LE 4 EQUAZIONI PIÙ FAMOSE DELLA FISICA
CLASSICA
dr.ing.Alberto Sacchi
Sviluppo Progetti Avanzati srl- R&D dep.
[email protected]
Sono passati esattamente 150 anni da quando J.Clark Maxwell presentò in A
Dynamical Theory of the Electromagnetic Field le 4 equazioni più famose della
Fisica Classica.
Nel frattempo sono nati i telefoni cellulari, la TV digitale, i forni a microonde, il
radar ed il navigatore GPS, ma le 4 equazioni sono rimaste un enigma composto da
misteriosi simboli ed antiche lettere greche.
Almeno per la maggior parte del pubblico.
Poi nacque il problema dell’Etere; ancora una quindicina di anni or sono i
commentatori televisivi dividevano le notizie tra quelle giunte “via cavo” da quelle
giunte “via Etere”.
Ci sono voluti altri 85 anni, cioè da “Elettrodinamica dei corpi in movimento” del
1905 di A. Einstein, per parlare di Campo.
Oggi è normale udire la frase: “…. non ti ricevo bene; qui non c’è Campo!”
Cosa sia esattamente poi il Campo non è concetto comune.
Vettori e Scalari sono enti da V Liceo, ma cosa sia la Divergenza, il Gradiente od il
Rotore di un vettore, rimane concetto oscuro se non addirittura misterioso.
Eppure oggi tutta la tecnica con cui abbiamo a che fare: dalla più comune delle
radiografie alla TAC, dalla TV stereoscopica al web in fibra ottica, dal forno a
microonde al telecomando del cancello basano il loro funzionamento sulle 4
Equazioni di Maxwell.
Ed è con l’obiettivo di illustrarle ad un pubblico non avvezzo all’Analisi
Differenziale Vettoriale ma non privo delle nozioni elementari di derivata ed
integrale, che è redatto il presente scritto.
La presentazioni in forma integrale delle Equazioni ne facilita la comprensione
mentre, in calce ad ogni paragrafo ed in caratteri ridotti, ne viene anche ricavata la
forma differenziale, non essenziale per una comprensione intuitiva.
Le Equazioni di Maxwell sono la trasposizione in linguaggio matematico simbolico
dei risultati sperimentali raggiunti durante il XIX secolo da grandi personaggi quali
Ampere, Faraday, Biot e Savart, Oersted, Coulomb e tanti altri; un lettore attendo
potrebbe obiettare che il lavoro di Maxwell non ha generato altro che una enorme
complessità formale in leggi semplici ed intuitive comunque preesistenti.
Se questa osservazione è almeno parzialmente condivisibile per le prime due
Equazioni, ciò non è per la III e la IV che hanno portato, da un lato alla Relatività
Ristretta e dall’altro allo sviluppo delle telecomunicazioni.
Tale affermazione è chiarita nei due ultimi paragrafi del presente scritto.
Infine una osservazione: dei numerosi teoremi di analisi differenziale vettoriale
utilizzati nello sviluppo delle Equazioni in forma locale non si è fornita una
dimostrazione ma si è provveduto, per semplicità, a fornirne solo una interpretazione
intuitiva.
Il concetto di Campo
Scriveva Isaac Newton in una lettera a Benteley: “Non si può comprendere come la
materia bruta ed inanimata possa, senza mediazione di qualche cosa che non sia
materia, agire su altra materia e modificarla senza mutuo contatto a migliaia di
miglia di distanza”
Per Newton il paradosso derivava dalla stessa Legge di Gravitazione che ben spiega
l’entità dell’interazione tra due masse poste a distanza, ma non ne chiarisce la causa
ultima.
Il problema della Azione a Distanza, senza intermediazione di alcun mezzo materiale,
perseguitò le mente di filosofi e scienziati per secoli.
In un ben diverso contesto, cioè in occasione sul dibattito relativo al noto esperimento
mentale EPR, Einstein definiva “paradossale azione a distanza” la trasmissione di
informazioni a distanza ed a velocità infinita.
Campo è il dominio dell’Insieme dei valori assunti da una grandezza scalare o
vettoriale
Per campi di forza, quali il campo gravitazionale, elettrico o magnetico, Campo può
essere definito come: la regione di spazio entro cui è rilevabile l’azione (la forza)
prodotta da un corpo generatore del Campo su di un corpo di prova.
Euristicamente si può immaginare che il Generatore del campo, intervenga sullo
spazio in modo che il corpo di prova possa localmente rilevare tale intervento.
Tipico esempio di Campo Scalare è quello termico; in ogni punto dello spazio è
rilevabile termometricamente l’esistenza della grandezza scalare “temperatura”,
mentre tipico esempio di Campo Vettoriale è il campo Gravitazionale che richiede la
rilevazione locale di intensità (modulo), direzione e verso del vettore campo, cioè
della forza esistente in quel punto.
La prima Equazione
La prima equazione in forma integrale recita: il flusso del Campo Elettrico
(attraverso una superficie chiusa) è proporzionale alla carica che lo ha generato.
Φ (E ) =
dove:
Φ (E )= flusso vettore E
E = vettore campo elettrico
1/ε0 = fattore di proporzionalità
Q
ε0
(1.1)
Il Vettore E rappresenta la forza attrattiva o repulsiva che la carica Q esercita su di
una carica q posta nel luogo ove si desidera rilevare il campo, sulla scorta delle Legge
di Coulomb:
F =k
Qq
r3
(1.2) Legge di
r
Coulomb
r = distanza Q-q
r = versore di r
Posto q=1 = carica di prova unitaria, si ha:
F =E =k
Q
r3
r
(1.3)
o, in forma scalare:
E =k
Q
2
(1.4)
r
Il flusso Φ (E ) attraverso una generica superficie Σ rappresenta la somma degli
infiniti vettori E attraversanti ortogonalmente la superficie Σ (FIG 1a).
Scelta per semplicità una superficie sferica di raggio r si avrà:
Σ= 4πr2
e quindi:
Φ (E ) = ∫ EdΣ = 4πr 2 E = 4πr 2 k
Σ
Q Q
=
r2 ε0
(1.5)
avendo posto:
1/ε0 = 4πk
Dal Principio di conservazione del flusso è sempre possibile racchiudere la carica Q e
la sfera 4πr2 entro una superficie chiusa Σ che venga attraversata dallo stesso flusso
relativo alla superficie sferica 4πr2. (FIG 1)
Dalla (1.5)
Φ (E ) =
Q
ε0
(1.6) I Equazione di
Maxwell
Espressa in termini banali la I Equazione afferma che: la forza totale (ФE) generata
da una carica Q dipende solo (è proporzionale a) da Q.
Q
Σ
4π r2
FIG.1
------------------------------------------------------------------------------------------------------in forma differenziale la I equazione si presenta come;
∇E =
essendo:
∇=
ρ
ε0
(1.7)
∂
∂
∂
+
+
∂x ∂y ∂z
ρ = dQ/dV
(1.8) operatore laplaciano Nabla
(1.9) densità di carica = carica per unità
di volume
La (1.7) è ricavabile dalla (1.6) applicando il Teorema della Divergenza, meglio
noto come Teorema di Gauss- Green che stabilisce che:
il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa è uguale alla sua divergenza
estesa al volume recchiuso da tale superficie
Φ (E ) = ∫ EdΣ = ∫ divEdV
Σ
(1.10)
V
La dimostrazione di tale teorema è piuttosto complessa; intuitivamente esso
esprime il concetto di conservazione del flusso.
Infatti è intuitivo pensare alla divergenza di un vettore in un punto come
l’indicatore di quanto tale vettore si allontani (diverga) da quel punto.
Estendendo il ragionamento a tutti gli infiniti punti del volume V, cioè
integrando rispetto a V, si ottiene la (1.10)
Dalla (1.6) e dalla (1.10) si ricava:
Φ (E ) =
Dalla (1.9)
ρ=
Q
ε0
= ∫ EdΣ = ∫ divEdV
Σ
dQ
dV
(1.11)
V
ossia dQ = ρdV e quindi:
Q = ∫ ρdV
V
La (1.11) diviene quindi:
∫ divEdV =
V
Q
ε0
=
1
ε 0 V∫
ρdV
(1.12)
Essendo entrambi gli integrali estesi al medesimo volume V dovranno essere
uguali anche le funzioni integrande, cioè:
divE =
ρ
ε0
I Equazione di Maxwell in
forma differenziale
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
La seconda Equazione
La I Equazione che definisce il Campo Elettrico fu riproposta attorno al 1785 dalla
stesso C. Augustin Coulomb anche per il Campo Magnetico.
F = k'
Pp
r3
r
dove:
P = carica magnetica unipolare generante il campo
p = carica unipolare di prova
F = vettore forza agente su p
r = distanzta P-p
r = versore di r
k’ = coeff. di proporzionalità
(2.1)
Sotto il profilo “quantitativo” la (2.1) fornisce una corretta valutazione di F, sulla
scorta di verifiche sperimentali effettuate dallo stesso Coulomb mediante bilancia di
torsione e magneti ad alto sviluppo lineare.
Era infatti essenziale simulare magneti unipolari ponendo, sul medesimo magneti, i
due poli (estremità) alla massima distanza possibile in modo da minimizzare l’azione
del polo opposto. (FIG. 2a).
Abbandonata la definizione di Campo Magnetico sulla scorta della (2.1) per la
inesistenza di monopoli magnetici, fu adottata la definizione derivante dalla Legge di
Lorentz.
Magnete P
F = qµ 0 v xB
B = qµ 0 v xF
(2.2)
(2.3)
da cui
FIG.2
Magnete p
Magnete P
Equivalente unipolare
Con riferimento alla (2.3) si ha.
B = campo magnetico
q= carica elettrica di prova
v = velocità di q rispetto a B
Per definizione di flusso (Il Φ (B ) attraverso una generica superficie Σ rappresenta la
somma degli infiniti vettori B attraversanti ortogonalmente la superficie Σ) si ha:
Φ (B ) = ∫ BdΣ
(2.4)
Σ
inteso come positivo se entrante nella superficie chiusa Σ e negativo se uscente.
Il teorema di Gauss (Teorema del flusso) afferma che: il flusso di un vettore
attraverso una superficie chiusa Σ è indipendente dalla posizione delle sorgenti di
campo interne a Σ.
Poiché è sempre possibile definire una superficie chiusa Σ contenente i poli N ed S di
P sarà:
Φ (B )uscente = Φ (B )entrante
ossia:
Φ (B ) = 0
(2.5) II Equazione di Maxwell
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
La forma differenziale della II Equazione prende le mosse dal teorema della
Divergenza:
il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa è uguale alla sua divergenza
estesa al volume chiuso da tale superficie
Φ (B ) = 0 = ∫ BdΣ = ∫ divB dv
Σ
(2.6)
V
Affinché sia nullo l’integrale della divergenza deve essere nulla anche la
funzione integranda cioè:
divB = 0
La div. di un generico vettore A è definita come:
(2.7)
∂A( x, y, z ) ∂A( x, y, z ) ∂A( x, y, z )
+
+
= ∇A
∂x
∂y
∂z
Ne segue che la (2.7) può essere scritta come:
divA =
∇B = 0
per la (1.8)
II Equazione di Maxwell in
forma differenziale
------------------------------------------------------------------------------------------------------La terza equazione
La III Equazione di Maxwell è la riscrittura in linguaggio matematico simbolico
formale del famoso esperimento di Farady del 1831 noto come “induzione
magnetica” o Legge di Farady-Neumann.
Essa afferma che: La Forza Elettromotrice Indotta (Fem) da un campo magnetico B,
in una linea chiusa (circuito) confine della superficie attraversata dal flusso B è
proporzionale all’opposto della variazione nel tempo di B
1 ∂Φ (B )
(3.1)
µ 0 ∂t
Il segno meno indica che Fem si oppone alla variazione di Ф(B).
Fem = −
Per definizione di flusso:
Φ (B ) = ∫ B dΣ
(3.2)
Σ
dove Σ rappresenta la superficie attraversata da Ф.
La Fem generata da una carica Q è definita come il lavoro compiuto dal campo E
creato da Q durante il suo spostamento lungo una linea chiusa (circuito o spira)
(FIG.3)
Fem = ∫ E dl
(3.3)
L
Dalla (3.1) e (3.3) si ricava:
Fem = −
1 ∂Φ (B )
= ∫ E dl
µ 0 ∂t
L
(3.4) III Equazione di Maxwell
magnete
Spira = linea chiusa = circuito
Σ
galvanometro
FIG.3
Una ovvia osservazione porta a considerare la variazione di flusso come dovuta sia ad
una variazione della sua intensità (cioè del modulo di B) che ad una variazione
dell’area Σ attraversata da B.
Poiché
∂Φ(B ) ∂ (ΣB) ∂Σ
Φ ( B ) = ΣB derivando
=
=
B
(3.5)
∂t
∂t
∂t
ne deriva che sia la variazione di B rispetto al tempo con Σcostante che la variazione
di Σ rispetto al tempo con B= costante portano al medesimo risultato, cioè:
1 ∂
1 ∂B
1 ∂Φ (B )
=BdΣ = dΣ
∫
µ 0 ∂t Σ
µ 0 Σ∫ ∂t
µ 0 ∂t
III Equazione di Maxwell (3.5.1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Rot è un operatore funzionale agente sul generico vettore A corrispondente
all’indicazione di quanto A ruoti attorno ad un punto.
Esso è definito da:
Fem = −
∂Ay ∂Ax
∂Ay ∂Ax ∂Az
∂A
k
i +
rotA = z −
−
−
j +
∂z ∂z
∂x
∂ y
∂x
∂x
dove i, j e k rappresentano i versori degli assi cartesiani x.y.z ed Ai sono le
componenti del vettore A secondo x,y,z.
Ricordando che operatore ∇ = Nabla è la somma delle derivate parziali di A
secondo gli assi (vedere (1.8)) si ha:
rotA = ∇xA
(3.6)
Il Teorema del Rotore noto come teorema di Klein afferma che: l’integrale del
rotore di un vettore A esteso alla superficie S uguaglia l’integrale di linea chiusa di
A lungo una linea L costituente il confine di S.
∫ rotA ds = ∫ A dl
S
(3.7)
L
Mediante tale Teorema è possibile trasformare un integrale di linea (L) in un
integrale di superficie per cui la (3.3) Fem = ∫ E dl diviene ∫ rotE dΣ e quindi:
Σ
L
Fem = ∫ E dl = ∫ rotE dΣ = −
Σ
L
∂B
1
dΣ
µ 0 ∫ ∂t
per la (3.5.1)
Σ
ovvero:
rotE = ∇xE = −
avendo uguagliato le
d’integrazione, cioè Σ.
funzioni
1 ∂B
µ 0 ∂t
III Equazione di Maxwell
integrande
sotto
il
medesimo
campo
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
La quarta Equazione
La IV Equazione corrisponde alla sintesi della Legge di Faraday-Neumann con la
Legge di Ampere che afferma: l’integrale lungo una linea chiusa del Campo
Magnetico è uguale alla somma delle correnti con essa concatenate.
∫ B dl = µ0 ∑ in = µ0 I
(4.1)
n
L
In termini operativi: una corrente I genera un campo magnetico le cui linee di forza
sono concatenate con il conduttore in cui circola I. (FIG:4a)
La corrente è costituita dal flusso ordinato dei portatori di carica (per un conduttore
solido = elettroni) attraverso una superficie e nell’unità di tempo:
i=
dalla (1.5)
∂Q
∂t
Φ( E ) =
(4.2)
Q
ε0
per cui Q = Φ ( E )ε 0
derivando rispetto al tempo:
∂Q ∂Φ ( E )
=
∂t
∂t
∂Q
=i
per la (4.2) quindi:
∂t
∂Φ ( E )
is =
definita corrente di spostamento (4.3)
∂t
Ma:
Si consideri ora un circuito in cui vi sia un condensatore; si rileva sperimentalmente
che durante la fase di carica e scarica dello stesso ai sui terminali si rileva una
corrente. (FIG. 4b).
Maxwell stabilisce che: anche nel vuoto esiste una corrente di spostamento generata
dalla variazione nel tempo del campo elettrico
∫ B dl = µ0 ∑ in = µ0 I + ε 0
n
L
∂( E )
(4.4) IV Equazione di Maxwell
∂t
I
I
B
FIG.4a
Analogamente alla (3.5.1) che indicava:
FIG 4b
∫ rotE dΣ = ∫ E dl
Σ
si ha:
(3.5.1)
L
∫ rotB dΣ = ∫ B dl
Σ
(4.5)
L
quindi la (4.4), cioè la IV Equazione in forma integrale, diviene:
∫ rotB dΣ = ∫ B dl = η 0 I + ε 0η 0
Σ
L
∂( E )
∂t
(4.6) od anche
per la (3.6)
∇xB = η 0 I + ε 0η 0
∂( E )
∂t
che rappresenta la IV Equazione di Maxwell in forma differenziale.
------------------------------------------------------------------------------------------------------Elettromagnetismo e Relatività
Scriveva Albert Einstein nella introduzione al famoso scritto “Elettrodinamica dei
corpi in movimento” pubblicato nel 1905 su Annalen der Physik ““E’ noto che
l’elettrodinamica di Maxwell - come la si interpreta attualmente -nella sua
applicazione ai corpi in movimento porta a delle asimmetrie, che non paiono essere
inerenti ai fenomeni.
Si pensi per esempio all’interazione elettromagnetica tra un magnete e un
conduttore.
I fenomeni osservabili in questo caso dipendono soltanto dal moto relativo del
conduttore e del magnete, mentre secondo l’interpretazione consueta i due casi, a
seconda che l’uno o l’altro di questi corpi sia quello in moto, vanno tenuti
rigorosamente distinti. Se infatti il magnete è in moto e il conduttore è a riposo, nei
dintorni del magnete esiste un campo elettrico con un certo valore dell’energia, che
genera una corrente nei posti dove si trovano parti del conduttore.
Ma se il magnete è in quiete e si muove il conduttore, nei dintorni del magnete non
esiste alcun campo elettrico, e si ha invece nel conduttore una forza elettromotrice,
alla quale non corrisponde nessuna energia, ma che – a parità di moto relativo nei
due casi considerati – dà luogo a correnti elettriche della stessa intensità e dello
stesso andamento di quelle alle quali da luogo nel primo caso la forza elettrica.”
Analogamente si esprimeva R. Feynmann: “……..……. la "regola del flusso", per cui
la forza elettromotrice in un circuito è uguale al tasso di variazione del flusso
magnetico attraverso il circuito, si applica quando il cambiamento del flusso è
dovuto alla variazione dell'intensità del campo oppure al movimento del circuito
stesso (o entrambi i casi) [...] Nella nostra spiegazione della regola si erano
quando il circuito "si
utilizzate due leggi completamente distinte per i due casi:
∂B
per i "cambiamenti del campo". Non si conoscono altre
∂t
località della fisica in cui la reale comprensione di un così semplice ed accurato
principio generale richieda l'analisi di due fenomeni distinti.
muove" e ∇xE = −
E’ interessante notare che le variazioni nel tempo del campo elettrico possono
derivare sia dalla variazione dell’intensità del flusso di B (Ф(B) che da una variazione
dell’area Σ attraversata da B.
Cosa accade se il circuito con cui è concatenato il flusso è geometricamente
invariante, cioè se dΣ è identicamente nullo e, contemporaneamente è nullo dB è
stabilito dalla Legge di Lorentz:
F = q ( E + v xB )
(5.1)
Una chiara illustrazione del fenomeno è fornita da Elettromagnetismo e Relatività in
www. fisicamente.net
Equazione di D’Alembert
Per una immediata comprensione del comportamento delle onde elettromagnetiche è
opportuno fare riferimento a quello della corda vibrante, per procedere,
successivamente, alla sua estensione al caso tridimensionale.
Si consideri una corda vibrante ed, in funzione della modesta entità della
deformazione della sua geometria rispetto all’andamento rettilineo, si ammettono le
seguenti approssimazioni:
ds = dx = arco differenziale di curva = differenziale della sua ascissa
tg α = senα = dy/dx.
Si considerino due punti di ascissa x e x+dx e si calcolino le componenti verticali
della tensione T della corda in detti punti.
Con riferimento a (FIG 5) si ha :
- punto di ascissa x:
- Ty = -T senα = -Ttagα = − T
∂y
∂x
dove il segno meno deriva dall’orientamento dell’asse y
∂y
∂dy
- punto di ascissa x + dx
Ty = T tagβ = T dx + T
dx =
∂x
∂x
Nel tratto ds = dx il peso della corda è:
∂2 y
ρds.g = ρdx 2
∂t
con g = accelerazione di gravità
∂y ∂ 2 y
T + 2 dx
∂x ∂x
ρ = densità della corda
∂2 y
accelerazione verticale = g
2
∂t
α
T
G
Ty
β
x+dx
x
x
y
FIG.5
Il bilancio delle forze verticali è allora:
2
∂2 y
∂y
∂dy
∂
y
− T dx + T
dx + T 2 dx= ρdx 2
∂x
∂x
∂t
∂x
(6.1)
che, dopo ovvie semplificazioni, diviene:
ρ ∂2 y
∂2 y
=
T ∂t 2 ∂x 2
(6.2) Equazione di D’Alembert
Una estensione della Equazione di D’Alembert al caso tridimensionale porta a :
∂ 2 A( x, y, z , t )
∂x 2
dove:
+
∂ 2 A( x, y , z , t )
∂y 2
+
∂ 2 A( x, y , z , t )
∂z 2
=∇ A=k
2
∂ 2 A( x, y , z , t )
K = coefficiente funzione dei parametri critici del sistema
∂t 2
(6.3)
A = vettore rappresentante il modulo della intensità dell’onda
La equazione delle onde elettromagnetiche
Estendendo al Campo Elettrico ed al Campo Magnetico lì Equazione d’onda si
ottiene:
∇ E = (εµ )
2
∇ B = (εµ )
2
2
2
∂2E
∂t 2
∂2B
∂t 2
(7.1)
(7.2)
L’integrazione della equazione differenziale del II ordine, quale la (7.1) e la (7.2), è
stata risolta dallo stesso D’Alembert mediante la sostituzione delle variabili e,
soprattutto, osservando che qualsiasi autofunzione è soluzione dell’equazione.
Si definisce Autofunzione una equazione che, sottoposta ad un operatore
differenziale, ritorna identica a se stessa a meno, al più, di una costante.
Tipico esempio è la funzione:
∂e kx
kx
= ke kx
e dove:
∂x
∂ 2 e kx
e
= k 2 e kx
2
∂x
Anche le funzioni trigonometriche sen e cos sono Autofunzioni rispetto all’operatore
differenziale, così come lo è la loro combinazione lineare.
Peraltro derivare la equazione delle onde elettromagnetiche dalla equazione di
D’Alembert non è corretto poiché presuppone che sia E che B presentino
comportamento ondulatorio; affermazione da dimostrare.
Lo stesso Maxwell si rese conto dell’esistenza delle onde elettromagnetiche,
derivandone l’esistenza dalla 4 equazioni di campo
Analizzando il comportamento di E e di B nel vuoto si nota che in assenza di I e di Q
(che logicamente sono I =0 e Q =0) le Equazioni di Maxwell divengono:
∇xE = 0
∇.B = 0
I Equazione
II Equazione
∇xE = −
∂B
∂t
∇xB = µ 0ε 0
III Equazione
∂E
∂t
IV equazione
Per semplicità espositiva si consideri la propagazione unidirezionale secondo l’asse x
per un’onda polarizzata secondo il piano xz, ottenendo per la III e la IV Equazione:
∂E
∂B
∂B
∂E
=−
e
= εµ
∂x
∂t
∂x
∂t
sostituendo nella I equazione la funzione dB/dt con εμdE/dt ( dalla II Equazione) si
ottiene:
∂E
∂E
= −εµ
e derivando nuovamente rispetto ad
∂x
∂t
x,t (notando che E= E(x,t) per la non stazionarietà di E considerata)
−
−
∂2E
∂x 2
∂2B
= −(εµ )
2
= −(εµ )2
∂2E
∂t 2
∂2B
(7.3) ed analogamente per B
(7.4)
∂x
∂t 2
La (7.3) e la (7.4) sono esattamente identiche alla (7.1) e (7.2)
2
La soluzione generale delle Equazioni (7.1) e (7.2) è:
Φ (x,t) = F(x+ct) + G(x-ct) dove F e G sono autofunzioni arbitrarie.
Nel caso di onda monodirezionale secondo l’asse x ed armonica F e G divengono
funzioni trigonometriche:
Φ (x,t) = A cos(x+ct) + B sen(x-ct)
(7.5)
Derivando due volte la Φ (x,t) rispetto ad x e rispetto a t si verifica facilmente che le
due derivate seconde sono identiche salvo il fattore c2.
La (7.5) è quindi la equazione di un’onda elettromagnetica polarizzata secondo
al’asse z e propagantesi secondo l’asse x con velocità c2 = 1/εμ.
Trattasi infatti di una soluzione particolare, intuitivamente semplice ed illustrabile
graficamente in uno spazio tridimensionale (FIG.6)
Con riferimento a FIG.6 è tracciato in colore rosso l’andamento del vettore E
polarizzato secondo il piano ZX e propagantesi lungo x; in assenza di polarizzazione
E verrebbe ad assumere tutte le posizioni generate dalla sua rotazione (descritte
pertanto dall’operatore Rot) attorno all’asse x e visivamente rappresentate da
superfici pseudoconiche affacciate (FIG 6)
Analogamente per il vettore B che verrebbe a descrivere anch’esso una superficie
pseudo conica essendo peraltro in ogni istante normale ad E .
z
Vettore B
Vettore E
y
x
FIG.6
Le Equazioni (7.3) e (7.4) divengono allora:
∇ E =−
2
∂2E
(7.6)
∂t 2
∇ B = −(εη )
2
2
∂2B
∂t 2
Con maggior dettaglio si ottiene:
III Equazione di Maxwell ∇xE = −
∂B
∂t
(7.7)
IV Equazione di Maxwell ∇xB = ε 0 µ 0
∂E
∂t
Applicando l’operatore ∇ alla II Equazione si ottiene:
∂
∂B
∂B
∇x(∇xE ) = −∇ 2 xE = ∇x −
= −∇
= − (∇xB )
∂t
∂t
∂t
Riassumendo:
∇ 2 xE =
∂
(∇xB )
∂t
(7.8)
Dalla IV Equazione
∇xB = ε 0 µ 0
∇ 2 xE =
∂E
∂t
∂
∂E
ε 0η 0
∂t
∂t
∇ xE = ε 0 µ 0
2
∇ xB = ε 0 µ 0
2
quindi la (7.8) diviene:
∂2E
∂t 2
ossia
e analogamente per B
∂2B
∂t 2
Per un’onda unidirezionale polarizzata nel piano ZX per E e nel piano XY per B
si ha:
∂2E
∂x 2
= ε 0η 0
∂2E
∂2B
∂t 2
∂x 2
= ε 0 µ0
∂ 2B
∂t 2
La figura che segue indica l’andamento dei vettori E e B nonché la direzione x di
propagazione dell’onda elettromagnetica.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
z
Vettore E
Vettore B
y
x
