FORMULA DI DISINTEGRAZIONE E FORMULA DI BAYES
IL MODELLO
Si supponga questo situazione idealizzata (un modello che descrive più situazioni reali):
1. Una causa (o stato di natura o ipotesi) H 1 , che si verifica con probabilità P (H 1 ) può
generare l' evento E con probabilità P (E / H 1)
2. Una causa (o stato di natura o ipotesi) H 2 , che si verifica con probabilità P (H 2) può
generare lo stesso evento E con probabilità P (E / H 2 )
3. ….
4. Uno causa (o stato di natura o ipotesi) H n , che si verifica con probabilità P (H n) può
generare l' evento E con probabilita P (E / H n )
Si suppongano le cause incompatibili ed esaustive. Incompatibili significa che una sola può essere
vero, esaustive significa che una sicuramente è vero
Questo modello è l'idealizzazione di diverse situazioni reali.
ESEMPI PRATICI
Una persona può le arterie Libere (causa H 1 ) oppure Ostruite(causa H 2 ). Un improvviso
dolore al petto (evento E) può comparire sia le le arterie sono libere (causa H 1 ), sia se le arterie
sono Ostruite (causa H 2 ).
Uno studente può avere studiato (causa H 1 ) o non aver studiato (causa H 2 ). Il superamento
di un test (evento E) può accadere sia se ha studiato (causa H 1 ) sia se non ha studiato (causa
H2 )
Il riscaldamento globale tendenziale può essere vero (causa H 1 ) oppure no (causa H 2 ).
L'aumento di un grado della temperatura media (evento E) può avvenire sia se è in atto il
riscaldamento globale(causa H 1 ) sia se non vi è riscaldamento globale (causa H 2 . In questo
caso potrebbe trattarsi di una fluttuazione casuale della temperatura)
LE DOMANDE E LE RISPOSTE
In situazioni di questo tipo le domande che possiamo porci sono due:
•
Se l'evento E può essere generato da più cause qual è la probabilità che E si verifichi?
Qual è, per esempio, la probabilità che ad una persona compaia un dolore al petto?
Qual è la probabilità che superi il test?
Qual è la probabilità che si abbia un aumento di un grado della temperatura nel 2016?
A questa domanda si risponde con la formula di disintegrazione
P (E )= P (E / H 1)⋅P ( H 1)+ P ( E / H 2 )⋅P ( H 2 )+....+ P (E / H n )⋅P ( H n )
•
Se l'evento E si verifica, qual è la probabilità che sia dovuto ad una particolare causa H_{i}?
Per esempio: sento un dolore al petto. Qual è la probabilità che abbia le arterie ostruite?
Uno studente supera il test. Qual è la probabilità che abbia studiato?
La temperatura si alza di un grado. Qual è la probabilità che sia dovuta al riscaldamento
globale?
A questa domanda si risponde con la formula di Bayes (si legge Beis)
P (H i / E)=
P( E / H i )⋅P ( H i )
P (E / H 1)⋅P( H 1 )+P ( E / H 2)⋅P ( H 2 )+....+P ( E / H n)⋅P ( H n )
COMMENTI
La formula di disintegrazione e di Bayes sono complementari: con la formula di disintegrazione
trovo la probabilità di un evento E con la formua di Bayes so che E si è verificato e calcolo la
probabilità che sia stato generato da una particolare causa H i
ESEMPIO COMPLETO
Una compagnia di assicurazioni ritiene che gli assicurati possano essere suddivisi in due classi: a
rischio di incidente e non a rischio di incidente. Le loro statistiche mostrano che una persona a
rischio avrà un incidente di qualche tipo nel primo anno polizza con probabilità 0,4, mentre tale
probabilità è pari a 0,2 per le persone non a rischio.
a)
Supponiamo che il 30 % delle persone sia a rischio, qual è la probabilità che un nuovo assicurato
abbia un incidente nel primo anno di polizza?
b)
Supponiamo che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla prima stipulazione
della polizza. Qual è la probabilità che sia a rischio?
SOLUZIONE
a)
Sia E l'evento: un nuovo assicurato ha un incidente nel primo anno di polizza
L'assicurato può far parte del gruppo assicurati a rischio ( H 1 con probabilità P (H 1 )=0.30 )
oppure far parte del gruppo assicurati non a rischio ( H 2 con probabilità P (H 2)=0.7 )
Se fa parte del gruppo assicurati a rischio la probabilità di avere un incidente è P (E / H 1)=0.4
Se fa parte del gruppo assicurati non a rischio la probabilità di avere un incidente è
P (E / H 2 )=0.2
Si vuole calcolare la probabilità che accada un evento che può essere dovuto a due cause
(l'assicurato fa parte del gruppo a rischio oppure non fa parte del gruppo a rischio).
Si usa la FORMULA DI DISINTEGRAZIONE
Pertanto
P (E )= P (E / H 1)⋅P ( H 1)+ P ( E / H 2 )⋅P ( H 2 )=0.4⋅0.3+0.2⋅0.7=
=0.12+0.14=0.26
b)
Si sa che l'assicurato ha avuto un incidente e si vuole sapere la probabilità che faccia parte del
gruppo a rischio.
Si usa la FORMULA DI BAYES
P ( H 1 / E )=
P ( E / H 1 )⋅P (H 1)
0.4⋅0.3 0.12
=
=
=0.46
P( E / H 1)⋅P ( H 1)+ P (E / H 2 )⋅P ( H 2 )
0.26
0.26
