Statistica Applicata all`edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Statistica Applicata all’edilizia: Alcune
distribuzioni di probabilità
Orietta Nicolis
E-mail: [email protected]
23 marzo 2010
Orietta Nicolis
Statistica Applicata all’edilizia: alcune distribuzioni di probabilità
Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Indice
1
Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
2
Distribuzioni di probabilità continue
La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
Orietta Nicolis
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Indice
1
Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
2
Distribuzioni di probabilità continue
La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Esempio: Variazioni del tasso Euribor.
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
−0.04 −0.03 −0.02 −0.01
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0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Distribuzioni di probabilità
L0 istogramma serve a descrivere i dati del campionamento.
Il campione è un insieme scelti da una popolazione più ampia.
La distribuzione di probabilità è un modello matematico che
collega il valore della variabile alla probabilità che tale valore si
trovi all0 interno della popolazione
Esempio: è possibile considerare le variazioni del tasso Euribor come
variabile casuale poichè assume valori diversi nella popolazione in
conseguenza di meccanismi casuali.
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Indice di simmetria
β1 =
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
E[(X − µ)3 ]
σ3
dove
- β1 = 0, nel caso di perfetta simmetria;
- β1 < 0, per l’asimmetria a destra;
- β1 > 0, per l’asimmetria a sinistra.
Indice di curtosi
γ2 = β2 − 3 dove β2 =
E[(X − µ)4 ]
σ4
e se
- γ2 > 0, la curva si definisce leptocurtica (più
’appuntita’);
- γ2 < 0, la curva si definisce platicurtica, cioè più
piatta di una normale;
- γ2 = 0, la curva si definisce normocurtica, cioè
piatta come una normale.
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Esercizio: Controllo di qualità di un processo
produttivo
Un’azienda produttrice di materiale per l’edilizia ispeziona ogni
prodotto che esce dalla sua linea produttiva. Il prodotto può essere
ritenuto buono o difettoso.
L0 esperienza passata indica che il 5% dei pezzi prodotti è difettoso.
Se si estraggono a caso 4 pezzi (in modo indipendente), determinare
1
qual’è la probabilità di non estrarre alcun pezzo difettoso?
2
qual’è la probabilità che ci sia almeno un pezzo difettoso?
3
qual’è il valore atteso e la varianza dei pezzi difettosi;
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Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
La VCD Bernulliana
La v.c. Bernulliana indica il numero di successi in una prova. Si
considera un esperimento casuale che può dar luogo a due possibili
risultati S: successo e S: insuccesso e sia p la probabilità di S.
Definizione La variabile casuale Bernullliana (o indicatore)
assume valore uno se si verifica S e zero altrimenti, ossia
X = 1 se è vero S X = 0 se è vero S
Distribuzione
1 − p se x = 0
p (x) =
p
se x = 1
Momenti
E (X ) = p;
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Var (X ) = p(1 − p).
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
La VCD Binomiale Bin(n, p)
La v.c. Binomiale indica il numero di successi in n prove indipendenti
Si ripete n volte un esperimento casuale che può dar luogo a due
possibili risultati S: successo e S: insuccesso. Sia p la probabilità di
S.
L’esperimento è ripetuto in modo che
le n prove sono indipendenti;
la probabilità di successo p non cambia di prova in prova.
Definizione
La variabile casuale discreta semplice X , numero di ripetizioni
dell’esperimento che danno luogo ad un successo, è chiamata
variabile casuale Binomiale. Le possibili determinazioni della
Binomiale sono:
0, 1, 2, ..., n
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
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Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione binomiale:
n x
n−x
p (x) =
p (1 − p)
, x = 0, 1, ..., n
x
Momenti:
E (X ) =
n
X
xp (x) =
x=0
n
X
n x
n−x
x
p (1 − p)
= np
x
x=0
Var (X ) = np (1 − p)
Additività:
X ˜ Bin (n, p)
indip Y ˜ Bin (m, p)
⇓
Z = X + Y ˜ Bin (n + m, p)
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Soluzione esercizio: Controllo di qualità di un
processo produttivo
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Esempi
1
2
3
Estrazioni da un urna con rimessa
Se n = 1 si ha Bin (1, p) = B (p)
Distribuzione binomiale di parametri n = 5 e p = 1/3 con
MATLAB: y = binopdf (0 : 5, 5, 1/3), bar ([0 : 5]0 , y ), gridon)
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Esempi sulla distribuzione di Poisson
Esempio 1: numero di guasti
Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione
di materiale edile può essere considerata una variabile di
Poisson. Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al
giorno, determinare:
1
2
che in una giornata non abbia nessun guasto;
la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.
Esempio 2: analisi del fenomeno infortunistico
Da alcuni studi è emerso che il numero di medio di incidenti
mortali nel settore edile è pari a 2 incidenti alla settimana. Qual’è
la probabilità che in due settimane ci siano più di 5 incidenti?
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Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
La VCD di Poisson ℘ (λ)
La variabile di Poisson X è una variabile casuale discreta che
descrive il numero di realizzazioni di un evento aleatorio E per unità
di tempo, superficie o volume.
Si considera un evento che ricorre nel tempo in modo casuale (es:
interruzioni di energia elettrica, chiamate a un centralino di pronto
intervento, infortuni sul lavoro, incidenti stradali, richieste di intervento
per manutenzione ecc.) in modo che:
1
2
Le variabili casuali N(t, t + ∆t), numero di ricorrenze
nell’intervallo (t, t + ∆t), hanno funzione di probabilità che
dipende dall’ampiezza dell’intervallo ∆t ma non dalla origine t (
assunzione di stazionarietà);
le variabili casuali N(t1 , t2 ) e N(t10 , t20 ) sono indipendenti se si
riferiscono ad intervalli disgiunti.
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Funzione di probabilità:
x
p(x) =
(λ∆t) −λ∆t
e
x!
Momenti:
E(X ) =
∞
x
X
(λ∆t) −λ∆t
x
e
= λ∆t
x!
x=0
Var (X )
=
∞
X
x
x(x − 1)
x=0
(λ∆t) −λ∆t
e
+ λ∆t − (λ∆t)2 =
x!
= λ∆t
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Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Approssimazione della Binomiale: se n grande e p è piccolo
Bin (n, p) ∼
= ℘ (λ = np)
n x
λx −λ
p (1 − p)n−x =
e
n→∞ x
x!
np=λ
lim
Esempio: Dal punto di vista pratico se X è una binomiale con
1
n = 50000 e π = 10000
è un problema calcolare p(X > 5) ma in
base al precedente risultato tale probabilità può essere
approssimata usando la f.d.p. di una Poisson con parametro
1
λ = nπ = 50000 10000
= 5..
matlab: y = poisspdf (0 : 20, 5), bar ([0 : 20]0 , y ))
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Distribuzioni di probabilità continue
Distribuzione Bernulliana
Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
Esercizio
Il numero di guasti di una macchina utilizzata per la produzione di
materiale edile può essere considerata una variabile di Poisson.
Sapendo che la macchina si guasta in media 5 volte al giorno,
determinare:
1
2
che in una giornata non abbia nessun guasto;
la probabilità che ci siano almeno due guasti in mezza giornata.
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La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
Indice
1
Distribuzioni di probabilità discrete
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Distribuzione Binomiale
La distribuzione di Poisson
2
Distribuzioni di probabilità continue
La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
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Distribuzioni di probabilità continue
La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
Un ingegnere deve studiare la resistenza alla compressione del
cemento. Ipotizzando che la resistenza alla compressione sia una
variabile casuale distribuita come una Normale con media µ = 3000
psi e varianza σ 2 = 1000psi, determinare la probabilità che un
provino estratto a caso abbia una resistenza maggiore di 3200 psi.
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
La VCC Normale Standard N (0, 1)
Densità di Z
1 2
1
φ (x) = √ e− 2 x
2π
Ripartizione di Z
Z
x
φ (t) dt
Φ (x) =
−∞
Momenti
E (Z ) = 0
Var (Z ) = E Z 2 = 1
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Distribuzioni di probabilità discrete
Distribuzioni di probabilità continue
Problema diretto: Aree = Probabilità:
Z b
P (a < X < b) =
φ (x) dx = Φ (b) − Φ (a)
a
Problema inverso: Quantili (Percentili):
zα = Φ−1 (1 − α) = z̃1−α
SIMMETRIA:
P (Z < a) = P (Z > −a)
Φ (z) = 1 − Φ (−z)
⇒
zα = −z1−α
Kurtosi
EZ 4 = 3.
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Distribuzioni di probabilità continue
VCC Normale generica N µ, σ 2
Densità di X ˜N µ, σ 2
f x; µ, σ
2
1
= φ
σ
x −µ
σ
=
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
Ripartizione di X
F x; µ, σ 2 = Φ
x −µ
σ
Momenti
e
E (X ) = µ
Var (X ) = σ 2
Standardizzazione
X ˜ N µ, σ 2
Z ˜ N (0, 1)
⇒
⇒
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Z =
X −µ
˜ N (0, 1)
σ
X = µ + σZ ˜ N µ, σ 2
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Problema diretto: Aree = Probabilità:
a−µ
b−µ
P (a < X < b) = P
<Z <
σ
σ
Z b−µ
σ
b−µ
a−µ
φ (x) dx = Φ
−Φ
=
a−µ
σ
σ
σ
Problema inverso: Quantili (Percentili):
xα = µ + σΦ−1 (1 − α)
= µ + σzα = x̃1−α
Unità di misura della gaussiana N µ, σ 2 è ”σ”:
P (µ − σ < X < µ + σ)
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ)
P (µ − 3σ < X < µ + 3σ)
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∼
= 0.68
∼
= 0.95
∼
= 0.997
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La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
Esempio
La durata X in ore di una macchina, prima che si verifichi un guasto,
segue una legge Esponenziale di valore atteso E(X) = 2 ore.
1
Calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi prima di
un’ ora.
2
Calcolare la probabilità che il terzo guasto si verifichi dopo 3.45
ore, nell’ipotesi che la realizzazione di due guasti successivi
siano eventi indipendenti.
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La distribuzione Normale
La distribuzione Esponenziale, Gamma e Chi-quadro
La VCC Esponenziale Exp(λ)
La densità di probabilità è
f (x) = λe−λx
La funzione di ripartizione è
F (x) = 1 − e−λx
Momenti
1
λ
1
Var (X ) = 2
λ
La somma di n v.c. esponenziali, X1 , X2 , . . . , Xn , indipendenti di
parametro λ è una variabile Gamma di parametri n e λ
E(X ) =
X1 + X2 + . . . + Xn = Y ∝ Ga(n, λ)
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