OSSERVAZIONI SUI POLIEDRI 1. - Dalla dimostrazione del teorema

A. MARONI (Firenze - ItaUa)
OSSERVAZIONI SUI P O L I E D R I
1. - Dalla dimostrazione del teorema Descartes-Eulero,
relativo ai poUedri,
data daUo STAUDT neUa Geometrie der Lage (l), risulta che, tagUando la superficie di un poUedro semplicemenete connesso lungo certi v — 1 spigoU (v essendo il numero dei vertici del poUedro), la superficie resta connessa e priva
di successioni chiuse (2) di facce. Di questa proprietà, che è appena accennata
daUo STAUDT, ho dato una dimostrazione per esteso in un articolo pubbUcato
nel Periodico di Matematiche (3). Ma da queUa dimostrazione (per quanto essa
lasci molta arbitrarietà neUa scelta dei v — 1 spigoU suddetti) non risulta espUcitamente che comunque siano scelti i y - 1 spigoU, purché taU da non togUere
la connessione deUa superficie poUedrica, si ottiene sempre una superficie priva
di successioni chiuse di facce. È appunto questo che vogUo ora dimostrare.
2. - Sia S una superficie poUedrica (aperta o chiusa), la quale contenga
successioni chiuse di facce. Diremo / il numero deUe facce di S, ed l il numero
dei suoi spigoU lungo i quaU si connettono le facce (esclusi dunque gU spigoU
del contorno di S, se essa è aperta).
Operiamo un tagUo lungo uno degU l spigoU menzionati, scelto ad arbitrio,
ma in modo che il tagUo stesso non tolga la connessione deUa superficie S: ciò
equivale a dire che lo spigolo scelto dovrà connettere due faccie di una successione
chiusa. La nuova superficie poUedrica, Sf, ottenuta dopo il tagUo, avrà lo stesso
numero f di facce, mentre il numero dei suoi spigoU non appartenenti al contorno
sarà divenuto l—l. Immaginiamo di proseguire ad operare tagU come il precedente (lungo spigoU scelti ad arbitrio, ma sempre in modo da non rompere la
(*) V. la traduzione di M. Pieri, § 49.
(2) Chiamo successione chiusa di facce la figura formata da più facce di una superficie poliedrica, le quali possano ordinarsi in guisa che ciascuna sia consecutiva alla precedente, e la prima all'ultima.
(3) Il teorema Descartes-Eulero relativo ai poliedri. Periodico di Matematiche, Serie VI,
voi. I, n. 5 (1921).
Atti del Congresso.
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COMUNICAZIONI
connessione deUa superficie poUedrica) fino a che ciò sia possibile; cioè fino a
che non si sia ottenuta una superficie poUedrica, S®, la quale risulti priva di
successioni chiuse di facce: diremo t ü numero dei tagU operati quando ciò sia
avvenuto. La superficie S® avrà sempre f facce, ed avrà l—t spigoU non appartenenti al contorno. Ma in una superficie poUedrica connessa che non contiene
successioni chiuse di facce, il numero degU spigoU non appartenenti al contorno
è uguale al numero deUe facce diminuito di una unità (*) ; si ha dunque :
f-l
=
da cui :
(1)
l-t
t=l-f+l.
Questa relazione mostra che il numero t, dei tagU che si debbono operare
lungo spigoU di una superficie poUedrica S affinchè essa resti connessa e divenga
priva di successioni chiuse di facce, dipende esclusivamente dal numero l degU
spigoU di S non appartenenti al contorno e dal numero f deUe facce deUa
superficie stessa; il numero t è dunque indipendente dagU spigoU scelti per
operarvi i tagU.
3. - Sia, ora, S la superficie di un poUedro sempUcemente connesso, ü quale
abbia / facce, v vertici ed s spigoU. Si ha in tal caso (la superficie essendo chiusa) :
l=s
ed inoltre (teorema Descartes-Eulero) :
f=s + 2 — v.
Sostituendo neUa (1), si ha :
(2)
t=v-l.
Dunque : il numero degli spigoli lungo i quali è necessario
tagliare la superficie di un poliedro semplicemente connesso,
ottenga una superficie connessa e priva di successioni chiuse
uguale al numero dei vertici del poliedro diminuito di una
e
sufficiente
affinchè si
di facce, è
unità.
4. - Osserviamo ora che una superficie poliedrica priva di successioni chiuse
di facce è evidentemente sviluppabile in un piano, senza che sia necessario tagUarla ulteriormente. Dunque dal teorema dimostrato al n. 3 segue che : tagliando
la superficie di un poliedro semplicemente
connesso lungo v—1
spigoli
scelti ad arbitrio, ma in modo da non romperne la connessione, la superficie del poliedro si rende sviluppabile su di un piano.
(*) V. il mio articolo citato.
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sui poliedri
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Non si può dire che, affinchè la superficie del poUedro possa svilupparsi su
di un piano, sia proprio necessario di operare tutti i w - 1 tagli che la rendono
priva di successioni chiuse di facce. Per esempio, se un poUedro possiede un
angoloide (certamente non convesso), la somma deUe cui facce sia uguale a
quattro angoli retti, la superficie del poliedro potrà divenire svüuppabüe su di
un piano anche se non viene tagUata lungo uno spigolo deU' angoloide suddetto,
sebbene le facce di un angoloide formino una successione chiusa. In tal caso,
il numero dei tagU occorrenti per rendere svüuppabüe su di un piano la superficie del poUedro sarà, al più, v—2. Ma è facile persuadersi, pensando, per es.,
ai più noti poUedri convessi, che in moltissimi casi occorre effettuare tutti i
v— 1 tagU, affinchè la superficie del poUedro possa svilupparsi su di un piano.
Possiamo quindi concludere che « il numero v — 1 è il massimo
numero
di spigoli lungo i quali va tagliata la superficie di un poliedro
semplicemente connesso, avente v vertici, per poterla sviluppare in un piano,
senza romperne la connessione ».
II.
1. - Se indichiamo con vi U numero degU angoloidi i-spigoU di un poUedro
sempUcemente connesso, con fh il numero deUe sue faccie A-latere, e con s U
numero dei suoi spigoU, si hanno le note relazioni:
h
' *
/ ^Vi + ^fn-s
(1)
K
'
\
i
+2
h
daUe quaU, eUminando s, si ha il sistema equivalente:
/
) 2 2 6 - 4 + 2 <t-2)i>i
(2)
V
s=\^ivt
'
\
h
I ^(h-2)fh=-4,
\
h
i
+ ^2vi
i
Sorge ora la questione di sapere se, dati i numeri v% ed fh, soddisfacenti la
seconda e la terza deUe relazioni (2), esiste sempre un poUedro sempUcemente
connesso avente Vi angoloidi i spigoU (i=S, 4,....) ed fh faccie h latere (h=3, 4,....)
In altre parole: il soddisfare aUe (2) è senza dubbio condizione neccessaria
perchè i numeri s, Vi, /&, siano relativi ad un poUedro sempUcemente connesso ;
questa condizione è essa anche sufficiente?
Le considerazioni che seguono sono rivolte a stabiUre che la risposta da
darsi a questa questione è negativa. Per dimostrar ciò basterà dare un esempio
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COMUNICAZIONI
dal quale risulti che, pur avendo scelti certi numeri Vf, f%, s, soddisfacenti le (2),
non esiste il corrispondente poUedro.
2. - Limitiamoci a considerare poUedri aventi solo facce trilatere
(f*=fs=fG=....=0).
Le (2) aUora si scrivono:
i
2/3=4+ 2
(i-2)Vi
%
/3_=-4 + 2 2 ^
(3)
EUminando fn fra la seconda e la terza di queste relazioni, si ha il sistema
equivalente :
(4)
Se si pone:
#3 = 1 ;
^4=4;
v5 = l ;
v&=v1==v»= ....=0
si verifica subito che la terza deUe relazioni (4) è soddisfatta ; le altre due danno poi :
f3=8; _ = 12. Ebbene, vogUamo provare che il poUedro corrispondente non esiste.
3. - Proviamo, infatti, a costruire il
poUedro. Sia A il vertice del suo angoloide pentaedro, e siano ABC, A CD,
ADE, AEF, AFE, le facce trilatere
concorrenti nel vertice A. Poiché il
poUedro deve avere, in tutto, 6 vertici, esso non ne avrà altri all'infuori
di A, B, C, D, E, F. Sia, per es.,
B il vertice deU'angoloide triedro, e
quindi siano C, D, E, F, i vertici degU angoloidi tetraedri. Unito C con F,
dovrà essere BCF una faccia del poUedro. Ora, poiché F deve esser vertice di un angoloide tetraedro, ed in esso
concorrono già le facce FEA, FAB, FBC, ne segue che, unito C con E, il
triangolo FCE deve essere un'altra faccia del poUedro. Ma aUora dal vertice C
partirebbero 5 spigoU del poUedro: CD, CA, CB, CF, CE; mentre C deve
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sui poliedri
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esser vertice di un angoloide tetraedro. Ciò prova che non è possibile costruire
un poliedro a faccie triangolari con soltanto un angoloide pentaedro, un angoloide triedro, e quattro tetraedri.
Si deve dunque concludere che le relazioni (2) non rappresentano condizioni
sufficienti per l'esistenza di un poUedro sempUcemente connesso; e sorge perciò
il dubbio che fra gU elementi di un poliedro, oltre aUe relazioni note ve ne sia
qualche altra, di natura più riposta, finora sfuggita aU' indagine degli studiosi.