CESEDI
22 Marzo 2012
Ragionare in geometria: indurre, abdurre,
dedurre. Come ci possono aiutare gli attuali
strumenti tecnologici?
Elisa Gallo [email protected]
Maria Cantoni [email protected]
Ancora Guarini
La cicloide
Curve di Cassini
Sintesi ed analisi
P è allora un punto
della conica …..
http://vincenzo-giordano.blogspot.com/2010/01/documenti.html
Sintesi ed analisi in
Euclide
GeoGebra ci dice
Euclide
LIBRO I: PROPOSIZIONE 32
PROPOSIZIONE 32.
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla
somma dei due angoli interni opposti, e la somma dei tre angoli interni del
triangolo è uguale a due retti
Sia ABC un triangolo, ed un suo lato BC sia prolungato oltre a C sino a D; dico
che l’angolo esterno ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti
CAB, ABC, e che la somma dei tre angoli interni del triangolo, ABC, BCA, CAB, è
uguale a due retti. Infatti per il punto C si conduca la parallela CE alla retta AB.
E poiché AB è parallela a CE , e su essa cade AC, gli angoli alterni interni BAC,
ACE sono uguali fra loro. Di nuovo, poiché AB è parallela a CE, e su di essa cade
la retta BD, l’angolo esterno ECD è uguale all’angolo ed opposto ABC. Ma fu
dimostrato che pure gli angoli ACE, BAC sono uguali; quindi tutto quanto
l’angolo ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti BAC,ABC.
Si aggiunga in comune l’angolo ACB [all’angolo ACD e alla somma degli altri
due]; La somma degli angoli ACD, ACB, è perciò uguale alla somma dei tre
angoli ABC, BCA,CAB. Ma la somma degli angoli ACD, ACB, è uguale a due
retti; quindi anche la somma degli angoli ACB, CBA, CAB è uguale a due retti.
Dunque in ogni triangolo …(secondo l’enunciato) CDD
ENUNCIATO TERZO
Se due rette sono
(1) parallele
(2) tagliate da una trasversale
allora
gli angoli alterni interni sono congruenti
Condizioni
Conseguenza
verifiche
(1) AB // EC
(2) AC taglia
AB e EC
BÂC AĈE
PREMESSE
Questo è ciò che appare nel discorso deduttivo, alle volte
richiamando il “nome” dell’enunciato terzo “addotto.
In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati,
l’angolo esterno è uguale alla somma dei due
angoli interni opposti, e la somma dei tre angoli
interni del triangolo è uguale a due retti
Sia ABC un triangolo, ed un suo lato BC sia
prolungato oltre a C sino a D
propone
espone
A
B
C
D
dico che l’angolo esterno ACD è uguale alla somma
dei due angoli interni ed opposti CAB, ABC, e che la
somma dei tre angoli interni del triangolo, ABC,
BCA, CAB, è uguale a due retti.
delimita
Infatti per il punto C si conduca la parallela
CE alla retta AB
A
B
precisa
E
C
D
E poiché AB è parallela a CE , e su essa cade AC,
gli angoli alterni interni BAC, ACE sono uguali fra
loro. Di nuovo, poiché AB è parallela a CE, e su di
essa cade la retta BD, l’angolo esterno ECD è
uguale all’angolo ed opposto ABC. Ma fu
dimostrato che pure gli angoli ACE, BAC sono
uguali; quindi tutto quanto l’angolo ACD è uguale
alla somma dei due angoli interni ed opposti
BAC,ABC
dimostra
Si aggiunga in comune l’angolo ACB
[all’angolo ACD e alla somma degli altri due];
La somma degli angoli ACD, ACB, è perciò
uguale alla somma dei tre angoli ABC,
BCA,CAB. Ma la somma degli angoli ACD,
ACB, è uguale a due retti; quindi anche la
somma degli angoli ACB, CBA, CAB è uguale
a due retti
dimostra
Dunque in ogni triangolo …(secondo
l’enunciato) - CDD
conclude
se si prolunga uno dei
lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei
due angoli interni opposti, e la somma dei tre
angoli interni del triangolo è uguale a due retti
Prove di dimostrazione
nel tempo
Halbwachs
Buchenwald 1945
Arnauld
seicento
Clairaut
settecento
Birckhoff e Beatley
La similitudine come assioma
Dove sparisce il teorema?
seicento
Desargues
Jean Victor Poncelet
Viene creduto morto e lasciato alla battaglia
di Krasnoy (campagna di Russia), quindi
imprigionato dai russi a Saratov.
Durante la prigionia, studia la geometria
proiettiva e scrive alcune bozze del libro
"Applications d'analyse et de géométrie"
La geometria
della sfera
