Trattamento Numerico di Equazioni Funzionali – Modulo A

Trattamento Numerico di Equazioni Funzionali – Modulo A
Lingua
Italiano (Inglese su richiesta)
Contenuti
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Approssimazione di funzioni periodiche mediante polinomi trigonometrici
Metodi di approssimazione globale della soluzione di equazioni integrali di Fredholm di
seconda specie aventi funzioni note periodiche
Testi di riferimento
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Appunti del corso in formato pdf (in Italiano)
G. Mastroianni, G.V. Milovanovic: Interpolation processes. Basic theory and applications,
Springer-Verlag, Berlin, 2008
A. F. Timan: Theory of approximation of functions of a real variable, Dover Publications,
New York, 1994
Obiettivi formativi dell’insegnamento
La finalità del corso è conoscere e saper utilizzare metodi numerici stabili e convergenti di
approssimazione globale della soluzione di equazioni funzionali (in particolare equazioni integrali
di Fredholm di seconda specie).
Il corso intende anche fornire le nozioni di base di teoria dell'approssimazione necessarie per la
costruzione di tali metodi numerici. In particolare, nel Modulo A, sarà studiata l'approssimazione
di funzioni periodiche mediante polinomi trigonometrici.
A conclusione del Modulo A gli studenti dovranno:
• comprendere le idee di base della teoria dell'approssimazione;
• saper connettere proprietà strutturali di una funzione periodica con l'ordine di convergenza
della sua migliore approssimazione mediante polinomi trigonometrici;
• conoscere il comportamento di processi di approssimazione polinomiale quali somme di
Fourier e polinomi di Lagrange in vari spazi di funzioni periodiche;
• conoscere e saper applicare metodi numerici di approssimazione globale della soluzione di
equazioni integrali di Fredholm di seconda specie aventi funzioni note periodiche;
• saper discutere la stabilità e la convergenza di tali metodi numerici;
• saper implementare algoritmi relativi ai metodi numerici studiati e interpretare i risultati
numerici confrontandoli con le stime teoriche.
Prerequisiti
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analisi matematica (calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili,
successioni e serie numeriche, successioni e serie di funzioni, integrale di Lebesgue, spazi
normati, operatori lineari, elementi di analisi complessa)
algebra lineare e geometria (spazi vettoriali, sistemi lineari, applicazioni lineari, autovalori,
basi ortonormali)
analisi numerica (errori, formule di quadratura, risoluzione numerica di sistemi lineari)
elementi di programmazione (in particolare in MatLab)
Metodi didattici
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Lezioni in aula
Esercitazioni in laboratorio
Sia durante le lezioni in aula che nella attività di laboratorio verrà stimolata la partecipazione attiva
degli studenti. Perciò gli studenti potranno partecipare a eventuali prove intermedie (orali e/o
pratiche) per il controllo dell'apprendimento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale di valutazione al termine del corso
Programma esteso
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Spazi di funzioni periodiche. Spazi di funzioni periodiche e continue con metrica
uniforme. Spazi di funzioni periodiche e misurabili con norma p. Moduli di continuità, K–
funzionali e loro proprietà. Spazi di Sobolev e di Zygmund.
Polinomi trigonometrici. Alcune proprietà dei polinomi trigonometrici. Polinomi
ortogonali. Disuguaglianze polinomiali: disuguaglianze di Bernstein e Nikolskii.
Stime della migliore approssimazione polinomiale. Approssimazione di funzioni
periodiche mediante polinomi trigonometrici. Teorema di Weierstrass in norma uniforme.
Errore di migliore approssimazione e prime proprietà. Disuguaglianza di Favard. Teorema
di Jackson. Disuguaglianza di Stechkin. Caratterizzazione di spazi Lp e spazi di Zygmund
mediante l'errore di migliore approssimazione. Teoremi di immersione.
Somme di Fourier trigonometriche. Definizione e prime proprietà. Comportamento
delle somme di Fourier per funzioni continue. Comportamento delle somme di Fourier in
spazi Lp. Teorema di M. Riesz. Uguaglianza di Parseval. Simultanea approssimazione.
Interpolazione trigonometrica. Definizione e prime proprietà. Comportamento
dell'operatore di Lagrange come mappa da funzioni continue in funzioni continue. Prima
disuguaglianza di Marcinkiewicz. Seconda disuguaglianza di Marcinkiewicz. Uniforme
limitatezza dell'operatore di Lagrange in spazi di Sobolev.
Formule di quadratura. Stima dell'errore della formula di quadratura trigonometrica in
spazi di Sobolev.
Trattamento numerico di equazioni integrali. Richiami su equazioni integrali lineari
e operatori lineari. Teorema di Von Neumann. Trattamento numerico di equazioni integrali
di Fredholm di seconda specie con funzioni note periodiche: metodo delle proiezioni e
metodo di Nyström.