moto circolare uniforme - Prof. Leonardo Carpinteri

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MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Il moto circolare uniforme è il moto di un corpo che si muove su una superficie
piana e lungo una traiettoria circolare , con velocità di modulo
costante.
Nel moto circolare uniforme la velocità del punto materiale
viene detta “velocità tangenziale ” poichè, in ogni istante, essa
è tangente alla circonferenza sulla quale si muove il punto
materiale. Tale velocità, durante il moto, rimane costante in modulo , ma non in
direzione e verso (come è facile rendersi conto guardando i vettori vv111 vv222 vv333 in
figura, rappresentanti la velocità in tre casuali differenti posizioni del punto,
durante il suo moto ). Poiché, dunque, vi è una variazione di velocità (anche se
solo in direzione e verso) vi sarà senz’altro, un’accelerazione che sarà la
responsabile
di
tale
variazione .
Ma
di
questa
accelerazione
e
delle
sue
caratteristiche ci occuperemo in seguito.
Durante il moto, il punto P si muove sulla circonferenz a e il raggio (chiamato in
questa circostanza “raggio vettore”) descrive un angolo che possiamo indicare
con la lettera q (theta). Poiché il moto è uniforme, il raggio vettore descriverà
angoli uguali in tempi uguali. Analogamente alla velocità tangenziale intesa
come (spazio percorso)/tempo, possiamo definire un nuovo tipo di velocità detta
“velocità angolare ” intesa come (angolo descritto)/tempo , generalmente indicata
con la lettera “  ” (omega). Le dimensioni di questa nuova velocità saranno
quelle di un angolo/tempo e, poiché gli angoli nel S.I. si misurano in radianti (e
non in gradi !), l’unità di misura della velocità angolare sarà [rad/s].
RICHIAMI SUGLI ANGOLI E LE LORO UNIT A’ DI MISURA:
Radiante = Unità di misura dell’angolo piano [rad].
Un angolo di ampiezza “1 radiante” è un angolo “ a ” che
sottende
un
arco
di
lunghezza
pari
al
raggio
della
circonferenza.
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L’angolo giro di “360°” corrisponde a “2 ∏” radianti (numericamente pari a circa
6.28
rad)
e
così,
l’angolo
piatto
“180°”
corrisponde
a
“ ∏”
radianti
(numericamente pari a circa 3.14 rad). Per passare da “gradi” a “radianti” si può
usare una semplice proporzione: 
a° :a p  180° : ∏
dove a ° = angolo espresso in “gradi”
a p = angolo espresso in “radianti”
Usando questa semplice proporzione si può verificare facilmente che ad un
angolo pari a 1 rad corrispondono circa 57°.
PARAMETRI FONDAMENTALI :
1) Raggio R [m]
2) Periodo T = intervallo di tempo necessario per completare un giro [s]
3) Frequenza ƒ = numero di giri al secondo [Hz]
4) Velocità tangenziale V [m/s]
5) Velocità angolare  [rad/s]
Le relazioni tra i parametri sono le seguenti:
• la frequenza è l’inverso del perio do
Infatti, se, ad esempio , il punto compie un giro in 1/20 di secondo, significa
che in 1 secondo ne potrà completare 20 e così, se il tempo impiegato a
compiere 1 giro completo sarà di 3 s, significa che in 1 secondo avrà
completato solo 1/3 di giro. Quindi la relazione tra i due parametri è:
• la velocità angolare  dipende dal periodo T
Infatti, l’angolo descritto in un periodo è proprio l’angolo giro e quindi la
velocità angolare  può essere espressa mediante la relazione:
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• la velocità tangenziale v dipende dal periodo T e dal raggio R
Infatti, in un periodo , lo spazio percorso è proprio tutta la circonferenza e
quindi la velocità tangenziale v  può essere espressa mediante la relazione:
Esiste anche una relazione molto importante tra la velocità tangenziale e la
velocità angolare:
La velocità tangenziale di un punto materiale che si muove di moto circolare
uniforme dipende, quindi, dalla sua distanza dal ce ntro di rotazione, oltre che
dalla sua velocità angolare.
In una giostra, ad esempio, per completare un giro, un bambino che si trova
posizionato vicino al bordo esterno, dovrà percorrere una circonferenza più
grande rispetto ad un bambino posizionato in prossimità del centro. Questo
implica che il bambino posizionato vicino al bordo d ovrà “essere più veloce”
rispetto all’altro, se vuole completare il suo giro nello stesso intervallo di
tempo (periodo) del suo amico. Quindi le velocità tangenziali dei due bambini
saranno differenti tra loro , ma la velocità angolare è la stessa, poiché il
periodo è lo stesso (la giostra completerà un giro, ad esempio, in 10 secondi
sia per un bambino che per l’altro)
Infine, si possono esprimere le velocità angolare e tangenziale in funzione
anche della frequenza f :
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ACCELERAZIONE CENTRIPETA:
Come già anticipato, poiché il vettore che rappresenta la velocità tangenziale
istantanea “non è costante”, allora dovrà esistere un’accelerazione proprio a
giustificazione di questa “variazione di velocità” .
Il moto circolare uniforme, si può dunque considerare un “moto accelerato”
anche se la velocità tangenziale rimane costante in modulo!
Si può facilmente dedurre che questa accelerazione, non potrà avere nessuna
componente lungo la direzione di moto del punto (direzione tangenziale) in
quanto altrimenti essa farebbe inevitabilmente variare il modulo della velocità
(come succede nel moto rettilineo uniformemente accelerato). L’unica direzione
che può assumere tale vettore accelerazione, dunque, compatibile con queste
considerazioni rimane solo quella radiale con il verso del vettore, rivolto sempre
verso il centro di rotazione; ecco perché questo tipo di accelerazione viene
detta Accelerazione centripeta e si può indicare con “ a c ” .
Si può dimostrare che il suo modulo rimane costante durante il moto ed è pari
a :
esprimibile anche mediante la relazione :
poiché:
Il vettore accelerazione centripeta “ a c ” è dunque un vettore che mantiene il suo
modulo costante ma la sua direzione e verso variano continuamente (sono
dirette sempre verso il centro della circonferenza).
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