SEMPLICE TRIGONOMETRIA E PROIEZIONI
In altri appunti abbiamo dimostrato che la spinta di un vettore lungo una certa direzione coincide con la sua
proiezione (o componente) lungo tale direzione. Abbiamo visto come ottenere tale componente attraverso un
disegno: bisogna tracciare la perpendicolare dalla punta del vettore sulla direzione e disegnare la proiezione
ottenuta1. Però è molto più pratico calcolare la proiezione piuttosto che disegnarla e perciò in questi appunti
studieremo il modo di ottenere la proiezione di un vettore attraverso un calcolo matematico. Per far ciò è
indispensabile introdurre alcune semplici funzioni trigonometriche, cioè funzioni che descrivono le
proprietà di un triangolo attraverso i suoi angoli.
Consideriamo un triangolo rettangolo: è evidente, e lo si può dimostrare rigorosamente, che una volta fissato
l’angolo io posso estendere il triangolo a piacere mantenendo sempre costante le proporzioni fra i suoi
rispettivi lati (cioè io posso estendere il triangolo ottenendo altri triangoli simili, vedi figura 1). Questo fa sì
che il rapporto fra i due cateti e fra i cateti e l’ipotenusa rimanga sempre costante qualunque sia
l’estensione del triangolo una volta che è fissato l’angolo . In altre parole: osservando il triangolo di
figura 1 posso affermare che:
a1/c1 = a2/c2 = a3/c3
b1/c1 = b2/c2 = b3/c3
b1/a1 = b2/a2 = b3/a3
Se chiamo:
a: il cateto adiacente a
b: il cateto opposto a
c: l’ipotenusa
posso affermare che: una volta che ho fissato ho
fissato anche i rapporti b/a , a/c , b/c.
La funzione che calcola il rapporto a/b al variare di si
chiama tangente:
tan() = b/a
(1)
Figura 1: fissato l'angolo , all'aumentare
dei lati le loro reciproche proporzioni non
cambiano. Prova a misurare i lati del triangolo con un righello e verificalo!
Quella che calcola il rapporto a/c si chiama coseno:
cos() = a/c
(2)
Quella che invece calcola il rapporto b/c si chiama seno:
sen() = b/c
(3)
In parole: dato un triangolo rettangolo:
il seno (abbreviato sin) di un angolo è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto
opposto all'angolo e l'ipotenusa;
il coseno (abbreviato cos) è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente
all'angolo e l'ipotenusa;
la tangente (abbreviata tan) è definita come il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente
all’angolo .
Come già detto, il seno, il coseno e la tangente di un angolo , espresso in gradi o radianti, sono quantità che
dipendono solo da .
1
Negli appunti “FORZA E SPINTA OBLIQUA”.
Funzioni inverse
Tutte e 3 le funzioni trigonometriche possiedono la funzione inversa, cioè quella funzione che, noto il
rapporto, permette di calcolare l’angolo.
La funzione che dà l’angolo a partire dal rapporto b/a (cioè a partire dalla tangente) si chiama
arcotangente (arctan, atan, tan-1).
La funzione che dà l’angolo a partire dal rapporto a/c (cioè a partire dal coseno) si chiama
arcocoseno (arccos, acos, cos-1).
La funzione che dà l’angolo a partire dal rapporto b/c (cioè a partire dal seno) si chiama arcoseno
(arcsen, asen, sen-1).
Vettori e proiezioni
In Fisica, i vettori assumono una grande importanza perché permettono di rappresentare una particolare
tipologia di grandezze dette appunto grandezze vettoriali: la forza è un esempi di grandezza vettoriale.
Come detto in altri appunti, ogni vettore può essere scomposto nelle sue proiezioni (o componenti) lungo
una qualsiasi direzione1. Adesso, grazie alle funzioni trigonometriche, saremo in grado di calcolare ogni
proiezione.
La trigonometria interviene all’uopo: essa permette infatti di calcolare immediatamente ogni proiezione una
volta noti l’intensità del vettore e l’angolo. Studieremo due casi:
1. una forza che incide al suolo, che forma con il suolo un angolo di incidenza .
2. una forza verticale che incide su di un piano inclinato di un angolo di inclinazione, che indicheremo
con 0 per distinguerlo da quello di incidenza.
ANGOLO DI INCIDENZA: Guarda la figura 2: una forza F0=100N incide su di un
tavolo con angolo =30° (dunque, rappresenta l’angolo di incidenza). Qual
è la sua proiezione lungo X (F//) ? E lungo Y (F)? E’ evidente che se traccio le
proiezioni F// e F ottengo un triangolo rettangolo di cui: F0 è l’ipotenusa c ; F// è
il cateto adiacente ad , cioè a ; F è il cateto opposto ad , cioè b. Dalla
trigonometria ottengo subito:
a/c = cos() F///F0 = cos(30°) (sostituendo i valori)
F///100N = 0,866 F//=86,6N
b/c = sen() F/F0 = sen(30°) (sostituendo i valori) F/100N
= 0,500 F=50,0N
Figura 2: F0 con le sue
proiezioni F// e F forma un triangolo rettangolo.
Nota che abbiamo ottenuto una valore di F positivo, anche se F è negativa in quanto è diretta nel verso
negativo delle Y: questo perché le equazioni trigonometriche danno soltanto il modulo del vettore (i lati dei
triangoli sono sempre positivi!): il segno lo dobbiamo mettere a mano noi, osservando se la componente
punta dalla parte del “+” o del “-“.
Figura 3
ANGOLO DI INCLINAZIONE: Supponiamo adesso che io voglia trovare la
proiezione secondo un piano inclinato di un angolo 0 (dunque, 0
rappresenta l’angolo di inclinazione). Poniamo di avere una forza verticale F0
che incide su di un piano inclinato di un angolo 0 (guarda la figura 3): si
dimostra che l’angolo 0’ = 0. A questo punto è evidente che F0 è l’ipotesa di
un triangolo rettangolo di cui F è il cateto adiacente ad 0 mentre F// è il
cateto opposto. Poniamo che F0=50N ed 0=40°; scrivo:
F///F0 = sen(0’=0) F// = ……..
F/F0 = cos(0’) F = ……..
Fate voi i calcoli!
