Capitolo 1

Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Capitolo 1
Amplificatori a radiofrequenza
Il primo blocco attivo di un sistema di ricezione è l’amplificatore di antenna che,
essendo sempre un amplificatore a basso rumore, viene solitamente indicato con
l’acronimo LNA (Low Noise Amplifier). Si tratta di un amplificatore che lavora con un
range dinamico (rapporto tra la potenza del massimo segnale amplificabile con basse
distorsioni e quella del minimo segnale intelligibile) molto ampio (anche maggiore di
100 dB) introducendo, al contempo, il minor contributo possibile al rumore.
La principale caratteristica di un amplificatore è la capacità di introdurre un
guadagno di potenza significativamente maggiore di 1. Gli amplificatori a
radiofrequenza sono caratterizzati da guadagni di potenza generalmente compresi tra 15
e 25 dB. Il cuore dell’amplificatore è il componente attivo che, di norma, è
rappresentabile mediante un tripolo, ovvero un dispositivo con tre terminali che lo
connettono al mondo esterno: è opportuno, pertanto, esaminare le diverse maniere di
caratterizzarlo, tenuto anche conto del fatto che spesso esso viene schematizzato come
un sistema a due-porte in cui uno dei tre terminali risulta comune all’ingresso e
all’uscita.
1.1 Caratterizzazione dei dispositivi a dueporte.
L’amplificatore è un dispositivo a due-porte caratterizzato da quattro grandezze
elettriche: corrente e tensione di ingresso e corrente e tensione di uscita. Se il due-porte
è lineare, è possibile esprimere due di tali grandezze come combinazione lineare delle
altre due: per far questo è necessario conoscere i 4 parametri della combinazione lineare
che caratterizzano un determinato circuito a due-porte.
5
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
i1(t)
i2(t)
LNA
v1(t)
P(t)
v2(t)
R
Power
P(t ) 
V 2 (t )
R
Fig. 1.1: Il LNA come sistema a due-porte. P(t) rappresenta la potenza istantanea
di uscita ottenuta modulando, attraverso il segnale di ingresso, la potenza (Power)
erogata dalla batteria di alimentazione
Un esempio tipico è la caratterizzazione mediante i parametri h di un tripolo, definiti
dal sistema di equazioni:
 v1  hi  i1  hr  v2

i2  h f  i1  ho  v2
(1.1)
La cui matrice è la matrice H
 hi
H 
h f
hr 
ho 
Il sistema definito dalle Eq. 1,1 fa riferimento allo schema di Fig. 1.2
i1
i2
+
+
v1
v2
_
_
Fig. 1.2: Due-porte ottenuto da un tripolo con un terminale a comune tra ingresso e
uscita.
I parametri h sono ricavabili dalle seguenti definizioni operative:
hi 
6
v1
i1
= [Ω]
v2  0
hr 
v1
v2
: adimensionale
i1  0
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
hf 
i2
v2
: adimensionale
v2  0
ho 
i2
v2
= [Ω-1]
i1  0
Questi parametri sono detti ibridi perché non hanno tutti le stesse dimensioni fisiche.
Per applicare la definizione operativa si devono realizzare sia cortocircuiti (v=0) che
circuiti aperti (i = 0).
I set di parametri possibili sono molteplici : h, z, y, S, ABCD. La scelta si fa sia in
base alle modalità operative di misura, che possono risultare più o meno “comode” a
seconda della frequenza di lavoro, sia in base alla potenzialità messe a disposizione del
progettista da ciascun set di parametri. Anche queste potenzialità dipendono dalla
frequenza di lavoro e dalla specificità degli obiettivi che il progetto deve conseguire.
Ad esempio un circuito aperto in bassa frequenza è facilmente ottenibile “tagliando”
un filo di connessione o una pista. In realtà, i due monconi a distanza finita tra loro
rappresentano una capacità, ovvero una reattanza che, ad alte frequenze, fa si che i due
fili non possano più essere considerati un circuito aperto:
1
 160
1pF @ 1GHz costituisce una reattanza pari a
2  10 9  10 12
Operativamente, quindi, in alta frequenza un circuito aperto è difficilmente realizzabile.
Un circuito chiuso può a sua volta introdurre un’induttanza. Qualche millimetro di
conduttore corrisponde a un’induttanza dell’ordine del nano Henry, ovvero una
reattanza di alcuni ohm nel range delle microonde:
1nH @ 1GHz costituisce una reattanza pari a 2  10 9  10 9  6.28
A frequenze molto elevate anche i cortocircuiti diventano difficilmente realizzabili.
Nel campo delle radiofrequenze il set di parametri più utilizzato in passato è stato
quello dei parametri Y che, negli ultimi anni, ha ceduto il passo ad un altro set di
parametri: i parametri S utilizzati estensivamente nel campo delle microonde. In questa
prima parte del Corso, per facilitare l’approccio ad una disciplina abbastanza specifica
come quella della progettazione a radiofrequenza e microonde, si utilizzerà il set di
parametri Y che, per la sua “somiglianza” con altri set di parametri utilizzati in corsi di
base (parametri h e Z, per esempio) permette una più immediata comprensione e
facilità di utilizzo. Nella seconda parte del Corso verrà, invece, introdotto ed utilizzato il
set dei parametri S.
1.1.1 Parametri Y
I parametri Y mettono in relazione le correnti di ingresso e uscita con le rispettive
tensioni. Essi sono definiti dal seguente sistema di equazioni:
 i1  y I  v1  y R  v2

i2  y F  v1  yO  v2
(1.2)
La matrice Y delle ammettenze è:
yR 
y
Y  I

 y F yO 
7
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Le definizioni operative dei parametri Y sono le seguenti:
yI 
yF 
i1
v1
i2
v1
yR 
v2  0
yO 
v2  0
i1
v2
v1  0
i2
v2
v1  0
Per misurare i parametri Y bisogna realizzare solo dei cortocircuiti in ingresso o in
uscita.
I parametri Y sono i duali dei parametri Z definiti, a loro volta, dalla seguente coppia
di equazioni e dalla matrice Z:
 v1  z I  i1  z R  i2

v2  z F  i1  z O  i2
z
Z  I
zF
zR 
z O 
(1.3)
Nel seguito verranno utilizzati i parametri Y i quali hanno tutti le dimensioni di una
ammettenza e si misurano in Siemens [S] o milliSiemens [mS].
I pedici indicano rispettivamente:
I: input
relativo al rapporto tra grandezze in ingresso
O: output relativo al rapporto tra grandezze in uscita
F: forward relativo all’effetto dell’ingresso sull’uscita
R: reverse relativo all’effetto dell’uscita sull’ingresso
Esempio di calcolo di parametri Y
Nel seguito è riportato uni esempio di calcolo di parametri Y di un due-porte
elementare.
Esempio :
i1
Yx
i2
+
+
v1
v2
-
i
yI  1
v1
i1
= Yx
Yx
+
v2  0
v1
v2=0
-
yF 
i2
v1
= -Yx
i2
(i2  i1
v2  0
Il due-porte è simmetrico.
8
v2  0
)
yo=yi yr=yf
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Il fatto che il due-porte sia simmetrico equivale a dire che le due-porte possono
essere scambiate. Cosa diversa è affermare che la matrice delle ammettenze è
simmetrica rispetto alla diagonale principale. Questa caratteristica accomuna tutte le reti
reciproche: sono certamente tali le reti costituite esclusivamente da resistenze,
induttanze, capacità, mutue induttanze e linee di trasmissione. La presenza di
componenti attivi in genere rende non reciproca la rete e dissimmetrizza la matrice.
Due-porte a parametri Y in parallelo.
Due due-porte collegati in parallelo e caratterizzati dalle proprie matrici di parametri
Y, hanno una matrice Y complessiva data dalla somma delle due matrici. Infatti:
I1A
I2A
+
+
V1A
V2A
YA
_
_
I1B
+
+
V2B
YB
_
_
I1A
+
Y
YB   IB
YFB
+
YA
-
+
V2A
-
I2B
I1B
YB
-
I 1  I 1 A  I 1B
I 2  I 2 A  I 2B
V1  V1 A  V1B
V2  V2 A  V2 B
 I1  YI  V1  YR  V2

I 2  YF  V1  YO  V2
I2
+
+
V1B
-
 I 1B  YIB  V1B  YRB  V2 B

I 2 B  YFB  V1B  YOB  V2 B
I2A
V1A
V1
YRA 
Y
YA   IA

YFA YOA 
I2B
V1B
I1
 I1 A  YIA  V1 A  YRA  V2 A

I 2 A  YFA  V1 A  YOA  V2 A
V2B
+
V2
-
-
 YIA  YIB YRA  YRB  YI
YA  
  Y
Y

Y
Y

Y
 FA FB OA OB   F
YR 
YO 
9
YRB 
YOB 
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Come esempio di applicazione di quanto appena visto, consideriamo l’amplificatore
rappresentato in Fig. 1.3 dal due-porte Yp con reazione di tensione parallelo realizzata
mediante l’ammettenza YX. Il collegamento dell’ammettenza di reazione Yx equivale a
porre in parallelo al due-porte di partenza un due-porte caratterizzato dai seguenti
parametri Y (purchè la porta di ingresso e di uscita di Yp abbiano un terminale a
comune):
YIx  Y X  YOx
YFx  Y X  YRx
Yx
I1
I2
+
+
Yp
V1
-
V2
-
Fig. 1.3: Amplificatore con reazione di tensione parallelo.
Pertanto i parametri Y del due-porte risultante saranno:
YItot
YFtot
YRtot
YOtot
 YIp  Y X
 YFp  Y X
 YRp  Y X
 YOp  Y X
Due-porte unilaterali
Un due-porte è detto unilaterale se YR=0
I1  YI  V1  YR  V2
10
YR 
I1
V2
misura l’effetto dell’uscita V2 sull’ingresso I1
V1  0
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
I1
I2
+
YR=0
V2
V1=0
I1=0
-
Come è facile verificare il circuito di Fig. 1.5 rappresenta il circuito equivalente a
parametri Y del due-porte, infatti esso è retto dalle due equazioni che definiscono i
parametri Y:
I1
I2
+
+
YI
V1
YRV2
YO
YFV1
YL
V2
-
Fig. 1.5: Circuito equivalente a parametri Y
Su questo circuito equivalente è possibile calcolare alcune funzioni di trasferimento
V
quali, ad esempio, il guadagno di tensione : AV  2
V1
Poichè :
I
Y V
YF
(1.4)
V2   2   F 1
AV  
YL
YO  YL
YO  YL
E’ possibile, con semplici passaggi, calcolare il guadagno di corrente
:
I
YF  YL
(1.5)
AI  2 
I1 YI  YO  YL   YR  YF
Osservazione: il guadagno di tensione risulta dipendere dal carico e non
dall’impedenza di sorgente.
La sorgente di segnale in ingresso è schematizzabile in 2 modi del tutto equivalenti:
ZS
+
IS
YS
+
+
VS
V1
V1
-
Norton
Fig. 1.6a: Equivalente di Norton
Thevenin
Fig. 1.6b: Equivalente di Thevenin
11
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Le ammettenze di ingresso YIN e di uscita YOUT sono facilmente calcolabili.
I
Y  V  YR  V2
Y Y
L’ammettenza di ingresso : YIN  1  I 1
 YI  R F dipende dal
V1
V1
YO  YL
carico YL
Y Y
L’ammettenza d’uscita : YOUT  YO  R F
dipende dall’ammettenza di
YI  YS
sorgente YS.
Se il due-porte è unidirezionale (YR=0)
YIN=YI ; YOUT=YO
In radiofrequenza, in genere, non si può trascurare la YR , come spesso accade,
invece, alle basse frequenze, perciò i due-porte non sono mai unidirezionali.
La presenza di una YR≠0 rende di fatto il sistema reazionato in quanto l’uscita
risente dell’effetto dell’ingresso e viceversa. Questo può determinare l’instabilità cioè
l’instaurarsi di oscillazioni spontanee in assenza di qualunque sollecitazione.
Vediamo come si può unilateralizzare un due-porte, ovvero annullare la reazione
dell’uscita sull’ingresso. Per ottenere tale risultato si può reazionare il due-porte con una
ammettenza opportuna YX e, così, ottenere un nuovo due-porte caratterizzato dai
seguenti parametri Y:
.
YX
Q
YIt
YOt
YFt
YRt
 YI  Y X
 YO  Y X
 YF  Y X
 YR  Y X
Se YX=YR → YRt=0
Questo non è sempre possibile utilizzando un bipolo passivo al posto di YX. In tal
caso, infatti, YX avrà parte reale positiva e l’unilateralizzazione sarà possibile solo se
YR=GR + jBR ha parte reale positiva.
Se GR<0 non è possibile unilateralizzare il due-porte con la tecnica prima descritta.
Osservazione: si noti che collegando tra ingresso e uscita l’ammettenza YX cambia
non solo il valore di YRt, ma anche quello dei rimanenti parametri Y.
12
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.2 Guadagni di Potenza
A radiofrequenza si definiscono diversi tipi di guadagni di potenza secondo quanto
descritto nel seguito:
YS
+
YL=GL+jBL
VS
-
Fig. 1.7: Due-porte con impedenza e sorgente di segnale e carico.
A radiofrequenza si usa definire tre diversi guadagni di potenza, come meglio
descritto nel seguito.
P
Guadagno operativo di potenza :
(1.6)
GP  L
Pin
PAout
(1.7)
PAin
PL rappresenta la potenza media sul carico, Pin quella in ingresso al due-porte, PAout
quella disponibile sulla sua uscita e PAin quella disponibile del generatore di segnale.
La massima potenza disponibile è la massima potenza che un generatore con
impedenza interna a parte reale positiva può fornire ad un carico di valore opportuno.
Dato un generatore VG con impedenza interna ZG, se realizziamo l’adattamento
complesso coniugato ZL=ZG* otteniamo il massimo trasferimento di potenza dal
generatore al carico. Questo vale solo se
ZG
Re{ZG}>0. In caso contrario la potenza
trasferibile al carico non è superiormente
+
limitata
e
scegliendo
un
valore
VG
ZL
dell’impedenza di carico “prossimo” a
(-ZG) è possibile, in linea di principio,
ottenere potenze in uscita “grandi quanto si
vuole”. Ciò a scapito delle garanzie di
stabilità del sistema che può, in tal caso,
presentare le condizioni per l’innesco di oscillazioni, secondo quanto indicato dalle
condizioni di Barkhausen all’innesco.
Se (VG, ZG ) è l’equivalente di Thevenin di una rete attiva, ZG può essere a parte
reale negativa, ovvero:
Z G   RG  jX G
Guadagno di potenza disponibile :
GA 
In questo caso se scegliamo Z L  Z G  RG  jX G si ottiene
IG 
VG

ZG  Z L
e la potenza dissipata su ZL risulterebbe infinita.
Perciò la coincidenza tra potenza disponibile e massima potenza erogabile vale solo
per generatori con impedenza interna a parte reale positiva.
13
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Nel seguito, a prescindere dal segno della parte reale dell’impedenza interna,
indicheremo col termine “potenza disponibile” la potenza erogata su un carico ZL=ZG*.
La potenza disponibile in ingresso è quella del generatore di segnale. Si possono
ripetere, ovviamente, le stesse considerazioni fatte in precedenza.
In particolare se, detta ZIN l’impedenza di ingresso del due-porte, risulta
Z IN  Z S*
con
Z S  RS  jX S
Z IN  RS  jX S
allora il generatore di segnale trasferisce in ingresso al due-porte una potenza pari a
quella disponibile del generatore, PAin, che può essere calcolata come segue:
ZS
+
VS
ZIN
-
IS 
1
N.B. RS  Z S    
YS 
V2
V 2  M valore efficace di VS
2
VM2
VM2
IM  2  2
Z
R X2
VSM
V
 SM
RS  jX S  RS  jX S 2 RS
PAin 
2
RS  I S2 VSM

2
8 RS
La potenza disponibile in uscita PAout si calcola sull’equivalente di Thevenin
dell’uscita
ZOUTh
+
VOUTh
ZL
-
PAout 
2
VOUTh
coincide con la massima potenza erogabile solo se Re{ZOUTh}>0
8ROUTh
PAout
è un rapporto di potenze virtuali.
PAin
PAout coincide con la potenza effettiva sul carico solo se ZL=ZOUT*. In generale le
potenze effettive sono minori di quelle disponibili.
Il guadagno di potenza disponibile G A 
Non è detto che sia sempre possibile adattare contemporaneamente ingresso e uscita
del due-porte, infatti il sistema:
14
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
 YIN YL   YS*

*
YOUT YS   YL
(1.7)
può non avere soluzione: individueremo in seguito le caratteristiche che deve avere
la matrice Y affinchè il sistema suddetto abbia soluzione.
Il terzo tipo di guadagno che si definisce è il Guadagno di trasduttore :
P
(1.8)
GT  L
PAin
Esso rappresenta un rapporto tra un flusso di potenza reale (PL) ed uno virtuale.
Poichè PL  GT  PAin , GT è quella quantità che moltiplicata per la potenza
disponibile fornisce la potenza sul carico, ovvero, note le caratteristiche del generatore
di segnale ed il valore di GT è immediatamente possibile calcolare la potenza sul carico.
Nel seguito ricaveremo, a partire dalla definizione, l’espressione del GP.
GP 
PL
PIN
N.B.
1 1
R L    
YL  GL
YL
+
+
+
V1
-
BIN
1
G IN
V2
PIN  1M GIN
2
V2
-
RL
1
GL
BL
V2
-
XL
V22M
I 22M
PL 
GL 
RL
2
2
Quindi :
2
2
 V  GL
YF
GL
2 GL
G P   2 M 
 AV

G IN
YO  YL G IN
 V1M  G IN
Discutiamo il segno di GP:
PL solitamente è positivo perché si fa riferimento a carichi passivi
PIN può anche essere negativo (flusso di potenza uscente) se RIN<0
→ GP ha lo stesso segno di GIN
YF
GP 
YO  YL
2
GL
dipende solo da YL quindi è una funzione della terminazione
GIN
d’uscita : GP (YL)
Con opportune elaborazioni, a partire dalla definizioni possiamo calcolare il
guadagno di potenza disponibile e quello di trasduttore. Si ottiene:
15
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
2
GA 
YF G S

 YO YS  YO YI  YR YF YI  YS 
*

(1.9)
dove YS = GS + jXS ammettenza interna del generatore di segnale
GT 
4GS G L YF
2
YS  YI YO  YL   YRYF
Osservazioni:
2
(1.10)
- GA non dipende dal carico ma solo dalla sorgente GA (YS)
- GT dipende sia dal carico che dalla sorgente GT (YS,YL)
Con impedenze di carico e di sorgente passive e impedenze di ingresso e di uscita a
parte reale positiva, risulta:
PAout ≥ PL
GT ≤ GA
-
PAin ≥ PIN
GT ≤ GP
16
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.3 Stabilità incondizionata
Definizioni e criteri:
1) Un sistema è stabile se a fronte di una sollecitazione finita in durata e
ampiezza esso genera un’uscita finita in durata e in ampiezza.
2) Un oscillatore è un sistema in grado di produrre una forma d’onda
periodica in assenza di sollecitazioni.
3) Il criterio di Barkhausen afferma che, se esiste una frequenza f0 alla
quale:
A f  f  1
0
(1.11)
A f  f  0
0
allora il sistema è in grado di auto sostenere, in assenza di sollecitazioni, una
oscillazione a frequenza f0.
4) Se, invece, risultano verificate le cosiddette condizioni di Barkhausen
all’innesco, ovvero se:
A f  f  1
0
(1.12)
A f  f  0
0
allora nel sistema si auto-innesca una oscillazione a frequenza iniziale f0 che si
auto-esalta.
Se per un dato due-porte ad una frequenza f0 pur collegando in ingresso e uscita tutte
le possibili coppie di impedenze a parte reale positiva non si ottengono mai le
condizioni di Barkhausen all’innesco, allora si dice che il due-porte è
incondizionatamente stabile alla frequenza f0. Se esiste almeno una coppia di impedenze
a parte reale positiva in corrispondenza delle quali si verificano tali condizioni, allora il
due-porte si dice potenzialmente instabile. Un due-porte potenzialmente instabile ha
guadagno di trasduttore non limitato superiormente.
Si può dimostrare che il verificarsi delle condizioni sulle impedenze di ingresso e di
uscita riportate nel seguito coincide con l’incondizionata stabilità.
Definizione equivalente di stabilità incondizionata:
YS : YS   0  YOUT : YOUT   0

 YL : YL   0  YIN : YIN   0
(1.13)
Lo dimostriamo solo in un senso, ovvero dimostriamo che il verificarsi delle condizioni
suddette è condizione necessaria alla stabilità incondizionata. Ovvero, dimostriamo che se una
di queste due condizioni non si verifica il due-porte è potenzialmente instabile e può essere
utilizzato per realizzare un oscillatore.
YS : YOUT   0  Z OUT   ROUT  0 , allora, con riferimento alla Fig.
1.8, scegliendo ZL= -ZOUTh con
RL= -ROUTh > 0
17
Se esiste
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
+
ZL
VOUTh
YS
-
ZL
IOUT
-
Fig. 1.8: Realizzazione in uscita di una maglia a impedenza nulla.
si realizza una maglia d’uscita con impedenza nulla e, pertanto, IOUT → ∞. Ovvero, a
fronte di una sollecitazione finita, alla frequenza f0, si ottine una risposta non finita,
oppure, detto in altri termini, la corrente nella maglia può essere diversa da zero al
tendere a zero della sollecitazione. Si ottiene, pertanto, un oscillatore a frequenza f0 .
.
VOUTh
- per VOUTh → 0 IOUT può essere ≠ 0
I OUT 
Z OUTh  Z L
- per VOUTh ≠ 0 IOUT → ∞
.
Calcoliamo adesso il βA di un due-porte caratterizzato a parametri Y, utilizzando il
teorema di scomposizione.
YS
YI
YRV2
YFV1
YO
YL
Fig. 1.9: Circuito equivalente a parametri Y del due-porte.
Per prima cosa dobbiamo individuare un taglio e, quindi, un anello di reazione. Il
due-porte è intrinsecamente reazionato tramite la YR la quale riporta in ingresso l’effetto
dell’uscita.
18
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
IP
+
YS
+
YRV2
YI
V1
+
YP
VR
YFV1
-
+
VP
-
YO
YL
V2
-
-
Con il taglio effettuato individuiamo la reazione.
A 
YP 
VR
VP
1
ZP
VR  
A 
A
VS  0
ZP 
VP
IP
VU
VP

VS  0
VR
VU
VS  0
1
1 

 1  A
Z P Zi 
V
  0  Z P  Zi  P
IP
YP  YO  YL
VS  0
YF V1
YF

YO  YL
YO  YL
 YRV2
 
 YS  YI



V2  VP
YF YR
YI  YS YO  YL 
(1.14)
 A dipende dal carico YL a dal generatore di segnale YS.
Esaminiamo alcuni casi particolari :
- due-porte unilaterale (YR=0) : βA=0 non c’è reazione
- cortocircuitando l’uscita (V2=0) : βA=0 (YL → ∞)
- cortocircuitando l’ingresso (V1=0) : βA=0 (YS → ∞)
Il βA ci permette di esaminare in termini analitici le condizioni di Barkhausen. Si
tratta di verificare se esiste una coppia YS,YL che soddisfa il sistema:
 AYS , YL   R  1

A  0

Ovvero
AYS , YL   R con R    1
(1.15)
Dal sistema 1.15, mediante elaborazioni algebriche di una certa complessità che in
questa sede non vengono riportate, si ricava un criterio basato sul cosiddetto Fattore di
Stern , K, definito nel seguito. Se
2g I  g S g O  g L 
K
1
YR YF   YR YF
19
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
allora il sistema 1.15 NON ha soluzione, ovvero, fissati due valori di gS e gL che
rendono K>1 , non esiste alcuna coppia bS e bL per la quale il sistema ha soluzione,
dove:
YS  g S  jbS
YL  g L  jbL
In altri termini, una volta fissate gS, gL in modo tale che risulti K>1, anche
variando le parti immaginarie delle ammettenze di sorgente e di carico le condizioni di
Barkhausen all’innesco alla frequenza f0 non potranno essere verificate.
Osservazione: se la condizione sul fattore K vale per una data coppia di valori di
gS,gL vale sicuramente anche per valori maggiori, infatti, per gi>0 e go>0 K è una
funzione crescente di gS e gL.
Questo perchè partiamo dal presupposto che siano go>0 e gi>0: in caso contrario,
come è facile dimostrare, il due-porte sarebbe potenzialmente instabile.
Infatti:
YY
scegliendo YL→ ∞ (corto circuito) => YIN=YI (con parte
YIN  YI  R F
YO  YL
reale negativa se gI<0).
Scegliendo, allora, YS=-YI (con parte reale positiva) si otterrebbe una maglia di
ingresso ad impedenza nulla con ovvie conseguenze sulla stabilità, ovvero la coppia:
 YL  
verifica le condizioni di Barkhausen.

Y


Y
I
 S
K è, quindi, una funzione crescente di gS e gL dal momento che il denominatore è la
somma di una parte reale di un vettore e del modulo dello stesso vettore che è,
ovviamente, maggiore sia della parte reale che di quella immaginaria. Perciò il
denominatore è sicuramente positivo.
La condizione sul fattore di Stern è molto utile alle radiofrequenze. Gli
accoppiamenti capacitivi e induttivi spuri possono far variare le parti reattive delle
impedenze di sorgente e di carico e generare le condizioni per l’innesco di oscillazioni,
ma questo non accade se K>1.
Attenzione: K>1 non equivale a dire che il due-porte è incondizionatamente stabile
perché K è calcolato in corrispondenza di una particolare coppia (gS,gL).
Se calcoliamo K nella situazione peggiore gS=0, gL=0 e verifichiamo che esso risulta
maggiore di 1, sicuramente continuerà ad esserlo per ogni coppia gS>0, gL>0, ovvero il
due-porte risulterà incondizionatamente stabile
In altri termini, i due-porte che verificano la condizione:
2g I gO
 1 sono certamente Incondizionatamente Stabili.
YR YF   YR YF
Con semplici elaborazioni si ottiene:
20
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
2 g I g O  YRYF  YRYF ( il segno della disuguaglianza non cambia)
e
YRYF  2 g I g O  YRYF 
se il termine a destra della disuguaglianza è positivo si ottiene la seguente relazione che
definisce anche il cosiddetto Fattore di Linvill C:
C
YR YF
2 g I g O  YR YF 
1
(1.16)
Se e solo se 0  C  1 allora il due-porte è Incondizionatamente Stabile.
(La condizione C≥0 deriva dalla necessità che risulti 2 g I gO  YRYF  >0 per poter
effettuare l’ultimo passaggio senza cambiare il segno della disequazione).
Il caso particolare YR=0 → C=0 può essere trattato separatamente e in maniera
estremamente semplice: infatti essendo il due-porte unilaterale l’impedenza di ingresso
(uscita) non dipende da quella di carico (sorgente) e coincide con Y I (YO). Pertanto
basta verificare che le parte reali dell’impedenza di ingresso e di uscita risultino
positive. Ovvero, bisogna verificare se:
gI  0

g O  0
In tal caso il due-porte è Incondizionatamente Stabile (IS). Il fattore di Stern dipende da
gS e gL quindi non dipende solo dal dispositivo, mentre il fattore di Linvill dipende solo
dal dispositivo e il costruttore del dispositivo, in genere, ne fornisce sulle caratteristiche
l’andamento al variare della frequenza. Il range di frequenze in cui C è compreso tra 0 e
1 è il range di frequenze in cui il due-porte è caratterizzato da Incondizionata Stabilità
(IS).
1.3.1 Effetto della stabilità incondizionata sui guadagni
Dalla IS discende che, qualunque sia la coppia di impedenze di carico e di
sorgente, purchè a parte reale positiva, risulta:
 YIN   0

YOUT   0
Pertanto:
21
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
GP  0
GA  0
GT  0
G  GP
Le condizioni :  T
GT  G A
sono certamente verificate.
Si può dimostrare che, se un due-porte è incondizionatamente stabile, è possibile
realizzare contemporaneamente l’adattamento complesso coniugato in ingresso e in
uscita, ovvero esiste (ed è unica) la soluzione del sistema di equazioni:
 YIN YL   YS*

*
YOUT YS   YL
(1.17)
Se YR=0 (due-porte unilaterale) il sistema ha sicuramente soluzione e la soluzione è:
YS  YI*

*
YL  YO
Se il due-porte non è IS è possibile dimostrare che il sistema non ha soluzione.
E’ anche possibile dimostrare che i valori di YS e YL soluzioni del sistema
coincidono con il punto di massimo della funzione GT(YS, YL), ovvero sono i valori di
ammettenza di sorgente e di carico che massimizzano il guadagno di trasduttore.
Detto ancora in altri termini: se si studia GT come una funzione di 4 variabili
sull’insieme delle ammettenze di sorgente e di carico a parte reale positiva (gL>0, gS>0)
la ricerca del massimo ha soluzione e la soluzione è unica se e solo se il due-porte è
incondizionatamente stabile, ovvero:
YSopt ; YLopt  : GT YSopt ; YLopt   GT max  il due-porte è IS
1.3.2 Ricerca del massimo guadagno
Il problema di ricerca del massimo GT è prettamente analitico e non lo trattiamo nel
dettaglio: esso verrà affrontato nella seconda parte del Corso utilizzando l’approccio a
parametri S. In quella sede verrà altresì dimostrato che le ammettenze ottime di carico e
sorgente, ovvero quelle che massimizzano GT, sono anche quelle che realizzano
l’adattamento complesso coniugato in ingresso e uscita.
*

YIN YLopt   YSopt

*

YOUT YSopt   YLopt
22
(1.18)
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Il risultato della ricerca del massimo è il seguente, dove YSopt  G Sopt  jBSopt e
YLopt  G Lopt  jBLopt :
2 g I g O  YRYF 2  YRYF
G Sopt 
2
2gO
BSopt  bI 
YR YF 
2gO
G Lopt  G Sopt
gO
gI
BLopt  bO 
(1.19)
YR YF 
2g I
Se sostituiamo YSopt e YLopt nella formula del GT si ricava il GTmax
GT max 
YF
2 g I g O  YR YF  
2
2 g I g O  YRYF 2  YRYF
(1.20)
2
se YR=0 la (1.10) diventa:
GT 
4GS G L YF
2
YS  YI YO  YL  2
(1.21)
e se, come in genere accade, gi,go>0 , il GT è superiormente limitato ed il suo valore
massimo si ottiene per
YO*  YL
 *
YI  YS
e vale: GTUMAX 
YF
2
(1.22)
4g I gO
Talvolta si usa il GTUMAX, che assume il nome di massimo guadagno unilaterale,
come fattore di merito di un componente attivo anche nel caso di tripoli non unilaterali,
sebbene esso non abbia un significato ben preciso.
1.4 Reti di adattamento
Quando si progetta un amplificatore a radiofrequenza, di norma, l’impedenza di
sorgente e di carico vengono forniti dalle specifiche. Obiettivo del progetto è, molto
spesso, la massimizzazione del guadagno, oppure la minimizzazione della cifra di
rumore. Questi obiettivi possono essere raggiunti solo “facendo vedere” all’ingresso del
23
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
componente attivo e alla sua uscita una coppia opportuna di ammettenze diverse da
quelle fornite dalle specifiche. Per ottenere il risultato si possono utilizzare opportune
reti di adattamento M1 ed M2 in Fig.1.9 che fanno si che il due-porte “veda” le
ammettenze opportune.
YS
±
M1
M2
Q
YL
VS
Fig. 1.9: Dispositivo attivo (Q) collegato alla sorgente di segnale ed al carico
mediante le reti di adattamento M1 ed M2.
I due-porte M1 ed M2 vengono utilizzati come trasformatori di impedenza e
prendono il nome di Reti di Adattamento. Tali reti dovranno avere le seguenti
caratteristiche:
1) essere passive per non introdurre ulteriori stadi con componenti attivi che sono
causa di dissipazione di potenza e introduzione di rumore di tipo shot o flicker;
2) essere non dissipative (ovvero prive di resistenze) per non causare attenuazione di
potenza e non introdurre sorgenti di rumore termico;
Esse risultano, quindi, necessariamente reciproche (fatto salvo l’improbabile caso
di impiego di componenti passivi non isotropi, quali, ad esempio, le ferriti che, pur
essendo passivi, dissimmetrizzano la matrice delle impedenze della rete).
1.4.1 Teorema fondamentale delle reti di adattamento
Ipotesi: se un due-porte è passivo, non dissipativo e reciproco e su una delle due
porte, di ingresso o di uscita, si realizza l’adattamento complesso coniugato
Tesi: anche sull’altra porta si ottiene adattamento complesso coniugato.
Dimostrazione:
Z1
PIN
+
M
V1
Z2
ZIN
POUT
Fig. 1.10: Due-porte passivo, non dissipativo e reciproco
24
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Per ipotesi: Z IN  Z 1*
di conseguenza la potenza di ingresso PIN coincide con quella disponibile PAIN:
V2
(1.23)
PIN  PAin  1M
8R1
La rete M è passiva, quindi POUT  PIN , più precisamente, essendo non dissipativa
POUT  PIN e, quindi, essendo
POUT 
I 22M
R2
2
(1.24)
risulta:
V12M
 4 R1 R2
I 22M
(1.25)
Utilizzando la condizione di reciprocità, se si spegne V1 e si mette un generatore di
tensione V2 in uscita come in Fig. 1.11
.
I1
Z2
+
M
Z1
V2
-
P1
P2
Fig. 1.11: Stessa rete di Fig. 1.10 con generatore V2 sul ramo di uscita
si ottiene, per la reciprocità,
I 12M V12M
1
 2 
2
V2 M I 2 M 4 R1 R2
(1.26)
da cui
I 12M 
V22M
4 R1 R2
(1.27)
pertanto
I2
V 2 R1 V22M
P1  1M R1  2 M

 P2
(1.28)
2
4 R1 R2 2 8R2
Essendo, infatti, la rete M passiva e non dissipativa, risulta P2=P1 da cui si evince
che il generatore V2 sta erogando una potenza pari a quella disponibile perciò sta
lavorando in condizioni di adattamento complesso coniugato ovvero:
25
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Z OUT  Z 2*
C.D.D.
Abbiamo così dimostrato che l’adattamento complesso coniugato (c.c.) in ingresso
ad una reta passiva, non dissipativa e reciproca garantisce l’adattamento c.c. anche in
uscita.
Corollario: il guadagno di potenza disponibile di una rete passiva non dissipativa e
reciproca è unitario.
Dimostrazione:
PAin
ZS
+
M
VS
_
ZOUT*
ZIN=ZS*
Fig. 1.12: Due porte M passivo, non dissipativo, reciproco.
Si sceglie ZL in modo da realizzare l’adattamento c.c. in uscita, ovvero ZL = Zout*
come in Fig. 1.12. In base al teorema prima dimostrato, questo comporta adattamento
c.c. anche in ingresso: sotto queste condizioni, quindi, il generatore di segnale eroga la
massima potenza, ovvero quella disponibile PAin . Essa è anche la massima potenza
erogabile sul carico ZOUT*, essendo la rete M passiva, e quindi coincide con la potenza
disponibile del generatore di Thevenin di uscita della rete M, ovvero con PAOUT. Quindi:
PIN  PAin  POUT  PAout  G A  1
(1.29)
1.4.2 Due-porte collegati in cascata
Calcoliamo, adesso, il guadagno di trasduttore di 2 due-porte in cascata, che sarà
utile in seguito per valutare l’effetto dell’inserimento delle reti di adattamento in
ingresso e in uscita.
ZS
+
VS
Q1
Q2
Fig. 1.13: Q1 e Q2 sono collegati in cascata: possono essere sia attivi che passivi.
26
ZL
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Con riferimento allo schema di Fig. 1.13, si vuole calcolare il guadagno di
trasduttore GTtot della cascata dei due-porte Q1 e Q2. Con ovvio simbolismo risulta:
P
P
P
(1.30)
GTtot  L  L  Ain2  GT 2 G A1
PAin1 PAin2 PAin1
Nel caso di tre due-porte in cascata, con ovvio simbolismo: GTtot  G A1G A2 GT 3
In generale :
N 1
GTtot  GTN  G An
(1.31)
n 1
Utilizzando i risultati prima ottenuti, è possibile valutare l’effetto dell’introduzione
delle reti di adattamento M1 ed M2 sul guadagno di trasduttore dell’amplificatore di
Fig. 1.14 ottenuto interponendo tali reti tra la sorgente di segnale e l’ingresso e tra
l’uscita e il carico.
POUT
PIN
+
YS
PAin
M1
PL
VS
_
YSV
YL
M2
Q
YLV
Fig. 1.14: Due-porte attivo Q con reti di adattamento in ingresso e in uscita.
Vediamo come si modificano le potenze, tenuto conto del fatto che PL = POUT
(essendo M2 passiva e non dissipativa) ed utilizzando la (1.30) si ottiene:
P
P
(1.32)
GTtot  L  OUT  G A1GTQ  GTQ
PAin
PAin
Poichè GA1 = 1 in quanto guadagno di potenza disponibile di una rete di adattamento (v.
corollario al teorema fondamentale delle reti di adattamento). Si osservi che nella (1.32)
GTQ = GT(YSV, YLV).
In altri termini: il guadagno di trasduttore dell’amplificatore del due-porte costituito
dalla cascata delle due reti di adattamento e del due-porte attivo Q coincide con quello
del due-porte Q medesimo, calcolato in corrispondenza delle ammettenze viste YSV ed
YLV. Queste ultime sono, in genere, diverse da quelle di sorgente e di carico YS e YL,
rispettivamente. Si possono, quindi, scegliere valori opportuni per YSV e YLV in modo da
ottenere il valore di GTQ desiderato. Una volta individuate, ammesso che esistano, le
ammettenze YSV ed YLV idonee ad ottenere il risultato cercato, il problema si riduce a
quello di progettare opportunamente le reti di adattamento in modo da trasformare YS e
YL in YSV e YLV, rispettivamente.
27
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.4.3 Trasformazioni parallelo-serie e viceversa.
Dato una gruppo RC parallelo è possibile trovare l’equivalente serie ad una
frequenza fissata.
RS
RP
CP
CS
Fig. 1.15: Configurazione parallelo e suo equivalente serie. Per l’equivalenza ad
una certa pulsazione  devono valere le (1.33) e (1.34).
Con ovvio simbolismo:
RP
j C P
RP
R 1  jRP C P 
ZP 

 P
R P  j C P 1  j R P C P
1   2 RP2 C P2
Z S  RS 
1
1
 RS  j
j C S
C S
Definiamo QP  RP C P fattore di qualità
RP
RP2 C P
RP
RP
QP2
j  2 RP2 C P2
1
ZP 
 j



j
C P 1  QP2
1  QP2
1  QP2 1  QP2 C P 1  QP2
1  QP2
Affinché i due bipoli siano equivalenti, alla pulsazione , essi devono avere la
stessa parte reale e la stessa parte immaginaria.
RS 
RP
1  QP2
(1.33)
1  QP2
CS  CP
(1.34)
QP2
N.B. L’equivalenza vale solo ad una frequenza in quanto nell’espressione di QP
compare la pulsazione ω.
Nel paragrafo 1.4.5 verranno utilizzate le equivalenze prima trovate per realizzare le
reti di adattamento (o trasformatori di impedenza).
28
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.4.4 Fattori di Qualità
E’ opportuno, a questo punto, fare qualche riflessione sul fattore di qualità Q dei
circuiti risonanti sia di tipo serie che di tipo parallelo.
Analizziamo il gruppo RLC parallelo in Fig. 1.16.
|Z|
R
Z
C
L
R
R
2
f1
f
f2
Fig. 1.16: Circuito risonante parallelo.
Esiste una frequenza f0= 0/2 alla quale il gruppo LC si comporta come un circuito
aperto: si tratta, per definizione, della frequenza di risonanza alla quale vale la seguente
relazione
1
 0 L
0C
A questa frequenza l’impedenza Z presentata dal bipolo è infinita e, quindi, la sua
ammettenza, nulla.
Per f > f0 la capacità predomina nel parallelo e la fase
dell’impedenza è negativa ( Z  0 ). Per f < f0 l’induttanza predomina nel parallelo e la
fase dell’impedenza è positiva ( Z  0 ).
Le frequenze f1 ed f2 alle quali il modulo dell’impedenza diminuisce di 3dB rispetto
ala valore massimo ( |Z|max ) individuano la banda passante B del circuito: f2-f1=B.
f
La quantità Q  0 è detto fattore di qualità: al crescere di Q la banda B, a
B
frequenza centrale fissata, si restringe. Si può banalmente dimostrare che risulta:
R
Q P   0 RC 
(1.35)
0 L
con
0 
1
LC
= pulsazione di risonanza
C
1
 02 L
Se alimentiamo il gruppo RLC con una corrente sinusoidale alla frequenza di
risonanza, in ciascuno dei due rami del gruppo LC passerà, comunque, corrente anche
se il generatore vede un’impedenza pari ad R. In L e in C passano correnti uguali in
modulo e opposte in segno (sfasate di 180°).
29
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Nel caso del circuito RLC serie il fattore di qualità Qs è definito come segue
QS 
L
 L
1
 0
0 RC
R
R
(1.36)
C
|Z|
R
f
Fig.1.17a: Gruppo risonante serie.
Fig.1.17 b: Modulo dell’impedenza.
Si può dimostrare, con riferimento alla Fig. 1.17b, che il fattore di qualità serie coincide, anche
in questo caso, con la banda a 3 dB del modulo dell’impedenza serie. Anche in questo caso QS
elevato significa banda passante stretta 0 L  R .
1.4.5 Esempi di trasformazioni di impedenza.
Supponiamo di avere una resistenza di 100Ω e di volerla trasformare in una da 50Ω
a f0=100MHz.
Si può ottenere questo risultato interponendo, come in Fig. 1.18 una rete di
adattamento M opportunamente dimensionata. Innanzi tutto si mette in parallelo a Rp =
100  una capacità Cp di valore opportuno in modo tale che l’equivalente serie del
gruppo RP-CP sia costituito da una capacità CS in serie ad una resistenza RS = 50 
30
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
.
M
100Ω
50Ω
Fig. 1.18: La rete di adattamento M trasforma  in 50 .
Utilizzando la (1.33) si ottiene:
RP  RS  RS QP2
da cui si ricava il valore di QP richiesto ed il corrispondente valore di CP:
QP 
CP 
R P  RS
100  50

1
RS
50
QP
 15 pF .
RP
A questo punto il parallelo RP-CP è equivalente al gruppo serie RS-CS di Fig. 1.19
con :
1  QP2
CS  CP
 30 pF
QP2
CS
RP=100Ω
CP
RS=50Ω
Fig. 1.19: Trasformazione parallelo-serie.
Per neutralizzare l’effetto di CS in modo da ottenere un’impedenza puramente reale
e pari a 50 W, come richiesto, bisogna aggiungere in serie a CS (v. Fig. 1.20)
un’induttanza di valore opportuno, ovvero, tale che risulti:
1
1
LX  2
 80nH

 L X  0

C S
 CS
.
31
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
CS
LX
Fig. 1.20: LX risuona serie con CS in modo da annullare la reattanza totale.
Con una capacità CP di 15pF e un’induttanza di 80nH alla frequenza di lavoro
abbiamo trasformato la resistenza da 100Ω in una RVout da 50Ω (v. Fig. 1.21)..
LX
100Ω
CP
RVout=50Ω
Fig. 1.21: La squadra CP- LX trasforma 100 in 50  a 100 MHz.
Esaminiamo, adesso, il caso duale: si vuole trasformare una resistenza in una di
valore maggiore. A tal fine si useranno le proprietà della trasformazione serire-parallelo.
Descriviamo subito con un esempio questo tipo di trasformazione.
Esempio: 100Ω → 200Ω @ 100MHz
In maniera duale a quanto fatto in precedenza e con ovvio simbolismo individuiamo
i valori di RP e CP dell’equivalente parallelo a partire da quello serie, quindi calcoliamo
i valori di CS, CP ed LX (questa volta LX risulta in parallelo all’uscita, mentre CS in serie
all’ingresso della rete di adattamento di Fig. 1.21)
CS
CP
QS 
1
RS C S
RS
RP
RS = 100Ω
RP = 200Ω
RP  RS 1  QS2  C P  C S
32
QS2
1  QS2
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
R P  RS

RS
QS 
200  100
1
100
CS 
1
 15.9 pF
RS C S
CS
LX
RS
CP
RP
QS2
 8 pF
1  QS2
L’aggiunta dell’induttanza LX in parallelo a CP ha la funzione di neutralizzare la
parte immaginaria:
1
1
BP  B X  0  C P 
 0  LX  2
 300nH
L X
 CP
CP  CS
Quindi la rete di adattamento sarà costituita anche in questo caso da una squadra
LC:
CS
200Ω
100Ω
LX
Fig. 1.21: Rete di adatamento che trasforma 100 W in 200 W.
La rete seguente è in grado di effettuare la trasformazione 100Ω → 200Ω: vediamo
cosa accade delle tensioni sul circuito di Fig. 1.22
15.9pF
R
300nH
V1S=V1Mcos(ωt)
+
V1S
Fig. 1.22: Rete di adattamento per la trasformazione di impedenza in salita.
33
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Poiché, sulla base del corollario al teorema fondamentale delle reti di adattamento,
la potenza in ingresso e in uscita ad un due-porte passivo, non dissipativo e reciproco
non cambia, detta VThM l’ampiezza della tensione di Thevenin in uscita, risulta:
2
VThM
V12M
PAin  PAout 

8  200 8  100
Ne consegue che VThM  2V1M , ovvero la tensione equivalente di Thevenin in
uscita risulta maggiore di quella in ingresso. Si è verificata un’amplificazione di
tensione anche senza componenti attivi. Il gruppo LC si comporta come un
trasformatore di impedenza, ma, contemporaneamente, come un (sarebbe più corretto
parlare di “trasformatore”) di tensione.
1.4.6 Procedimento standard per il progetto di reti di
adattamento
E’ possibile dimostrare (e lo faremo) che con una rete di adattamento costituita da
due soli elementi passivi si può trasformare una qualunque ammettenza passiva (ovvero
con parte reale positiva) in una qualunque altra purché passiva anch’essa. Nel seguito si
individuerà una possibile procedura per ottenere il risultato suddetto, con lo scopo di
dimostrare che tale trasformazione è sempre possibile. La procedura indicata è solo una
delle tante che possono essere messe in atto: la rete per la trasformazione di impedenza
non è unica. Nel seguito il pedice 1 indicherà l’impedenza (ammettenza) di partenza
(quella che si vuole trasformare) ed il pedice 2 l’impedenza (ammettenza) risultante
dalla trasformazione.
Sia:
Y1  G1  jB1
1
G
Zi = 1/Yi Z i      2
i=1,2
2
Y2  G2  jB2
Yi  Gi  Bi
1° caso:
1
1

G1 G 2
Si parla, in questo caso di trasformazione in salita e sarà necessaria una
trasformazione da SERIE a PARALLELO. Innanzi tutto si calcola l’impedenza Z1
G
B
(1.37)
Z1  R1  jX 1  2 1 2  j 2 1 2
G1  B1
G1  B1
1
G1
34
jX1
jB1
R1
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Fig. 1.23: Ammettenza da trasformare e suo equivalente serie.
Quindi ci riconduciamo al caso precedentemente studiato di trasformazione di
resistenza neutralizzando la parte reattiva X1 dell’impedenza Z1 con l’aggiunta, in serie,
di una reattanza di pari modulo e segno opposto, come in Fig. 1.24.
R1
jX1
-jX1
Fig. 1.24: L’impedenza vista guardando da destra è pari a R1.
A questo punto applichiamo il procedimento già visto, aggiungendo in serie un
condensatore CS (trasformazione serie-parallelo) di valore opportuno..
CS
RS
RP
CP
RP 
1
G2
Si tratta di una trasformazione in salita che fornisce un valore di RP maggiore di RS.
Prima di procedere è opportuno, quindi, verificare se RP > R1:
G
1
1
(1.38)
R1  2 1 2 

 RP
G1  G2 G1 G2
La condizione è verificata. Il bipolo così ottenuto ha una conduttanza pari a quella
desiderata. Bisogna, adesso, mettere a posto la parte immaginaria del bipolo. Per far
questo basta aggiungere in parallelo a CP una suscettanza BX tale che BX  BP  B2 .
La rete di adattamento richiesta è quella contenuta nel riquadro in Fig. 1.25.
-jX1
CS
Y1
BX
Fig. 1.25: Rete di adattamento completa.
35
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Infine sostituiamo alla serie
1
j
 jX 1
C S
un unico componente reattivo di reattanza corrispondente alla frequenza di lavoro.
Ripetiamo il procedimento con un esempio numerico.
Esempio:
Trasformare Y1  100  j50mS in Y2  10  j 20mS @ f0 = 150MHz
1
1
 10 
 100
G1
G2
Z1 
G1
B
 j 2 1 2  R1  jX 1  8  4 j 
2
G  B1
G1  B1
2
1
R1  8
X 1  4
Si aggiunge una reattanza che neutralizza X1 e, quindi, si opera una trasformazione
serie parallelo:
-j4Ω
j4Ω
CS
8Ω
CP
RP
RP=100Ω
QS 
CS 
100  8
 3.39
8
QS2  11.5
QS 
1
R1C S
1
1

 39.14 pF
R1QS 8  150  10 6  3.39
QS2
CP  CS
 36 pF
1  QS2
Si aggiunge a Cp una suscettanza BX in parallelo in modo da ottenere B2= -20 mS e si
sostituisce, infine, alla serie di CS con la reattanza di 4  una reattanza XTOT di valore
equivalente:
X TOT  4 
1
 23.2
C S
Si tratta di una capacità di valore:
36
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
CTOT  
1
 45.7 pF
X TOT
B X  C P  20mS
RP
CP
BX
B X  C P  20mS  53.9mS
suscettanza negativa → induttanza
1
BX  
LX  19.6nH
L X
Il risultato finale è il seguente,
dove la rete di adattamento è
contenuta all’interno del
rettangolo
Y1
CTOT
LX
Y2
2° caso:
1
1

G1 G 2
Si tratta del caso duale al precedente. Occorrerà operare una trasformazione in
discesa del tipo da PARALLELO a SERIE che è schematicamente illustrata nel
seguito.
Innanzi tutto si calcola l’impedenza Z2 = 1/Y2. Quindi si neutralizza la parte
immaginaria di Y1 con una opportuna suscettanza –B1 in parallelo, dopodiché si
aggiunge in parallelo una capacità di valore opportuno ad effettuare la trasformazione
parallelo serie desiderata.
37
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1
G1
R2
1
G2
jB1
jX2
jB2
jX2
CP
jXX
R2
-jB1
Poiché:
G
B
Z2  2 2 2  j 2 2 2
G2  B2
G2  B2
RS  R2 
G2
G  B22
2
2
G
1
1
1
 R2  2 2 2 

G1
G2  B2 G2 G1
QP 
1
 R2
G1
C P

R2
G1
CP 
QP G1
XX 
1
 X2
0CS

 CS
XX
BTOT  C P //  jB1
BTOT
BTOT   j
1
 jB1
C P
Abbiamo, pertanto, dimostrato che è sempre possibile utilizzando due elementi
reattivi, trasformare, ad una certa frequenza, qualunque ammettenza in qualunque altra
purchè ambedue a parte reale positiva. Più precisamente, abbiamo dimostrato che esiste
almeno una soluzione al suddetto problema. E’ facile verificare che la soluzione non è
unica e, quindi, esistono anche modalità operative diverse che portano a reti di
adattamento diverse in grado di trasformare una certa Y1 in una determinata Y2.
38
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.4.7 Limiti di utilizzo in frequenza di elementi passivi
E’ opportuno fare alcune considerazione sulle prestazioni di induttanze e capacità
alle alte frequenze.
Gli elementi reattivi mantengono il comportamento previsto soltanto entro un certo
range frequenziale, al di fuori del quale la schematizzazione di un bipolo reattivo è più
complicata rispetto alla sola induttanza o capacità.

Un condensatore reale si schematizza aggiungendo in serie alla capacità
una resistenza e un’induttanza che tengono conto degli effetti di perdita.
Alle basse frequenze la componente capacitiva ha il sopravvento sulle altre due, ma alle
alte frequenze, gli effetti di queste ultime diventano preponderanti. Inoltre, anche a
causa dell’effetto pelle, il valore della resistenza serie aumenta.

Un induttore reale si schematizza aggiungendo in parallelo all’induttanza
una capacità e una resistenza.
Gli effetti capacitivi sono dovuti al fatto che le spire hanno dimensioni non nulle e,
quindi, risultano accoppiate capacitivamente le une con le altre, mentre quelli resistivi
tengono conto delle perdite dovute sia a effetto Joule che a irraggiamento
elettromagnetico.
In entrambi i casi (Capacità e Induttanza) si avrà risonanza per una certa frequenza
avvicinandoci alla quale il comportamento dell’elemento reattivo non è più quello
previsto dalla semplice schematizzazione con L o C e, superando la quale, addirittura, in
segno della reattanza cambia. Nelle Figg. 1.26a e 1.26b seguenti è rappresentato, in
ordinate, il modulo dell’impedenza di un capacitore (ZC) e di un induttore (ZL) reali, al
variare della frequenza.
39
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Induttore
Capacitore
|ZC|
fr
Fig. 1.26 a
|ZL|
f
fr
f
Fig. 1.26 b
Ogni componente reattivo va utilizzato al di sotto della propria frequenza di
risonanza indicata dal costruttore.
Più è alto il valore nominale della capacità o dell’ induttanza, più è bassa la
frequenza di risonanza fr e minore sarà il range di frequenze in cui il bipolo può essere
utilizzato.
A puro titolo di esempio si citano alcuni valori indicativi per componenti
commerciali:
C = 1µF → fr = 100 MHz
C = 1nF → fr = 1 GHz
L  100nH  f r  1GHz
40
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.5 Il rumore nei componenti e negli amplificatori.
Premessa:
La trattazione presentata nel seguito non ha alcuna pretesa di rigore e viene
proposta in questa forma solo per gli studenti che non hanno seguito in precedenza
un modulo didattico dedicato al Calcolo delle Probabilità e ai Processi Stocastici
(Segnali Aleatori) e, pertanto, non conoscono i concetti di Probabilità, Variabile
Aleatoria, Processo stocastico, Funzione di autocorrelazione e Densità Sspettrale di
Potenza. Nel seguito viene presentato un approccio alternativo a quello tradizionale,
intuitivo e non rigoroso che non può assolutamente essere considerato sostitutivo.
L’approccio scelto permette di concentrare in poche ore di lezione l’esposizione di
alcuni concetti di base dai quali non si può prescindere se si vuole introdurre il
concetto di Cifra di Rumore, indispensabile per il progetto di amplificatori a
radiofrequenza. L’argomento viene nuovamente esaminato nel Capitolo XXXX e la
trattazione presentata in quella sede, più generale, presuppone come propedeuticità le
conoscenze prima elencate sui Segnali Aleatori.
In Elettronica si definisce col termine “Rumore” una variazione aleatoria della
grandezza fisica sotto osservazione della quale non è possibile fornire una descrizione
deterministica. In alcuni casi, però, di tali fluttuazioni aleatorie è possibile fornire una
descrizione di tipo statistico.
Indicando con x(t) la fluttuazione aleatoria (o Processo Stocastico) che si
sovrappone al valore medio deterministicamente noto della grandezza sotto esame, si
può definire il valore quadratico medio di x(t) come segue:
xt1 , T   lim
2
1
T  T

t1 T
t1
x 2 t dt
(1.39)
In generale il valore quadratico medio dipenderà dall’istante iniziale t1 e dalla durata
del tempo di osservazione T. Se, per T “abbastanza grandi”, il risultato dell’operazione
di integrazione non dipende da T e da t1, allora diremo che il processo x(t) è stazionario
rispetto al suo valore quadratico medio. Molte delle sorgenti di rumore presenti nei
materiali e nei dispositivi elettronici godono della proprietà della stazionarietà rispetto
ad alcuni parametri statistici (come il valore quadratico medio, oppure il valor medio).
Se x(t) rappresenta la tensione ai capi di una resistenza R, allora la potenza
istantanea P(t) dissipata sulla resistenza e quella media P0 sono date da:
+
x(t)
Pt  
R
x 2 t 
R
(1.40)
1 x 2 t 
x 2 t 
P0  lim 
dt 
(1.41)
T  T
R
R
0
T
-
41
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.5.1 Sorgenti di rumore
Le sorgenti di rumore nei materiali e nei dispositivi per l’elettronica si dividono in 2
categorie
1. Intrinseche : sono ineliminabili in quanto scaturiscono dalle modalità
stesse di funzionamento del dispositivo
2. Estrinseche : possono essere ridotte o eliminate con una particolare cura
nella produzione dei materiali e dei dispositivi. Si tratta di sorgenti di
rumore legate alla presenza di difetti e impurità.
Tra le sorgenti di rumore intrinseco ricordiamo:
a. Rumore termico: è presente sotto forma di fluttuazione di tensione aleatoria ai
capi di ogni conduttore con resistenza R ed è dovuto al fatto che i portatori di
carica sono soggetti ad agitazione termica e la loro distribuzione lungo il
conduttore è variabile.
b. Shot noise: è dovuto al fatto che a livello microscopico la corrente che
attraversa una barriera di potenziale ha un comportamento granulare e gli istanti
di attraversamento dei singoli portatori di carica sono tra di loro indipendenti. La
corrente è rappresentabile mediante una serie di delta di Dyrac a istanti casuali
di cui si conosce solo il numero medio per unità di tempo (il quale determina la
componente DC della corrente che attraversa la giunzione).
La sorgente di rumore estrinseco (o in eccesso) più diffusa è il rumore flicker o 1/f.
Il rumore flicker: ha uno “distribuzione dell’energia” concentrata alle basse
frequenze. Dipende dalla presenza di impurità e difetti del reticolo cristallino, perciò è
strettamente legato al processo tecnologico con il quale il componente o materiale è
stato realizzato.
1.5.3 Densità spettrale di potenza
Definiamo come segue la densità spettrale di potenza (o spettro di potenza) Sx(f):
Immaginiamo di disporre di un filtro ideale con risposta in frequenza
X ( )
H ( )  u
diversa da zero solo tra 1 = 2f1 e 2 = 2f2.
X ( )
+
+
x(t)
xu(t)
-
-
|H(ω)|
ω1
42
ω2
ω
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
La densità spettrale di potenza (DSP) Sx(f) del processo aleatorio x(t) è definita
dalla seguente relazione:
f2
 S  f df
x
 xu2 t 
(1.42)
f1
Ovvero, è quella funzione della frequenza f il cui integrale tra le frequenze f1 ed f2
coincide col valore quadratico medio del segnale aleatorio xu(t) che si otterrebbe
filtrando x(t) col filtro ideale di cui sopra.
Se x(t) è la tensione ai capi di una resistenza R e si sceglie f2=f1+df, allora
SX(f1)df è il valore quadratico medio della tensione in uscita al filtro centrato su f1
e di larghezza di banda pari a df. Questo spiega la denominazione di “Densità Spettrale
V 2 
 A2 
di Potenza”. La DSP si misura in   se x(t) =[V], oppure in   , se x(t) = [A] e
 Hz 
 Hz 
così via.
Nel caso in cui Sx(f) non dipenda dalla frequenza, ovvero sia costante, il processo
X(t) ed il suo spettro si dicono “bianchi”. Per un processo aleatorio bianco in ogni
intervallo di frequenze l’uscita dipende solo dall’ampiezza dell’intervallo  f :
xu2 t   S X 0 f
Ad ogni resistenza è associata una fluttuazione aleatoria di tensione (rumore
termico) dovuta al moto caotico degli elettroni nel conduttore col quale è realizzata la
resistenza. Tale sorgente di tensione variabile in maniera aleatoria è rappresentata in
Fig. 1.27 con un generatore eT. Si deve a Nyquist la dimostrazione che il rumore
termico è bianco e che la sua densità spettrale di potenza ST è data da:
ST = 4KTR
(1.43)
eT
+R
Fig. 1.27 Resistenza non rumorosa e sorgente di rumore termico in serie
Più in generale Nyquist ha dimostrato che un bipolo generico di impedenza
Z=R+jX può essere rappresentato mediante un’impedenza non rumorosa con in serie un
generatore di tensione avente densità spettrale di potenza pari a ST  4KTR
43
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
+Z = R+jX
Z
eT
Fig. 1.28: Impedenza affetta da rumore termico e sua rappresentazione
Si deve ancora a Nyquist il seguente teorema:
Dato un processo stocastico x(t) in ingresso ad un sistema lineare caratterizzato da
una risposta in frequenza H(v. Fig, la densità spettrale di potenza Su(f) del
segnale aleatorio xu(t) in uscita al sistema è data da:
Su  Si H   
2
(1.42)
H(ω)
xi(t)
xu(t)
Fig. 1.29: Teorema di Nyquist sui sistemi lineari
Prima di proseguire diamo qualche indicazione circa l’ordine di grandezza delle
quantità che abbiamo introdotto.
Es: R=1KΩ
su una finestra di 1Hz il valore quadratico medio del generatore di tensione
aleatoria
che
rappresenta
il
rumore
termico
è
dato
da

xu2 t   ST f  4KTRf  16  10 18V 2  4 2 nV 2

Il valore efficace è, ovviamente:
xeff 
xeff =
S x f
xu2 t   4nV
dà una misura del valore efficace: in questo caso equivale a quello
di una sinusoide di ampiezza 5.6 nV.
Rumore di corrente
Finora abbiamo sempre fatto riferimento ad un processo stocastico con le
dimensioni di una tensione (generatore di tensione di rumore), ma esistono delle
sorgenti di rumore che è più immediato rappresentare mediante un generatore stocastico
44
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
di corrente. Un esempio è il rumore shot o “rumore di giunzione”. Il rumore shot si
rappresenta con un generatore di corrente aleatorio con densità spettrale di potenza che
dipende dalla corrente media che attraversa la giunzione, posto in parallelo alla
resistenza differenziale che rappresenta la giunzione medesima nel circuito equivalente
per piccoli segnali (v. Fig. 1.30).
Io
rd
in
Fig. 1.30: Diodo polarizzato con corrente I0 e suo circuito equivalente per piccoli
segnali con generatore equivalente di rumore shot in.
La DSP del generatore di rumore shot è data da:
 A2 
(1.44)
S I  2qI o  
Hz
 
Per avere un’idea dell’ordine di grandezza calcoliamo SI(f) per una corrente di 1 mA:
Es: Io=1mA
S I  3.2  10
 22
 A2 
 
 Hz 
S I  17
pA
Hz
Si tratta, quindi, di un fenomeno che, su 1Hz di banda, presenta un valore efficace di
corrente di decine di picoAmpere.
1.5.4 Rumore flicker
Si tratta, quindi, di un fenomeno che, su 1Hz di banda, presenta un valore efficace di
corrente di decine di picoAmpere. Il rumore flicker o 1/f si osserva in moltissimi
fenomeni fisici, non solo elettrici. La sua densità spettrale di potenza è del tipo :
K
0.8    1.2
Sf f  
f
Si osserva in dispositivi attraversati da una componente di corrente continua sia
passivi che attivi. Dipende dalla presenza di difetti cristallografici e impurità nei
materiali ed è uno dei parametri che qualificano la bontà di un componente elettronico.
In genere, ad una certa frequenza, lo spettro ha una dipendenza crescente con la
corrente. Si somma al rumore bianco di fondo (termico e shot) che è sempre presente
col suo spettro costante. Da una certa frequenza in su, detta frequenza d’angolo fC, il
rumore bianco prevale sul flicker che risulta, così, trascurabile.
45
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
10 log S f  f 
Scala bilogaritmica
log
fc
f
fo
Fig. 1.31: Sovrapposizione di rumore flicker (che predomina alle basse frequenze) e
rumore bianco.
fc può assumere valori in un range molto ampi: Hz ÷ MHz
In genere Il rumore flicker diminuisce con l’area attiva del dispositivo
(maggiore è l’area, minore il rumore).
Alle radiofrequenze il rumore flicker è spesso trascurabile in quanto il punto
d’angolo si trova, in genere, molto più in basso del range di frequenze di interesse.
Nella zona alta delle frequenze di lavoro si osserva una componente di rumore
divergente (cresce con 2) non tanto perché sia presente una sorgente con
caratteristiche di questo tipo, bensì a causa di effetti filtranti dei componenti
reattivi intrinseci e di quelli parassiti su sorgenti bianche.
10 log S f  f 
SH  f 2
fc
log
f
fo
Fig. 1.32: Andamento tipico dello spettro di rumore nei componenti elettronici in
funzione della frequenza.
La curva di Fig. 1.32, per il suo andamento caratteristico, è detta “a vasca da
bagno”. Nel caso di dispositivi a basso rumore, per un componente attivo di
ottima qualità, ci si può attendere un punto d’angolo intorno a qualche Hertz .
46
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
1.5.6 Cifra di rumore
Un amplificatore, a causa delle sorgenti di rumore presenti al suo interno,
presenterà, tipicamente, un rapporto segnale rumore in uscita peggiore (ovvero minore)
rispetto a quello in ingresso. Nel migliore dei casi il rapporto segnale rumore rimarrà
invariato. L’effetto di degrado di tale rapporto introdotto dall’amplificatore si misura
mediante un parametro denominato “Cifra di Rumore” indicato, in genere, con la sigla
NF (Noise Figure).
ZS
en1
+
Q
vs(t)
vu(t)
eT
in1
en2
-
Fig. 1.33: Due-porte contenente sorgenti di rumore al suo interno.
La cifra di rumore NF di un due-porte è definita dal seguente rapporto:
NF 
Potenza  di  Rumore  totale  in  uscita
Potenza  di  Rumore  in  uscita  dovuto  a  Z S
(1.44)
Dove il denominatore rappresenta la potenza di rumore in uscita dovuta al rumore
termico dell’impedenza di sorgente ZS.
Il rumore in uscita dovuto a ZS corrisponde al rumore che si avrebbe in uscita se Q
fosse privo di sorgenti interne di rumore (noiseless), ovvero se l’unica sorgente di
rumore fosse il rumore termico di ZS. In tal caso la cifra di rumore sarebbe unitaria
(nulla se misuraata in dB). In generale NF≥1, NFdB≥0dB.
Il rumore totale in uscita si ottiene integrando la DSP di rumore in uscita su tutta la
banda di interesse. Se la banda di interesse è ridotta o si vuole definire una cifra di
rumore puntuale (o spot) ad una certa frequenza, NF diventa un rapporto tra DSP.
Si può dimostrare che un due-porte rumoroso è equivalente, ai fini di una
determinata uscita, al due-porte privo di generatori interni con l’aggiunta di un
generatore di tensione ed uno di corrente opportuni in ingresso.
en
+-
in
Noise
less
+
vu(t)
-
Fig. 1.34 Circuito equivalente a quello di Fig. 1.33 , ai fini dell’uscita.
47
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
I generatori di rumore equivalenti riportati in ingresso al due-porte possono
essere descritti mediante le DSP associate.
V 2 
Sen   ;
 Hz 
 A2 
Sin  
 Hz 
Data una sorgente di rumore in serie ad un bipolo ZS, se chiudiamo il circuito in
serie all’impedenza complessa coniugata ZS*, la tensione aleatoria vD ai suoi capi
sarà (v. Fig. 1.35):
vD 
eT
e
e
RS  T R S  T
2 RS
2
Z  ZS
*
S
(1.44)
Pertanto, per il teorema di Nyquist:
Sv D 
SeT
4
(1.45)
+
eT
--
ZS
+
vD
ZS*
--
Fig. 1.35: Circuito per il calcolo della densità spettrale di potenza disponibile
del rumore termico di una impedenza ZS.
Poiché questa scelta del carico ZS* è quella che realizza l’adattamento
complesso coniugato, essa è anche quella che permette di trasferire sul carico la
massima potenza disponibile P, che, su una banda f, è data dalla seguente
relazione:
Sv D f SeT f v D2 (t )


R
4R
R
Si osservi che P ha le dimensioni di una potenza.
Nel caso di rumore termico la densità spettrale di potenza disponibile (che si
misura, quindi, in W/Hz) è data da:
Se
4 KTR
W 
SA  T 
 KT  
(1.46)
4R
4R
 Hz 
Più in generale, dato un generatore di rumore di tensione in serie a
un’impedenza si definisce la sua densità spettrale di potenza disponibile come
segue:
P
48
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
S AX 
ZS
SX
4 RS
+
x(t)
La potenza disponibile PA nell’intervallo di frequenza f1-f2 è data da:
f2
PA=
S
AX
df [W]
(1.47)
f1
Essa rappresenta la massima potenza che il generatore di rumore può cedere a un carico
nell’intervallo di frequenza f2-f1 . Tale risultato si consegue, come è noto, in condizioni
di adattamento complesso coniugato.
Il rumore totale in uscita è dovuto sia al contributo del due-porte (sorgenti en, in) sia
a quello dell’impedenza del generatore di segnale che è affetta da rumore termico e T. Il
rumore in uscita dovuto a ZS dipende, invece, solo da eT e dalla funzione di
trasferimento del due-porte.
Sotto certe condizioni, dette “di indipendenza” tra i segnali aleatori eT, en e in, la
DSP del processo risultante dalle loro combinazioni lineari, si ottiene semplicemente
sommando le singole componenti spettrali. Lo stesso vale, quindi, per le potenze di
rumore. Con riferimento alla Fig. 1.36, si ottiene:
NF 
N UeT  N U Q
N UeT
 1
NUQ
(1.48)
N UeT
Dove:
N UeT  S AeT GT f è il contributo alla potenza totale di rumore in uscita dovuto al
rumore termico dell’impedenza di sorgente; e
NU Q è il contributo dovuto alle sorgenti
di rumore interne al due-porte il cui effetto è rappresentato dai generatori equivalenti en
ed in (v. Fig. 1.36).
eT
en
+-
ZS
+-
in
Noise
less
Fig. 1.36: Circuito per il calcolo della cifra di rumore del due-porte
49
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
E’ immediato osservare (v. Fig. 1.37) che l’equivalente di Thevenin della parte
di circuito contenente i due generatori equivalenti di rumore e l’impedenza di
sorgente è dato da una impedenza ZS in serie a un generatore di Thevenin pari a
eTh  en  Z S in la cui densità spettrale di potenza disponibile SAQ è pari, sotto le
condizioni di indipendenza, a
S AQ 
Sen  Sin Z S
2
4 RS
en
en
++ -
inZS
ZS
+-
in
ZS
Fig. 1.37: Equivalente di Thevenin dei generatori en e in
Si ottiene, immediatamente, pertanto:
Se  Sin Z S
 n
GT f
4 RS
2
NUQ
(1.49)
E’ opportuno osservare che le condizioni di “indipendenza” tra en e in, sono, in
genere, rispettate fino a fT/10 dove fT è la frequenza di taglio del transistore.
Per la cifra di rumore si ottiene, in definitiva:
NF  1 
Sen  Sin Z S
4 KTRS
2
(1.50)
1.5.7 Progetto di amplificatori a basso rumore.
Se vogliamo progettare un amplificatore a basso rumore (LNA=Low Noise
Amplifier) bisogna studiare la dipendenza di NF da ZS. NF dipende dal due-porte,
attraverso Sen ed Sin, e dalla sorgente di segnale, attraverso ZS. Progettare a basso
rumore, una volta scelto il dispositivo attivo, equivale a individuare la
terminazione ottima per quando riguarda il rumore, ovvero, quella che minimizza
NF. Procediamo, quindi, alla ricerca del minimo di NF al variare di ZS,
osservando che, certamente, NF sarà minimo per XS=0 ovvero per carico
puramente resistivo, infatti risulta:
50
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Sen  RS2  X S2 Sin
4 KTRS
Che presenta un minimo per XS = 0 e RS da calcolare tramite la ricerca dei minimi
della funzione NF(RS). Si cercano, quindi, gli zeri della derivata prima:
NF  1 


2
d
NF   2 RS Sin 4 KTRS  Sen 2 RS Sin 4 KT  0 → 4 KT RS2 Sin  Sen   0 e si
dRS
4 KTRS 
conclude che il valore della ZS che minimizza la cifra di rumore è:
Z ON  RON 
Sen V 
Sin  A 
(1.51)
Poiché ZS è, di norma, fissata dalle specifiche di progetto, bisognerà introdurre delle
reti di trasformazione di impedenza tra la sorgente e l’ingresso dell’amplificatore per far
si che esso veda l’impedenza ottima Z ON dal punto di vista del rumore.
Per valutare l’effetto di tali reti su NF utilizziamo una formula dovuta a Friis che
permette di calcolare la cifra di rumore globale di una rete costituita dalla cascata di
due o più due-porte.
Con ovvio simbolismo si ottiene per la cifra di rumore totale NFTOT
Q1
NFTOT  NF1 
Q2
NF2  1 NF3  1

 ...
G A1
G A1G A2
La formula di Friis esprime in termini analitici una considerazione ovvia: per
minimizzare la cifra di rumore totale di un sistema, bisogna usare come primo stadio
quello a cifra di rumore più bassa ed assicurarsi che introduca un guadagno quanto
maggiore possibile.
Nel caso in cui Q1 sia una rete di adattamento (passiva, reciproca e non dissipativa)
la sua cifra di rumore NF1 sarà unitaria (non contiene generatori interni di rumore) come
anche il suo guadagno di potenza disponibile GA1. Pertanto:
NFTOT=NFQ2
Ovvero la cifra di rumore totale coincide con quella del due-porte attivo.
51
Capitolo 1 – Amplificatori a radiofrequenza
Si può facilmente dimostrare, infine, che la cifra di rumore così come è stata
definita, coincide col rapporto tra il rapporto segnale rumore in ingresso e quello
in uscita. Ovvero, con ovvio simbolismo:
Si
Ni
NF 
Su
Nu
Si
Su
Quindi, se NF  1 

Ni Nu
Riusciamo a minimizzare NF ottimizzando la terminazione vista dall’ingresso
dell’amplificatore guardando verso il generatore di segnale di ingresso tramite
un’opportuna rete di adattamento che permette di rendere tale terminazione pari a
ZON.
ZSon
ZL*
M1
M2
Q
ZL
Dimensioniamo M1 in modo da trasformare l’impedenza di sorgente in quella
ottima per il rumore. Se, poi, vogliamo massimizzare il guadagno, ferma restando
l’impedenza di sorgente che minimizza il rumore, dimensioniamo M2 in modo da
avere adattamento complesso coniugato in uscita (quando ciò sia possibile),
oppure seguiamo i criteri delineati in precedenza nel caso di progetto a ZS fissata e
due-porte potenzialmente instabile.
Infine, per calcolare la potenza di rumore in uscita su una certa banda  f
ricordiamo che:
NF 
NuTOT
NuTOT

Nuin
KT  GT f
E, quindi, la potenza totale di rumore in uscita sarà:
NuTOT  NF  KT  GT f
52
(1.52)