Un modo per interpretare il significato degli operatori unitari

MACCHINA DI TURING QUANTISTICA
Un modo per interpretare il significato degli operatori unitari
quantistici è quello di arrivarci attraverso il concetto di macchina
di Turing quantistica (QTM), passando attraverso la macchina di
Turing probabilistica (PTM).
La computazione di una PTM M (ad unico nastro) su un dato
input può essere descritta mediante un grafo:
 i nodi sono le configurazioni di M
 esiste un arco di peso p  [0, 1] dal nodo c1 al nodo c2 se la
transizione c1→ c2 accade con probabilità p.
Le probabilità associate agli archi vengono desunte da una
funzione di transizione di M,

t.c. (somma dei pesi di tutti gli archi uscenti da un nodo) = 1
Dopo due passi di computazione, M si troverà nella
configurazione
c3 con probabilità p1 p3 = s3
c4 con probabilità p1 p4 + p2 p5 = s4
c5 con probabilità p2 p6 = s5
ossia M si trova nella sovrapposizione di configurazioni
Ψ  s 3 c 3  s4 c4  s5 c5
In generale, dunque, possiamo pensare che al tempo t la
macchina M si trovi in uno stato
ψ(t)   s i c i
iN
che è un vettore nello spazio infinito-dimensionale generato dai
versori |ci> configurazioni di M.
Sarà anche

s  1.
iN i
Possiamo costruire una matrice U in cui l’elemento (i, j)
esimo rappresenta la probabilità di passare dalla configurazione cj
alla configurazione ci.
Allora t passi di computazione di M si esprimono con
ψ(t)  U ψ(0)
t
dove ψ(0)  0
è la sovrapposizione iniziale di M.
Analogamente una QTM Q è definita in maniera del tutto
analoga ad una PTM M, con la seguente differenza:
la probabilità di passare da una configurazione all’altra è
data dal quadrato del modulo di un numero complesso
chiamato ampiezza della transizione.
Ad esempio :
l’ampiezza della transizione c1→ c2 è α1  C
la corrispondente probabilità è |α1|2
k
2
  =1
i 1
i
Analogamente, dopo due passi di computazione la macchina
Q si troverà in
c3 con ampiezza α1 α3 = γ3
c4 con ampiezza α1 α4 + α2 α5 = γ4
c3 con ampiezza α2 α6 = γ5
e probabilità | γ3|2
e probabilità | γ4|2
e probabilità | γ5|2
Ad ogni istante t, la macchina Q si trova nella
sovrapposizione
Ψ(t)  U t Ψ(0)
l’elemento (i, j)esimo di U è ora l’ampiezza della transizione cj →
c i.
Per ogni sovrapposizione di Q del tipo Ψ(t) 

iN
γ i c i deve
essere soddisfatto il vincolo

k
i 1
γi
2
 1 ossia Ψ(t) deve avere modulo unitario.
Ciò significa richiedere che U mappi vettori unitari in vettori
unitari, ossia :
L’operatore U deve essere unitario.
Al tempo t troveremo Q nella configurazione ci con
probabilità | γi|2.
Poniamo ora che Q al tempo t si trovi nella sovrapposizione
Ψ(t)  γ1 c1  γ 2 c 2
.
All’istante t troveremo Q in c1 (c2) con probabilità | γ1|2
(|γ2|2);
La probabilità p1 che all’istante successivo Q assuma la
configurazione c3 si ottiene che
p1 = |α|2 (| γ1|2 + | γ2|2)
Al tempo t + 1 la probabilità p2 di osservare la macchina nella
configurazione c3 sarà da cui
p2 = |α|2 | γ1 + γ2|2
essendo α(γ1 + γ2)l’ampiezza di c3 .
Chiaramente p1 ≠ p2.
Vediamo quindi che nelle QTM vengono formalizzati anche
fenomeni di interferenza , dando plausibilità fisica al modello.
INTERPRETAZIONE FISICA DEL
QUANTUM COMPUTING
Il concetto di sovrapposizione lineare esiste anche
negli
spazi vettoriali:
v = ax + by
v è visibile come i vettori x e y contemporaneamente.
In m.q. si utilizza questo principio per le variabili di un
sistema fisico: lo spazio vettoriale è quello di Hilbert.
Il sistema è descritto dallo stato quantistico

,
Ψ   ci i
i
Si dice che
Ψ
è in una sovrapposizione lineare di stati
che formano la base.
In generale i coefficienti ci sono numeri complessi.
i
La posizione di un elettrone che orbita attorno al nucleo è una
sovrapposizione di tutte le sue possibili posizioni
Ogni possibile posizione è una base per lo spazio di Hilbert
ed ha una certa probabilità, finita, di essere l’attuale posizione.
.
Un sistema quantistico si dice in uno stato di coerenza se si
trova in una sovrapposizione lineare delle sue basi. Nel momento
in cui un sistema, che si trova in una sovrapposizione lineare,
interagisce in qualche modo con l’ambiente, deve scegliere
istantaneamente uno dei possibili stati e collassare su di esso .
Questo collasso è chiamato decoerenza .
I coefficienti ci sono chiamati ampiezze della probabilità, e
Il valore di |ci|2 fornisce la probabilità che la funzione
collassi in uno stato
i

.
Le probabilità espresse dai coefficienti devono avere come
somma 1:
 ci
i
2
1
Consideriamo il caso di una variabile fisica discreta: lo spin.
Il sistema più semplice di spin è un sistema a due stati, le cui basi
sono rappresentate con :
 Il simbolo

che rappresenta lo stato di “spin-up”
 Il simbolo

che rappresenta lo stato di “spin-down”
La funzione d’onda Ψ è una distribuzione su due valori e uno
stato coerente
spin-up


è una sovrapposizione lineare dei due stati di
e spin-down

.
Ad esempio :
 
2
5
 
1
5

Fino a quando il sistema mantiene la sovrapposizione lineare
non si può dire se è nello stato di spin-up o di spin-down.
Quando il sistema interagisce con l’ambiente e collassa in un
preciso stato, il risultato può essere lo stato di spin-up con
probabilità:
Ψ
2
2
 2 
 
  0.8
 5
Questo sistema di spin a due stati appena descritto è utilizzato
come unità di base del quantum computing
Gli stati

e

vengono attribuiti ai “qubit” (quantum bit) e
vengono rinominati in |1> e |0>.
Nel calcolo quantistico operatori sono operatori su uno spazio di
Hilbert che descrivono come una funzione d’onda si trasforma in
un’altra funzione d’onda.
Generalmente sono denotate con lettera maiuscola e
cappuccio (es. Â) .
Si rappresentano come matrici che agiscono su vettori.
Es. l’equazione agli autovalori

A i  a i i
(ai autovalori).
Le soluzioni
i sono gli autostati e sono utilizzate per costruire
le basi dello spazio di Hilbert .
Tutte le proprietà sono rappresentate come operatori
Gli autostati sono le basi per lo spazio di Hilbert associato
Gli autovalori sono i valori quantici permessi per quella proprietà.
Gli operatori sono lineari e deve valere
†  =  † = Î
Î operatore identità
 † complesso coniugato trasposto di Â.
Un bit nel paradigma classico corrisponde quindi a un qubit nel
paradigma quantistico.
Il qubit ha due stati di base, gli stati 0 e 1, che sono equivalenti ai
bit classici.
Gli spin rappresentano l’ espressione fisica dei qubit.
Per esprimere i qubit si associa allo spin-up viene lo stato 1 e allo
spin-down lo stato 0.
I due stati vengono denotati
0
e
1
.
Il qubit rimane in uno stato di sovrapposizione lineare fra
1
fino a quando non interagisce con l’ambiente (decoerenza).
0
e
L’equazione
x a1 b0
esprime la sovrapposizione di un singolo qubit con gli stati |0> e
|1> .
I coefficienti a e b sono numeri complessi e prendono il nome di
ampiezza della probabilità.
Il loro modulo al quadrato corrisponde alla probabilità dello stato.
I qubit possono essere espressi con il prodotto tensoriale di
matrici di singoli qubit.
Da un qubit si ottiene:
CIRCUITI
Nei quantum computer esistono gli stessi circuiti AND, OR e
NOT dei computer classici ma non sono le unità più piccole.
L’elemento più piccolo è il CNOT (Controlled-NOT) :
Il CNOT è espresso dalla seguente matrice unitaria quadrata:
Il CNOT inverte un qubit solo quando lo stato del qubit di
controllo è
1
.
IN
Control
0
1
OUT
Target
Control
0
1
0
1
0
1
Target
1
1
1
0
Nel circuito CNOT la dimensione del lato della matrice è, nel
caso di 2 qubit, 22.
Il circuito svolge un semplice calcolo matriciale sull’input
espresso come colonna di qubit.
Il risultato è un output di qubit.
Es:
Il qubit di output risulta uguale all’input:
Le matrici per i quantum computer devono soddisfare alcune
condizioni:
 Devono essere unitarie con il numero di elementi pari a
2n con n intero positivo arbitrario.
 Gli elementi che operano sui qubit sono gli operatori
unitari.