La livellazione trigonometrica

Università degli studi di Brescia
Facoltà di Ingegneria
Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento
La livellazione
trigonometrica
1
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Dislivello tra i punti A e B:
•Differenza delle quote corrispondenti
(quota del punto avanti meno quota del
punto indietro)
•Il dislivello è un segmento orientato
Livellazione:
•Operazione di misura del dislivello (la
misura diretta delle quote non è
praticata di norma in topografia)
Metodi di misura del dislivello:
•Livellazioni che non richiedono la
conoscenza della distanza tra i punti
•Livellazioni che richiedono la
conoscenza della distanza tra punti
2
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Livellazione “dipendente” dalla
distanza tra A e B
•Necessaria (speditiva) per quotare i
punti trigonometrici e più in generali
punti di reti d’appoggio, quindi per
operare su distanze chilometriche
•La distanza viene misurata in
genere sulla cartografia o con GPS,
la misura con distanziometri risulta
poco precisa o impossibile su
distanze elevate.
Livellazione con teodolite:
•Si effettua misurando gli angoli nel
piano verticali, detti “distanze
zenitali”
3
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Ipotesi:
•Operazioni e calcoli sulla sfera locale
(il campo topografico “altimetrico” è
troppo limitato per gli scopi della
livellazione trigonometrica)
•La traiettoria luminosa sui punti si
mantiene rettilinea
•E’ nota la distanza topografica ridotta
alla superficie di riferimento (SFERA
LOCALE)
•E’ nota la distanza topografica ridotta
alla superficie di riferimento (SFERA
LOCALE)
4
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Ipotesi:
ZB
•Il raggio della sfera locale adottato nei
calcoli è ottenuto dai valori medi della
grannormale e del raggio della sezione
meridiana:
ZA
R = ρ ⋅N
•Si misurino le due distanze zenitali
reciproche ZA e ZB
•E’ possibile esprimere una relazione tra
QA e QB applicando il teorema di
Nepero al triangolo AOB
ZB − Z A
)
(QB + R) − (QA + R)
2
=
g
400 − ( Z A + Z B )
(QB + R ) + (QA + R )
tg
2
tg (
5
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Teorema di Nepero
•La somma di due lati sta alla loro
differenza come la tangente della
semisomma degli angoli opposti sta alla
tangente della loro semidifferenza
Dimostrazione:
•Dal teorema dei seni
a
b
a senα
=
===> =
senα senβ
b senβ
•Componendo e somponendo si ottiene la forma
a + b senα + senβ
=
a − b senα − senβ
6
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Teorema di Nepero
•Applicando le formule di prostaferesi
2 ⋅ sen
α+β
cos
α −β
a+b
2
2 = ...
=
a − b 2 ⋅ sen α − β cos α + β
2
2
α+β
tg
α+β
α −β
2
ctg
=
... = tg
α −β
2
2
tg
2
α + β
tg
a+b
2
=
α −β
a−b
tg
2
7
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZB
Nel caso in esame, fatte le posizioni
a=QB+R;
b=QA+R;
ZA
α = 200 − Z A ; β = 200 g − Z B ;
g
α+β
2
α −β
2
400 g − ( Z A + Z B )
;
=
2
=
ZB − Z A
;
2
E tenendo conto che
α + β +δ =π;
e quindi
200 g + δ = Z A + Z B
8
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZB
Si può scrivere:
⎛ Z − ZA ⎞
tg ⎜ B
⎟
QB − QA
2
⎠ = ...
= ⎝
δ⎞
(QA + QB + 2 R )
⎛
tg ⎜100 g − ⎟
2⎠
⎝
ZA
⎛ Z − ZA ⎞ ⎛δ ⎞
... = tg ⎜ B
⎟ ⋅ tg ⎜ ⎟
2 ⎠ ⎝2⎠
⎝
Considerando che
δ=
d
R
è in genere molto piccolo
si accetta l’approssimazione
tg
δ
2
=
δ
2
9
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZB
Inoltre, data la quota media dei due
punti:
QA + QB
QM =
2
ZA
si giunge alla:
QB − QA
⎛ Z − ZA ⎞ δ
= tg ⎜ B
⎟⋅
2 ⋅ (QM + R )
2 ⎠ 2
⎝
e ancora (ricorda: δ=d/R):
QB − QA
d
⎛ Z − ZA ⎞
= ⋅ tg ⎜ B
⎟
2 ⎠
⎛ Q ⎞ R ⎝
R ⋅ ⎜1 + M ⎟
R ⎠
⎝
10
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
ZB
e in fine alla:
⎛ Q
Q B − Q A = d ⋅ ⎜1 + M
R
⎝
1
⎞
tg
(Z B − Z A )
⋅
⎟
2
⎠
ZA
Osservazioni:
•Le distanze zenitali devono essere “reciproche”,
cioè misurate da due soli punti, che fungono da
punto di stazione e punto di collimazione allo
stesso tempo
•Il metodo è oneroso dal punto di vista logistico: due
strumenti, due operatori esperti per l’esecuzione
contemporanea di 2 misure
•Il caso più frequente vede l’esecuzione di una sola
misura angolare (ZA e ZB sono evidentemente correlate
tra loro)
11
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Lettura dall’estremo A
•Poiché ora ZB si esprime come:
d
Z B = 200 + δ − Z A = 200 + − Z A
R
g
ZA
g
la formula per il calcolo del dislivello assume
la forma
⎛ Q
QB − Q A = d ⋅ ⎜1 + M
R
⎝
1
d
⎞
g
⋅
+
− 2⋅ZA)
tg
(
200
⎟
2
R
⎠
e con qualche semplice trasformazione…
d
⎛ Q ⎞
Q B − Q A = d ⋅ ⎜ 1 + M ⎟ ⋅ ctg ( Z A +
)
R ⎠
2R
⎝
12
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Lettura dall’estremo A
•Si noti che il valore QM/R è molto
piccolo e può in genere essere
trascurato
ZA
Osservazione
•In realtà l’ipotesi iniziale circa la rettilineità
del raggio ottico congiungente i due punti
non è verificata a causa del fenomeno della
RIFRAZIONE ATMOSFERICA
13
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica
•La densità dell’aria diminuisce con
la quota e con la densità
diminuisce il coefficiente di
rifrazione (K)
•Il raggio ottico si propaga in un
mezzo con indice di rifrazione
variabile e subisce continue
rifrazioni, tanto che la sua
traiettoria diviene una linea curva
•L’angolo zenitale misurato, o
angolo apparente, non corrisponde
a quello reale
ZA =ϕA +εA
δ
d
εA = KA ⋅ = KA ⋅
2
2R
14
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica
•L’espressione generale diventa
1− K
⎛ QM ⎞
Q B − Q A = d ⋅ ⎜1 +
⋅d)
⎟ ⋅ ctg (ϕ A +
R
2
R
⎝
⎠
espressione valida per d > 2 km
In alternativa, ricorrendo agli sviluppi
in serie di Taylor per la cotangente e
considerando che la distanza zenitale
è sempre prossima 100g si giunge
alla forma:
1− K 2
⎛ QM ⎞
Q B − Q A = d ⋅ ⎜1 +
⋅d
⎟ ⋅ ctg ϕ A +
R
2
R
⎝
⎠
15
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
La rifrazione atmosferica
⎛ Q
Q B − Q A = d ⋅ ⎜1 + M
R
⎝
1− K 2
⎞
ctg
⋅
ϕ
+
⋅d
⎟
A
2R
⎠
espressione valida per d < 2 km
L’ultimo termine della formula è
trascurabile fino a 0,5 km: e vale
17mm a 500m
16
Misura dei dislivelli: livellazione trigonometrica
Osservazioni conclusive
•Le relazioni ricavate forniscono il
dislivello tra il centro del teodolite e
il segnale colimato
•Per riportarsi ai punti a terra basta
aggiungere il termine
(hstr-hpr)
•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici
cresce proporzionalmente alla distanza d
per distanze modeste.
•L’errore di misura dei dislivelli trigonometrici
cresce proporzionalmente al quadrato della
distanza d per i percorsi più lunghi
•Possibili fonti di errore: K, f, d, anche se oggi
non esiste praticamente più l’errore di misura
della distanza…
17
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Livellazione “dipendente” dalla
distanza tra A e B
•Impiegata nella misura di dislivelli per
scopo cartografico:
– Rilievi di dettaglio
– Vertici di poligonali topografiche
•Distanze massime di qualche
centinaio di metri
•Distanze massime di qualche
centinaio di metri
Livellazione con “tacheometro”:
•Il tacheometro non è altro che un
teodolite di scarsa precisione (1C)
18
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
IN DISUSO, METODO STORICO DA CELERIMENSURA
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B
•Impiegata nella misura di dislivelli per scopo cartografico:
– Rilievi di dettaglio
– Vertici di poligonali topografiche
•Distanze massime di qualche
centinaio di metri
•Distanze massime di qualche
centinaio di metri
Livellazione con “tacheometro”:
•Il tacheometro non è altro che un
teodolite di scarsa precisione (1C)
19
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Livellazione “dipendente” dalla distanza tra A e B
•Stadia verticale in B
•Si eseguono 3 letture sulla stadia (in corrispondenza ai tratti del reticolo
distanziometrico) L,L1 e L2
•Si misura la distanza zenitale f sul cerchio verticale
•Si rileva l’altezza strumentale h
20
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
Con semplici considerazioni geometriche, dalla figura:
Δ AB = Q B − Q A = BB 0 = BO L0 + δ q − l0 = h + d ⋅ ctg ϕ − l0
Come si calcola la distanza d?
21
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
La distanza è calcolata con distanziometri EODM disponendo di prisma
riflettente posto ad altezza da terra
In realtà viene misurata la distanza inclinata d’ e da questa si risale
alla distanza ridotta all’orizzontale
d = d '⋅sen ϕ
22
Misura dei dislivelli: livellazione “tacheometrica”
La forma finale è la seguente:
Δ AB = Q B − Q A = h + d '⋅ cos ϕ − l0
Si ottengono SQM di qualche cm su distanze di 100 metri.
L’errore è minimo con visuale orizzontale e supera il decimetro con
visuali inclinate.
23
Precisione della livellazione trigonometrica
Grandezze in gioco:
NOTE:
σ d ,σ K,σϕ
Errori (scarti) quadratici medi sulla misura della
distanza d, sulla stima del coefficiente di
rifrazione K e sulla misura dell’angolo zenitale f
INCOGINTA:
σΔ
Errore (scarto) quadratico medio sul calcolo del
dislivello DAB
Si ottiene partendo dall’espressione semplificata (valida per distanze
inferiori a 2 km)
1− K 2
⎛ Q ⎞
Q B − Q A = d ⋅ ⎜ 1 + M ⎟ ⋅ ctg ϕ A +
⋅d
R ⎠
2R
⎝
24
Precisione della livellazione trigonometrica
1− K 2
⎛ Q ⎞
Δ AB = Q B − Q A = d ⋅ ⎜ 1 + M ⎟ ⋅ ctg ϕ A +
⋅d
R ⎠
2R
⎝
Operando le derivate rispetto alle quantità che rappresentano i fattori di
incertezza:
⎛1− K ⎞
⎛ ∂Δ AB ⎞
2
ϕ
≅
+
⋅d ⎟
ctg
⎜
⎟
⎜
A
⎠
⎝ 2R
⎝ ∂d ⎠
2
⎛ d2 ⎞
⎛ ∂Δ AB ⎞
⎟⎟
⎜
⎟ ≅ ⎜⎜ −
⎝ ∂K ⎠
⎝ 2R ⎠
2
⎛ ∂Δ AB
⎜⎜
⎝ ∂ϕ A
2
2
2
2
⎞
⎛
1 ⎞
2
⎟⎟ ≅ ⎜⎜ −
⎟
d
⋅
2
⎟
⎠
⎝ sen ϕ A ⎠
25
Precisione della livellazione trigonometrica
Considerando che
⎛1− K ⎞
⋅d ⎟ → 0
⎜
2
R
⎝
⎠
2
E che le visuali sono prossime a 100g (quindi senf Æ1),
si ottiene
2
⎛d ⎞
⎟⎟ ⋅ σ k2 + d 2 ⋅ σ ϕ2 = ...
σ = ctg ϕ A ⋅ σ + ⎜⎜
⎝ 2R ⎠
2
2
Δ
2
2
d
2
2
⎛
σ
d
2
2
2
2⎞
d
... = d ⋅ ⎜⎜ ctg ϕ A ⋅ 2 +
⋅ σ k + σ ϕ ⎟⎟.
2
4R
d
⎝
⎠
26
La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Si consideri la situazione seguente
•Stazione sul colle Maddalena a Brescia
•Quota del punto di stazione 700
metri sulla pianura padana
(supposta a quota nulla per
semplicità)
•Quanto vale l’angolo zenitale in A
e quanto la distanza massima
AB=d perché sia possibile la
collimazione di B da A?
27
La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Il problema presenta due incognite,
servono pertanto due equazioni
•Dati:
R=6378 Km
K=0,15
QA= 700 m
QB= 0 m
AÆB
1− K 2
⎛ Q ⎞
Δ AB = Q B − Q A = d ⋅ ⎜ 1 + M ⎟ ⋅ ctg ϕ A +
⋅d
R
2
R
⎝
⎠
BÆA
1− K 2
⎛ Q ⎞
Δ BA = Q A − Q B = d ⋅ ⎜ 1 + M ⎟ ⋅ ctg ϕ B +
⋅d
2R
R ⎠
⎝
28
La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Si accetta l’approssimazione fB=100g
e mettendo a sistema le due relazioni
precedenti si ha
⎧
350 ⎞
0 .85
⎛
2
⎪ − 700 = Q B − Q A = d ⋅ ⎜ 1 + 6378000 ⎟ ⋅ ctg ϕ A + 2 ⋅ 6378000 ⋅ d
⎝
⎠
⎪
⎨
0 .85
⎪700 = Q − Q = d ⋅ ⎛⎜ 1 + 350 ⎞⎟ ⋅ ctg ϕ +
⋅d2
A
B
B
⎪⎩
6378000 ⎠
2 ⋅ 6378000
⎝
Dalla seconda
d=
0 .7 ⋅ 2 ⋅ 6378
= 102 .494 km
0 .85
29
La livellazione trigonometrica: il problema dei fari
Dalla seconda equazione del sistema:
350
⎛
− 700 = 102494 ⋅ ⎜ 1 +
6378000
⎝
0 .85
⎞
⋅ 102494 2
⎟ ⋅ ctg ϕ A +
2 ⋅ 6378000
⎠
e quindi
ctg ϕ A = − 0 .013658638
arcctg ( − 0 .013658638 ) =
− 99 .1305 g + 200 g = 100 .8695 g = ϕA
Rifrazione atmosferica
δ
d
102494
= 0.15 ⋅
=
2
2R
2 ⋅ 6378000
= 0 .001205245 rad = 0 .0767 gon
ε =K⋅
=K⋅
30