Problemi sulla similitudine
In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive altezze.
2) In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive
mediane.
3) In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le bisettrici uscenti
da due vertici omologhi.
4) Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto tra due suoi lati .
5) Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto tra due suoi lati.
6) Dimostrate che la parallela ad un lato di un triangolo che intersechi gli altri due, determina un
triangolo simile al dato. Scrivete la proporzione che sussiste tra i lati.
7) Nel triangolo isoscele ABC di vertice A, traccia la mediana AM e dal punto M traccia la
perpendicolare al lato obliquo AB. Individua tutti i triangoli simili che si vengono a formare nella
figura.
8) Nel triangolo ABC traccia l'altezza AH relativa al lato BC e l'altezza CK relativa al lato AB.
Individua tutti i triangoli simili che si vengono a formare nella figura.
9) Nel triangolo rettangolo ABC, rettangolo in B, traccia la bisettrice AL e da L la perpendicolare
all'ipotenusa AC. Individua tutti i triangoli simili che si vengono a formare nella figura.
10) Nel triangolo ABC traccia le altezze AH e BK. Dimostra che il triangolo CHK è simile al
triangolo ABC. Osserva che BKA e AHB sono inscrittibili in una semicirconferenza.
11) Siano BH e CK due altezze del triangolo ABC. Dimostra che AKH è simile ad ABC. Osserva
che BCK e BCH sono inscrittibili in una semicirconferenza.
12)Un trapezio ha le basi di 4cm e 10cm, i lati obliqui di 4,57cm e 5,94. Prolungando i lati obliqui si
ottiene un triangolo che ha in comune con il trapezio la base minore. Determina il perimetro del
triangolo. R.[21,52cm].
13)In un trapezio rettangolo la base minore CD è doppia del lato obliquo BC e questo è i 5/4 del
lato AD perpendicolare alle due basi. Sapendo che l’area del trapezio è 184cm2, calcolare la
misura della distanza di D dalla retta BC. [R: 16cm]
14)Nel triangolo ABC, traccia da un punto M del lato AB la parallela a BC; essa incontra AC in N.
Traccia poi la bisettrice AL del triangolo; essa incontra MN in K. Dimostra che AMK è simile ad
ABL.
15)Due circonferenze, di centri O ed O’ e raggi di misura rispettivamente 6cm e 12cm, sono
tangenti esternamente in A; da O si tracci una tangente alla circonferenza di centro O’ e sia B il
punto di tangenza. Indicato con M il punto in cui il segmento BO incontra la circonferenza di centro
O, calcolare le misure dei lati del triangolo AOM. [R: 6cm, 4cm, …]
16)Il rapporto tra l’altezza AH e la base BC del triangolo isoscele ABC è 2:3. Indicata con D la
proiezione ortogonale di C sulla retta AB, dimostrare che D è un punto interno al segmento AB. Si
costruisca poi il triangolo ECD, isoscele su base CD e simile ad ABC, in modo che il punto E si
trovi dalla stessa parte di A rispetto a BC. Si dimostri che CE è parallelo ad AH, che i triangoli CDB
e CEA sono simili e che il quadrilatero ECDA è inscrivibile in una circonferenza.
17)Dimostrate che in due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi rispettano il
rapporto di similitudine.
18) Un triangolo rettangolo ABC ha l’angolo B= 60°. La bisettrice BD dell’angolo B msura 6 cm.
Calcola il perimetro del triangolo ABC
R: P=R 9 3 + 1
(
)
19) Nel triangolo ABC in figura, AC=12cm, AB=16cm, BH=HC,
DHB=90°. Calcola l’area del triangolo PBH
R: A=75/2 cm2
20)Nel triangolo in figura, AB=9cm,AC=12cm, HKC=90°.Calcola il
perimetro di AHK
R: 432/35cm
21)
R: 1152/175 cm2
22)Un rettangolo e’ inscritto in un triangolo di base AB=16cm, e
altezza CH=12.cm. Calcola le dimensioni del rettangolo.
R: DG=6cm; DE=8cm
23) In una circonferenza di centro O inscrivi un triangolo isoscele di base
16 cm e i lati obliqui di 20cm.. Calcola la misura del raggio.
24)
R: AC=
; BC=
25) Il lato AB di un triangolo ABC misura a. Conduci da un punto P
di AB la parallela PQ al lato BC in modo che il triangolo si diviso in
due poligoni equivalenti (si ponga AP=x)
Sol:
26
R: AB=9cm e BC=11,7cm
27
Soluzioni: posto AP=x si ha x=2cm
28)
Sol: b=16cm h=5cm
29)
sol:
Ricorda che:
30)
Solu: P=41/6r; A=91/48r2
31)
Sol: posto PH=x si ha x=
entrambe accettabili
32)
Sol: posto AP=x si ha
33)
Sol: Poni OH=x si ha x=14/5 e x=6.
34)
Sol: Poni DH=x si ha
35)
Sol: PONI AH=x e PB=y. Si ha x=
accettabili.
