C - Elettrotecnica

CAPITOLO 8
CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E
SINUSOIDALE
Nel presente Capitolo si considerano esclusivamente circuiti lineari in regime stazionario e in
regime sinusoidale (la maggior parte del Capitolo è dedicata ai circuiti in regime sinusoidale).
In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo, dopo l'esaurimento del transitorio, le tensioni
e le correnti sono costanti nel tempo se tutti i generatori sono costanti nel tempo (circuiti in regime
stazionario).
In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo alimentato da uno o più generatori sinusoidali
tutti con la stessa pulsazione ω, dopo l'esaurimento del transitorio, tutte le tensioni e le correnti sono
sinusoidali alla stessa pulsazione (circuiti in regime sinusoidale).
Molti circuiti operano in regime stazionario o in regime sinusoidale. Come si vedrà in seguito, se è
nota la risposta di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo ad un ingresso costante e ad un
ingresso sinusoidale di frequenza arbitraria, allora è possibile calcolare la risposta ad un segnale
arbitrario.
8.1 Circuiti in regime stazionario
Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N (figura 1), alimentato da soli
generatori costanti e si supponga che esso sia in regime stazionario (il transitorio si è estinto), quindi
tutte le tensioni e tutte le correnti sono costanti nel tempo. In questo caso le equazioni del circuito
diventano
 $a , = 
 %a 9 = dV k
I k = Ck
=0
dt
dI
Vk = Lk k = 0
dt
V k − R k Ik = 0
(1)
k = 1, 2, ..., n C ,
(2)
k = nC +1,..., n C + nL ,
(3)
k = n C + n L +1,..., n C + n L + n R ,
(4)
286
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
V k = E k = FRVW 
I k = J k = FRVW
dove
,
= I1 I2 I b T e
9
k = nC + n L + n R + 1 n C + nL + n R + n e k = n C + n L + nR + ne + 1 n C + nL + n R + n e + n j
(5)
= V1 V 2 Vb T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle
tensioni del circuito (useremo le lettere maiuscole per indicare correnti e tensioni che sono costanti
nel tempo), b = nC + n L + n R + n e + n j , $a e %a sono, rispettivamente, la matrice di incidenza e
una matrice di maglia, C k L k e R k sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze
del circuito, E k e J k sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei
generatori di corrente indipendenti ( E k e J k sono costanti nel tempo).
Figura 1
Circuito lineare, tempo invariante e dissipativo in regime stazionario (a) e circuito
resistivo equivalente (b).
Le correnti che circolano nei condensatori sono uguali a zero, perché le tensioni su di essi sono
costanti, e anche le tensioni degli induttori sono uguali a zero perché le correnti che in essi circolano
sono costanti. Pertanto, ogni volta che bisogna analizzare il funzionamento in regime stazionario di
un circuito dinamico, è possibile considerare il circuito resistivo equivalente Neq ottenuto
sostituendo nel circuito N a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito.
Il circuito resistivo equivalente può essere analizzato utilizzando i metodi illustrati nel Capitolo 5.
Per semplicità abbiamo considerato circuiti di soli condensatori, induttori, resistori e generatori
indipendenti; queste considerazioni valgono anche quando i circuiti contengono trasformatori ideali,
amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e più in generale elementi statici non
lineari. In quest'ultimo caso il circuito resistivo equivalente Neq è non lineare.
Procedura per la soluzione di un circuito in regime stazionario
(a)
Si sostituisca a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito.
(b)
Si risolva la rete di resistori, circuiti aperti, corto circuiti e generatori così ottenuta.
Esempio
Si consideri il circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo descritto in figura 2a. Esso è in
regime stazionario. Determinare le correnti I L e I che circolano, rispettivamente, nell'induttore L 1 e
nel resistore R 2 e la tensione V c del condensatore. I dati del problema sono
287
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
E = 10 R = 2 R1 = 4 R2 = 6 L = 1 µH L 1 = 10 µH C = 50 µF.
Il circuito resistivo equivalente è rappresentato in figura 2b. Questo circuito è stato ottenuto
sostituendo al posto dei due induttori un corto circuito e al posto del condensatore un circuito aperto.
La soluzione del circuito resistivo equivalente può essere ottenuta utilizzando le regole dei partitori e
delle equivalenze. Operando in questo modo si ottiene I = 25 27 I = 100 91 e V c = 4 4 . La
L
soluzione stazionaria è indipendente dai valori delle induttanze e delle capacità!
Figura 2 Circuito in regime stazionario (a) e circuito resistivo equivalente (b).
8.2
Circuiti in regime sinusoidale: i fasori
Si consideri, ora, un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N, pilotato da soli generatori
sinusoidali, tutti con pulsazione ω (ossia con frequenza f = ω / 2π ), e si supponga che esso sia in
regime sinusoidale, quindi tutte le tensioni e tutte le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo con
la stessa pulsazione dei generatori (il transitorio si è estinto). Il resto di questo Capitolo è dedicato
allo studio dei circuiti in regime sinusoidale.
In un circuito in regime sinusoidale ogni corrente e ogni tensione è una funzione sinusoidale del
tempo, cioè del tipo
a(t) = Am cos(ωt + φ) ,
(6)
dove l'ampiezza Am , la fase φ e la pulsazione ω sono costanti reali (la fase dipende dal riferimento
scelto per la “coordinata” temporale). L'ampiezza Am è assunta positiva. É possibile cambiare il
segno della a(t) attraverso la fase φ; è immediato verificare che
Am cos(ωt + φ + π) = − a(t) .
(7)
Per φ = − π / 2 la (6) diventa la funzione Am sin(ωt) ; in generale si ha:
Am sin(ωt + ϕ) = Am cos(ωt + ϕ − π / 2) .
(8)
La pulsazione ω è misurata nel Sistema Internazionale in rad/s e la frequenza f in Hz (hertz):
1Hz=1/(1s). La funzione (6) è una funzione periodica con periodo
T = 2π / ω
(è immediato verificare che a(t + T) = Am cos[ ω(t + T) + φ] = Am cos(ωt + φ) = a(t) ).
(9)
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Una volta che è stata fissata la pulsazione ω (che è imposta dai generatori), ogni tensione e ogni
corrente sinusoidale è caratterizzata da due e solo due grandezze, l'ampiezza Am e la fase φ . Per
questo motivo alla funzione sinusoidale (6) è possibile associare il numero complesso A (per un
breve richiamo sui numeri complessi vedi Appendice E), detto fasore rappresentativo della
funzione sinusoidale a = a(t) , secondo la regola:
iφ
A ≡ Am e .
(10)
Il punto cruciale è che questa regola produce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle
funzioni sinusoidali di pulsazione ω {a(t) = Am cos(ωt + φ) }1 definite dalla (6) e l'insieme dei
iφ
fasori rappresentativi { A = Am e
} definiti dalla (10). La sinusoide specificata dalla a(t) definisce
univocamente il fasore rappresentativo A ; d'altra parte il fasore A identifica univocamente la
funzione sinusoidale a(t) tramite la formula:
a(t) = Re{ A ei ωt } = Re{ Amei (ωt +φ) } = Am cos(ωt + φ) .
(11)
Questa corrispondenza biunivoca può essere illustrata attraverso l'espressione
{ a(t) = Am cos(ωt + φ)}
⇔
{ A = Am e i φ }.
(12)
Tutte le correnti e tensioni di un circuito in regime sinusoidale possono essere rappresentate
tramite i fasori. Si dimostrerà che l'analisi del circuito si può, allora, ricondurre alla risoluzione di
sole equazioni algebriche lineari (e non più equazioni algebriche e differenziali lineari), a coefficienti
complessi in cui le incognite sono i fasori rappresentativi (quindi numeri complessi e non funzioni
del tempo). Una volta determinati i fasori rappresentativi, attraverso la (12) si ricostruiscono le
funzioni sinusoidali nel dominio del tempo che descrivono l'andamento delle correnti e delle tensioni.
Questo è il metodo dei fasori detto, anche, metodo simbolico. Il metodo dei fasori si basa sulle
seguenti proprietà.
1. Proprietà di unicità
Due funzioni sinusoidali a(t ) = Am cos(ωt + φ), b(t) = Bm cos(ωt + ϕ) sono uguali se e solo se
sono uguali i relativi fasori rappresentativi A = Am e
a(t) = b(t)
⇔
iφ
, B = Bm ei ϕ ,
A =B.
(13)
Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la regola che associa alla funzione
sinusoidale il fasore rappresentativo dà luogo a una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle
funzioni sinusoidali a pulsazione ω e l'insieme dei numeri complessi.
2. Proprietà di linearità
Il fasore C che rappresenta la combinazione lineare
c(t) = α a(t) + β b(t)
1 Qui il simbolo {·} indica un insieme.
(14)
289
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
delle funzioni sinusoidali a(t) = Am cos(ωt + φ) e b(t) = Bm cos(ωt + ϕ) , dove α e β sono
coefficienti costanti reali, è uguale alla stessa combinazione lineare
C = α A+ βB
dei fasori A = Am e
Questa
iφ
(15)
e B = Bm e
proprietà
è
iϕ
che rappresentano le rispettive funzioni sinusoidali.
una
immediata
conseguenza
del
fatto
che
Re{α1 A1 + α 2 A2 } = α1 Re{ A1 }+ α 2 Re{ A2 } se α 1 e α 2 sono numeri reali. Una corrispondenza
biunivoca, per la quale vale la proprietà di linearità, prende il nome di isomorfismo lineare.
3. Regola di derivazione
A = Am e i φ è il fasore rappresentativo della funzione sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + φ) se e solo
se
B = iω A = ω Am e i(φ+ π/2 )
(16)
è il fasore rappresentativo della derivata prima di a(t) ,
b(t) =
da d
= [ Am cos(ωt + φ)] .
dt dt
(17)
Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che
d
[ Am cos(ωt + φ)] = −ω Am sin(ωt + φ) = ω Am cos(ωt + φ + π / 2) .
dt
8.3
(18)
Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori
Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in regime sinusoidale, con n nodi e
b lati. Volendo studiare il suo funzionamento si considerino, in primo luogo, le equazioni che
esprimono le leggi di Kirchhoff. Esse sono:
∑ h (±)i h (t) = 0 per ogni nodo,
∑ k (±)v k (t) = 0 per ogni maglia,
oppure
oppure
Aa i(t) = 0 ,
Ba v(t) = 0 ;
(19)
(20)
Aa è la matrice di incidenza, Ba è una matrice di maglia, i = (i 1,...,i b )T è il vettore rappresentativo
T
delle correnti del circuito e v = (v1 ,..., vb ) è il vettore rappresentativo delle tensioni. Le correnti e
le tensioni sono funzioni sinusoidali del tempo
i h (t) = Imh cos(ωt + φ h ) h = 1, 2, ..., b ,
v h (t ) = V mh cos(ωt + ϕ h ) h = 1, 2, ..., b .
(21)
(22)
Siano ( h = 1,2,...,b )
Ih = Imh e iφ ,
V h = Vmh ei ϕ ,
h
h
(23)
(24)
290
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni, rispettivamente (essi sono le correnti e le
tensioni del circuito nel dominio simbolico). Utilizzando la proprietà di linearità, dalle (19) e (20) si
ottengono le equazioni:
∑ h (± ) Ih = 0 per ogni nodo,
oppure
A I = 0,
(25)
∑ k (± )V k = 0 per ogni maglia,
oppure
B V = 0;
(26)
I = (I1,...,I b )T è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle correnti e
V = (V1 ,...,V b )T è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle tensioni.
Pertanto i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni verificano le leggi di Kirchhoff.
Il modulo e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della
corrente sono omogenei dimensionalmente a una corrente e quindi si misurano in ampere; il modulo
e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della tensione sono
omogenei dimensionalmente a una tensione e quindi si misurano in volt.
È evidente che, l'insieme dei fasori delle correnti I1 ,..., Ib (delle tensioni V1 ,...,V b ), verifica le
equazioni di Kirchhoff per le correnti (25) (le equazioni di Kirchhoff per le tensioni (26)), perché
l'insieme delle correnti i1 (t),...,i b (t) , (delle tensioni v1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di
Kirchhoff (20), (la seconda legge di Kirchhoff (21)). Per la proprietà di unicità si ha che, le correnti
i1 (t),...,i b (t) , (le tensioni v1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di Kirchhoff (20), (la seconda
legge di Kirchhoff (21)), se l'insieme dei fasori delle correnti I1 ,..., Ib , (delle tensioni V1,...,V b ),
verifica l'equazione di Kirchhoff per le correnti (25), (l'equazione di Kirchhoff per le tensioni (26)).
Si considerino ora le equazioni costitutive degli elementi costituenti il circuito. Per semplicità si
assuma che il circuito sia costituito solo da bipoli; ovviamente il metodo fasoriale vale anche se nel
circuito ci sono elementi lineari a più terminali, come i trasformatori ideali, i generatori controllati,
gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori e gli induttori accoppiati.
Le equazioni costitutive dei bipoli lineari e tempo-invarianti sono:
v k (t) − Ri k (t) = 0
dv k
− i k (t) = 0
dt
di
v k (t) − L k = 0
dt
C
resistori,
condensatori,
(27)
induttori,
e quelle dei generatori indipendenti sono:
v k (t) = Emk cos(ωt + α k )
generatore ideale di tensione sinusoidale,
i h (t) = J mh cos(ωt + β h )
generatore ideale di corrente sinusoidale.
(28)
Applicando le proprietà dei fasori, dalle (27) e (28) si ottengono ulteriori equazioni (tante quanti
sono i bipoli) per i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni. Per i bipoli lineari e tempoinvarianti esse sono
291
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
V k − R Ik = 0
resistori,
i ωCV k − Ik = 0
condensatori,
V k − i ωL I k = 0
induttori,
(29)
e per i generatori indipendenti esse sono
V k = E = Emk ei α k
Ih = J = Jmh e
i βh
generatore ideale di tensione simbolico,
(30)
generatore ideale di corrente simbolico.
Per converso, le (29) e (30) implicano, grazie alla proprietà di unicità e alla regola di derivazione,
rispettivamente, le (27) e (28).
A questo punto possiamo riassumere attraverso il quadro descritto in Tabella I. In questa tabella
sono riportate le equazioni circuitali nel dominio del tempo e nel dominio simbolico. Il simbolo ⇔
sta a indicare che le equazioni nel dominio del tempo implicano quelle nel dominio simbolico e
viceversa.
Tabella I Formulazione delle equazioni di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in
regime sinusoidale tramite i fasori.
dominio del tempo
dominio simbolico
i(t) = (i1 (t),...,i b (t))T
I = (I1,...,I b )T
v(t) = (v1 (t ),...,vb (t))T
V = (V1 ,...,V b )T
 A i(t) = 0

 Bv(t) = 0
 vk − R k i k = 0
C k dvk / dt − i k = 0
 v − L di / dt = 0
 k
k k
equazioni di Kirchhoff
⇔
AI = 0

 BV = 0
equazioni caratteristiche
V − R k Ik = 0
bipoli lineari tempo-invarianti  k
⇔
(i ωC k )V k − Ik = 0
V − (i ωL )I = 0
k
k k
equazioni caratteristiche
generatori ideali
 vk = e k (t) = Emk cos(ωt + α k )
⇔

i h = j h (t) = Jmh cos(ωt + β h )
V k = Ek = Emk e i α k

iβ
I h = J h = J mh e h
Le equazioni circuitali corrispondenti nel dominio dei fasori sono lineari e algebriche. È evidente,
allora, che conviene trasformare le equazioni circuitali del dominio del tempo nelle corrispondenti
del dominio simbolico, risolvere le equazioni algebriche del dominio simbolico e ricostruire, quindi,
la soluzione nel dominio del tempo attraverso la (12). La proprietà di unicità assicura che la
procedura fornisce la soluzione del problema originale.
292
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
8.3.1 Circuito di impedenze
Le equazioni circuitali nel dominio simbolico di un circuito in regime sinusoidale sono analoghe a
quelle di un circuito resistivo lineare. Si osservi che, le equazioni caratteristiche dei bipoli lineari nel
dominio simbolico sono tutte dello stesso tipo, cioè sono tutte riconducibili alla forma
V = ZÝI ,
(30)
dove la grandezza ZÝ è indipendente dal fasore della corrente e dal fasore della tensione, e vale
per il resistore di resistenza R,
R
1
ZÝ = 
per il condensatore di capacità C,
iωC
iωL per l' induttore di induttanza L;
(31)
ZÝ prende il nome di operatore di impedenza o semplicemente impedenza del bipolo
corrispondente, (Tabella II). L’inverso dell’impedenza YÝ = 1 / ZÝ prende il nome di ammettenza del
bipolo. Si noti che il valore dell’impedenza, e quindi anche dell’ammettenza, dipende, in generale, dal
valore della pulsazione ω.
Tabella II Impedenze dei bipoli lineari tempo invarianti elementari.
In generale l’impedenza ZÝ di un bipolo lineare e tempo-invariante funzionante in regime
sinusoidale è il rapporto tra il fasore rappresentativo della tensione e il fasore rappresentativo della
corrente (con la convenzione dell'utilizzatore),
V
ZÝ = .
I
(32)
Per la linearità l'impedenza ZÝ è indipendente sia dal fasore della tensione che da quello della
corrente. L'impedenza è, in generale, un numero complesso: la parte reale e la parte immaginaria, e
293
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
quindi anche il modulo, sono omogenei dimensionalmente con una resistenza e quindi si misurano in
ohm.
Osservazione
I fasori sono numeri complessi che rappresentano correnti e tensioni sinusoidali con una
pulsazione assegnata. Le impedenze, invece, sono numeri complessi che rappresentano le relazioni
tra le correnti e le tensioni dei bipoli quando esse variano nel tempo con legge sinusoidale alla
pulsazione ω. Per questa ragione all'impedenza si dà anche il nome di operatore di impedenza.
Le equazioni circuitali nel dominio simbolico possono essere interpretate come le equazioni di un
circuito ausiliario di natura “simbolica” così definito:
•
il grafo del circuito simbolico coincide con il grafo del circuito in regime sinusoidale in esame;
•
a ogni bipolo lineare corrisponde un “bipolo simbolico” con impedenza corrispondente
definita in base alle (31);
•
a ogni generatore di tensione indipendente sinusoidale con tensione e k (t) corrisponde un
“generatore di tensione simbolico” indipendente, con fasore Ek , e a ogni generatore di
corrente indipendente sinusoidale con corrente j k (t) corrisponde un “generatore di corrente
simbolico” indipendente, con fasore J h .
Il circuito “simbolico”
così definito prende il nome di rete di impedenze, (Tabella III). Esso
può essere inteso come il corrispondente nel dominio simbolico del circuito in regime sinusoidale in
esame nel dominio del tempo. Il modello matematico delle reti di impedenze è analogo a quello delle
reti di soli elementi statici lineari e generatori indipendenti, quindi possono essere risolte utilizzando
le metodologie descritte nel Capitolo 5.
Tabella III Rete di impedenze.
AI = 0

 BV = 0
V k − ZÝk Ik = 0
V k = Ek

 Ih = J h
equazioni di Kirchhoff
resistore
 R
equazioni caratteristiche ZÝk (iω) = 1 / (i ωC) condensatore
impedenze operatoriali
i ωL
induttore

equazioni caratteristiche
generatori indipendenti
294
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Procedura per la soluzione di un circuito Nω in regime sinusoidale
(a)
si costruisca la rete di impedenze
corrispondente;
(b)
si risolva la rete di impedenze
(c)
delle tensioni;
la soluzione della rete Nω in regime sinusoidale è data nel dominio del tempo da
: siano Ik , V k
k = 1, 2, ..., b i fasori delle correnti e
i k (t) = Re{Ik e i ωt }, v k (t ) = Re{Vk ei ωt } k = 1, 2, ..., b .
Se nel circuito in regime sinusoidale ci sono anche elementi lineari a più terminali, come i
trasformatori ideali, i generatori controllati, gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori
e gli induttori accoppiati, il metodo, che è stato appena illustrato, resta ancora valido. Le equazioni
caratteristiche nel dominio simbolico degli elementi statici sono le stesse del dominio del tempo. Le
equazioni caratteristiche degli elementi dinamici bisogna ricavarle applicando la regola della
derivazione. Ad esempio, le equazioni caratteristiche nel dominio simbolico del doppio bipolo che
descrive due circuiti accoppiati (trasformatore) sono:
V1 = i ωL1 I1 + iωM I2
(33)
V1 = i ωM I1 + i ωL 2 I2
dove L 1, L 2 e M sono, rispettivamente, i coefficienti di autoinduzione del circuito “1”, del circuito
“2” e il coefficiente di mutua induzione.
Ora illustreremo questa procedura attraverso un esempio.
Esempio
Si consideri il circuito in regime sinusoidale rappresentato in figura 3a. Applicheremo il metodo
simbolico per determinare la corrente i L (t) che circola nell'induttore. I dati del problema sono
j(t) = 2 sin(1000 t), R = 2, L = 2 mH, C = 0.25 mF . La pulsazione ω della corrente j(t) del
generatore di corrente è 1000 , l'ampiezza massima della corrente è 2, e la fase è uguale a − π / 2
(perché j(t) = 2 sin(1000 t) = 2 cos(1000 t − π / 2) ).
Figura 3
Rete in regime sinusoidale (a) e rete di impedenze corrispondente (b).
Si costruisca la rete di impedenze
(i)
(ii)
corrispondente (figura 3b), operando nel seguente modo:
ha lo stesso grafo orientato della rete in esame;
ad ogni bipolo lineare della rete in regime sinusoidale corrisponde una impedenza secondo la
tabella II;
295
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
(iii) al generatore indipendente di corrente corrisponde il generatore simbolico di corrente
caratterizzato dal fasore rappresentativo della corrente.
− i π/2
Il fasore J rappresentativo della j(t) è J = 2 e
= − 2i . Le impedenze ZÝR , ZÝL , ZÝC ,
rappresentative, rispettivamente, del resistore, dell'induttore e del condensatore sono date da
ZÝR = 2, ZÝL = 2 i, ZÝC = −4i .
Dopo avere costruito la rete di impedenze, bisogna risolverla. Siccome interessa calcolare la
corrente i L (t) nell'induttore, basta determinare la corrente simbolica IL che “circola” nell'impedenza
ZÝL .
La rete di impedenze è descritta da un modello matematico identico a quello delle reti di soli
elementi statici lineari e generatori indipendenti. Quindi può essere risolta utilizzando le stesse
metodologie. Siccome le tre impedenze ZÝR , ZÝL , ZÝC sono in parallelo con il generatore di corrente
simbolico J , la corrente IL può essere determinata applicando la regola del partitore di corrente al
circuito simbolico
. Operando in questo modo si ottiene
ZÝeq
IL = J Ý
,
Z eq + ZÝL
(34)
dove ZÝeq è l'impedenza equivalente del parallelo costituito da ZÝR e ZÝC e vale
8i
8 − 4i
4 − i arctan(0.5)
ZÝ ZÝ
.
=
=
e
ZÝeq = Ý R CÝ = −
2 − 4i
5
5
ZR + Z C
(35)
Pertanto si ha (tutte i calcoli sono stati svolti troncando dopo le prime due cifre significative)
ZÝeq
1.79e − i 0.46 3.58e − i 2.03
− i 2.67
IL = J Ý
=
−2i
=
= 1.79e
.
i 0.64
Ý
8
−
4i
Z eq + ZL
2e
+ 2i
5
(36)
Dopo avere risolto il circuito di impedenze (in questo caso è stato calcolato il fasore rappresentativo
della corrente i L (t) ) bisogna costruire la funzione reale corrispondente nel dominio del tempo
attraverso la (12). La proprietà di unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema
originale. Applicando la (12) si ottiene la corrente i L (t) nel dominio del tempo
IL = 1.79e− i 2.67 ⇒ i L (t) = 1.79cos(1000t − 2.67) .
(37)
Operando in questo modo è possibile determinare tutte le altre grandezze. Il lettore determini la
corrente nel resistore e la tensione sul condensatore.
8.4 Proprietà delle reti di impedenze
Il modello matematico di un circuito di impedenze
, corrispondente a un circuito in regime
sinusoidale Nω, è lo stesso modello che descrive un circuito resistivo lineare (in esso non vi sono
operazioni di derivazione). Pertanto per le reti di impedenze valgono molte proprietà illustrate per le
reti resistive lineari (teorema di Tellegen, sovrapposizione degli effetti, teorema di Thevénin-Norton,
296
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
teorema della reciprocità). Inoltre sono estensibili i concetti di equivalenza, e le regole del partitore
di corrente e di tensione e il concetto di N-polo e M-porte con le relative matrici di rappresentazione
e alcune proprietà.
8.4.1 Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia
L'insieme dei fasori rappresentativi delle tensioni verifica le equazioni di Kirchhoff per le tensioni,
e quindi è possibile rappresentare il fasore corrispondente alla tensione del generico lato (bipolo o
porta) come differenza dei fasori rappresentativi dei potenziali dei due nodi a cui il lato è connesso,
V q = Er − Es . Pertanto si ha
BV = 0
⇔
V = AT E ,
(38)
T
dove E è il vettore colonna complesso (E1 , E2 , ..., E n−1 ) ed Ek è il fasore rappresentativo del
potenziale del k-esimo nodo (n sono i nodi del circuito e si è posto En = 0 ).
L'insieme dei fasori rappresentativi delle correnti verifica le equazioni di Kirchhoff per le correnti,
e quindi è possibile rappresentare il fasore della corrente del generico lato (bipolo o porta) come
somma algebrica dei fasori rappresentativi delle correnti di maglia che circolano in quel lato,
Ik = ∑ (±) Jh . Pertanto si ha
h
AI = 0
⇔
I = BT J ,
(39)
T
dove J è il vettore colonna complesso (J1 , J 2 , ..., J b−( n−1) ) ed J k è il fasore rappresentativo
della corrente di maglia della k-esima maglia fondamentale (le maglie fondamentali sono b-(n-1)).
8.4.2 Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenze elettriche
complesse
Si considerino due reti di impedenze
l'insieme dei fasori delle correnti della rete
rete
e
che hanno lo stesso grafo orientato. Sia I1′,..., Ib′
e V1′,...,
′ V b′′ l'insieme dei fasori delle tensioni della
. Si definisce la potenza virtuale complessa Sk assorbita dal k-esimo lato come
Sk ≡
1
V k′′I k′∗ ;
2
(40)
è possibile definire anche altre potenze virtuali complesse, come, ad esempio, V k′′Ik′ , come poi
∗
vedremo, ma quella definita attraverso la (40) è quella che ha un “significato” fisico. Il simbolo I
indica che si considera il numero complesso coniugato del numero complesso
I = a + i b = Im e i φ , allora I ∗ = a − i b = Im e − i φ (vedi Appendice E).
Teorema di Tellegen
La somma delle potenze virtuali complesse assorbite da un circuito è uguale a zero,
I : se
297
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
b
b
1 ’’ ’∗
V k I k = 0.
k=1 2
∑S k = ∑
k=1
(41)
’∗
Per dimostrare la (41) basta osservare che anche i fasori Ik (k=1, 2, ..., b), complessi coniugati dei
’
fasori Ik delle correnti, verificano le equazioni di Kirchhoff per le correnti, cioè
∑ (± )I k = 0 ⇔ ∑ (± ) Ik = 0 oppure A I = 0 ⇔ A I = 0 .
’
’∗
k
’
’∗
(42)
k
Se le due reti di impedenze
e
sono identiche, cioè esse hanno le stesse impedenze e gli
stessi generatori e gli elementi sono collegati allo stesso modo, gli insiemi dei fasori delle correnti
I1′,..., Ib′ e delle tensioni V1′,...,
′ V b′′ appartengono allo stesso circuito Nω. In questo caso al prodotto
definito dalla (40) si dà il nome di potenza elettrica complessa assorbita dall'elemento e si indica con
Pk ≡
1
V k Ik∗ .
2
(43)
(Abbiamo eliminato ′ e ′′ perché non c'è più bisogno di distinguere tra i due circuiti). In seguito
discuteremo il significato della potenza elettrica complessa (43). La potenza complessa in una rete di
impedenze si conserva.
Teorema della conservazione delle potenze elettriche complesse
La somma delle potenze elettriche complesse assorbite dagli elementi di una rete di impedenze
è uguale a zero,
b
b
1
Vk Ik∗ = 0 .
k=1 2
∑ Pk = ∑
k=1
8.4.3
(44)
Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore di tensione,
partitore di corrente.
La proprietà della sovrapposizione degli effetti vale per le reti di impedenze, perché il modello
matematico che le descrive è costituito da sole equazioni lineari.
Se una rete di impedenze con più generatori indipendenti ammette una e una sola soluzione, i
fasori delle correnti e delle tensioni sono uguali alla somma dei fasori dovuti a ciascun generatore
indipendente agente da solo.
Il concetto di equivalenza introdotto per le reti resistive può essere esteso alle reti di impedenze
senza nessuna limitazione.
- Equivalenza serie
Le due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 siano collegate in serie, (figura 4). Il bipolo simbolico di impedenza
ZÝeq = ZÝ1 + ZÝ2 ,
è equivalente alla serie delle impedenze ZÝ1 e ZÝ2 .
(45)
298
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 4 Serie di impedenze.
- Partitore di tensione
Sia V il fasore della tensione sulla serie delle due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 (figura 4). Il fasore delle
tensione V1 del bipolo di impedenza ZÝ1 e il fasore della tensione V 2 del bipolo di impedenza ZÝ2
sono (i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli di figura 4)
ZÝ
ZÝ
V1 = V Ý 1 Ý , V2 = V Ý 2 Ý .
Z1 + Z 2
Z1 + Z2
(46)
- Equivalenza parallelo
Le due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 siano collegate in parallelo, (figura 5). Il bipolo simbolico di impedenza
ZÝ ZÝ
ZÝeq = Ý 1 2 Ý ,
Z1 + Z2
(47)
ovvero di ammettenza
YÝeq = YÝ1 + YÝ2 ,
(48)
è equivalente al parallelo delle impedenze ZÝ1 e ZÝ2 , dove YÝ1 = 1/ ZÝ1 , YÝ2 = 1 / ZÝ2 .
Figura 5
Parallelo tra due impedenze.
- Partitore di corrente
Sia I il fasore della corrente che circola nel parallelo delle due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 (figura 5). Il
fasore della corrente I1 del bipolo di impedenza ZÝ1 e il fasore della corrente I2 del bipolo di
impedenza ZÝ2 sono (i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli di figura 5)
299
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
ZÝ
ZÝ
I1 = I Ý 2 Ý , I2 = I Ý 1 Ý .
Z1 + Z2
Z1 + Z2
(49)
I casi in cui ci sono serie e paralleli che contengono anche generatori indipendenti si trattano allo
stesso modo di quelli considerati nel Capitolo 6. Inoltre è possibile trasformare qualsiasi triangolo di
sole impedenze in una stella equivalente e viceversa, utilizzando le formule introdotte per i resistori
nel Capitolo 5.
8.4.4 Bipolo di impedenze
Si consideri un bipolo
composto da sole impedenze (non ci sono generatori indipendenti),
(figura 6). La relazione tra il fasore della tensione V e il fasore della corrente I è lineare,
V = ZÝeq I ovvero
I = YÝeq V ,
(50)
dove YÝeq = 1/ ZÝeq . Per la linearità l'impedenza equivalente ZÝeq è un numero complesso
indipendente sia da V che da I : ZÝeq dipende solo dalle impedenze che costituiscono
e da
come sono connesse tra loro. Pertanto un qualsiasi bipolo
costituito da sole impedenze può
Ý
essere rappresentato da un solo bipolo equivalente di impedenza Zeq .
Figura 6
Bipolo di impedenze
Per ottenere le impedenze di bipoli costituiti da elementi circuitali elementari, spesso è sufficiente
applicare le regole del parallelo, della serie e le trasformazioni stella-triangolo.
Esempio
Si consideri il bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un induttore
di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in serie (bipolo RLC serie), (figura 7a).
Figura 7
Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b).
L'impedenza ZÝs del bipolo è
ZÝs = R + i[ωL − 1/ (ωC)] .
(51)
300
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La parte reale di ZÝs è maggiore di zero se R>0, mentre la parte immaginaria cambia segno al variare
della pulsazione ω.
L'ammettenza YÝp di un bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un
induttore di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in parallelo (bipolo RLC
parallelo, figura 7b), è
YÝ p = 1/ R + i[ωC − 1 / (ωL)] ,
(52)
e l'impedenza è ZÝp = 1 / YÝp . La parte reale di YÝp è maggiore di zero se R>0, mentre la parte
immaginaria cambia segno al variare della pulsazione ω. Il lettore verifichi che anche la parte reale
di ZÝp è maggiore di zero se R>0.
In generale l'operatore di impedenza ZÝ corrispondente a un bipolo lineare in regime sinusoidale è
rappresentato da un numero complesso con parte reale e parte immaginaria diverse da zero,
ZÝ = R + iX .
(53)
Alla parte reale R si dà il nome di “resistenza” e alla parte immaginaria X il nome di reattanza.
L'impedenza del resistore ha solo parte reale diversa da zero ed è uguale alla resistenza del resistore,
mentre quelle del condensatore e dell'induttore hanno solo parte immaginaria diversa da zero. La
reattanza del condensatore è data da
Xc = −
1
,
ωC
(54)
ed è negativa se la capacità è positiva (con la convenzione dell'utilizzatore), e la reattanza
dell'induttore è data da
X L = ωL ,
(55)
ed è positiva se l'induttanza è positiva (sempre con la convenzione dell'utilizzatore).
La reattanza di un generico bipolo si dice di tipo induttivo se X è maggiore di zero, e di tipo
capacitivo se X è minore di zero. Poi verificheremo che la parte reale dell'impedenza di un bipolo
costituito da resistori, induttori e condensatori passivi è sempre positiva, se si adotta la convenzione
dell'utilizzatore.
8.4.5 Generatore equivalente di Thévenin-Norton
Si consideri, ora, un bipolo
composto da impedenze e generatori indipendenti, (figura 8). Si
assuma che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo
a un generatore ideale di corrente
(è sempre un generatore simbolico) ammetta una e una sola soluzione. Allora
può essere
rappresentato attraverso il generatore equivalente di tensione (generatore equivalente di Thévenin,
figura 8)
301
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 8
V = ZÝeq I + E0 ,
(56)
dove:
ZÝeq , detta impedenza equivalente di Thévenin, è l'impedenza equivalente del bipolo
dopo
avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso;
E0 , detto fasore della tensione a vuoto, è la tensione fra i terminali “1” e “2” di
quando
esso è collegato a un circuito aperto.
Si assuma, ora, che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo
di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora
a un generatore ideale
può essere rappresentato attraverso il
generatore equivalente di corrente (generatore equivalente di Norton, figura 9)
Figura 9
Ý V+ J ,
I=Y
eq
0
(57)
dove:
YÝ eq , detta ammettenza equivalente di Norton, è l'ammettenza equivalente del bipolo
,
dopo avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso;
J0 , detto fasore della corrente di corto circuito, è il fasore della corrente del bipolo
quando esso è collegato a un corto circuito.
Ý ≠ 0 si ha ZÝ = 1 / Y
Ý e J = − E / ZÝ , e quindi la caratterizzazione
Quando ZÝeq ≠ 0 e Y
eq
eq
eq
0
0
eq
secondo Thévenin è completamente equivalente a quella secondo Norton.
Esempio
Si consideri il circuito in regime sinusoidale illustrato in figura 10a. I parametri del circuito sono
e(t ) = 10cos(100t + π / 4), L = 10mH, C = 10mF, R = 1. Determinare la corrente i(t) nel
resistore utilizzando il teorema di Thévenin.
In figura 10b è rappresentato il circuito di impedenze corrispondente e in figura 11 è rappresentato
il circuito equivalente di Thévenin. Bisogna determinare la tensione a vuoto, cioè la tensione tra i
302
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
nodi “1” e “2” dopo che è stato sconnesso il resistore e l'impedenza equivalente dopo avere spento il
generatore di tensione.
La tensione a vuoto E (vedi circuito figura 10c) è
E = 10(1− i) = 10 2 e
− i π /4
,
(58)
e l'impedenza equivalente è (vedi circuito figura 10d)
−i 

− i+
i

2 −i
1− i 
Ý
Z=
=−
= 1+ 2i .
−i
i
− i+
+i
1− i
(59)
Pertanto la corrente I vale
I=
E
10 2 e − i π/4
=
= 5 2 e − i π/2 ,
Ý
R+Z
1 + 1 + 2i
quindi i(t ) = 5 2 sin(100t) .
Figura 10
Circuito in esame e circuito nel dominio simbolico.
Figura 11
Circuito equivalente di Thévenin.
8.4.6 Proprietà della reciprocità e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze
(60)
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
303
Per una rete di impedenze corrispondente ad un circuito in regime sinusoidale costituito da
resistori, induttori, condensatori e trasformatori valgono le tre forme della proprietà di reciprocità
illustrate nel Capitolo 5 per i circuiti resistivi lineari. Le relazioni (42), (46) e (47) del Capitolo 5
valgono per i fasori rappresentativi delle corrispondenti grandezze sinusoidali. Questa proprietà
continua a non valere se la rete contiene elementi non reciproci come il giratore, l'amplificatore
operazionale, i generatori controllati.
Si consideri, ora, un doppio bipolo di impedenze, cioè una rete di sole impedenze con quattro
terminali, associati a due a due, in modo tale da costituire due porte. Si assuma che il doppio bipolo
possa essere caratterizzato su base corrente. La relazione tra la coppia dei fasori delle tensioni di
porta V1, V 2 e la coppia dei fasori delle correnti di porta I1 , I 2 è
V1 = ZÝ11I1 + ZÝ12 I 2 ,
Ý21I1 + ZÝ22 I 2 ,
V2 = Z
(61)
dove ZÝ hk , h=1, 2 e k=1, 2, sono operatori di impedenza, in generale complessi, indipendenti dai
fasori delle tensioni e delle correnti. Essi sono gli elementi della matrice delle impedenze del
doppio bipolo. Se il doppio bipolo è caratterizzato su base tensione, il legame tra i fasori delle
Ý ,
correnti e delle tensioni di porta è descritto dalla matrice delle ammettenze Y
ij
Ý V +Y
Ý V ,
I1 = Y
11 1
12 2
Ý21V1 + Y
Ý22 V2 .
I2 = Y
(62)
In generale è possibile caratterizzare un M-porte e un N-polo di impedenze così come si
caratterizzano un M-porte e un N-polo di resistori lineari.
Proprietà della matrice delle impedenze e delle ammettenze
(i) La matrice delle impedenze (ammettenze), se è invertibile, è l'inversa della matrice delle
ammettenze (impedenze). Se si escludono casi molto particolari, privi di importanza, le matrici delle
impedenze e delle ammettenze sono sempre invertibili.
(ii) Le matrici delle impedenze e delle ammettenze sono simmetriche se il circuito di impedenze
contiene elementi simbolici reciproci. Questa proprietà è diretta conseguenza della proprietà della
reciprocità.
(iii) Non c'è nessuna relazione tra gli elementi appartenenti alla diagonale principale e gli elementi
fuori diagonale perché per le reti di impedenze, in generale, non vale nessuna proprietà di non
amplificazione.
8.4.7 Diagrammi fasoriali
Alla funzione sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + ϕ) è associato il fasore rappresentativo
A = Ame i ϕ = a+ ib . È possibile rappresentare il numero complesso A nel piano complesso (piano
di Gauss) come un vettore congiungente l'origine con il punto di coordinate rettangolari (a,b) o
coordinate polari (Am ,ϕ) , (figura 12).
304
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Le equazioni di Kirchhoff per i fasori delle correnti e delle tensioni e le equazioni di lato possono
essere rappresentate graficamente tracciando i vettori corrispondenti ai fasori rappresentativi delle
correnti e delle tensioni. In figura 13 sono rappresentati i diagrammi fasoriali per la tensione e la
corrente di un resistore, un induttore e un condensatore.
Figura 12
Rappresentazione grafica del fasore A rappresentativo della funzione sinusoidale a(t) .
Figura 13
Rappresentazione delle caratteristiche del resistore, induttore e condensatore tramite i
diagrammi fasoriali.
8.5 Potenza ed energia in regime sinusoidale
Si consideri una rete Nω in regime sinusoidale. La potenza elettrica istantanea assorbita dal
generico bipolo della rete è
p(t) = i(t)v(t) = I m V m cos(ωt + α)cos(ωt + β) ;
(63)
la corrente e la tensione del bipolo sono i(t ) = Im cos(ωt + α), v(t) = V m cos(ωt + β) ,
rispettivamente, e i loro riferimenti per i versi sono scelti in accordo alla convenzione
dell'utilizzatore. Applicando l'identità 2cos xcos y = cos(x + y) + cos(x − y) si ottiene:
p(t) =
1
1
Im V m cos(α − β) + Im V m cos(2ωt + α + β) .
2
2
(64)
La potenza elettrica istantanea assorbita da un generico bipolo di una rete in regime sinusoidale è la
somma di un termine sinusoidale a pulsazione 2ω e un termine costante, quindi è una funzione
periodica di periodo T/2 (oscilla due volte nel periodo T=2π/ω).
La potenza media in un periodo T (il valore medio della p(t) su un periodo T), è data da
Pm =
1T
1
∫ p(τ)dτ = ImV m cos(α − β) .
T0
2
(65)
305
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Essa è uguale al termine costante dell'espressione (64). Il valore medio del termine fluttuante della
potenza istantanea è uguale a zero perché esso è una funzione sinusoidale di periodo T/2.
L'energia assorbita dal bipolo in regime sinusoidale nell'intervallo di tempo (0,ˆt ) può essere
espressa attraverso la relazione
ˆt
ˆt
0
nT
w(0,ˆt ) = ∫ p(τ)dτ = (n T) Pm + ∫ p(τ)dτ ,
(66)
dove il numero intero n è tale che ˆt = nT + ∆t , con ∆t < T (esso rappresenta il numero di periodi T
contenuti nell'intervallo di tempo (0,ˆt ) ). Se n >> 1 il contributo all'energia assorbita nell'intervallo
di tempo (0,ˆt ) dovuto al termine fluttuante della potenza istantanea può essere trascurabile rispetto a
quello dovuto al termine costante. In questi casi si ha
w(0,ˆt ) ≅ (n T)Pm ≅ ˆt Pm .
(67)
Osservazione
La potenza media dipende non solo dalle ampiezze massime delle sinusoidi v(·) e i(·), ma anche
dalle relative differenze di fase (α − β) : poi verificheremo che questa differenza è indipendente sia
da α che da β, dipende solo dalla costituzione fisica del bipolo e cioè dall'argomento del impedenza
ad esso corrispondente. Il fattore cos(α − β) , detto fattore di potenza, è di estrema importanza
nell'ingegneria dei sistemi di potenza che funzionano in regime sinusoidale.
Ora siamo in grado di illustrare il significato fisico della potenza elettrica complessa, assorbita dal
bipolo,
P=
1 ∗
VI
2
(68)
introdotta nel paragrafo precedente. I fasori rappresentativi della corrente e della tensione del bipolo
sono, rispettivamente,
I = I m ei α ,
V = Vm eiβ ,
(69)
quindi la potenza elettrica complessa assorbita è il numero complesso
P=
1
1
1
Im V m ei(β −α ) = I m V m cos(β − α ) + i Im V m sin(β − α) = Pm + iQ , (70)
2
2
2
Q≡
1
Im Vm sin(β − α) .
2
dove
(71)
La parte reale della potenza complessa P è uguale alla potenza elettrica media assorbita dal
bipolo,
Re{ P } =
1
Im Vm cos(β − α) = Pm .
2
(72)
306
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
La parte immaginaria di P prende il nome di potenza reattiva assorbita e si denota con la lettera
Q. La potenza reattiva, a differenza della potenza media, non ha nessun significato fisico.
Al
modulo della potenza complessa si dà il nome di potenza apparente, A ≡ P . Per la potenza
apparente si ha
A=
1
V m Im =
2
Pm2 + Q2 .
(73)
La potenza media e la potenza reattiva assorbite da un bipolo possono essere espresse come
Pm = A cos(α − β) ,
Q = A sin(β − α) .
(74)
(75)
L'unità di misura nel SI della potenza elettrica media è la stessa unità di misura della potenza
istantanea, cioè il watt. Invece l'unità di misura della potenza reattiva è il “ VAr ” (volt-ampere
reattivo) e l'unità di misura della potenza apparente è il “ VA ” (volt-ampere).
Pur non avendo la potenza reattiva assorbita da un bipolo in regime sinusoidale nessun significato
fisico, essa ha una proprietà molto importante.
Conservazione delle potenze medie e delle potenze reattive
Si consideri una rete in regime sinusoidale.
• La somma delle potenze elettriche medie assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero,
b
∑ Pm h = 0 .
(76)
h =1
• La somma delle potenze reattive assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero,
b
∑ Qh = 0 .
(77)
h =1
Queste due proprietà sono una immediata conseguenza della conservazione della potenza elettrica
complessa in una rete di impedenze. Pertanto la conservazione della potenza elettrica complessa non
solo dà la conservazione della potenza media, ma anche quella della potenza reattiva. Quindi se un
certo elemento di una rete assorbe potenza reattiva, allora ci devono essere altri elementi del circuito
che devono produrla (generatori indipendenti o altri elementi). Questo risultato è d'importanza
fondamentale nell'ingegneria delle reti elettriche di potenza.
La potenza apparente, essendo una grandezza definita positiva, non può verificare nessuna
proprietà di conservazione.
8.5.1 Proprietà energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento
- Resistore
Si consideri un resistore di resistenza R percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il fasore
iα
rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica del resistore V = R I (convenzione
dell'utilizzatore), si ha che il fasore V = Vm e
iβ
rappresentativo della tensione è in fase con quello
307
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
della corrente I , cioè α = β , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è uguale a 1, (figura 13). Di
conseguenza la potenza complessa assorbita dal resistore ha parte immaginaria uguale a zero, e
quindi la potenza reattiva è nulla. La potenza media assorbita è data da
Pm =
Vm Im R Im2 V m2
=
=
;
2
2
2R
(78)
essa è positiva se il bipolo è passivo.
La potenza istantanea assorbita dal resistore è data da
p(t) =
2
R Im
[1 + cos(2ωt + α)] ;
2
(79)
2
essa è una funzione periodica di periodo T/2 che oscilla tra 0 e R Im , ed ha quindi valore medio
diverso da zero sul periodo T.
- Condensatore
Si consideri un condensatore di capacità C percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il
iα
fasore rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica del condensatore V = i Xc I
(convenzione dell'utilizzatore), dove
XC = −1 / (ωC) , si ha che il fasore V = Vm e iβ
rappresentativo della tensione è sfasato di 90° in ritardo rispetto al fasore della corrente I (la
capacità C è maggiore di zero), cioè β = α − π / 2 , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è
uguale a 0. Di conseguenza la potenza complessa assorbita dal condensatore ha parte reale uguale a
zero e quindi la potenza media assorbita dal condensatore è uguale a zero; la potenza reattiva
assorbita è negativa (la reattanza del condensatore passivo è minore di zero) e vale
V m Im Xc Im2
V m2
.
QC = −
=
=
2
2
2 Xc
(80)
La potenza istantanea assorbita dal condensatore è data da (la tensione del condensatore è
v(t) = V m cos(ωt + β) )
p(t) =
2
ωCV m
cos[2(ωt + β + π / 4)] ;
2
(81)
2
2
2
essa è una funzione periodica di periodo T/2, che oscilla tra − 12 ωCVm e 12 ωCV m ; 12 CV m è il
valore massimo dell'energia immagazzinata nel condensatore. Il valore medio su un periodo della
potenza istantanea assorbita dal condensatore è nullo, come previsto, perché non c'è dissipazione di
energia: il condensatore è un bipolo conservativo.
- Induttore
Si consideri un induttore di induttanza L percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il fasore
iα
rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica dell'induttore V = iXL I (convenzione
dell'utilizzatore), dove X L = ωL , si ha che il fasore V = Vm e rappresentativo della tensione è
sfasato di 90° in anticipo rispetto al fasore della corrente I (l'induttanza L è maggiore di zero), cioè
iβ
308
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
β = α + π / 2 , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è di nuovo uguale a 0. Di conseguenza la
potenza complessa assorbita dall'induttore ha parte reale uguale a zero, come nel caso del
condensatore, e quindi la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero. La potenza reattiva è
positiva (la reattanza dell'induttore passivo è maggiore di zero) e vale
V m I m X L Im2
Vm2
.
QL =
=
=
2
2
2 XL
(82)
La potenza istantanea assorbita dall'induttore è data da
p(t) =
ωL Im2
cos[ 2(ωt + α + π / 4)] ;
2
(83)
2
2
2
anch'essa è una funzione periodica di periodo T/2, che oscilla tra − 12 ωL Im e 12 ωL I m ; 12 L Im è il
massimo dell'energia immagazzinata nell'induttore. La potenza media assorbita dall'induttore
calcolata su un periodo è nulla, come previsto, non essendoci dissipazione di energia: l'induttore,
come il condensatore, è un bipolo conservativo.
- generatori indipendenti
Si consideri un generatore indipendente di tensione e(t ) = E m cos(ωt + ϕ) ; il fasore
iϕ
rappresentativo è E = E m e ed è indipendente da quello della corrente. La corrente che in esso
circola dipende dal circuito a cui il generatore è connesso. Di conseguenza non è possibile dire niente
circa la potenza complessa assorbita (e quindi la potenza media e la potenza reattiva), dal generatore
di tensione senza specificare il circuito a cui esso è collegato. Le stesse considerazioni valgono per il
generatore indipendente di corrente sinusoidale. Se i generatori erogano energia, allora la potenza
media erogata è positiva.
- Applicazione: rifasamento
Si consideri il circuito rappresentato in figura 14a. Esso è in regime sinusoidale. Determinare la
potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore di tensione sinusoidale
e(t ) = E m cos(ωt + ϕ) .
Figura 14 Circuito da rifasare (a) e circuito rifasato (b).
Il fasore rappresentativo della tensione è
E = E m e iϕ , mentre quello della corrente
i(t ) = Im cos(ωt + α) è I = I m e iα . Siccome l'impedenza equivalente della serie costituita dal
resistore e dall'induttore è ZÝeq = R + iωL , il fasore I è dato da
309
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
E
E − ig
I= Ý =
e γ,
Zeq Z eq
(84)
ZÝeq = Z eq e iγ = R + iωL, Z eq = R 2 + (ωL) 2 , γ = arctg(ωL / R) .
(85)
dove
Il fasore della corrente I è in ritardo di un angolo γ rispetto a quello della tensione E del
generatore. La potenza complessa erogata dal generatore di tensione è
∗
ˆ = E I = Em Im (cos γ + i sinγ ) ,
P
2
2
(86)
pertanto la potenza media erogata dal generatore è
2
ˆ = Re{ Pˆ } = Em Im cos γ = Em cosγ ,
P
m
2
2Z eq
(87)
e la potenza reattiva erogata è
E2
E I
Qˆ = Im{ Pˆ } = m m sin γ = m sin γ .
2
2Z eq
(88)
Essendo 0 < γ < π / 2 , la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore sono entrambe
positive, cioè il generatore in questo circuito eroga potenza elettrica media e potenza reattiva. Questo
risultato è in accordo con quanto si potrebbe prevedere applicando la conservazione delle potenze
medie e delle potenze reattive. Siccome la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero, la
potenza media che assorbe il resistore deve essere erogata necessariamente dal generatore. Inoltre,
siccome la potenza reattiva assorbita dal resistore è uguale a zero, la potenza reattiva che assorbe
l'induttore deve essere erogata necessariamente dal generatore.
Si consideri ora il circuito di figura 14b. Esso è stato ottenuto dal circuito illustrato in figura 14a,
aggiungendo un condensatore in parallelo alla serie costituita dal resistore e dall'induttore. È evidente
che la corrente nella serie RL è la stessa che si ha nel circuito di figura 14a, mentre la corrente del
generatore è diversa. Essa è data da
 1

Ig = I + IC =  Ý + i ωC E .
 Z eq

(89)
Per determinare la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore per questa nuova
configurazione non è necessario determinare la corrente Ig del generatore. È possibile applicare
direttamente la conservazione della potenza media e della potenza reattiva. Immediatamente si ha
2
ˆ = E m cos γ ,
P
m
2Z eq
 1
 E2
sin γ − ωC m .
Qˆ = 
 Z eq
 2
(90)
(91)
310
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Ovviamente la potenza media erogata è uguale a quella erogata nel circuito di figura 14a, mentre la
potenza reattiva è diversa a causa della potenza reattiva assorbita dal condensatore. Siccome il
condensatore eroga potenza reattiva, c'è un valore di capacità, per fissata pulsazione, in
corrispondenza della quale la potenza reattiva che eroga il condensatore è uguale a quella che assorbe
l'induttore, e quindi la potenza reattiva erogata dal generatore è uguale a zero, pur restando inalterata
la potenza media da esso erogata.
Questo è il principio su cui si basa il rifasamento di un bipolo costituito da resistori e induttori.
Rifasare un bipolo di tale genere significa introdurre una capacità in parallelo a esso in modo tale da
ridurre la potenza reattiva erogata dal generatore e lasciare inalterata la potenza media. Il
condensatore è inserito in parallelo e non in serie perché in questo modo la tensione sul bipolo da
rifasare resta inalterata. La potenza apparente messa in gioco dal generatore nel circuito di figura 14b
è più piccola di quella messa in gioco dallo stesso generatore nel circuito di figura 14a. Pertanto, a
parità di potenza media erogata, il valore massimo della corrente del generatore è più grande nel
circuito di figura 14a. Il bipolo equivalente al condensatore in parallelo alla serie RL ha un fattore di
potenza più grande di quello della sola serie RL.
8.5.2 Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze
Si consideri un bipolo lineare tempo-invariante in regime sinusoidale costituito da resistori,
induttori, condensatori, trasformatori, etc ; il bipolo è, ad esempio, alimentato da un generatore
indipendente di corrente sinusoidale. Siano I e V i fasori rappresentativi della corrente e della
tensione, rispettivamente. L'impedenza del bipolo è
V
ZÝ = .
I
(92)
Siano:
Pm = somma delle potenze medie assorbite dagli elementi statici
Q = somma delle potenze reattive assorbite dagli induttori e dai trasformatori
Q = somma delle potenze reattive erogate dai condensatori
L
C
Si ha allora che:
ˆ )
P + i(Q − Q
P
,
ZÝ = R + iX = 2 2 = 2 m
I 2m
Im
L
C
(93)
ovvero
R =2
Pm
2 ,
Im
X=2
ˆ )
(Q − Q
.
I2m
L
(94)
C
(95)
La (93) si ottiene applicando la conservazione della potenza complessa al circuito costituito dal
bipolo di sole impedenze e dal generatore di tensione. La dimostrazione la si lascia al lettore. Come
2
previsto ZÝ = 2P / I m , dove P è la potenza complessa totale assorbita dal bipolo: maggiore è la
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
311
potenza media assorbita dal bipolo (maggiore è la dissipazione se il bipolo è passivo), più grande è la
parte reale dell'impedenza; maggiore è il valore assoluto della potenza reattiva assorbita dal bipolo,
più grande è la parte immaginaria dell'impedenza.
Se il bipolo è costituito da sole induttanze, capacità, circuiti accoppiati e giratori, allora
l'impedenza ha solo parte immaginaria. La parte immaginaria è maggiore di zero se la potenza
reattiva assorbita dagli induttori è maggiore di quella erogata dai condensatori (comportamento
prevalentemente induttivo) ed è minore di zero nel caso contrario (comportamento prevalentemente
capacitivo).
Se il bipolo è costituito da soli elementi statici l'impedenza ha solo parte reale. La parte
immaginaria dell'impedenza può essere nulla anche quando nel bipolo ci sono induttori, condensatori
e circuiti accoppiati: ciò accade se la potenza reattiva assorbita dagli induttori è uguale a quella
erogata dai condensatori (circuiti risonanti).
Si assuma, ora, che gli elementi del bipolo siano tutti passivi. La potenza media assorbita dai
resistori è positiva, quindi
R≥0.
(96)
iγ
Pertanto l'argomento γ dell'impedenza, ZÝ = Ze , deve verificare la condizione
−π / 2 ≤ γ ≤ π / 2 .
(97)
Se il bipolo è costituito da soli resistori e/o induttori (circuito RL) la parte immaginaria
dell'impedenza è sempre maggiore di zero,
X ≥0
0 ≤ γ ≤ π / 2.
(98)
In questo caso il fasore V della tensione è in anticipo rispetto a quello della corrente I .
Se il bipolo è costituito da soli resistori e/o condensatori (circuito RC) la parte immaginaria
dell'impedenza è sempre minore di zero,
X ≤0
−π / 2 ≤γ ≤ 0.
(99)
In questo caso il fasore V della tensione è in ritardo rispetto a quello della corrente I .
Se il bipolo è costituito da resistori, condensatori, induttori, giratori, trasformatori, ed elementi
attivi, come, ad esempio, amplificatori operazionali e generatori controllati, allora il punto
rappresentativo dell'impedenza nel piano complesso può trovarsi in qualsiasi quadrante, e quindi non
c'è alcun vincolo per γ.
8.6 Reti in regime periodico e quasi-periodico
- Sovrapposizione di un regime stazionario e di un regime sinusoidale
Si consideri un circuito N lineare, tempo-variante e dissipativo pilotato, ad esempio, da due
generatori indipendenti, uno sinusoidale a pulsazione ω e l'altro stazionario, (figura 15). I due
generatori impongono un regime dato dalla sovrapposizione dei regimi che ciascun generatore
312
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
imporrebbe se agisse da solo: il regime stazionario imposto dal generatore stazionario e il regime
sinusoidale a pulsazione ω imposto dal generatore sinusoidale.
Si considerino i due circuiti ausiliari ottenuti spegnendo un generatore per volta. Il circuito
ausiliario N' è in regime stazionario e il circuito ausiliario N" è in regime sinusoidale a pulsazione ω.
La soluzione di regime del circuito N è data da (k=1, 2, ..., b)
i k t = i ′k t + i ′k′ t v k t = v′k t + vk′′ t (100)
i ′k t = Ik v′k t = V k ,
(101)
dove
sono le soluzioni del circuito N' in regime stazionario, e
i ′k′ t = ,mk FRVωt + α k v ′k′ t = 9mk
FRV
ωt + β k (102)
sono le soluzioni del circuito N" in regime sinusoidale. Pertanto la soluzione di regime del circuito N
è (k=1, 2, ..., b)
i k t = I k + ,mk FRV ωt + αk v k t = Vk + 9 mk FRV ωt + β k (103)
Questo regime non è più sinusoidale, ma è periodico: il periodo è quello imposto dal generatore
sinusoidale, T = 2π / ω .
Il circuito N' in regime stazionario può essere risolto con la tecnica illustrata nel §1, mentre il
circuito in regime sinusoidale N" può essere risolto con il metodo fasoriale.
Figura 15
La potenza istantanea pk (t) assorbita dal k-esimo bipolo vale
pk (t) = vk (t)i k (t) = [ Vk + Vmk cos(ωt + βk )][ Ik + I mk cos(ωt + αk )] .
(104)
Per la potenza istantanea non vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti: l'espressione (104)
non è la somma delle potenze istantanee assorbite dal k-esimo bipolo nel circuito N' e nel circuito
N".
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
313
La potenza istantanea pk (t) data dalla (104) è una funzione periodica con periodo T = 2π / ω . Si
consideri il suo valore medio Pmk sul periodo T. Si ottiene:
Pmk ≡
1T
1
∫ p k (τ)dτ = Vk I k + V mk I mk cos(α k − β k ) .
T0
2
(105)
La potenza media Pmk è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal k-esimo bipolo nel
regime stazionario del circuito N' e nel regime sinusoidale del circuito N". Come si vedrà, tale
risultato è di validità generale.
- Sovrapposizione di regimi sinusoidali
Si consideri un circuito N lineare, tempo-invariante e dissipativo, pilotato, ad esempio, da due
generatori indipendenti sinusoidali che funzionano, rispettivamente, alle pulsazioni ω1 e ω 2 con
ω1 ≠ ω 2 , (figura 16). I due generatori impongono un regime dato dalla sovrapposizione dei regimi
che ciascun generatore imporrebbe se agisse da solo: il regime sinusoidale a pulsazione ω1 imposto
dal generatore sinusoidale a pulsazione ω1 e il regime sinusoidale a pulsazione ω 2 imposto
dall'altro generatore sinusoidale.
Figura 16
Si considerino i due circuiti ausiliari ottenuti spegnendo un generatore per volta. Il circuito
ausiliario N' è in regime sinusoidale a pulsazione ω1 e il circuito ausiliario N" è in regime
sinusoidale a pulsazione ω 2 . La soluzione di regime del circuito N è data da (k=1, 2, ..., b)
i k (t) = i′k (t) + i ′k′ (t)
v k (t) = v ′k (t) + v ′k′ (t)
dove
i ′k (t) = Imk
′ cos(ω1t + α ′k )
v ′k (t) = V mk
′ cos(ω 1t + β ′k )
sono le soluzioni del circuito N' in regime sinusoidale, e
(106)
(107)
314
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
i ′k′ (t) = Imk
′′ cos(ω 2 t + α ′k′ )
(108)
v ′k′ (t) = V mk
′′ cos(ω 2 t + β ′k′ )
sono le soluzioni del circuito N" in regime sinusoidale. Pertanto la soluzione di regime del circuito N
è (k=1, 2, ..., b)
i k (t) = Imk
′ cos(ω1t + αk′ ) + I mk
′′ cos(ω 2 t + α k′′ )
(109)
v k (t) = V mk
′ cos(ω 1t + β ′k ) + Vmk
′′ cos(ω 2 t + β ′k′ )
Il regime che si instaura nel circuito N non è sinusoidale, perché ω1 ≠ ω 2 .
Il circuito N' in regime sinusoidale a pulsazione ω1 e il circuito N" in regime sinusoidale a
pulsazione ω 2 possono essere risolti con il metodo fasoriale. Attenzione: le impedenze
corrispondenti al circuito N' sono diverse da quelle corrispondenti al circuito N", perché le
pulsazioni di funzionamento sono diverse!
È sempre possibile porre
ω1 = r ω 2 ,
dove
U
è un numero reale positivo. Se
(110)
U
è un numero razionale, cioè
U
può essere espresso come
rapporto tra due numeri interi,
U
Q
=
1
Q
,
(111)
2
allora le due sinusoidi hanno un periodo comune
T c = Q1
2π
2π
.
= Q2
ω1
ω2
(112)
In questo caso le correnti e le tensioni descritte dalle (109) sono funzioni periodiche di periodo T c , e
quindi il regime è periodico di periodo T c . Il caso più semplice è quando ω 2 = P ω1 con P intero
(positivo). Se
2 π,
H OQ
U
è un numero irrazionale, cioè non esprimibile come rapporto tra interi, (per esempio
2, ... ), allora le espressioni date dalle (109) non sono periodiche e il regime non è
periodico: in questo caso il regime si dice quasi-periodico.
La potenza istantanea pk t assorbita dal k-esimo bipolo vale
pk t = vk t i k t = >9′mk FRVω1 t + β ′k + 9mk
′′ FRV ω 2 t + β ′k′ @> ,mk
′ FRVω 1t + α ′k + ,mk
′′ FRV ω 2 t + α ′k′ @
(113)
Per la potenza istantanea, come nel caso analizzato in precedenza, non vale la proprietà della
sovrapposizione degli effetti. L'espressione (113) non è la somma delle potenze istantanee assorbite
dal k-esimo bipolo nel circuito N' e nel circuito N".
Si assuma che
U
sia un numero razionale. La potenza istantanea pk t è una funzione periodica
con periodo T c . Allora, il suo valore medio sul periodo T c ,
3
k
3
P
k,
vale:
1 Tc
1
1
≡
′′ ,mk
′′ FRV α k′′ − β k′′ .
∫ p k τ dτ = Vk′ I k′ FRV α k′ − β k′ + 9mk
Tc 0
2
2
(114)
315
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
3
La potenza media
P
k
è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal k-esimo bipolo nel
circuito N' e nel circuito N" se r è un numero razionale, cioè alla somma delle potenze medie
assorbite se i generatori agissero uno alla volta. Attenzione !!!: la (114) non vale se ω1 = ω 2 , cioè
se r=1.
La (114) è stata ottenuta utilizzando l'integrale definito notevole
2π
∫0
FRV
1 2 se m = n
mx FRV nx dx = 
se m ≠ n
0
(115)
dove m e n sono due numeri interi.
Se U non è un numero razionale, non esiste un periodo comune, e la potenza media non può essere
definita come nella (114). Per un regime quasi-periodico si definisce la potenza media 3 k come
P
3
P
k
≡
1 T

 ∫ pk τ dτ  .
T→∞  T 0

OLP
(116)
Sostituendo le (109) nella (115) si ottiene ancora (i calcoli sono un pò lunghi, ma semplici)
Pmk =
1
1
V′k I′k cos(α ′k − β k′ ) + V mk
′′ I mk
′′ cos(α ′k′ − β k′′ ) .
2
2
(117)
Proprietà: sovrapposizione delle potenze medie
Si consideri una rete lineare, tempo-invariante in regime permanente con due generatori sinusoidali
indipendenti che funzionino con due pulsazioni diverse. La potenza media assorbita dal generico
bipolo è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal bipolo se i generatori agissero uno alla
volta.
Questa proprietà si estende immediatamente al caso di M generatori sinusoidali indipendenti con
M pulsazioni diverse.
8.7 Circuiti risonanti
I circuiti risonanti sono di grande importanza: (a) essi sono impiegati nelle apparecchiature di
misura, nei circuiti di comunicazione (filtri passa-banda, oscillatori, sincronizzatori, ...), nei circuiti
convertitori da continua a continua, e così via; (b) esso costituisce un esempio del fenomeno fisico
generale della risonanza.
316
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 17
Circuito RLC serie pilotato con un generatore sinusoidale.
Noi studieremo in dettaglio il circuito risonante RLC serie, figura 17a, costituito dalla serie di un
resistore di resistenza R, di un condensatore di capacità C e di un induttore di induttanza L,
alimentato da un generatore di tensione sinusoidale e t = ( m FRV ωt . Considerazioni analoghe
possono essere svolte per quello RLC parallelo. Si assuma che il resistore, il condensatore e
l'induttore siano passivi.
Si consideri il funzionamento in regime sinusoidale del circuito in esame (esso è dissipativo solo
α
se R ≠ 0 ); in figura 17b è illustrato il circuito di impedenze corrispondente. Il fasore , = , m e
L
rappresentativo della corrente i t = ,m FRV ωt + α è dato da
,
dove
(
=
(
é
=
,
(118)
= ( m è il fasore rappresentativo della tensione del generatore e
& = R + i
Z
eq

/
−
1 
,
&
(119)
è l'impedenza equivalente della serie. Il valore massimo della corrente è
,
m
=
(
m
1 2

R + ωL −

ωC 
,
(120)
2
e la fase iniziale è

1 

R .
α = − DUFWJ  ωL −



ωC
(121)
Si consideri, ora, l'andamento dell'ampiezza della corrente i(t) e della fase iniziale al variare di ω
(è possibile concepire un esperimento in cui l'ampiezza del generatore sinusoidale è fissata e la
pulsazione, invece, viene cambiata). È immediato verificare che la funzione ,m = , m ω definita
dalla (120) tende a zero per ω → 0 e ω → ∞ e assume il massimo in corrispondenza della
pulsazione caratteristica del circuito ω 0 data da (figura 18),
ω0 =
1
.
LC
(122)
La pulsazione ω 0 prende il nome di pulsazione di risonanza del circuito.
Per ω → 0 il modulo dell'impedenza
é
=
tende all'infinito perché tende all'infinito il modulo della
reattanza del condensatore e per ω → ∞ il modulo di
é
=
tende di nuovo all'infinito perché ora è la
reattanza dell'induttore che tende all'infinito. Alla pulsazione di risonanza la parte immaginaria
dell'impedenza ZÝ è uguale a zero, perché la reattanza del condensatore è l'opposta di quella
dell'induttore, e quindi il modulo di ZÝ assume il valore minimo. Quando la pulsazione del
generatore è uguale alla pulsazione di risonanza si dice che il generatore è in risonanza con il
317
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
circuito. Si osservi che la pulsazione di risonanza coincide con la frequenza naturale del circuito
quando R=0.
Alla risonanza l’ampiezza della corrente vale
Em
.
R
Im (ω 0 ) =
(123)
Il valore della corrente alla risonanza è uguale alla corrente che si avrebbe se nel circuito vi fosse
solo il resistore. Alla risonanza la tensione del condensatore V C è l'opposto di quella dell'induttore
VL ,
V C (ω 0 ) + VL ( ω 0 ) = 0 ,
(124)
e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella del generatore. La (124) è conseguenza del fatto
che la reattanza dell'induttore è positiva e quella del condensatore è negativa (l'induttore assorbe
potenza reattiva e il condensatore la eroga).
Im(ω)
Em/R
ω
0
Figura 18
0
ω
Diagramma dell'ampiezza Im (ω) .
π/2
α(ω)
0
−π/2
0
Figura 19
Diagramma della fase α(ω) .
ω0
ω
318
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
L’andamento della fase α(ω) al variare della pulsazione del generatore è illustrato nel diagramma
di figura 19. Per ω ≤ ω 0 la fase iniziale è positiva, cioè il fasore della corrente è in anticipo rispetto
a quello della tensione applicata (prevale il comportamento capacitivo): per ω → 0, α → π / 2 . Per
ω 0 ≥ ω la fase iniziale è negativa, cioè il fasore della corrente è in ritardo rispetto a quello della
tensione applicata (prevale il comportamento induttivo): per ω → ∞, α → −π / 2 . Per ω 0 = ω la
corrente è in fase con la tensione applicata, perché l'impedenza equivalente ZÝ ha solo parte reale.
Si consideri la tensione sull'induttore alla risonanza. Essa è data da
V L = iE
ω 0L
.
R
(125)
Pertanto il valore massimo V mL della tensione dell'induttore alla risonanza è
V mL = QEm ,
dove
Q=
(126)
ω 0L
.
R
(127)
Il parametro adimensionale Q prende il nome di fattore di qualità del circuito risonante serie. Esso
può essere maggiore o minore di uno, a seconda dei parametri del circuito.
Dalla (126) si ha che in un circuito risonante RLC serie il valore massimo della tensione
sull'induttore è più grande del valore massimo della tensione del generatore se il fattore di qualità del
circuito è maggiore di uno: in questo circuito c'è “l'amplificazione” del valore massimo della
tensione.
Per evidenziare la dipendenza del fasore della corrente dal fattore di qualità e da ω, si consideri la
grandezza
H(i ω) ≡
I
,
I0
(128)
dove I0 = Em / R è il valore massimo dell'ampiezza della corrente. La funzione complessa H(i ω)
della variabile reale ω è adimensionale e il valore massimo del modulo è uguale a uno. È immediato
verificare che
H(i ω) =
1
.
1 + i Q[(ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)]
(129)
Posto
A(ω / ω 0 ) = H(i ω)
(130)
φ(ω / ω 0 ) = arg[ H(iω)]
si ha
A(ω) =
1
1 + Q [ (ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)] 2
2
,
φ(ω) = −arctg{Q[ (ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)] }.
(131)
319
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Nelle figure 20 e 21 sono illustrate i grafici dell’ampiezza A(ω/ω0) e della fase φ(ω/ω0) al crescere
del fattore di qualità. Quanto più alto è il fattore di qualità tanto più stretta è la regione nell'intorno di
ω/ω0=1 in cui l'ampiezza A(ω/ω0) è vicina al valore massimo e tanto più brusco è il cambiamento di
pendenza della curva della fase iniziale nell'intorno della risonanza.
1
A(ω/ω0)
0,8
Q=5
0,6
Q=20
0,4
0,2
Q=40
0
0,8
Figura 20
0,9
1
1,1
ω/ω
0
1,2
Diagramma di A(ω/ω0).
2
π/2
φ(ω/ω )
0
Q=20
1
Q=40
Q=5
0,5
0
-0,5
-1
−π/2
ω/ω
-2
0
0,8
Figura 21
0,9
1
1,1
1,2
Diagramma di φ(ω/ω0).
Osservazione
Il fenomeno della risonanza, appena descritto, è dovuto alla presenza nel circuito dell'induttore e
del condensatore, cioè di un elemento che assorbe potenza reattiva e di un altro che la eroga. Questo
fenomeno non si osserva se nel circuito ci sono soli induttori, ad esempio, in un circuito RL serie. In
questo caso il fasore rappresentativo della corrente è
I=
E
,
R + iωL
(132)
320
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
quindi l’ampiezza della corrente vale
Im ( ω ) =
Em
2
R + ω 2 L2
.
(133)
L'ampiezza della corrente è una funzione decrescente della pulsazione: essa ha il valore massimo in
ω = 0 , Im (ω = 0) = Em / R , e tende asintoticamente a zero per ω → ∞ . A differenza del circuito
serie RLC, il modulo dell'impedenza equivalente è una funzione strettamente crescente della
pulsazione. Inoltre l'ampiezza della tensione del resistore e l'ampiezza della tensione dell'induttore
sono minori dell'ampiezza della tensione del generatore, a differenza di quanto può accadere nel
circuito risonante RLC serie.
Il lettore provi a dimostrare che in un circuito costituito da soli induttori (o soli condensatori),
resistori e un solo generatore vale la proprietà di non amplificazione per i valori massimi delle
correnti e delle tensioni. Si noti che la proprietà di non amplificazione non vale, invece, per i valori
istantanei. Infatti, a causa degli sfasamenti, negli istanti di tempo in cui la tensione (o la corrente)
dell'unico generatore è zero, le tensioni sugli altri bipoli sono diverse da zero. In questi istanti alcuni
elementi conservativi erogano potenza elettrica.
Cosa accade nel circuito RLC serie quando R → 0 ? Quando la resistenza diminuisce l'ampiezza
della corrente cresce: alla risonanza essa cresce come 1 / R e quindi diverge per R → 0 . Per R=0
(circuito LC serie), il circuito è ancora passivo ma non è più dissipativo. Pertanto il circuito LC serie,
pilotato con un generatore sinusoidale di tensione, non ha un regime. È facile verificare che
l'equazione differenziale per la corrente i(t) del circuito è
i
1 de
ω Em
d2 i
=
=−
sin(ωt) .
2 +
dt
LC L dt
L
(134)
L'integrale generale della (134) è
i(t ) = K cos( ω 0 t + β ) + i p (t) ,
(135)
dove K e β sono due costanti arbitrarie, che bisogna determinare assegnando le condizioni iniziali e
i p (t) è una soluzione particolare della (134).
L'integrale particolare della (134) è una funzione sinusoidale con la stessa pulsazione del
forzamento se e solo se ω ≠ ω 0 . È facile verificare che
i p ( t) =
Em
2L
 2ω
 2
sin(ωt)
 ω − ω 20
 tcos(ω t)

0
per ω ≠ ω 0
per ω = ω 0
(136)
Per ω ≠ ω 0 la funzione i(t), descritta dalla (135), è la somma di due funzioni sinusoidali con
pulsazioni diverse, e quindi, in generale, è una funzione quasi-periodica che dipende dallo stato
iniziale dell'induttore e del condensatore (anche per t → +∞ ). Questa funzione è limitata per ogni
istante di tempo. Invece per ω = ω 0 la (135) è la somma di una funzione sinusoidale ad ampiezza
321
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
costante e di una funzione sinusoidale con un’ampiezza che cresce linearmente nel tempo; per
t → +∞ l’ampiezza della corrente diverge.
In figura 22 è illustrata la forma d'onda della corrente quando lo stato iniziale dell'induttore è
quello di riposo e la tensione iniziale del condensatore è uguale a E m / 2 ,
i(t) =
Em
t cos(ω 0t)
2L
(137)
Quando non ci sono perdite e il generatore di tensione è in risonanza con il circuito, l'azione del
generatore è sincrona con l'oscillazione naturale del circuito. Ciò rende possibile un continuo
trasferimento di energia dal generatore al circuito. Nel caso illustrato in figura (22) la potenza
istantanea erogata dal generatore di tensione è
ˆpe (t) =
2
Em
t[cos(ω 0 t)]2 ≥ 0 .
L
(138)
Essa è sempre positiva e la sua ampiezza cresce linearmente nel tempo: l'energia fornita dal
generatore è immagazzinata nell'induttore e nel condensatore.
i(t)
0
Figura 22
t
Andamento temporale della corrente i(t) nel circuito risonante LC serie per condizioni
iniziali nulle.
Per esercizio, il lettore descriva il fenomeno della risonanza nel circuito RLC parallelo illustrato in
figura 23.
Figura 23
Circuito risonante parallelo: j(t) = J m cos(ωt + ϕ) .
8.8 Cenni sui sistemi elettrici di potenza e sulle reti elettriche trifase
Nell'ingegneria dei sistemi elettrici di potenza funzionanti in regime sinusoidale (come quelli che
producono energia elettrica e poi la distribuiscono per essere utilizzata nelle abitazioni, negli uffici,
322
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
nei laboratori, nelle industrie, ...) si usa definire il fasore rappresentativo di una generica grandezza
sinusoidale usando come modulo il valore efficace della grandezza sinusoidale al posto del valore
massimo.
Il valore efficace X eff (valore quadratico medio) di una grandezza periodica x(t) di periodo T è
così definito
X eff ≡
1T 2
∫ x (t)dt ;
T0
(139)
quindi il valore efficace della grandezza sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + α) è dato da
A eff ≡
1T
A
2
∫ [A m cos(ωt + α )] dt = m .
T0
2
(140)
Il fasore rappresentativo della grandezza sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + α) può essere, allora,
definito usando il valore efficace della grandezza sinusoidale come modulo, cioè
a(t) = Am cos(ωt + α) ⇔ A = Aeff e i α .
(141)
È immediato verificare che la potenza media assorbita da un generico bipolo in regime sinusoidale è
(non c'è più il fattore 1/2)
Pm =
1T
∫ p(τ)dτ = I eff V eff cos(β − α) = I eff Veff cos(φ) ,
T0
(142)
dove abbiamo posto φ = (β − α) (la corrente è i(t ) = Im cos(ωt + α) e la tensione è
v(t) = V m cos(ωt + β) ). La potenza media assorbita dal resistore è (essa ricorda l'espressione del
caso stazionario)
2
Veff
2
Pm = R Ieff =
.
R
(143)
La potenza complessa è definita come (non c'è più il fattore 1/2 perché il modulo del fasore
rappresentativo della tensione è il valore efficace della tensione e il modulo del fasore
rappresentativo della corrente è il valore efficace della corrente)
P = V I∗.
(144)
L'espressione della potenza reattiva assorbita da un bipolo diventa
Q = Ieff V eff sin(β − α) = Pm tan φ .
(145)
Ad esempio, nelle abitazioni, la società per l'energia elettrica fornisce l'alimentazione a 220 volt in
regime sinusoidale, dove 220 è il valore efficace della tensione sinusoidale; la frequenza della
tensione sinusoidale è 50 Hz. Pertanto la tensione istantanea è 220 2 cos(2π 50t + γ )
( V m = 220 2 ≅ 311 volt, ω = 2π 50 ≅ 314 rad / s , la fase iniziale γ dipende dalla scelta
dell'origine per la coordinata temporale).
323
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Nei sistemi di potenza i valori nominali di tensione e di corrente che assicurano il corretto
funzionamento del bipolo utilizzatore
(ad esempio, una lampada elettrica, un televisore, un
computer, un motore elettrico monofase, ...) sono espressi tramite i valori efficaci.
In generale la caratteristica di un bipolo utilizzatore può essere specificata attraverso: (a) il valore
efficace V eff della tensione di funzionamento; (b) la potenza media nominale Pm assorbita dal
bipolo (oppure la potenza apparente); (c) il fattore di potenza cos φ ; (d) e il segno della potenza
reattiva assorbita. Da queste grandezze è possibile ricavare tutte le altre, ad esempio, il valore
efficace nominale della corrente e l'impedenza del bipolo, utilizzando le relazioni (essendo R ≥ 0
per i bipoli passivi)
Pm
, φ = sgn(Q)arccos(cos φ) ,
V eff cosφ
2
V eff
2
Ý
R = Re{Z} =
cos φ, X = Im{ZÝ} = R tanφ .
Pm
I eff =
(146)
(147)
- Applicazione: trasmissione dell’energia elettrica
Si consideri il circuito rappresentato in figura 24. Esso è in regime sinusoidale. Determinare la
potenza media e la potenza reattiva assorbita dal bipolo di impedenza ZÝL . Il bipolo utilizzatore “U” è
caratterizzato dal valore efficace nominale V u della tensione, dalla potenza media assorbita Pu e
dal fattore di potenza cos φu (si assuma che la potenza reattiva da esso assorbita sia positiva).
Pertanto è fissato il valore efficace nominale della corrente Ieff u dell'utilizzatore e il ritardo del
fasore della corrente rispetto a quello della tensione. Il circuito è alimentato con un generatore di
tensione ( E è il fasore rappresentativo della tensione).
Nel circuito sono presenti due trasformatori ideali con rapporto di trasformazione n ( n > 1). Il
primo trasformatore eleva il valore efficace della tensione di un fattore n , il secondo lo abbassa dello
stesso fattore. Questo circuito è il più semplice modello del sistema di trasmissione dell'energia
elettrica: l'impedenza ZÝL porta in conto gli effetti dovuti ai conduttori delle linee elettriche con i
quali viene trasmessa l'energia elettrica dalle centrali di produzione ai luoghi dove deve essere
utilizzata (queste linee possono essere lunghe parecchie centinaia di chilometri, anche migliaia di
chilometri).
Figura 24
Modello semplificato di un sistema per la trasmissione dell'energia elettrica.
Posto ZÝL = R L + i X L , (la parte reale è legata alle perdite per effetto joule nei conduttori che
trasportano l'energia elettrica e la parte immaginaria è legata al valore medio dell'energia del campo
magnetico immagazzinata nella regione di spazio attorno ai conduttori), la potenza media e la
potenza reattiva assorbite dal bipolo di impedenza ZÝL sono, rispettivamente,
324
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
2
PL = R L Ieff
L
(148)
2
QL = XL Ieff
L.
Usando le equazioni caratteristiche del trasformatore ideale, si ottiene
V
Vu = 2
n
I
IL = u
n
V1 = n E
(149)
Ig = n I L.
Pertanto la potenza attiva e la potenza reattiva assorbite da ZÝL sono
(
)
1
2
PL = 2 R L Ieff
u ,
n
(
)
1
2
QL = 2 XL Ieff
u .
n
(150)
Allora tra la tensione del generatore di tensione e la tensione del bipolo utilizzatore c'è la relazione
( ZÝu è l'impedenza dell'utilizzatore):
Ý
1
1 Z

V u − E = 2 ZÝL Iu = 2  ÝL V u  .
n
n  Zu 
(
)
(151)
2
Un filo di rame con la sezione di 1 cm e lungo 1 km ha una resistenza elettrica di circa 0.2 Ω (alla
temperatura ambiente); pertanto un collegamento (realizzato con due fili) di 100 km è caratterizzato
da una resistenza elettrica di circa 40 Ω.
La resistenza equivalente di un'utenza domestica non supera il valore di 10 Ω, quella di un
condominio è molto più piccola perché è l'equivalente di tanti “resistori” equivalenti in parallelo, e
così via. Allora è chiaro che la resistenza del collegamento e così anche la reattanza possono essere
molto più grandi di quelle dell'utilizzatore. Se n fosse uguale a uno, il che è equivalente ad un sistema
senza trasformatori, avremmo che, la maggior parte della potenza prodotta dal generatore sarebbe
assorbita dal conduttore di collegamento e la tensione sull'utilizzatore sarebbe molto diversa da quella
del generatore. La cosa più grave sarebbe che la tensione dell'utilizzatore dipenderebbe sensibilmente
dalla sua impedenza (ad esempio, se il vicino di casa accendesse in questo istante la lavatrice o il
forno elettrico la tensione potrebbe ridursi in modo tale da non potere far funzionare il computer con
cui sto scrivendo). È, allora, evidente che se si utilizzano due trasformatori, così come descritto in
figura 24, con un rapporto di trasformazione n molto elevato (n può essere anche dell'ordine di 1000),
si riduce drasticamente la potenza assorbita dai conduttori di collegamento (essa deve essere molto
più piccola di quella realmente utilizzata) e la tensione sull'utilizzatore si discosta di poco dalla
tensione del generatore, perché viene ridotto drasticamente il valore efficace della corrente nei
conduttori di collegamento rispetto alla corrente dell'utilizzatore. In questo modo, dovendo restare
inalterata la potenza elettrica assorbita dal bipolo utilizzatore, viene aumentato notevolmente il valore
efficace della tensione tra i conduttori di collegamento (si raggiungono valori dell'ordine delle
centinaia di kV). Siccome non è possibile realizzare generatori di tensione sinusoidale di potenza con
valori efficaci così elevati, c'è bisogno del trasformatore T1 che eleva la tensione. Tipicamente in
una stazione di potenza la tensione prodotta da un generatore in alternata varia tra 10 e 30 kV. Viene,
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
325
poi, aumentata fino a centinaia di kV per trasmissioni a lunga distanza e infine diminuita per le
fabbriche, per i laboratori, gli uffici, le case ... .
Le perdite lungo la linea si riducono, anche, mantenendo il fattore di potenza dell’utilizzatore
quanto più possibile prossimo a uno (vedi esempio sul rifasamento). Per ridurre il fattore di potenza,
a parità di potenza media assorbita, basta collegare un condensatore in parallelo all'utilizzatore se
l'utilizzatore assorbe potenza reattiva (vedi l'esempio del rifasamento).
Un sistema di potenza con tensioni sinusoidali, quindi, è più conveniente di un sistema con
tensioni costanti poiché con esso è più facile aumentare e diminuire la tensione con trasformatori
(questi trasformatori devono essere necessariamente realizzati con induttori accoppiati perché le
grandezze elettriche in gioco sono molto elevate). Inoltre i generatori di tensioni sinusoidali
(alternatori) sono più facili da costruire rispetto alla apparecchiature che producono tensioni costanti
(generatori in continua o dinamo), perché gli avvolgimenti ad alta tensione e quindi ad elevate
correnti sono sulla parte fissa dell'apparecchiatura (statore), invece che sulla parte rotante (rotore)
come in una dinamo.
- Reti elettriche trifase
Alla fine di questo Capitolo spiegheremo il motivo per cui i generatori e più in generale i circuiti
trifase sono impiegati nei sistemi di potenza.
Un bipolo generatore di tensione sinusoidale di un sistema di potenza prende il nome di
generatore monofase. Oltre ai generatori monofase, nei sistemi di potenza in regime sinusoidale
sono molto diffusi i generatori trifase.
Figura 25
Si consideri un tripolo G e lo si caratterizzi attraverso i potenziali di nodo, figura 25 (il nodo di
riferimento per il potenziale è all'interno del tripolo G). Si assuma che i tre potenziali
e1 = e1 (t), e 2 = e 2 (t), e3 = e3 (t) siano indipendenti dalle tre correnti i1 = i1 (t), i2 = i 2 (t),
i 3 = i3 (t) . Questo è un tripolo generatore indipendente di tensione. In figura 25b è illustrato un
circuito equivalente a stella costituito da tre bipoli generatori indipendenti di tensione (è possibile
anche considerare un circuito equivalente a triangolo). Ai potenziali di nodo e1 (t), e 2 (t), e 3 (t) si
dà il nome di tensioni stellate del generatore (esse sono proprio le tensioni su ciascun bipolo
generatore del circuito equivalente a stella di figura 25b). Alle tre tensioni v12 (t), v23 (t), v31 (t) si
dà il nome di tensioni concatenate. Per esse si ha
326
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
v12 = e1 − e2
v 23 = e 2 − e3
v 31 = e3 − e1.
(152)
Le tre tensioni stellate sono tra loro indipendenti, invece le tre tensioni concatenate non sono
indipendenti tra di loro: per la legge di Kirchhoff per le tensioni la loro somma deve essere uguale a
zero
v12 + v23 + v31 = 0 .
(153)
Il tripolo G prende il nome di generatore sinusoidale trifase simmetrico di tensione se
e1 (t) = E m cos(ωt + ϕ)
e 2 (t) = E m cos(ωt + ϕ − 2π / 3)
e 2 (t) = E m cos(ωt + ϕ − 4π / 3).
(154)
I fasori rappresentativi delle tensioni stellate sono
E1 = Eeff e i ϕ
E2 = Eeff ei (ϕ−2 π/3)
(155)
E3 = Eeff e i(ϕ− 4π /3) ,
dove
Eeff =
Em
.
2
(156)
Si Noti che per l’insieme delle tensioni stellate vale la relazione
E1 + E2 + E3 = 0 ,
(157)
e1 (t) + e 2 (t) + e 3 (t) = 0 .
(158)
e quindi
I fasori rappresentativi delle tensioni concatenate sono
V12 = E1 − E2 = 3 E1e − i π/6 = 3 Eeff ei (ϕ−π /6)
V 23 = E2 − E3 = 3 E2e − i π/6 = 3 Eeff ei (ϕ−5π /6)
(159)
V31 = E3 − E1 = 3 E3e− i π/6 = 3 Eeff e i(ϕ−3 π/2 ) .
Il diagramma fasoriale delle tensioni stellate e delle tensioni concatenate è illustrato in figura 26. Sia
per le tensioni stellate che per quelle concatenate i fasori rappresentativi formano una terna
simmetrica diretta (l'aggettivo “diretta” sta a indicare che il fasore E1 (V12 ) è in ritardo rispetto al
fasore E2 (V 23 ) e così il fasore E2 (V 23 ) è in ritardo rispetto al fasore E3 (V 31 ) ).
327
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Figura 26 Diagramma fasoriale delle tensioni stellate e concatenate di un sistema trifase simmetrico
diretto.
Si supponga di avere un generatore che produca tensioni sinusoidali trifase, come specificato
dall’equazione (154). Si connetta al tripolo G un tripolo utilizzatore U rappresentabile, ad esempio,
attraverso una configurazione a stella di tre bipoli con le tre impedenze ZÝ1, ZÝ2 , ZÝ3 (in figura 27 è
rappresentato il circuito di impedenze corrispondente); è possibile considerare anche una
é
é
é
rappresentazione equivalente a triangolo attraverso le impedenze =
12 =23 =31 (queste impedenze
sono legate a quelle della rappresentazione a stella attraverso le relazioni di trasformazione stellatriangolo che valgono per i resistori).
Figura 27
Applicando il metodo dei potenziali di nodo si ottiene
1=
,
1−
(
(
Q
é
=
2 =
,
1
dove
(
Q
2−
(
é
=
2
(
Q
3=
,
3−
(
(
Q
é
=
,
(160)
3
è il potenziale del centro stella dell'utilizzatore. Dovendo essere
1 + ,2 + ,3
,
= 0,
(161)
utilizzando le (160) si ottiene l'espressione per il potenziale
(
1
(
Q
é
=
= 11
(
(
+ é2 + é3
+
é
=
1
(
Q
=
=
2
1
é
=
2
+
3
1 .
(162)
é
=
3
Se le tre impedenze ZÝ1, ZÝ2 , ZÝ3 sono diverse tra di loro, non c'è nessuna relazione particolare tra i
fasori rappresentativi delle tre correnti (in questo caso si dice che le tre correnti sono squilibrate e
l'utilizzatore è squilibrato).
Si consideri ora il caso in cui le tre impedenze siano uguali,
ZÝ1 = ZÝ2 = ZÝ3 = ZÝ.
(163)
328
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
In questo caso, essendo E1 + E2 + E3 = 0 , si ottiene dalla (162)
EQ = 0 ,
(164)
E
E
E
I1 = Ý1 , I2 = Ý2 , I3 = Ý3 .
Z
Z
Z
(165)
ZÝ = Zei φ u ,
(166)
e quindi
Posto
dalle (165) si ha
I1 =
Eeff i(ϕ− φ )
Eeff i (ϕ −φ −2 π/3)
Eeff i(ϕ− φ −4 π/3)
u
u
u
e
, I2 =
e
, I3 =
e
,
Z
Z
Z
(167)
e quindi le correnti nel dominio del tempo sono
E
i1 (t) = m cos(ωt + ϕ − φu )
Z
E
i 2 (t) = m cos(ωt + ϕ − φ u − 2π / 3)
Z
E
i 3 (t) = m cos(ωt + ϕ − φu − 4π / 3).
Z
(168)
Quando le tre impedenze sono uguali, le tre correnti costituiscono anche esse una terna simmetrica
diretta. In questo caso si dice che il sistema trifase è equilibrato nelle correnti e si dice che
l'utilizzatore è un carico equilibrato. Si osservi che le tre correnti (168) (o (167)) sono le stesse che
si avrebbero se i due centri stella fossero collegati con un corto circuito (cioè con un conduttore
ideale).
Si calcoli ora la potenza istantanea fornita dal generatore trifase G all'utilizzatore U quando esso è
equilibrato. Si ottiene
p(t) = i1(t)e1 (t) + i 2 (t)e 2 (t) + i 3 (t)e3 (t)
=
E 2eff
[cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u )]+
Z
2
E eff
[cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u − 4π / 3)]+
Z
(169)
E 2eff
[cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u − 8π / 3)].
Z
È facile verificare, tramite il calcolo diretto, che la somma dei tre termini sinusoidali a pulsazione 2ω
è identicamente nulla (anche ad essi corrisponde una terna simmetrica di fasori rappresentativi), e
quindi la potenza istantanea erogata dal generatore trifase è costante nel tempo ed è
p(t) = 3
2
Eeff
Z
cosφ u .
(170)
Pertanto la potenza erogata da un generatore trifase, quando il sistema delle correnti è equilibrato
(carico equilibrato), è costante in regime sinusoidale. Di conseguenza la coppia meccanica richiesta
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
329
dall'alternatore trifase è anche essa costante nel tempo (di conseguenza non si hanno vibrazioni
nell'intero sistema meccanico che fornisce l'energia che l'alternatore trasforma in energia elettrica). In
questi casi la potenza istantanea è uguale a quella media e quindi è uguale alla parte reale della
potenza complessa assorbita dal tripolo utilizzatore. Invece, negli alternatori monofase la coppia è
variabile nel tempo perchè la potenza istantanea varia periodicamente.
Nelle industrie, nei laboratori, ... la società per l'energia elettrica fornisce un'alimentazione trifase
con una tensione concatenata a 380 volt e quindi una tensione stellata a circa 220 volt (380 e 220
sono i valori efficaci e la frequenza è sempre 50 Hz).
Per i carichi equilibrati i valori nominali di tensione e di corrente che assicurano il corretto
funzionamento (ad esempio, un motore trifase, l'alimentatore di un sistema di calcolo o di un
impianto di telecomunicazione, ...) sono espressi tramite i valori efficaci. In generale la caratteristica
può essere specificata, allo stesso modo del caso monofase, cioè attraverso il valore efficace della
tensione concatenata V eff (o della tensione stellata), la potenza media nominale Pm assorbita dal
carico (oppure la potenza apparente), il fattore di potenza cos φ e il segno della potenza reattiva
assorbita. Da queste grandezze è possibile ricavare tutte le altre, come nel caso dell'utilizzatore
monofase. Per il valore efficace nominale delle correnti, per lo sfasamento del fasore della corrente
rispetto a quello della tensione stellata corrispondente e per l'impedenza del bipolo equivalente nella
rappresentazione a stella si hanno le seguenti formule (essendo R ≥ 0 per gli elementi passivi)
I eff =
Pm
, φ = sgn(Q) arccos (cos φ) ,
3 Veff cos φ
R = Re{ZÝ} =
2
3 V eff
2
cos φ, X = Im{ZÝ} = R tanφ .
Pm
(171)
(172)
8.9 Voltmetro, amperometro e wattmetro
La misura delle grandezze elettriche di un circuito è fondamentale nella fase di realizzazione di un
circuito, nello studio sperimentale del suo comportamento e nel controllo del suo funzionamento. Noi
qui faremo solo dei brevi cenni agli elementi circuitali ideali che modellano gli strumenti di misura
fondamentali: il voltmetro, l'amperometro e il wattmetro. Il voltmetro, in generale, misura la tensione
tra due nodi di un circuito, l'amperometro misura la corrente che circola nel terminale di un dato
elemento e il wattmetro misura la potenza assorbita da un elemento.
330
Figura 28
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Simbolo del voltmetro (a), inserzione del voltmetro (b), simbolo dell’amperometro (c) e
inserzione dell’amperometro (d).
- Voltmetro
Il voltmetro ideale è un bipolo (il simbolo è illustrato in figura 28a), che inserito in un circuito,
come illustrato in figura 28b, misura la tensione tra i due nodi a cui è collegato. Per misurare la
tensione di un bipolo bisogna collegare il voltmetro in parallelo ad esso: in figura 28b il voltmetro
misura la tensione del bipolo B.
Il voltmetro ideale si comporta da circuito aperto, cioè la corrente che circola in esso è sempre
uguale a zero, qualunque sia il valore della tensione ad esso applicato. Di conseguenza la sua
inserzione non altera il funzionamento del circuito.
In regime stazionario il voltmetro misura il valore della tensione; il contrassegno “+” sta a indicare
il riferimento per il verso della tensione indicata dallo strumento. Lo strumento indica la tensione che
ha come verso di riferimento quello che punta verso il morsetto contrassegnato con “+”. Ad esempio,
in figura 28b il voltmetro indica la tensione v.
In regime sinusoidale il voltmetro indica il valore efficace della tensione sinusoidale che si sta
misurando. In questo caso, essendo il valore efficace una grandezza definita positiva, non c'è nessun
morsetto di riferimento. Nel simbolo, ovviamente, viene omesso il contrassegno “+”. Ovviamente la
costituzione fisica dello strumento per la misura della tensione costante è diversa, almeno in parte,
dalla costituzione fisica dello strumento per la misura del valore efficace della tensione sinusoidale.
È possibile misurare una tensione variabile nel tempo con una forma d'onda arbitraria: in questo
caso il voltmetro dà l'evoluzione temporale della tensione in esame. Uno strumento che fa questo è
l'oscilloscopio. Attraverso opportuni sistemi è anche possibile convertire le tensioni rivelate in una
sequenza di bit e poi memorizzarli ed eventualmente elaborarli tramite un calcolatore (transient
recorder).
- Amperometro
L'amperometro ideale è un bipolo (il simbolo è illustrato in figura 28c), che misura la corrente che
circola nel terminale a cui è collegato, (figura 28d). Per misurare la corrente che circola in un bipolo
bisogna collegare l'amperometro in serie ad esso: in figura 28d l'amperometro misura la corrente che
circola nel bipolo B.
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
331
L’amperometro ideale si comporta da corto circuito, cioè la tensione tra i suoi terminali è sempre
uguale a zero, qualunque sia il valore della corrente che in esso circola. Di conseguenza la sua
inserzione, come nel caso del voltmetro ideale, non altera il funzionamento del circuito.
In regime stazionario l'amperometro misura il valore della corrente. Il contrassegno “+” sta a
indicare il riferimento per il verso della corrente indicata dallo strumento: lo strumento indica la
corrente che ha come verso di riferimento quello che punta verso il morsetto contrassegnato con “+”.
Ad esempio, in figura 28d l'amperometro indica la corrente i.
In regime sinusoidale l'amperometro indica il valore efficace della corrente sinusoidale che si sta
misurando. Anche in questo caso non c'è nessun morsetto di riferimento, e quindi nel simbolo viene
omesso il contrassegno “+”. La costituzione fisica dello strumento per la misura della corrente
costante è diversa, almeno in parte, dalla costituzione fisica dello strumento per la misura del valore
efficace della corrente sinusoidale.
Si osservi che, inserendo in serie a un bipolo la porta di controllo di un generatore di tensione
controllato in corrente, è possibile misurare la corrente che in esso circola attraverso un voltmetro
collegato alla porta di uscita, senza alterare il funzionamento di un circuito. In questo modo possiamo
misurare, ad esempio, una generica corrente variabile nel tempo utilizzando un oscilloscopio o un
transient recorder.
- Wattmetro
Il wattmetro ideale è un doppio bipolo (il simbolo è illustrato in figura 29a), che misura la potenza
assorbita da un bipolo se inserito come mostrato in figura 29b. Per misurare la potenza assorbita dal
bipolo bisogna collegare la porta voltmetrica in parallelo al bipolo e la porta amperomaterica in serie.
La porta voltmetrica “rileva” la tensione e la porta amperometrica la corrente. Se l'inserimento del
wattmetro è fatto in modo tale che i due contrassegni per i versi di riferimento della porta voltmetrica
e della porta amperometrica sono in accordo con la convenzione dell'utilizzatore, allora il wattmetro
indica la potenza assorbita, altrimenti indica la potenza erogata. In figura 29b il wattmetro misura la
potenza assorbita dal bipolo B.
La porta voltmetrica di un wattmetro ideale si comporta da circuito aperto e quella amperometrica
da corto circuito. Di conseguenza la sua inserzione, come nel caso del voltmetro e dell'amperometro
ideale, non altera il funzionamento del circuito.
In regime stazionario il wattmetro misura la potenza assorbita dal bipolo, invece in regime
sinusoidale il wattmetro misura la potenza media assorbita dal bipolo. Anche in questo caso la
costituzione fisica dello strumento per la misura della potenza nel regime costante è diversa dalla
costituzione fisica dello strumento per la misura della potenza media del regime sinusoidale.
332
Figura 29
Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica
Simbolo del wattmetro: 1A − 1A morsetti porta amperometrica, 2 V − 2 V morsetti porta
voltmetrica (a), inserzione del wattmetro per la misura della potenza assorbita.
’
’
Cosa indica il wattmetro quando la porta amperometrica è connessa in serie a un bipolo diverso da
quello a cui è collegata la porta voltmetrica? In questo caso il wattmetro indica il prodotto tra la
tensione rivelata dalla porta voltmetrica e la corrente rivelata dalla porta amperometrica se le
grandezze sono costanti nel tempo, cioè
W = VI .
(173)
Se le grandezze variano sinusoidalmente, allora il wattmetro indica
W = Re{ VI },
*
(174)
dove V e I sono, rispettivamente, i fasori della tensione e della corrente sinusoidali “rivelate” dalla
porta voltmetrica e dalla porta amperometrica (definiti in base ai valori efficaci). In entrambi i casi i
versi di riferimento per la tensione e la corrente sono concordi con i due contrassegni “+”.