Ricavo della formula - Corsi di Laurea a Distanza

Dispositivi e Circuiti Elettronici
Ricavo della formula
EF i − EF = kBT ln
NA
ni
Si consideri la relazione di Shockey:
µ
¶
EFi − EF
p = ni exp
kB T
Si osservi anche che per x = ∞ il semiconduttore è neutro e la concentrazione di lacune p è pari al drogaggio p = NA . Sostituendo nella
equazione di Shockey si ottiene:
¶
µ
EFi − EF
NA = ni exp
kB T
e infine:
EF i − EF = kB T ln
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NA
ni
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1
φS ' 2φp in forte inversione
La analisi dettagliata della carica dello strato di inversione e della carica
presente nel metallo di un sistema MOS, in funzione del potenziale superficiale presente nel semiconduttore all’interfaccia con l’ossido, richiede la
soluzione della equazione di Poisson in funzione della tensione esterna applicata al gate. In questa equazione le cariche di elettroni e lacune devono
essere espresse in funzione del livello di Fermi attraverso le statistiche di
Boltzmann nel caso non degenere (più comune) o la statistica di Fermi
nel caso degenere. La soluzione è analiticamente complessa ed esula dagli
scopi di questo corso: il lettore interessato può trovare i dettagli nel testo
consigliato. Passando a esaminare i risultati che si ottengono da questo
tipo di analisi, si osservi la Fig. 1 dove è mostrato un esempio di soluzione
per un sistema MOS su silicio con substrato drogato NA = 1016 cm−3 .
L’andamento della carica totale nel metallo Qt e della carica nella regione
svuotata Qd sono rappresentate in funzione del potenziale superficiale φS .
Nella figura, al crescere del potenziale superficiale da valori negativi a valori
positivi, varia anche la regione di funzionamento del sistema MOS. Infatti
da sinistra a destra lungo l’ asse x si passa dalla condizione di accumulo
alla condizione di forte inversione, evidenziata in verde. Per comprendere
questa affermazione, si osservi in primo luogo che quando il potenziale
superficiale è nullo siamo nella condizione di banda piatta (carica nulla
e quindi differenza di potenziale nulla nella struttura). Per tensioni di
gate applicata inferiore alla tensione di banda piatta si ha la regione di
accumulo: in questa condizione il potenziale superficiale è negativo (come
si evince anche osservando il grafico del diagramma a bande del sistema
MOS in accumulo) e la carica totale Qt nel metallo è negativa.
Aumentando la tensione di gate al di sopra della tensione di banda piatta,
si entra invece nella regione di svuotamento dove il potenziale superficiale è
positivo (come si evince sempre dal diagramma a bande del sistema MOS
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|Q t|, C / c m
2
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1 0
-3
1 0
-4
1 0
-5
1 0
-6
1 0
-7
1 0
-8
- 0 .4
2
Q
Q
t
d
sv u o ta m e n to
2 f
a c c u m u lo
- 0 .2
0
0 .2
in v e r s io n e
p
0 .4
f S, V
0 .6
- 0 .8
1
Figura 1: Andamento della carica totale sul metallo Qt (linea blu) e della carica nella regione svuotata
Qd (linea rossa) in funzione del potenziale superficiale φS e per varie regioni di funzionamento. La regione
evidenziata in verde rappresenta la regione di forte inversione.
in svuotamento) e la carica totale nel netallo Qt è positiva. Si osservi
anche che fintanto che il potenziale superficiale rimane al di sotto dei valori
che corrispondono alla condizione di inversione, la carica sul metallo è
circa uguale ed opposta alla carica Qd presente nello strato svuotato di
semiconduttore. Questo è evidenziato in Fig. 1, dove è riportato anche
l’andamento della carica Qd in funzione di φS .
Infine, aumentando ancora la tensione di gate, il potenziale superficiale
continua ad aumentare fino a raggiungere la condizione di forte inversione,
ovvero fino al valore φS = 2φp . Si osservi dalla figura che in questa condizione la carica Qt sul metallo (linea blu) non è più coincidente con la
sola carica Qd (linea rossa), ma è invece molto maggiore di questa, poiché
ora è presente anche la carica Qn nello strato di inversione. Si osservi anche che la carica Qt dipende esponenzialmente dal potenziale superficiale
φS , mentre la carica Qd ha una debole dipendenza da φS (si dimostra che
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3
√
Qd ≈ φS ). Se ne deduce che anche la carica Qn , che è pari alla differenza
tra Qt e Qd , ha una dipendenza esponenziale da φS .
Da questi risultati si conclude che basta una piccola variazione del potenziale superficiale φS rispetto al valore di innesco della condizine di forte
inversione, 2φp , per far variare di diversi ordini di grandezza sia la carica
sul metallo Qt sia la carica nello strato di inversione Qn . La carica della regione svuotata del semiconduttore, Qd , varia invece molto poco nelle stesse
condizioni. In definitiva, nelle applicazioni che interessano in elettronica
si può a tutti gli effetti considerare che il potenziale superficiale sia approssimativamente costante e pari al valore 2φp . Utilizzare questo valore
nel calcolo della carica Qd non comporta errori significativi. Diversamente,
il calcolo della carica Qt e Qn in funzione del potenziale superficiale non
può essere effettuato con questa approssimazione. Queste cariche verranno infatti espresse direttamente in funzione della tensione di gate, rispetto
alla quale la dipendenza non è più di tipo esponenziale, ottendo infine la
relazione di controllo di carica.
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Ricavo della formula
qNAx2p
φS =
2²
Nel substrato del sistema MOS all’inversione la densità di carica ρ è rapprentata in figura:
x
r
-q N
p
x
A
Il campo elettrico E(x) nel semiconduttore si ottiene integrando l’equazione
di Gauss in forma differenziale:
dE
ρ
=
dx
²
(1)
Nella regione neutra x ≥ xp , dove ρ = 0, il campo elettrico è costante e in
particolare nullo. Nella regione svuotata 0 < x < xp , si ha
dE
qNA
=−
dx
²
(2)
ovvero
qNA
x + c1
²
Tenendo conto della condizione al contorno in x = xp , si ricava c1
E(x) = −
E(xp ) = −
In definitiva:
qNA
qNA
xp + c1 = 0 =⇒ c1 =
xp
²
²


E(x) =
−
 0
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qNA
² (x − xp )
0 < x < xp
(3)
(4)
(5)
x ≥ xp
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Noto E(x), il potenziale viene valutato utilizzando la definizione

 qNA (x − xp )
0 < x < xp
dϕ
²
= −E(x) =
 0
dx
x≥x
(6)
p
completata da una condizione al contorno, che corrisponde alla scelta del
riferimento di potenziale. Nel caso del sistema MOS si è scelto come riferimento di potenziale il terminale di substrato, per cui ϕ(x) = 0 per x ≥ xp .
Integrando invece la funzione −E(x) per 0 < x < xp si ottiene:
ϕ(x) =
qNA
(x − xp )2 + k1
2²
(7)
dove la costante k1 è definita dalla condizione di continuità del potenziale
in xp
ϕ(xp ) = k1 = 0
(8)
Il potenziale superficiale φS nel sistema MOS è quindi dato da:
φS = ϕ(x = 0) =
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qNA 2
x
2² p
(9)
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Ricavo della capacità per unità di area
In un condensatore a facce piane e parallele la capacità vale:
C=
²×A
t
dove:
• A è la superficie delle armature
• t è lo spessore del dielettrico utilizzato nel condensatore
• ² è la costante dielettrica del materiale utilizzato nel condensatore (² =
²0 ²r dove ²r è lacostante dielettrica relativa del materiale stesso)
Nel sistema MOS si considerano le cariche per unità di area e, di conseguenza, anche le capacità per unità di area. In questo caso occorre dividere la
capacità per la superficie delle armature, ottenendo:
C=
²
t
Infine, poiché nel sistema MOS il dielettrico è costituito da ossido di silicio,
la precedente relazione diventa:
Cox =
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²ox
tox
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Tabella delle costanti fisiche
- Carica dell’elettrone, q = 1, 602 · 10−19 C
- Massa dell’elettrone libero, m0 = 9, 11 · 10−31 Kg
- Permettività del vuoto, ²0 = 8, 854 · 10−14 F cm−1
- Costante di Boltzmann, kB = 8, 62 · 10−5 eV/K = 1, 3807 · 10−23 J/K
- Costante di Planck, h = 6, 625 · 10−34 J s = 4, 135 · 10−15 eV s
Tabella dei parametri fisici del silicio
- Energy gap Si a 300 K, EG = 1, 12 eV
- Affinità elettrica Si a 300 K, qχ = 4, 05 eV
- Densità efficace degli stati in banda di conduzione per il Si a 300 K,
Nc = 2, 8 · 1019 cm−3
- Densità efficace degli stati in banda di valenza per il Si a 300 K, Nv =
1, 04 · 1019 cm−3
- Concentrazione di elettroni liberi nel Si intrinseco a 300 K, ni = 1, 45 ·
1010 cm−3
- Costante dielettrica relativa del Si, ²S = 11, 7
Tabella dei parametri fisici del SiO2
- Energy gap SiO2 a 300 K, EG,ox = 9 eV,
- Costante dielettrica relativa del SiO2 , ²ox = 3, 9
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Tabella delle costanti fisiche
- Carica dell’elettrone, q = 1, 602 · 10−19 C
- Massa dell’elettrone libero, m0 = 9, 11 · 10−31 Kg
- Permettività del vuoto, ²0 = 8, 854 · 10−14 F cm−1
- Costante di Boltzmann, kB = 8, 62 · 10−5 eV/K = 1, 3807 · 10−23 J/K
- Costante di Planck, h = 6, 625 · 10−34 J s = 4, 135 · 10−15 eV s
Tabella dei parametri fisici del silicio
- Energy gap Si a 300 K, EG = 1, 12 eV
- Affinità elettrica Si a 300 K, qχ = 4, 05 eV
- Densità efficace degli stati in banda di conduzione per il Si a 300 K,
Nc = 2, 8 · 1019 cm−3
- Densità efficace degli stati in banda di valenza per il Si a 300 K, Nv =
1, 04 · 1019 cm−3
- Concentrazione di elettroni liberi nel Si intrinseco a 300 K, ni = 1, 45 ·
1010 cm−3
- Costante dielettrica relativa del Si, ²S = 11, 7
Tabella dei parametri fisici del SiO2
- Energy gap SiO2 a 300 K, EG,ox = 9 eV,
- Costante dielettrica relativa del SiO2 , ²ox = 3, 9
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Tabella delle costanti fisiche
- Carica dell’elettrone, q = 1, 602 · 10−19 C
- Massa dell’elettrone libero, m0 = 9, 11 · 10−31 Kg
- Permettività del vuoto, ²0 = 8, 854 · 10−14 F cm−1
- Costante di Boltzmann, kB = 8, 62 · 10−5 eV/K = 1, 3807 · 10−23 J/K
- Costante di Planck, h = 6, 625 · 10−34 J s = 4, 135 · 10−15 eV s
Tabella dei parametri fisici del silicio
- Energy gap Si a 300 K, EG = 1, 12 eV
- Affinità elettrica Si a 300 K, qχ = 4, 05 eV
- Densità efficace degli stati in banda di conduzione per il Si a 300 K,
Nc = 2, 8 · 1019 cm−3
- Densità efficace degli stati in banda di valenza per il Si a 300 K, Nv =
1, 04 · 1019 cm−3
- Concentrazione di elettroni liberi nel Si intrinseco a 300 K, ni = 1, 45 ·
1010 cm−3
- Costante dielettrica relativa del Si, ²S = 11, 7
Tabella dei parametri fisici del SiO2
- Energy gap SiO2 a 300 K, EG,ox = 9 eV,
- Costante dielettrica relativa del SiO2 , ²ox = 3, 9
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