, 2, ...),
(1)
adattandola opportunamente per tener conto sia della natura dei dati disponibili, sia del “fattore
di disturbo” dovuto alla presenza di movimenti migratori.
Si prospettano le seguenti alternative:
1a. Disponibilità della classificazione annua dei decessi per età e anno di nascita (senza
tener conto delle migrazioni)
Considerando la formula (1), si ottiene:
q60 =
1918 M60
1918 P60
=
44 + 30
≃ 0, 02704
2693 + 44
dove
il numeratore si determina aggregando i decessi
avvenuti nel biennio 1978-79 relativamente ai
soggetti nati nel 1918:
1918 M60
=1918 M60 (1978)+1918 M60 (1979)
,
ed il denominatore viene calcolato a partire dal
numero di soggetti sessantenni al 31.12.1978:
1918 P60
=1918 P60 (31.12.1978)+1918 M60 (1978).
2.a) Disponibilità della classificazione analitica dei decessi e delle migrazioni
La presenza di movimenti migratori modifica l’ammontare della popolazione esposta al rischio
di morte.
In tal caso, la probabilità relativa viene calcolata ipotizzando che i movimenti migratori si
equidistribuiscano durante l’anno e che i saldi siano rimasti esposti al rischio medesimo per
un periodo (medio) corrispondente a metà anno. Quindi, applicando la (1) si ottiene:
q60 =
1918 M60
=
+ 1/2(1918 I60 −1918 E60 )
74
≃ 0, 02709
2693 + 44 − 22 + 14 + 1/2(36 − 29)
P60 (31.12.1978) +1918 M60 (1978) −1918 I60 +1918 E60 .
=
con 1918 P60 =1918
1918 P60
Diagramma di Lexis
Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni
3.a Disponibilità della classificazione annua dei decessi e/o delle migrazioni solo per età
Qualora non sia possibile conoscere con esattezza i dati di flusso che si identificano nei
triangoli dello schema di Lexis, ma solo quelli corrispondenti ai quadrati, anno dell’evento
e età dei soggetti interessati (grafico 6.a), si ipotizza che le morti (M ) ed il saldo migratorio
(S) relativi ad un anno solare e ad una data età si equiripartiscono tra le due generazioni da cui
provengono.
Diagramma di Lexis
Esempio 1. Calcolo delle probabilità di morte tra compleanni
Una volta operata la scomposizione indicata nel suddetto grafico 6.b il calcolo della probabilità
di morte può essere effettuato secondo il criterio esposto nel precedente punto 2.
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4. Mortalità della popolazione
4.1 Tavole di mortalità
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Tavole di mortalità
Le probabilità di morte tra compleanni qx sono riportate in un prospetto denominato tavola di mortalità. E’ possibile distinguere due tipi di tavole di
mortalità:
tavole di mortalità per generazioni, che si costruiscono considerando una
generazione di nati e seguendola fino alla sua estinzione,
tavole di mortalità per contemporanei, che si costruiscono considerando
i viventi classificati per età ad una determinata epoca (solitamente la
data coincide con la data del censimento) ed i decessi per età, avvenuti
intorno alla stessa epoca.
Si osservi che il calcolo delle tavole per generazioni non è molto agevole,
infatti, occorrerebbe seguire ogni componente sino al decesso per ottenere la
successione completa dei morti in età tra 0 e 1 anno, tra 1 e 2 anni, e così via.
Pertanto, nelle applicazioni si preferisce utilizzare le tavole di mortalità per
contemporanei, elaborate e pubblicate dall’IST AT .
Tavole di mortalità
La tavola di mortalità è un prospetto in cui sono riportati i seguenti indicatori,
denominati funzioni biometriche:
la probabilità di morte qx , ovvero la probabilità per un individuo in età
x, di morire in età tra x ed x + 1;
la funzione di sopravvivenza, indicata con lx , ovvero il numero di individui sottoposti a rischio di morte tra due compleanni successivi, secondo i valori assunti da qx ;
il numero di decessi, indicato con dx , in età tra x e x + 1;
il numero di anni vissuti, indicato con Lx , tra l’età x ed x + 1, dagli
individui che hanno raggiunto l’età x;
la somma retrocumulata, indicata con Tx , degli anni vissuti, che rappresenta la popolazione di età compresa tra x e ω − 1;
la vita media o speranza di vita, indicata con e̊x , all’età x, ovvero il
numero medio di anni che restano ancora da vivere a ciascuno dei sopravviventi all’età x, se sarà esposto, nel corso della vita, alle condizioni
di mortalità, che mediante qx , caratterizzano la tavola di mortalità.
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4. Mortalità della popolazione
4.1 Tavole di mortalità
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Tavole di mortalità
Con riferimento ad una ipotetica generazione di l0 (numero arbitrario di solito
pari a 100.000) individui nati nello stesso istante e con probabilità di morte
qx , con x = 0, 1, . . . , ω−1, è possibile calcolare le altre funzioni biometriche,
come segue:
1
px = 1 − qx , che rappresenta la probabilità di sopravvivenza dal compleanno x al compleanno x + 1;
2
lx+1 = px · lx ,
x = 0, 1, . . . , ω − 1 e quindi la serie completa di
sopravviventi {lx } ai successivi compleanni;
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6
dx = lx − lx+1 ,
lx +lx+1
2
x = 0, 1, . . . , ω − 1;
Lx =
oppure Lx = lx+1 + kx · dx , dove 0 < k < 1 (di solito si
assume k = 1/2), se si ipotizza che i decessi siano distribuiti equamente
nell’intervallo [x, x + 1];
Tx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + . . . + Lω−1 ;
e̊x =
Tx
lx .
Andamento delle funzioni biometriche, rispetto all’età
Esempio di tavola di mortalità
Tavole abbreviate di mortalità
Talvolta, per mancanza di dati analitici di base, può essere utile costruire tavole di
mortalità abbreviate, ovvero tavole in cui il processo di eliminazione per morte è descritto, anziché tra compleanni contigui, tra successivi intervalli di età pluriennale.
In tali circostanze, la procedura di costruzione di una tavola di mortalità abbreviata è
sostanzialmente identica a quella precedentemente indicata per una tavola di mortalità,
con alcuni adattamenti; in particolare, identificando con:
a qx
la probabilità di morte tra i compleanni x e x + a, con a ≥ 1;
a dx
i decessi entro i compleanni x e x + a,
lx i sopravviventi al compleanno x,
a kx la frazione di intervallo compreso tra i compleanni x e x + a vissuta, in
media, dai deceduti entro tali limiti di età (0 < a kx < 1),
a Lx
gli anni vissuti entro i compleanni x e x + a,
Tx la somma retrocumulata degli anni vissuti a partire dal compleanno x,
e̊x la vita media al compleanno x,
si ottengono le seguenti funzioni biometriche che compongono la tavola di mortalità:
a dx
= lx · a q x ,
lx+a = lx − a dx ,
a Lx
= a · lx+a + a kx · a · a dx ,
e̊x = Tx /lx .
Altre tavole di mortalità
Se non si dispone neppure dei dati necessari per la costruzione di tavole abbreviate di
mortalità, è possibile ricorrere alle cosiddette tavole tipo.
Le prime tavole-tipo proposte risalgono alla seconda metà degli anni Cinquanta ed
utilizzano come informazioni di base per la costruzione della tavola, la mortalità al
primo anno di vita.
Se si dispone della classificazione dei decessi, oltre che in funzione dell’età e del
sesso, anche per causa di morte, è possibile costruire apposite tavole di mortalità per
causa.
Finalità operative della tavola di mortalità
La tavola di mortalità è utilizzata soprattutto:
nel settore assicurativo-attuariale, dove essa consente di predisporre le
basi tecniche per il calcolo dei premi assicurativi,
nelle previsioni demografiche, in cui si fa riferimento al modello di
sopravvivenza descritto da una opportuna tavola.
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4. Mortalità della popolazione
4.1 Tavole di mortalità
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Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità
a) Costruzione delle basi tecniche per il calcolo dei premi nelle assicurazioni sulla vita
Come è noto, la somma (o premio) che un individuo di età x deve pagare per assicurarsi un
determinato capitale, se sarà in vita ad un prefissato compleanno x+n (o per assicurarlo a favore
degli eredi in caso di morte), viene determinata (dall’assicuratore) in funzione della probabilità
che si verifichi l’evento (sopravvivenza o decesso), che costituisce l’oggetto dell’assicurazione.
Tale probabilità, che non può evidentemente essere calcolata a priori se non arbitrariamente,in
corrispondenza di ogni singolo caso,si ottiene facendo riferimento ad un’appropriata tavola di
mortalità.
In tal caso, si ipotizza che la popolazione degli assicurati sia soggetta alle regole di sopravvivenza
(e di eliminazione) che governano la tavola prescelta.
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4. Mortalità della popolazione
4.1 Tavole di mortalità
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Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità
a) Costruzione delle basi tecniche per il calcolo dei premi nelle assicurazioni sulla vita
Ad
esempio, se un individuo (maschio) che oggi compie trent’anni volesse assicurare ai suoi eredi
un determinato capitale in caso di morte entro il 60◦ compleanno, la probabilità del verificarsi
di un tale evento (secondo la tavola italiana 1977-1979) è uguale a:
96153 − 81414
l30 − l60
=
= 0, 1533.
l30
96153
Analogamente, se una donna, in età compresa tra il 50◦ ed il 51◦ compleanno volesse garantirsi
un capitale, se in vita al compimento del 70◦ compleanno, la stessa tavola consentirebbe di
assegnarle una probabilità di sopravvivenza pari a:
l70
79533
=
= 0, 8324.
L50
94881
I precedenti valori, opportunamente rielaborati al fine di tener conto anche di considerazioni di
ordine finanziario (legate allo sfasamento temporale tra il pagamento del premio e l’eventuale
versamento della somma assicurata da parte dell’assicuratore), entrano a far parte delle cosiddette “basi tecniche” delle assicurazioni sulla vita; ossia, di quell’insieme di parametri adottati
dall’assicuratore per la determinazione del premio.
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4. Mortalità della popolazione
4.1 Tavole di mortalità
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Esempio 2. Alcuni utilizzi della tavola di mortalità
b) Costruzione di probabilità di sopravvivenza finalizzate al calcolo di previsioni demografiche
Si consideri un gruppo di individui (Px (t)) in età x al tempo t e ci si proponga di prevedere
quanti di essi (Px+n (t + n)) saranno in vita, in età x + n, al tempo t + n.
La soluzione di tale problema si ottiene eseguendo il prodotto tra il numero di soggetti esposti
a sopravvivere tra le età x e x + n nell’intervallo temporale (t, t + n) e la relativa probabilità
di sopravvivenza; quest’ultimo valore opportunamente determinato sulla base di una tavola di
mortalità idonea a rappresentare i livelli di eliminazione per morte prevedibili nell’intervallo
(t, t + n), si esprime mediante il rapporto:
n sx
= Lx+n /Lx .
Ad esempio, considerando la popolazione maschile ventenne residente in Italia al 25.10.1981
(435161 unità) il corrispondente numero di trentenni che si prevedono, in assenza di migrazioni,
per il 25.10.1991 è:
L30
P30 (25.10.91) = P20 (25.10.81)
L20
da cui, impiegando i valori Lx forniti dalla tavola di mortalità italiana del 1977-1979, si ottiene:
P30 (25.10.91) = 435161
96104
= 430804.
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Un approfondimento: la mortalità infantile
La mortalità infantile in senso stretto riguarda solo i decessi verificatisi nel primo anno
di vita.
Per la misurazione della mortalità infantile si può utilizzare il tasso generico di mortalità infantile, definito come segue:
minf (t) = 1000 ·
M0 (t)
.
N (t)
(2)
Il tasso minf è un indicatore grezzo, che evidenzia una incongruenza al numeratore
della formula: infatti, il numero di decessi M0 (t) provengono da due differenti generazioni, ovvero quella dei nati nell’anno (t − 1) e quella dei nati nell’anno t. Pertanto, si
preferisce utilizzare formule alternative alla (5) al fine di ovviare a tale inconveniente.
In particolare,
a) se si dispone del numero di morti nel primo anno di vita, classificati per anno di
nascita, è possibile calcolare il seguente tasso specifico di mortalità:
m̄inf = 1000 ·
t M0 (t)
+ t M0 (t + 1)
N (t)
oppure con la formula meno ricorrente
t−1 M0 (t)
t M0 (t)
¯
+
;
m̄inf = 1000 ·
N (t − 1)
N (t)
(3)
(4)
Un approfondimento: la mortalità infantile
b) se non è nota la classificazione dei morti al primo anno di vita, distinti per
anno di nascita, è possibile stimare la frazione h di decessi nel primo anno
di vita, avvenuti nello stesso anno di nascita; pertanto, nella (3) e nella (4) si
sostituiscono le seguenti quantità:
t M0 (t)
t−1 M0 (t)
t M0 (t
+ 1)
=
h · M0 (t)
=
(1 − h) · M0 (t)
=
(1 − h) · M0 (t + 1)
dove h è funzione crescente al decrescere del livello di mortalità infantile.
In alternativa alla (4) si può adattare la (5) esplicitata come segue:
m′inf (t) = 1000 ·
M0 (t)
.
(h − 1) N (t − 1) + h N (t)
(5)
Un approfondimento: la mortalità infantile
La mortalità infantile può essere scomposta in 2 componenti fondamentali:
una componente endogena (o biologica), la quale riguarda i decessi verificatisi
nel primo anno di vita a causa di fattori che hanno agito durante la vita intrauterina (tare eriditarie, debolezza della madre, ecc);
una componente esogena, la quale riguarda i decessi legati a fattori ambientali
esterni e sociali (clima, alimentazione, assistenza medica, ecc).
Per poter scomporre la mortalità nel primo anno di vita, distinguendo i decessi per
causa endogena da quelli per causa esogena, il demografo francese Jean BourgeoisPichat nel 1951 propose un modello biometrico che, prescindendo dalla conoscenza
delle cause di morte, si basava sulla classificazione per età dei decessi verificatisi nel
primo anno di vita, ipotizzando che tutti i decessi che si verificavano dal secondo mese
di vita fossero di natura esogena.
Un approfondimento: la mortalità infantile
Se si verificano le ipotesi del modello biometrico proposto da Jean Bourgeois-Pichat,
l’ammontare dei decessi esogeni può essere stimato, in prima approssimazione, come
segue:
Mes = 1,25 · M1−11 ,
dove M1−11 indica l’ammontare dei decessi verificatisi tra il secondo ed il dodicesimo
mese di vita.
L’ammontare dei decessi endogeni si ottiene per differenza.
Quindi, i tassi di mortalità endogena ed esogena si ottengono rapportando l’ammontare
Mes o Men a quello dei nati vivi da cui presumibilmente provengono.
Esempio
Si considerino i seguenti dati relativi alla popolazione italiana nel triennio 1977-1979:
In tal caso, il calcolo del tasso di mortalità infantile relativamente all’anno 1978, può essere
ottenuto applicando le formule precedentemente menzionate:
Esempio
Natimortalità e mortalità perinatale
Infine, con riferimento alla natimortalità ed alla mortalità perinatale, a cui si è precedentemente accennato, è possibile calcolare le seguenti misure di sintesi:
il tasso di natimortalità, rappresentato dal rapporto tra il numero di nati morti
Nm in un determinato intervallo di tempo ed il numero di nati complessivamente
considerati (nati vivi e nati morti), come segue:
Qnm =
Nm
Nm + Nv
il tasso di mortalità perinatale, rappresentato dal rapporto tra il numero di nati
morti Nm e dei decessi di natura endogena Den verificatisi in un determinato
intervallo di tempo ed il numero di nati complessivamente considerati (nati vivi
e nati morti), come segue:
Qpn =
Nm + Den
.
Nm + Nv
