Spettro di densità di potenza e rumore termico

Spettro di densità di potenza
e rumore termico
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Spettro di densità di Potenza- 1
Proprietà spettrali: Trasformata di Fourier
TRASFORMATA DI FOURIER
S  f    st e


 j 2 ft
st    S  f e j 2ft df

dt


 | x(t) |
2
ANTI-TRASFORMATA DI FOURIER
dt    X ( f ) esiste

Condizione per l’esistenza della Trasformata
di Fourier: segnale quadraticamente
sommabile (segnale di energia).
Esiste la Trasformata di Fourier per segnali di potenza?
- Per alcuni esiste!
In senso limite
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Spettro di densità di Potenza- 2
TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO
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Spettro di densità di Potenza- 3
TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO
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Spettro di densità di Potenza- 4
Richiamo impulso matematico
•
(t)
Definita dalle due equazioni:
(t)=0, t0
(t)dt=1
•
(t)
0
Alternativamente definita come una funzione limite
(t)=lim0 (1/T)rectT(t)
Quale è la trasformata di Fourier di un segnale di tipo delta di Dirac?
 t   lim
T 0
1
rectT (t )  Y
T
0
 t   lim sin fT   1
T 0
fT
La trasformata di Fourier di un impulso di Dirac è una costante quindi per dualità la
trasformata di una costante è un impulso di Dirac
s t   1  Y
s t     f 
1.
Segnale costante è un segnale di potenza: impulso di Dirac consente di estendere anche a segnali di
potenza il concetto di trasformata in senso limite;
2.
Impulso di Dirac modello teorico: nella realtà non è possibile generare una tale forma d’onda
(Dirac modella un impulso estremamente stretto).
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Spettro di densità di Potenza- 5
Trasformata di Fourier di segnale sinusoidale

S  f    st e

 j 2ft

dt   A cos2f 0 t    e  j 2ft dt 

1 j 2f 0t  1  j 2f 0t   j 2ft
A  ( e
 e
)e
dt 
 2
2
A  j    j 2  ( f  f 0 ) t
A  j    j 2  ( f  f 0 ) t
 e
e
dt  e
e
dt 






2
2
A
A
 e  j  ( f  f 0 )  e  j  ( f  f 0 )
2
2

•Spettro segnale: unico contributo a frequenza f0.
S( f )
A
2
A
2
f
 f0
f0
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Spettro di densità di Potenza- 6
Trasformata di Fourier di segnali periodici
E’ possibile calcolare la TDF di un segnale periodico? Sfruttando la sua scrittura
in serie di Fourier, é possibile, e molto semplice:
La TDF di un segnale periodico é una sequenza di impulsi di Dirac, spaziati di
multipli della frequenza fondamentale (f0=1/T0), con pesi pari ai coefficienti della
serie di Fourier:
Segnali periodici nel tempo
TDF
Sequenze (di impulsi) in frequenza
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Spettro di densità di Potenza- 7
Segnali periodici: Spettro di densità di Energia?
S f 
Sappiamo che per segnali di energia lo
Spettro di Densità di Energia è dato da
L’Energia totale è data da
E


2
S  f  df
2
Ovviamente ciò non si può scrivere per segnali di potenza,
anche ove esista Trasformata di Fourier in senso limite
(quadrato di delta di Dirac ed
energia = integrale del quadrato andrebbe ancora ad infinito
… !!!!)
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Spettro di densità di Potenza- 8
Spettro di densità di Potenza (I)
Lo spettro di densità di potenza di un segnale di potenza descrive la
distribuzione della potenza del segnale nel dominio della frequenza.
Segnale x(t) con potenza Px  il suo spettro di densità di potenza Sx(f) è una
funzione della frequenza che soddisfa le seguenti proprietà:
1.
2.
L’integrale di Sx(f) esteso a tutto l’asse delle
frequenze è pari alla potenza del segnale.
La funzione Sx(f) è pari al rapporto tra la
potenza del segnale contenuta
nell’intervallo [f, f+f] e la larghezza
dell’intervallo f quando la larghezza
dell’intervallo tende a zero.



S x  f df  Px
Px  f , f  f 
S x  f   lim
f 0
f
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Spettro di densità di Potenza- 9
Spettro di densità di Potenza (II)
E’ possibile dimostrare che lo spettro di densità di potenza è pari alla
trasformata di Fourier dell’autocorrelazione del segnale.
Sx  f   Y
R  
x
Dove:
1
Rx    lim
T  T

T 2
T 2
x* t xt   dt
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Spettro di densità di Potenza- 10
Spettro di densità di potenza: esempi
•
Segnale costante
1
T  T
Rx    lim
•
x(t )  K  X ( f )  K    f  & S x  f   K 2    f 

T 2
T 2
1
T  T
x* t xt   dt  lim

T 2
T 2
2
K * K dt  lim K  K
2
T 
Segnale sinusoidale
x(t )  A cos2f 0t     X ( f ) 
A j
A
e   f  f 0   e  j   f  f 0 
2
2
A2
A2
A2
cos2f 0   S x  f  
 Rx   
  f  f0     f  f0 
2
4
4
1 T 2 *
1 T 2




x
t
x
t
dt
A cos2f 0t   A cos2f 0 (t   )    dt 



lim
T  T T 2
T  T T 2
A 2 T 2
A2
 lim
cos2f 0   cos4f 0t  2f 0  2  dt  cos2f 0 
T   2T T 2
2
Rx    lim
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Spettro di densità di Potenza- 11
Densità spettrale di potenza per segnali periodici
-La densità spettrale di potenza di un segnale x(t) periodico di periodo T0 è
definita come:
Dove gli Xk sono i coefficienti dell’espansione in serie di Fourier.
Infatti...
e quindi filtrando passa-banda x(t) intorno a kf0 si estrae solo
la cui
potenza vale
(potenza di un esponenziale complesso = potenza di una costante)
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Spettro di densità di Potenza- 12
Esempi – Spettro di densità di potenza
La somma di due segnali periodici senza righe nella stessa frequenza ha una
potenza data dalla somma delle potenze
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Spettro di densità di Potenza- 13
Segnali periodici: treno di impulsi
Un treno di impulsi di ampiezza unitaria, spaziati di T0 costituiscono un particolare
segnale periodico
La TDF del segnale base é la costante unitaria:
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Spettro di densità di Potenza- 14
Filtri e Spettro di densità di Potenza
Cosa accade allo spettro di densità di potenza di un segnale
quando il segnale transita attraverso un filtro?
x(t)
y(t)
H(f)
Sx(f)
Sy(f)=?
S y  f   H  f   Sx  f 
2
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Spettro di densità di Potenza- 15
Rumore Termico
• Qualsiasi conduttore con resistenza R0 a temperatura T superiore allo zero assoluto presenta ai suoi capi una
tensione aleatoria dovuta all’agitazione termica degli elettroni  la “tensione di rumore” ha ddp gaussiana
con valor medio nullo e varianza pari
K: costante di Boltzmann (1.3810-23 J/K);

2
n
R: valore resistenza (Ohm);
 4 kTRB
T: valore temperatura (Kelvin);
B: banda monolatera (Hz)
• Circuito equivalente di un resistore reale: generatore di tensione con valore n in serie ad un resistore ideale (non rumoroso)
R
•generatore connesso carico R’;
•condizione di massimo trasferimento di potenza (R’=R);
+
-
n

R
2

  
P   n  R'  n  kTB
4R
 R  R' 
2
Potenza trasferita
sulla banda B
• Lo spettro di densità di potenza disponibile del rumore termico è indipendente dalla frequenza (rumore bianco:
approx valida fino a 104 GHz quindi su tutte le bande usate nei radar)
Sn ( f ) 
kT
(W / Hz )
2
Spettro di densità di
potenza bilatero
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Spettro di densità di Potenza- 16
Statistica rumore
Istogramma
Volts
Cosa vuol dire che il rumore ha una densità di probabilità gaussiana?
Volts
Contatore
Realizzazione
rumore
Tempo
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Spettro di densità di Potenza- 17
Autocorrelazione del rumore
Cosa vuol dire che il rumore è bianco?
•
•
Spettro di densità di potenza uniforme in frequenza;
Autocorrelazione pari a un impulso delta di Dirac
Autocorrelazione è relativa alla predicibilità nel tempo:
dato il valore del rumore all’istante t1 quanto è predicibile il
valore del rumore all’istante t1+?
Rumore bianco: disturbo a banda larga  il
rumore varia molto rapidamente:
dal valore di rumore ad un certo istante t1 non è
possibile predire il valore di rumore all’istante
t1+.
Volts
Rxx
0
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tempo
 (secondi)
Spettro di densità di Potenza- 18
Rumore bianco e Filtraggio
Dominio del tempo
Rn()
Dominio della frequenza
Sn(f)
.5N0()
f

•
•
•
.5N0
Il segnale varia molto rapidamente;
Rumore bianco: buona approssimazione della realtà;
Filtraggio rumore bianco: introduce correlazione.
Sn(f)=.5N0
Spettro densità di
potenza rumore bianco
in ingresso al filtro.
H(f)
.5N0|H(f)|2
Spettro densità di
potenza rumore in uscita
dal filtro.
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Spettro di densità di Potenza- 19
Figura di Rumore
• La figura di rumore F (Noise Figure) caratterizza la rumorosità di un dispositivo o di un sottosistema: in
particolare misura la degradazione del rapporto segnale/rumore tra ingresso e uscita dovuta all’aggiunta del
rumore generato dal dispositivo
Psi
Pso=GPsi
Banda B
Guadagno G
Pni=kT0B
Figura di rumore F
Psi: potenza segnale utile in ingresso;
Pni: potenza rumore in ingresso;
Pno=GPni+Pno
Pso: potenza segnale utile in uscita;
F
Psi Pni
Pso Pno
FIGURA DI
RUMORE
Pno: potenza rumore in uscita;
• Figura di rumore definita con riferimento ad una specifica condizione in ingresso: resistore adattato a temperatura T0=290K:
Psi
Pni=kT0B
Pso=GPsi
P
P P
F  si no  1 no
Pso Pni
GkT0 B
• Figura di rumore sempre 1;
• Dispositivi ideali (non rumorosi: Pno) F=1;
Pno=GPni+P0
Pno=(F-1)GkT0B
Pno=GkT0B+ (F-1)GkT0B=FGkT0B
Psi
Pni=kT0B
Banda B
Guadagno G
+
Sistema ideale (F=1)
Pso=GPsi
Pno=FGPni
•Il dispositivo rumoroso è equivalente ad un dispositivo non
rumoroso con in ingresso una sorgente a temperatura FT0 anziché T0. Pno/G=(F-1)kT0B
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Spettro di densità di Potenza- 20
Temperatura Equivalente di Rumore
• La temperatura equivalente di rumore TE (descrizione alternativa ad F) caratterizza la rumorosità di un
dispositivo o di un sottosistema: è la temperatura di un resistore adattato che, posto all’ingresso del dispositivo
in esame assunto ideale, è in grado di produrre una potenza in uscita pari a Pno.
Per un dispositivo ideale (non
rumoroso) si ha TE=0.
Pno=GkTEB  TE= Pno/GkB
• La relazione con la figura di rumore è data da
TE=(F-1)T0
• Se in ingresso al dispositivo sorgente a temperatura Ts:
Pno  GPni  Pno  GkTs B  (F 1)kT0 B  Gk(Ts  TE )B
SNR0 
Pso
SNRi
SNRi


Pno 1 (F 1)T0 Ts 1 TE Ts
Pni=kTsB
Psi
Banda B & Guadagno G
Sistema ideale
+
(F=1 & TE=0)
Pso=GPsi
Pno
Pno/G=(F-1)kT0B=kTEB
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Spettro di densità di Potenza- 21
Rumore termico (IV)
Rumore prodotto
da un attenuatore
• Linee di trasmissione, giunti, giunti rotanti, duplexer sono attenuatori: se l’attenuatore è alla
temperatura fisica Tp ed è caratterizzato da un’attenuazione L (L=Psi/Pso, L>1)
TE  ( L  1)T p
L 1
Pno  kT p B (
)
L
Psi
Pni
Banda B
Gudagno G=1/L
+
Attenuatore ideale (F=1)
F  1  ( L  1)
Pso=Psi/L
Pno=Pni/L+kTpB(L-1)/L
Tp
T0
Se Tp=T0  F=L: un attenuatore puro per
Tp=T0 è trasparente al rumore cioè vede in
ingresso e in uscita lo stesso rumore.
Pno/G=kTpB(L-1)
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Spettro di densità di Potenza- 22
Rumore termico (V)
Sottosistemi
in cascata
Sistema 1
Psi
Banda B & Guadagno G1
Banda B & Guadagno G2
Figura di rumore F1
Figura di rumore F2
Temp. di rumore TE1
Temp. di rumore TE2
Pni=kTsB
Psi
Pni=kTsB
Sistema 2
Banda B & Guadagno G1
Pso=G1Psi
Sistema 1 ideale
+
Pso
Pno
Banda B & Guadagno G2
Sistema 2 ideale
+
Pn1=kTE1B
Pso=G1G2Psi
Pno
Pn2=kTE2B
Psi
Pni=kTsB
Banda B
Guadagno G1G2
+
Sistema equivalente ideale
Pso=G1G2Psi
Pno=G1G2k(Ts+TE)B
Pno/G1G2=kTEB
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Spettro di densità di Potenza- 23
Rumore termico (VI)
Pno  G1G2 k (Ts  TE1 
Pno  G1G2 ( Pni 
TE 2
)B
G1
Pno
)  G1G2 k (Ts  TE ) B
G1G2
TE  TE 1 
TE 2
G1
F  1
F 1
TE
 F1  2
G1
T0
Generalizzando al caso di N sottosistemi in cascata:
TE  TE 1 
F  F1 
T
TE N
TE 2
 E 3  ... 
G1 G1G2
G1G2 ...G N 1
FN  1
F2  1 F3  1

 ... 
G1
G1G 2
G1G 2 ...G N 1
Per sottosistemi in cascata il primo stadio è l’elemento critico: per contenere la rumorosità
globale il primo stadio deve assere a bassa cifra di rumore e ad elevato guadagno.
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Spettro di densità di Potenza- 24
Caratterizzazione rumore
ESEMPIO: Valutazione temperatura di rumore di sistema
Tin=50 K
TRF=50 K GRF=23 dB
Tm=500 K Gm=-10 dB
Ts=50+50+500/200+1000/20=152.5 K
TIF=1000 K GIF=30 dB
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Spettro di densità di Potenza- 25