ESERCIZI FNZ DI 2 VARIABILI

ESERCIZI FNZ DI 2 VARIABILI
Es.3 (8 punti)
Si consideri la seguente funzione di Cobb Douglas:
P  10 x 0, 25 y 0,75
si calcoli la produzione in corrispondenza all’utilizzo di x  625 unità di lavoro e di y  256 unità
di capitale. Si approssimi la variazione che subisce la produzione se si passa all’utilizzo di x  627
unità di lavoro e di y  260 unità di capitale.
Es.5 (8 punti)
Si consideri la seguente funzione di Cobb Douglas:
P  10 x 0, 25 y 0,75
e il seguente vincolo di bilancio sui fattori di produzione:
75 x  25 y  1000
Si calcoli la combinazione di x e y che, nel rispetto del vincolo, massimizza la produzione.
Es.3
In una comunità vi sono due fabbriche di birra in concorrenza, così che le vendite dell’una
influenzano le vendite dell’altra. Se la fabbrica A produce x litri di birra al mese e la fabbrica B
produce y litri di birra al mese, i guadagni di ciascuna fabbrica risultano espressi da:
2x2  y 2
GA  2 x 
10 6
x2  4 y2
GB  2 y 
2 * 10 6
Determinare la somma dei guadagni delle due fabbriche se ciascuna fissa indipendentemente il
proprio livello di produzione in modo da rendere massimo il proprio guadagno, supponendo che la
fabbrica concorrente faccia nello stesso modo.
Determinare la somma dei guadagni delle due fabbriche se decidono di cooperare fissando il livello
delle rispettive produzioni in modo da rendere massimo il guadagno totale.
Es.3
Si consideri la funzione di produzione di Cobb- Douglas con   1/ 5 e con il valore della
produzione unitaria pari a 300. Determinare la produzione in corrispondenza all’utilizzo di 243
unità di Kapitale e a 16 unità di Lavoro. Si determini la produttività marginale rispetto al Kapitale e
rispetto al Lavoro nel punto (243,16) e si determini una stima della variazione della produzione in
corrispondenza all’incremento di 10 unità di Kapitale e di 4 unità di Lavoro. Si massimizzi la
produzione nell’ipotesi di un vincolo di bilancio rappresentato dall’equazione:
10K  40L  1000 .
Es.3
La funzione di utilità di un consumatore rispetto a due beni A e B, è espressa da:
U ( x, y)  2 x 2  80 x  0.16 y 2  20 y
il prezzo del bene A è 20€ mentre quello del bene B è pari a 4€. Determinare il numero di unità del
bene A e del bene B che il consumatore acquista, ottimizzando la sua funzione di utilità, nell’ipotesi
che egli abbia a disposizione 200€. (Usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange).
Es.3
I costi totali di un’impresa dipendono dal numero di addetti “L” e dal volume di pubblicità
“M”secondo la formula:


C ( L, M )  0,7  L3  M 0,5
Calcolare il differenziale primo di C e darne il significato;
Usando il differenziale primo “misurare” la variazione percentuale del costo in seguito ad
una crescita del 2,5% in L e ad una diminuzione del volume di pubblicità pari a 0,8%;
Es.3
Si supponga che x unità di lavoro e y unità di capitale consentano di produrre f ( x, y)  60 x 3 / 4 y1 / 4
unità di un certo bene. Si supponga che ogni unità di lavoro costi 100€ mentre il costo di ciascuna
unità di capitale sia pari a 200€. Si supponga infine che siano state fissate in 30.000€ le risorse per
la produzione.
Si determini il numero di unità di lavoro e di capitale da utilizzare per massimizzare la produzione.
Es.3
La funzione di produzione per una impresa è rappresentata da: f ( x, y)  64 x 3 / 4 y1 / 4 dove x e y
rappresentano rispettivamente il numero di unità di lavoro e il numero di unità di capitale impiegati
nel processo produttivo. Ogni unità di lavoro costa 96€ e ogni unità di capitale costa 162€.
L’impresa decide di produrre 3456 unità del bene. Determinare i valori di x e y che debbono essere
utilizzati per minimizzare il costo di produzione.,