Divisibilità e fattorizzazione

Divisibilità e Fattorizzazione Def: dati due numeri naturali 𝑎 e 𝑏: - se 𝑎 è DIVISIBILE per 𝑏, allora 𝑎 è MULTIPLO di 𝑏 - se 𝑏 è DIVISORE di 𝑎, allora 𝑏 è SOTTOMULTIPLO di 𝑎. Esempio: 10 è divisibile per 2 ! 10 è multiplo di 2 2 è divisore di 10 ! 2 è sottomultiplo di 10 Proprietà: L’insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito. L’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito. Esempio: 𝐷(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} insieme dei divisori di 12 𝐷 32 = 1; 2; 4; 8; 16; 32 insieme dei divisori di 32 𝑀(4) = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; … } 𝑀(10) = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100 … } insieme dei multipli di 4 insieme dei multipli di 10 Def: si dicono PARI tutti i MULTIPLI DI 2; si dicono DISPARI i numeri naturali non pari. Es: 28 è multiplo di 2 ! PARI 27 non è multiplo di 2 ! DISPARI CRITERI DI DIVISIBILITÀ DIVISIBILITÀ PER 𝟐: un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è PARI. Es: 296 ! 6 è pari ! è divisibile per 2 9870 ! 0 è pari ! è divisibile per 2 123 ! 3 non è pari ! non è divisibile per 2 DIVISIBILITÀ PER 𝟑: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3 Es: 123 ! (1 + 2 + 3) = 6 ! 6 è divisibile per 3 ! 123 è divisibile per 3 24732 ! (2 + 4 + 7 + 3 + 2) = 18 !18 è divisibile per 3 ! 24732 è divisibile per 3 7153 ! (7 + 1 + 5 + 3) = 16 ! 16 non è divisibile per 3 ! 7153 non è divisibile per 3 1
DIVISIBILITÀ PER 𝟒: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono un multiplo di 4, oppure 2 zeri Es: 716 ! 16 è multiplo di 4 ! 716 è divisibile per 4 518 ! 18 NON è multiplo di 4 ! 518 NON è divisibile per 4 1200 ! finisce con 00 ! è divisibile per 4 1201 ! 01 NON è multiplo di 4 ! non è divisibile per 4 1100 ! è divisibile per 4 DIVISIBILITÀ PER 𝟓: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5 Es: 2765 ! è divisibile per 5 1110 ! è divisibile per 5 32000 ! è divisibile per 5 5555 ! è divisibile per 5 DIVISIBILITÀ PER 𝟗: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9 Es: 162 ! (1 + 6 + 2) = 9 ! 162 è divisibile per 9 7308 ! (7 + 3 + 0 + 8) = 18 ! 18 è multiplo di 9 ! è divisibile per 9 26070 ! (2 + 6 + 0 + 7 + 0) = 15 ! 15 NON è multiplo di 9 ! NON è divisibile per 9 DIVISIBILITÀ PER 𝟏𝟏: un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari è un multiplo di 11 (il posto delle cifre si conta a partire da sinistra verso destra) Es: 9185 cifra di posto 1: 9 cifra di posto 2: 1 cifra di posto 3: 8 cifra di posto 4: 5 somma delle cifre di posto dispari: 9 + 8 = 17 somma delle cifre di posto pari: 1 + 5 = 6 differenza: 17 − 6 = 11 11 è multiplo di 11 ! 9185 è divisibile per 11 somma delle cifre di posto dispari: 1 + 0 + 1 = 2 somma delle cifre di posto pari: 7 + 9 + 8 = 24 differenza: 24 − 2 = 22 22 è multiplo di 11 ! 170918 è divisibile per 11 Es: 170918 cifra di posto 1: 1 cifra di posto 2: 7 cifra di posto 3: 0 cifra di posto 4: 9 cifra di posto 5: 1 cifra di posto 6: 8 2
DIVISIBILITÀ PER 𝟏𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟎𝟎,…: un numero è divisibile per 10,100,1000,… se termina rispettivamente con 1,2,3, … zeri Es: 1200 ! divisibile per 100 340 ! divisibile per 10 54000 ! divisibile per 1′000 12100 ! divisibile per 100 DIVISIBILITÀ PER 𝟐𝟓: un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono divisibili per 25 oppure termina con 00. Es: 725 ! 25 è divisibile per 25 ! è divisibile per 25 1875 ! 75 è divisibile per 25 ! è divisibile per 25 2505 ! 05 NON è divisibile per 25 ! NON è divisibile per 25 14000 ! 00 ! è divisibile per 25 Def: Un numero naturale si dice PRIMO se è divisibile solo per se stesso e per 1. Un numero naturale si dice COMPOSTO se ammette altri divisori oltre se stesso e 1. Es: 5 ! 𝐷(5) = {1; 5} primo 7 ! 𝐷(7) = {1; 7} primo 9 ! 𝐷(9) = {1; 3; 9} composto NUMERI PRIMI DA 𝟏 A 𝟓𝟎 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Def: Scomporre un numero in FATTORI PRIMI significa trovare tutti i NUMERI PRIMI il cui prodotto è uguale al numero dato. METODO DELLA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: 30 15 5 1 2 3 5 150 2 ∙ 5 15 3 5 5 1 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
150 = 2 ∙ 3 ∙ 5! 3
OSSERVAZIONE: se il numero da scomporre termina con 0, si può dividere subito per 2 · 5 (= 10), e poi per gli altri numeri primi. 5600 2 ∙ 5 560 2 ∙ 5 56 2 28 2 14 2 7 7 1 5600 = 2! ∙ 5! ∙ 7 OSSERVAZIONE: se il numero da scomporre termina con 2, 3, 4, … zeri, si deve dividere per 2 · 5 (= 10), fino a mandare via tutti gli zeri, poi si continua con gli altri numeri primi. 4