a.s. 2014/2015 Classe III sez. C – Lezione2: Il Teorema di Pitagora e sue applicazioni
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IL TEOREMA DI PITAGORA e le sue applicazioni ai poligoni
Ragazzi, bando alle chiacchiere. Se non conoscete il Teorema di Pitagora e non sapete applicarlo, non potremo
andare avanti con lo studio della geometria e, negli anni successivi, troverete molte difficoltà. Quindi, armatevi
di pazienza e interiorizziamo una teorema fondamentale che trova applicazioni in svariati campi, soprattutto
nell’ingegneria edile.
Punto 1 – l’enunciato: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui due cateti
Che significa tutto questo in “numeri”? Semplicemente che l’area della superficie del
quadrato “grande” (cioè quello costruito sull’ipotenusa) è uguale alla somma delle aree
delle superfici dei quadrati “piccoli” (cioè quelli costruiti sui due cateti) – (fig. 1)
Nella figura 1, avremo che 52=42+32 cioè 25=16+9 in definitiva:
BC2=AB2+AC2 (che è poi ciò che va “ripetendo” Pitagora da 2500 anni!)
Fig. 1
Punto 2 – le formule:
b
a
c
RICORDA
b= IPOTENUSA
a= CATETO MAGGIORE
b= CATETO MINORE
l= lato obliquo del triangolo rappresenta l’IPOTENUSA
h= altezza del triangolo rappresenta il CATETO MAGGIORE
b
= metà della base del triangolo rappresenta il CATETO MINORE*
2
b
l h2
2
2
b
h l
2
b
l 2 h2
2
2
2
RETTANGOLO
QUADRATO
*nel triangolo isoscele l’altezza divide la base in due parti uguali
ROMBO
TRAPEZIO RETTANGOLO
TRIANGOLO
ISOSCELE
Punto 3 – le applicazioni ai poligoni – Il Teorema di Pitagora può essere applicato a tutti i poligoni nei quali si
può costruire un triangolo rettangolo. Basta individuare all’interno di essi l’ipotenusa e i due cateti e applicare
poi le formule conosciute.
Le formule
È facile riconoscere che
1
2
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Nei trapezi (isoscele e rettangolo) la differenza delle
due basi (b1-b2 oppure B-b) è anche detta proiezione
del lato obliquo sulla base maggiore.
Ancora nei trapezi, si possono individuare altri
triangoli rettangoli, per esempio tracciando le
diagonali. Prova da solo/a a scrivere le formule
relative all’applicazione del teorema di Pitagora.
Punto 3 – le terne pitagoriche – abbiamo visto che sussiste la 52=42+32; è facile verificare che, applicando
le formule del teorema di Pitagora i due cateti e l’ipotenusa (che, ricordiamolo sempre, è il lato più lungo del
triangolo rettangolo) misurano rispettivamente 3 (cm, m, km…) 4 e 5. Questi tre numeri, 3 – 4 – 5, già noti in
verità secoli prima di Pitagora (Egiziani, popoli mesopotamici) rappresentano la terna pitagorica fondamentale
(o primitiva).
Altre terne pitagoriche, cioè tre numeri che rispettano le relazioni del teorema di Pitagora, possono essere
ricavate moltiplicando o dividendo per uno stesso numero i tre termini della terna fondamentale. Esempio:
moltiplicando per tre la terna fondamentale avremo una nuova terna (9 – 12 – 15) detta terna derivata. Infatti
152=92+122 cioè 225=81+144.
In effetti si possono costruire autonomamente infinite altre terne pitagoriche applicando le seguenti relazioni:
m2 1
m2 1
1.partendo da un qualsiasi numero dispari m avremo: a m
b
c
2
2
2
2
m 1 25 - 1 25
m 1 25 1 26
Esempio: m=5 avremo a m 5
b
12
c
13
2
2
12
2
2
12
Infatti: 132=52+122 cioè 169=25+144
a 2n
2
b m - 1 16 1 15
b m2 - 1
c m2 1
c m2 1 16 1 17
2. partendo da un qualsiasi numero pari n avremo:
Esempio: m=4 avremo a 2n 8
Infatti: 172=82+152 cioè 289=64+225
ORA ESERCITATEVI UN PO’
(e, per favore, fatelo davvero…)
1.
2.
3.
4.
Calcola la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 5cm e 12 cm.
Calcola la base di un rettangolo sapendo che l’altezza misura 8m e la diagonale misura 10m.
Trova una terna pitagorica partendo dal numero 7.
Trova una terna pitagorica partendo dal numero 6.
ORA SCRIVI QUI LE TUE CONSIDERAZIONI FINALI (sii sincero/a!)
(barra una o più voci che descrivono la tua opinione)
La lezione è risultata noiosa – difficile – impegnativa – interessante – stimolante – altro_______________
L’esposizione dell’insegnante è stata per nulla chiara – poco chiara – abbastanza chiara – molto chiara
Gli appunti offerti dall’insegnante sono inutili – poco utili – utili – molto utili
Gli esercizi sono apparsi noiosi – troppo facili – incomprensibili – difficili – interessanti – fattibili
E pure oggi si son fatte le 12.15…. Però, ragazzi, voi portate spese! Scherzo, sempre a disposizione!
Now, ge t to work! Maintenant, au travail! Ahora, ponte a trabajar! Mo’, jat a faticà!
Scheda approntata dal prof. Vincenzo Maiorca il 27-28/09/2014
