CAP. 2 - CAMPIONAMENTO e DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

B. Chiandotto
Versione 2016
INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
CAP. 2 - CAMPIONAMENTO e DISTRIBUZIONI
CAMPIONARIE
Introduzione
Nella premessa a queste note si è avuto modo di distinguere la statistica descrittiva dalla
statistica induttiva (inferenza statistica) sottolineando che si opera nel primo ambito
quando si dispone di tutte le manifestazioni del fenomeno d’interesse, in tali circostanze
la statistica (descrittiva) si risolve in un insieme di metodi che consentono una
compattazione adeguata delle informazioni disponibili per rendere possibile o,
quantomeno, facilitare la comprensione degli aspetti del fenomeno che più interessano (a
fini conoscitivi e/o decisionali).
Se per qualche motivo (perché impossibile o perché non conveniente) non si dispone
di tutte le manifestazioni del fenomeno ma soltanto di un sottoinsieme di queste, si
dispone cioè di un campione casuale di manifestazioni del fenomeno d’interesse, la
statistica (induttiva) si caratterizza come l’insieme delle teorie e dei metodi che
consentono di pervenire, utilizzando i dati campionari, a delle conclusioni che siano “il
più vicino possibile” a quelle cui si sarebbe pervenuti disponendo di tutte le
manifestazioni del fenomeno.
Nel caso in cui si ritiene che il fenomeno sia governato da una legge esprimibile
analiticamente (modello probabilistico), anche se nella generalità dei casi si tratta di una
approssimazione alla realtà, qualunque insieme di manifestazioni del fenomeno a
disposizione rappresenta necessariamente un campione essendo l’intera popolazione
rappresentata dal modello (superpopolazione).
2.1 Campioni casuali
Se con P si indica l’insieme di tutte le possibili manifestazioni del fenomeno di interesse
e con Cp un suo sottoinsieme (Cp  P), operando su Cp (campione) si vogliono trarre
conclusioni valide per P , si vuole, cioè, inferire dal campione alla popolazione.
La statistica (induttiva) tratta in modo quasi esclusivo dei campioni casuali (campioni
probabilistici), cioè, dei sottoinsiemi Cp di P cui si perviene attraverso l’applicazione di
un qualche meccanismo di selezione avente natura probabilistica. Non costituisce, quindi,
parte integrante della statistica induttiva (inferenza statistica) l’analisi dei campioni non
probabilistici; rientrano in quest’ultima categoria i cosiddetti campioni ragionati e quelli
per i quali non è noto il meccanismo generatore.
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
E’ campionamento ragionato quello che individua le unità campionarie, cioè le unità
statistiche portatrici delle informazioni (manifestazioni del fenomeno d’interesse),
attraverso l’applicazione di procedure basate sull’impiego ragionato dell’informazione
disponibile al momento in cui si procede all’individuazione delle unità che andranno a
costituire il campione. In proposito si deve, comunque, sottolineare che le informazioni
disponibili costituiscono spesso la base di schemi di campionamento probabilistico più
complessi (campionamento sistematico, campionamento stratificato, campionamento a
grappolo, campionamento a più stadi, campionamento stratificato a più stadi, ecc.), ma
in tali circostanze le informazioni disponibili vengono utilizzate solo per incrementare
l’efficienza (attraverso una riduzione della variabilità campionaria) del processo di
induzione dal campione alla popolazione, e non per individuare le singole unità che
andranno a costituire il campione che saranno comunque estratte casualmente.
In questa sede si tratterà esclusivamente del campionamento casuale semplice; cioè,
dei campioni cui si perviene procedendo all’estrazione di n (dimensione del campione)
elementi che hanno la stessa probabilità di essere inclusi nel campione.
Nell’ambito del campionamento si ipotizzerà sempre (almeno a livello teorico)
l’esistenza di un modello probabilistico capace di rappresentare adeguatamente il
fenomeno che interessa analizzare. In altre parole, si assumerà che la popolazione P sia
rappresentata da una variabile casuale semplice o multipla con una propria funzione di
distribuzione non completamente nota. Ovviamente, se la funzione di distribuzione fosse
completamente nota si tornerebbe al caso di disponibilità completa di tutte le possibili
manifestazioni del fenomeno d’interesse.
Se si fa riferimento al caso unidimensionale, ma ragionamento analogo vale anche nel
caso multidimensionale, la situazione di riferimento è quella di una variabile casuale
semplice X con funzione di distribuzione F  x ; 1 ,2 ,....,k   F  x ;   , dove
(1 ,2 ,....,k )   è l’insieme (vettore) dei parametri caratteristici del modello definiti
nello spazio parametrico Θ k  Θ k  ; cioè, lo spazio di variabilità dei parametri che
caratterizzano lo specifico modello, rappresentativo della specifica situazione reale,
nell’ambito della famiglia di distribuzioni espressa dalla funzione F  ,  .
Se, come avviene usualmente, si considera la funzione di massa (caso discreto) o di
densità (caso continuo) di probabilità della variabile casuale X , si dirà che si sta trattando
della variabile casuale semplice X con funzione di massa o di densità di probabilità
f  x ; 1 ,2 ,....,k   f  x ;   .
Si è detto che esiste un problema di inferenza statistica quando la funzione di
distribuzione F  ,  non è completamente nota; al riguardo si possono distinguere
almeno due situazioni di mancanza di conoscenza: la prima situazione è quella
caratterizzata da una conoscenza parziale della funzione F  x ;  
nel senso che si
conosce la forma analitica della funzione ma non si conosce il valore di tutti o di alcuni
parametri caratteristici della funzione stessa, in questa circostanza si parla di inferenza
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
statistica parametrica. La seconda situazione è quella d’ignoranza completa: non si
conosce sia il valore dei parametri sia la forma analitica della funzione di massa o di
densità di probabilità; in questa circostanza si parla di inferenza statistica non
parametrica. Una terza situazione, intermedia rispetto alle due precedenti, è quella in cui
si specificano certe componenti del modello (ad esempio si suppone che la v.c.
appartenga alla famiglia esponenziale ma non si specifica la sottofamiglia: forma
funzionale della funzione di massa o di densità). Se si opera in tale contesto si parla di
inferenza statistica semi-parametrica, nel senso che la forma analitica del modello
probabilistico rappresentativo del fenomeno in esame è specificata solo parzialmente.
Si ricorda che la dizione inferenza statistica non parametrica non è certamente la più
appropriata in quanto interpretabile come se, in questo ambito, le procedure di statistica
induttiva non riguardassero i parametri. Ovviamente, questa interpretazione è fuorviante,
infatti, con la dizione “non parametrica” si vuole, molto semplicemente, caratterizzare le
situazioni inferenziali nelle quali non si conosce forma analitica e valore dei parametri
caratteristici, elementi questi entrambi coinvolti nelle procedure inferenziali. La dizione
corretta per caratterizzare tali situazioni è quella di inferenza statistica libera da
distribuzione (distribution free).
E’ già stato sottolineato che in queste note si parlerà in modo esclusivo di
campionamento casuale semplice; in realtà il limite è ancora più rigido, infatti, la
trattazione sarà limitata al campionamento casuale semplice con ripetizione
(campionamento bernoulliano), in questo contesto le variabili casuali associate a
ciascuna unità campionaria risultano indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.).
Al riguardo si deve, comunque, sottolineare che nelle situazioni reali, soprattutto
quando si procede all'estrazione di unità campionarie da popolazioni finite, il
campionamento che si realizza è quello esaustivo (campionamento casuale semplice
senza ripetizione), ma è anche vero che nella generalità dei casi le differenze tra i due
schemi di campionamento diventa operativamente irrilevante avendo a che fare con
popolazioni di dimensione molto elevate, dimensione che diventa infinita nel caso di
variabili casuali continue. Tale motivazione giustifica la trattazione del campionamento
bernoulliano molto più semplice dal punto di vista analitico. Al riguardo si sottolinea,
comunque, che i campioni casuali semplici senza ripetizione pur non soddisfacendo
l’ipotesi di indipendenza soddisfano l’ipotesi di scambiabilità1.
Definizione 1
1
Se X1, X2,...,Xn costituiscono un insieme di variabili casuali indipendenti
Nel caso di campionamento con ripetizione è soddisfatta la condizione (cfr. Definizione 1)
n
F  x1 ,x2 ,....,xn ;     F  xi ;  
i 1
Mentre la condizione di scambiabilità è molto meno restrittiva e richiede il soddisfacimento della relazione

F  x1 ,x2 ,....,xn ;    F x 1 ,x  2 ,....,x  n ; 
per tutte le permutazioni
 1 ,   2  ,.....,   n  .
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
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e identicamente distribuite (i.i.d.), la loro funzione di massa o di densità
di probabilità congiunta soddisfa l'uguaglianza
f  x1 ,x2 ,....,xn ; θ1 ,θ2 ,....,θk   f  x ;   
n
 f  x1 ;    f  x2 ;    ....  f  xi ;    ....  f  xn ;     f  xi ;  
i 1
allora si dice che l’insieme di variabili casuali i.i.d. X1, X2,...,Xn
costituisce un campione casuale semplice di n
osservazioni
indipendenti relativo alla variabile casuale X che ha funzione di massa o
di densità di probabilità equivalente a quella (comune) di ciascuna
componente
Xi
del campione. Il punto campionario
X 
ad n
'
 X1, X 2 ,...., X n  è definito nello spazio o universo dei campioni
dimensioni C n  X  Cn  .
Nella formula sopra riportata con
f  xi ;   , per i = 1, 2,..,n, si è indicata la
funzione di massa, o di densità di probabilità, dell'i-esimo elemento costituente il
campione. Avendo supposto l'indipendenza tra le osservazioni campionarie, si avrà, come
già sottolineato, l'uguaglianza (equivalenza) tra la distribuzione della variabile casuale X
relativa alla popolazione e la variabile Xi (tale deve essere intesa a priori, cioè prima
dell'effettiva estrazione del campione) relativa all'i-esimo elemento campionario (i = 1, 2
...,n).
Dalla definizione risulta che se, ad esempio, si volesse estrarre un campione di n
elementi da una popolazione distribuita normalmente, con media  e varianza  2 , la
funzione di densità di probabilità del campione casuale è


n


f  x1 , x2 ,...., xn   f x1 , x2 ,...., xn ;  ,  2   f xi ;  ,  2 
n

i 1

1
2 2
e
1  xi   


2  
2

1
 2 
2
n/2
e

1
2 2
i 1
n
  xi   
2
i 1
Se l'estrazione del campione di n elementi riguardasse una v.c. di Poisson
caratterizzata dal parametro  , la funzione di massa di probabilità del campione casuale
è:
f  x1 , x2 ,...., xn   f  x1 , x2 ,...., xn ;   
n
n
  f  xi ; λ   
i 1
i 1
λ xi  λ
e
xi!
µ,2 )
Alle due funzioni f(x1, x2,...,xn;
e f(x1,x2, ..., xn;  ) sopra riportate e, in
generale, ad ogni funzione di massa o di densità di probabilità campionaria può essere
associata una seconda interpretazione che introduce nella trattazione un concetto di
estrema rilevanza: la funzione di verosimiglianza. Si tratta di una funzione del tutto
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equivalente, in termini formali, alla funzione di massa o di densità di probabilità
campionaria, ma che da questa si diversifica sostanzialmente. Infatti, la funzione
f  x1 , x2 ,...., xi ,...., xn ;    f

n
x;    f  xi ;  
i 1
 x1 , x2 ,...., xi ,...., xn 
è detta di verosimiglianza quando alla n-pla
vengono attribuiti i
valori campionari osservati; pertanto, essendo x1 , x2 ,...., xi ,...., xn quantità note, la
f  x1 , x2 ,...., xi ,...., xn ;  
è, in realtà, funzione del solo parametro (o parametri)
 per un campione prefissato. Per evidenziare questa particolare interpretazione si può
rappresentare algebricamente la funzione di verosimiglianza con l’espressione
n
L    L  / X  x    f  / xi 
i 1
'
dove X 
 X1, X 2 ,...., X n 
casuale) associata alle
n
rappresenta la variabile casuale ad n dimensioni (vettore
rilevazioni campionarie, mentre
x'   x1, x2 ,....., xn 
rappresenta il punto campionario, cioè una specifica determinazione del vettore
casuale X , definito nello spazio o universo dei campioni a n dimensioni .
Pertanto, nella prima interpretazione, la funzione
n
 f  x;    f  xi ;  
i 1
si riferisce all’universo dei campioni, si tratta, come già sottolineato, di un riferimento a
priori, cioè prima dell’effettiva estrazione del campione. In questo contesto, le variabili
che interessano sono, appunto le n componenti, X1, X2,…,Xn, associate a ciascun punto
campionario per un dato valore del parametro  , o del vettore dei parametri  
Nella seconda interpretazione, la variabile di riferimento è il parametro (vettore dei
parametri) incognitoin quanto si assume l’avvenuta estrazione campionaria delle unità
statistiche di osservazione e le variabili associate a ciascuna unità (punto campionario)
hanno assunto una specifica determinazione, sono cioè delle costanti note, mentre 
(parametro o vettore dei parametri) assume la natura di variabile essendo tale entità
un’incognita del problema. Al riguardo si sottolinea che nel contesto della così detta
inferenza statistica classica  ,pur essendo teoricamente variabile in quanto incognito,
non ha la natura di variabile casuale, interpretazione questa, che come si avrà modo di
chiarire successivamente, è propria dell'inferenza statistica bayesiana. Un tentativo, non
completamente riuscito a parere delle scrivente, di attribuzione di natura aleatoria al
parametro (o parametri) è rappresentato dalla cosi detta inferenza fiduciale proposta da
Fisher nel 1930 attraverso l'introduzione del concetto di probabilità inversa che non ha
natura di distribuzione di probabilità a priori. Comunque, alcune generalizzazioni e
sviluppi recenti dell'inferenza fiduciale sembrano fornire una risposta soddisfacente ad
alcune perplessità insite nell'impostazione iniziale data da Fisher 2.
2
Al riguardo si può consultare, tra gli altri, Hannig (2009), On generalized fiducial inference, Statistica Sinica, 19.
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Esempio 2.1
Si consideri una popolazione bernoulliana (variabile casuale di Bernoulli X che può assumere
i due valori 0, assenza del carattere, ed 1, presenza del carattere) con parametro caratteristico
 = p e si supponga che da tale popolazione si voglia procedere all’estrazione di n = 6, n =
12 ed n = 36 unità campionarie rimettendo ogni volta l’unità estratta nella popolazione
(campionamento bernoulliano). In tali situazioni la funzione di massa di probabilità è quella
sotto riportata
n
n
f(x1,x2,…,xn;p) =
 f(x ;p) =
i
 xi
n
p i 1 ( 1  p )
n
 xi
i 1
i 1
dove basterà sostituire ad n i valori 6, 12 e 36.
Se si procede alla rilevazione campionaria nei tre casi sopra considerati e le sequenze
osservate sono, rispettivamente:
- (1,0,1,1,1,1) per n = 6 (x=5);
- (1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,0,1) per n = 12 (x=10);
- (0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,1,0,1,1) per n = 36 (x=30).
Le funzioni di verosimiglianza sono :
L(p) = p5 (1-p)1
per 0  p  1
10
2
L(p) = p (1-p)
per 0  p  1
30
6
L(p) = p (1-p)
per 0  p  1
la cui rappresentazione grafica è riportata alla pagina successiva.
Osservando la Fig. 2.1 si rileva in modo molto evidente la tendenza alla normalità della
funzione di verosimiglianza al crescere della dimensione campionaria.
Per una comprensione più immediata sia dei metodi statistici che verranno trattati in
seguito, sia delle loro proprietà, occorre sempre tenere presente la distinzione fra
variabile casuale e determinazioni (valori osservati) della variabile casuale stessa: prima
di effettuare l'estrazione campionaria gli elementi costituenti il campione X1, X2,...,Xn,
sono variabili casuali; infatti, l'elemento generico Xi (i = 1, 2 ..,n) ha, come già
sottolineato, una struttura del tutto analoga a quella della variabile casuale X, ha cioè la
stessa funzione di distribuzione e, quindi, stessa funzione di massa o di densità di
probabilità. Dopo aver osservato i risultati campionari, le quantità x1 , x2 ,...., xn
costituiscono particolari determinazioni della variabile casuale X.
Poiché gli elementi costituenti un campione sono delle variabili casuali, è variabile
casuale anche ogni funzione T(X1,X2,…,Xn) non costante degli stessi. Tale funzione, che
non dipende dai parametri incogniti  1 , 2 ,...., k ,viene usualmente detta statistica
(dall’inglese statistic). Sarà, quindi, possibile derivare la funzione di massa o di densità di
probabilità di tale variabile in funzione della distribuzione di massa o di densità di
probabilità delle variabili casuali associate ai singoli elementi campionari.
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
L(p)
0.08
0.07
0.06
n= 6 , x = 5
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
L(p)
0.005
0.0045
n =12 , x = 10
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
L(p)
n =36 , x = 30
0,0000001
9E-08
8E-08
7E-08
6E-08
5E-08
4E-08
3E-08
2E-08
1E-08
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Fig. 2.1 – Funzione di verosimiglianza relativa a n prove con ripetizione effettuate su una
popolazione in cui ciascuna unità è caratterizzata dalla presenza o assenza di uno
specifico carattere
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
2.2 Sufficienza
Da quanto sopra detto, qualunque statistica, cioè qualunque funzione
T(X1,X2,…,Xn)=T(X’) degli elementi campionari che non contiene parametri incogniti, è
essa stessa variabile casuale come gli elementi Xi (i = 1, 2,….,n) costituenti il campione.
Una statistica potrebbe, al limite, contenere tutte le informazioni campionarie,
rappresentare, cioè, un punto campionario nello spazio ad n dimensioni. Nella generalità
dei casi la funzione T    compatta le informazioni, riducendo lo spazio di riferimento da
n dimensioni a k dimensioni dove k  n è il numero dei parametri che caratterizzano
la v.c. che si sta trattando.
X 
Definizione 1 (Sufficienza). Se
'
 X1, X 2 ,...., X n 
costituisce un campione
casuale semplice bernoulliano estratto da una popolazione rappresentata
dalla variabile casuale, discreta o continua X , con funzione di massa o di
densità di probabilità f(x;) , una statistica T  X  = T(X1,X2,…,Xn) si
dice sufficiente per il modello f(x;) se e solo se la distribuzione del
campione condizionata da un qualunque valore assunto dalla statistica
T(.) , cioè f(x1,x2,…,xn / T=t), è la stessa per qualunque valore di  , cioè,
se e solo se la distribuzione condizionata del punto campionario
X 
'
 X1, X 2 ,...., X n 
non varia al variare di non dipende da 
Per comprendere il significato della definizione, si supponga per semplicità che T  X 
sia una v.c. discreta e t un possibile valore di T  X  , allora
P  X  x T  X   t ( x )  
P  X  x  T  X   t ( x ) 
P T  X   t ( x ) 
ma
 X  x   T  X   t  x  3, quindi
P  X  x  T  X   t  x   P  X  x 
quindi
P  X  x 
p( x |  )
P  X  x T  X   t ( x )  

P T  X   t ( x )  q t ( x ) |  
3
Infatti, l’uguaglianza
T  X   t  x  deve valere per qualunque funzione
150
T(.) ivi incluso
T X  X .
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
dove p( x |  ) è la distribuzione di massa di probabilità congiunta del campione X e
q t  x  |   è la distribuzione di massa di probabilità di T  X  . Quindi, T  X  è una
statistica sufficiente per θ se, e solo se, per ogni x il rapporto
p( x |  )
è una costante
q t ( x ) |  
non dipendente da θ.
Il risultato ottenuto in precedenza conduce alla formulazione del seguente teorema:
Teorema 1: Se p( x; ) è la distribuzione di massa di probabilità congiunta di X e
q(t; ) è la distribuzione di massa di probabilità di T  X  , allora T  X  è
una statistica sufficiente per θ se, e solo se,  x  Ω il rapporto
p ( x;  )
q(T ( x ); )
è una costante non dipendente da θ.
Esempio 2.2
Siano X 1 ,...,X n variabili casuali i.i.d. di Bernoulli con parametro p, 0 < p < 1. Allora
T  X   X1  ...  X n è sufficiente per p. Infatti, osservando che T  X  indica il numero di Xi
uguali ad 1 ed ha una distribuzione binomiale b(n, p) allora
p xi (1  p )1 xi p  xi (1  p)  (1 xi )
n
p ( x; p )
p t (1  p) n t




 
q T ( x ); p   n  t
n t
n t
n t
n t
n t
t
 t  p (1  p)
 t  p (1  p)
 t  p (1  p )
 
 
 
1
Un risultato questo che non dipende dal parametro p.
Esempio 2.3
Siano X 1 ,...,X n variabili casuali i.i.d. da una popolazione N  ,  2 , con parametro σ2 noto.


Allora la media campionaria T  X   X è sufficiente per μ. Infatti, la distribuzione di densità
congiunta del campione X è:
f ( x;  )   (2 2 ) 1/2 exp  ( xi   ) 2 2 2 
i

 (2 2 )  n /2 exp    ( xi  x  x   ) 2
 i
 2  
2


 (2 2 )  n /2 exp     ( xi  x ) 2  n ( x   ) 2 

 i
151


 2 
2

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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
e, poiché X segue una distribuzione N   ,  n  , allora il rapporto


2
 


(2 2 )  n /2 exp     ( xi  x ) 2  n( x   ) 2   2 2  
f ( x;  )

  i


2
2

1/2
2
q  t ( x );  
(2  n ) exp n  x     2 



 n 1 2 (2 2 )  ( n 1)/2 exp    ( xi  x )2
 i
 2  
2

non dipende da μ.
La definizione 1 ed il teorema 1 spesso non consentono una facile verifica della
proprietà di sufficienza, obiettivo questo che si può invece conseguire se si fa riferimento
ad un famoso teorema usualmente noto come criterio di fattorizzazione di NeymanFisher.
Teorema 2 (Criterio di fattorizzazione di Neyman-Fisher): Dato un campione casuale
semplice X1, X2,…,Xn estratto da una popolazione X con funzione di massa
o di densità di probabilità f(x;) , dove  rappresenta il parametro
incognito, una statistica T(X1,X2,…,Xn) è sufficiente per il modello f(x;) se
e solo se vale la relazione:
n
f x1 , x2 ,..., xn ;    f xi ;   g T x1 , x2 ,..., xn  ;   hx1 , x2 ,..., xn 
i 1
dove h(x1,x2,…,xn) è una funzione non negativa dei soli elementi campionari
e gT x1 , x2 ,..., xn  ;  è una funzione non negativa che dipende da  e
dagli elementi campionari solo attraverso la funzione T    .
Dimostrazione (caso discreto).
Poiché T  X  è una statistica sufficiente la distribuzione condizionata di X dato
T  X   t  x  non dipende da  ma tenendo presente che:
X  x  T  X   t  x   P  X  x   P  X  x  T  X   t  x 
si ha
f ( x |  )  P ( X  x )  P  X  x  T  X   t ( x ) 
 P T  X   t ( x )   P  X  x T  X   t ( x ) 




 per la sufficienza P X  x T  X   t ( x )  P X  x T  X   t ( x )
 g (T ( x ) |  )  h( x ).
152

B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Si supponga che f ( x; )  g (T ( x); )  h( x) , ma
P T  X   t  x  

x:T  X t  x 

  h  x
   
f  x;   g t  x  ;  
x:T X t x
inoltre
se X  x e T  X   t  x  , allora T  x   t  x  ma
P  X  x T  X   t  x   

P  X  x  T  X   t  x  
P  X  x 


P T  X   t  x  
P T  X   t  x  
g t  x  ;   h  x 
g t  x  ;  

x:T  X  t  x 
 X  x   T  X   t  x  , quindi
h  x
 h  x

h  x
x:T  X  t  x 
che non dipende da  , cioè, T  X  è una statistica sufficiente.
Corollario – Una statistica T = T(X1,X2,…..,Xn) è sufficiente per  se e solo se la
funzione di verosimiglianza associata al punto campionario assume la forma
L   gt x1 , x2 ,....., xn  ; 
Esempio 2.3 (continua)
Per il modello normale, la funzione di densità può essere scomposta nei fattori

f ( x  )  (2 2 )  n / 2 exp  


con h( x)  (2 )
2 n / 2

 x  x  /  2    exp  n( x   )
n
2
2
i

i 1

exp  


(x  x )
2
i
i

2
(2 2 ) 

(2 2 )  che non dipende dal parametro


2
2
incognito μ e g (t |  )  exp n( x   ) (2 )
 che, viceversa, dipende dal campione
x solo attraverso la funzione t  x   x .
Per i modelli probabilistici appartenenti alla famiglia esponenziale l’individuazione di
statistiche sufficienti è immediata se si fa riferimento al criterio di fattorizzazione; infatti,
se X1 ,..., X n sono variabili casuali i.i.d. relative ad un campione estratto da una
distribuzione di massa o di densità di probabilità f ( x; ) che appartiene alla famiglia
esponenziale si ha:
f  x;   a   h  x   e   t  x
quindi
153
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
n
f ( x1 , x2 ,....., xn ;  )  f
 x;    f  xi ;  
i 1
  a    
n
n

  
h  xi   e
n
 t  xi 
 g T  X ;    h  X 
i 1
i 1
n
t  xi 
  
dove g T  X  ;   a    e
n
, h X  
i 1
n

h  xi  e T  X    t  xi  , quindi
i 1
n
i 1
T  X  è statistica sufficiente per θ.
La definizione di sufficienza e il criterio di fattorizzazione possono essere facilmente
estesi al caso in cui la funzione di densità o di massa di probabilità è caratterizzata da un
vettore di k parametri   1 , 2 ,..., k  cui corrisponde un vettore di k statistiche
'
T  X   T1  X  , T2  X  ,..., Tk  X 
'
(le dimensioni dei due vettori non devono
necessariamente coincidere).
La verosimiglianza assume la forma
n
L(  x ) 
 f  x ;  
i
i 1
  a    
n
n
hx   e
n
i  t  xi 
i 1
i
 g T  x;    h  x  .
i 1
Se la famiglia esponenziale è regolare, le statistiche definite nel vettore T  X  , prese
nel loro insieme, sono congiuntamente sufficienti per   1 , 2 ,..., k  .
Se la famiglia esponenziale è regolare, cioè se il supporto della v.c. X non dipende da
 , il vettore T  X   T1  X  , T2  X  ,..., Tk  X  è sufficiente per  .
'
Relativamente al concetto di sufficienza valgono, inoltre, le seguenti proprietà:
 se T(.) è una statistica sufficiente (o un vettore di statistiche sufficienti), si
dimostra che qualsiasi trasformazione biunivoca di tale statistica (o vettore di
statistiche) è anch’essa sufficiente;
 nel criterio di fattorizzazione, se in luogo di f(x; ) si considera il suo logaritmo
naturale log f(x; ), la scomposizione di tale funzione in due componenti si
realizza in modo analogo, con la differenza che i due fattori anziché moltiplicarsi
si traducono nella somma dei loro logaritmi. Infatti:


log  f  x1, x2 ,..., xn ;   log g T  x1, x2 ,..., xn  ;    h  x1, x2 ,..., xn  




 log g T  x  ;   h  x   log g T  x  ;   log h  x   g1 T  x  ;   h1  x 
La proprietà richiamata in quest’ultimo punto sta ad indicare che se T(x) è sufficiente
per  se e solo se log f (x; ) può essere scomposto nella somma di due funzioni
154
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
g1(T(x); ) e h1(x), di cui: la prima dipende dal parametro e dal campione solo attraverso
la funzione T(.); la seconda dipende solo dagli elementi del campione.
Esempio 2.3 (continua)
Per il modello normale, qualora sia μ che σ2 risultino incognite (cosicché il vettore dei
parametri risulti   (  ,  2 ) ), ogni parte della densità campionaria congiunta che dipende o
da μ o σ2 deve essere inclusa, per il teorema di fattorizzazione, nella funzione g(.). Da quanto
visto in precedenza si ha che
 


f ( x  )  (2 2 )  n /2 exp     ( xi  x ) 2  n( x   ) 2  / (2 2 )  

  i

 (2 2 )  n /2 exp
 (n  1)t
2

 n(t1   ) 2  (2 2 ) 
 g (t1 , t2 |  ,  )h( x )
2
con
t1  x ,
t 2   ( xi  x ) 2 (n  1)
h( x)  1 .
e
Quindi
i
T  X   T1  X  , T2  X    X , S 2  sono statistiche congiuntamente sufficienti per ( ,  2 ) .
Riguardo alle statistiche sufficienti si deve, infine, sottolineare che l’intero campione X
è per definizione esso stesso una statistica sufficiente (con T  x   x e h  x   1 per
ogni x ). Da ciò segue che ogni funzione biunivoca di una statistica sufficiente è ancora
una statistica sufficiente. Infatti, sia T *  x   r T  x  , con T  x  sufficiente e r
funzione biunivoca con inversa r–1. Allora, per il Teorema di fattorizzazione,




f ( x |  )  g T ( x) |    h( x)  g r 1 T * ( x)  /   h( x)  g * T * ( x)  /   h( x)
quindi T * ( x ) è una statistica sufficiente.
La non unicità delle statistiche sufficienti solleva un problema di scelta tra le
alternative possibili; ovviamente la scelta ottimale ricadrà sulla statistica caratterizzato
dal più elevato livello (in termini esplicativi) di sintesi, senza dover rinunciare ad alcuna
delle informazioni necessarie alla conoscenza dei parametri incogniti; una tale statistica
viene detta sufficiente minimale
Una statistica sufficiente minimale non è unica, in quanto una qualunque sua funzione
biunivoca è ancora una statistica sufficiente minimale.
2.3 Distribuzioni campionarie
Definizione 2 Si dice distribuzione campionaria ogni distribuzione di probabilità che
evidenzia la relazione esistente tra i possibili valori che possono essere
assunti (nell'universo dei campioni) da una qualsiasi funzione
T(X1,X2,…,Xn)=T(X) (ad es. un indice sintetico) applicata agli n
elementi campionari (casuali) e la distribuzione di massa o di densità di
155
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
probabilità associata agli n elementi costituenti il campione stesso.
Si consideri la funzione, definita sugli elementi X1, X2,...,Xn, di un campione casuale
semplice con ripetizione relativo ad una certa variabile X che ha momento
s-esimo (s = 1,2,3,…) pari a s e varianza pari a 2:
1 n
X s = Ts (X1,X2,...,Xn) =  X is ; s=1,2,...
n i 1
che viene usualmente detto momento campionario, o momento empirico, di ordine s
rispetto all'origine. Evidentemente tale momento varierà al variare del campione e
descriverà una variabile casuale, la cui funzione di massa o di densità di probabilità
dipenderà dalla funzione di massa o di densità di probabilità delle variabili casuali
X1,X2,…,Xn, e quindi, dalla funzione di massa o di densità di probabilità della variabile
casuale X.
È facile verificare che il valore medio (momento primo rispetto all’origine) del
momento campionario s-esimo X s è pari al momento s-esimo della variabile X, infatti,
1 n
 1 n
E X s   E   X is    E X is  E X s  μ s
 n i 1
 n i 1
quindi, per s=1 si avrà
 
 
1 n
1 n
 1 n
E  X   E   X i    E  X i    E  X  = E(X)= µ1=µ
n i 1
 n i 1  n i 1
cioè, il valor medio della media campionaria è uguale alla media della popolazione.
La varianza della media campionaria è data da
1 n
 1 n
2
Var  X    x2  Var 
Xi   2
Var  X i  
n
 n
n
i 1
 i 1

cioè, la varianza della media campionaria è pari alla varianza della popolazione divisa per
la dimensione del campione.
La radice quadrata positiva (scostamento quadratico medio o deviazione standard)
della varianza campionaria di uno stimatore viene usualmente denominata errore
standard o errore di campionamento, volendo con ciò sottolineare la sua particolare
caratteristica di misura della bontà di uno stimatore in termini di variabilità. Tale
denominazione viene utilizzata tutte le volte che si procede al calcolo della varianza sulle
distribuzioni campionarie di indici sintetici; su questo punto si avrà comunque modo di
soffermarsi a lungo successivamente.
Nel caso di campionamento semplice esaustivo (senza ripetizione) si ha:


n

1 n
 1  n
V ar  X   σ x2  Var   X i   2  Var  X i   Cov  X i , X j  
i 1 i  j
 n i 1  n  i 1

2
 n - 1  σ *
1
σ
 2  n  σ 2  n  (n  1 )  σ * 

n
n
n
156
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
dove  σ*  CovX i ,X j  per ogni i,j. Se si assume n=N, si ha:
Var  X  
da cui σ*  -
σ 2  n - 1  σ *

0
n
n
σ2
che sostituito nella precedente espressione da
N 1
2
σ 2  n - 1  σ
σ2 N - n
Var  X  

 
n n  N  1 n N - 1
N n
viene, come già sottolineato, usualmente detto fattore di correzione e
N1
fornisce una misura della maggiore efficienza del campionamento esaustivo rispetto al
campionamento con ripetizione.
Definendo la varianza campionaria (corretta) attraverso l’espressione:
n
1
X i  X 2
S 2  T(X 1 ,X 2 ,...,X n ) 

n  1 i 1
si può verificare, nell'ipotesi di campionamento bernoulliano (campione casuale semplice
con ripetizione), che E (S2) è uguale a 2, cioè il valor medio della varianza campionaria
corretta è pari alla varianza della popolazione. Mentre la varianza della varianza
campionaria corretta S2 è espressa da:
1 
n3 4
Var  S 2    4 
 
n 
n 1

dove
dove  4 rappresenta il momento quarto rispetto alla media (momento centrale) della
4
popolazione ( 4  E  X     ) dalla quale viene estratto il campione mentre


 4   2  .
2
Il computo del valore atteso della varianza campionaria corretta non presenta alcuna
difficoltà, infatti:
n
n
2
1
 1 n
 n

E S2   E 
Xi  X   
E   X i2   X 2  2X  X i  


i 1
i 1
 n  1 i 1
 n  1  i 1

n
1
n
n
n E  X 2   2 n E  X 2  

2 
2 
EX2


n 1
n 1
n 1
n 1
ma
 
Var X  E  X 2    E  X   
2
2

2   2
n
n
2
2   n  1  2
2  
2
2
 EX  
 
n
n
da cui
E S2  

n
n
n
n
2 
EX2 
2 
n 1
n 1
n 1
n 1
157
 2   n  1  2
n
 2   2   2 .
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Relativamente più laborioso è il computo della varianza della varianza campionaria
corretta, di seguito si riporta il momento secondo della varianza campionaria e la sua varianza
che si ottiene sottraendo a tale momento il momento primo al quadrato, cioè  2 .
2
  n  1  2 4
E  S 2    4 


 n
n  n  1
2
2
2
1 
n3 4 
Var  S 2   E  S 2     E  S 2    4 
 .


n 
n 1

Esempio 2.4 (distribuzioni campionarie per campioni estratti da popolazioni discrete)
Si considerino cinque palline identiche a meno dei contrassegni numerici (1, 3, 5, 7, 9) che su
di esse sono riportati. La distribuzione di frequenza relativa alla variabile casuale associata
all’estrazione di una pallina può essere rappresentata nel modo seguente
Modalità
xi
Frequenze assolute
ni
1
3
5
7
9
1
1
1
1
1
Frequenze relative
fi=ni/n
(probabilità: pi)
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
Tab. 2.1 - Popolazione discreta uniforme
Si supponga di aver estratto 100 campioni casuali, di dimensione n = 2, dalla popolazione
riportata nella Tab.2.1 e che l'operazione di campionamento (effettuata reinserendo ogni volta
l'unità estratta nella popolazione) abbia dato luogo alle 100 coppie di risultati riportati nella
Tab. 2.2.
Se per ogni coppia di risultati campionari si procede al computo della media
X  M 1  T X 1 , X 2  
X1 X2
2
dove (X1, X2) rappresenta la coppia degli elementi costituenti il campione, si potrà derivare la
distribuzione campionaria sperimentale (relativa ai 100 campioni estratti) della media
aritmetica che sono riportati nella Tab. 2.3, dove, evidentemente, la frequenza assoluta ni sta
ad indicare il numero dei campioni (su 100 estratti) di due elementi per il quale si è realizzata
quella particolare modalità x i (media aritmetica dei due elementi campionari).
La distribuzione campionaria sperimentale della variabile riportata nella Tab. 2.3 costituisce
una approssimazione della distribuzione campionaria (teorica) di X . Se si procedesse
all'estrazione di una seconda serie di 100 campioni, di dimensione 2, si otterrebbe una diversa
distribuzione campionaria sperimentale di
158
X , tale da costituire
anche essa
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
un'approssimazione della distribuzione campionaria teorica di X . Considerando le due serie
di esperimenti ad un tempo (cioè 200 campioni di dimensione 2) si dovrebbe ottenere una
distribuzione campionaria sperimentale di X più vicina alla distribuzione teorica di quanto
non siano le due distribuzioni considerate separatamente.
N.
Campione
N.
Campione
N.
Campione
N.
Campione
N.
Campione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
(3,3)
(5,3)
(1,1)
(7,3)
(1,5)
(3,5)
(5,5)
(5,7)
(9,3)
(3,3)
(5,7)
(7,3)
(3,7)
(3,3)
(1,7)
(5,9)
(9,1)
(3,9)
(7,3)
(7,5)
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
(5,3)
(9,3)
(5,9)
(7,3)
(5,5)
(9,9)
(9,5)
(9,7)
(7,3)
(3,7)
(3,1)
(5,5)
(9,1)
(5,9)
(5,9)
(9,1)
(3,1)
(7,1)
(7,7)
(7,9)
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
(3,7)
(1,7)
(5,7)
(7,7)
(1,9)
(3,3)
(3,7)
(3,1)
(1,1)
(1,7)
(1,5)
(9,1)
(7,7)
(7,3)
(5,9)
(3,5)
(9,7)
(5,7)
(5,1)
(1,3)
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
(5,1)
(3,5)
(3,1)
(7,7)
(1,1)
(9,7)
(1,3)
(9,5)
(3,5)
(9,7)
(9,7)
(1,3)
(1,5)
(7,1)
(3,5)
(5,5)
(3,5)
(9,5)
(7,1)
(9,5)
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
(1,9)
(3,7)
(9,3)
(9,1)
(5,9)
(5,3)
(1,9)
(9,5)
(1,9)
(5,5)
(9,3)
(1,1)
(3,3)
(1,3)
(5,1)
(1,5)
(1,5)
(7,1)
(7,1)
(3,5)
Tab. 2.2 - Prospetto dei risultati relativi a 100 campioni di dimensione 2, estratti casualmente
dalla popolazione riportata nella Tab. 2.1
Media campionaria
M1  xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frequenza assoluta
ni
4
8
13
18
25
10
15
6
1
Frequenza relativa
fi = ni/100
0,04
0,08
0,13
0,18
0,25
0,10
0,15
0,06
0,01
Tab. 2.3 - Distribuzione campionaria sperimentale della media aritmetica relativa ai risultati
159
B. Chiandotto
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
riportati nella Tab. 2.2
Per determinare la distribuzione campionaria teorica della variabile casuale X si può seguire
la via sotto indicata.
a) - Si considerano tutte le possibili coppie di valori (X1, X2) estraibili (con ripetizione) dalla
popolazione riportata nella Tab. 2.1, che sono
(1,1)
(1,3)
(1,5)
(1,7)
(1,9)
(3,1)
(3,3)
(3,5)
(3,7)
(3,9)
(5,1)
(5,3)
(5,5)
(5,7)
(5,9)
(7,1)
(7,3)
(7,5)
(7,7)
(7,9)
(9,1)
(9,3)
(9,5)
(9,7)
(9,9)
e su queste coppie di valori vengono calcolate le medie aritmetiche;
b) - Si determina la probabilità relativa a ciascuna coppia (X1, X2). Essendo il campione
estratto con ripetizione da una popolazione uniforme si avrà
P X 1  x1    X 2  x2   P X 1  x1   P X 2  x2  
1
25
per i, j = 1, 2, 3, 4, 5;
c) - Si sommano le probabilità relative alle coppie di valori che danno luogo alla stessa
media.
Il risultato delle operazioni indicate ai punti a), b), c), possono essere riassunti nella tabella
seguente
Modalità
M1  xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Probabilità
f  xi   pi
0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04
Tab. 2.4 - Distribuzione campionaria (teorica) della media aritmetica per campioni di
dimensione 2 estratti dalla popolazione uniforme riportata nella Tab. 2.1
Il confronto tra i dati relativi alla distribuzione campionaria teorica e quelli relativi alla
distribuzione campionaria empirica è riportato nella figura seguente
160
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
0,25
0,2
0,18
0,16
0,16
0,13
0,12
0,15
0,12
0,1
0,08
0,08
0,06
0,04
0,04
0,01
1
2
3
4
5
Frequenze empiriche
6
7
8
9
Frequenze teoriche (probabilità)
Fig. 2.2 - Distribuzione campionaria sperimentale (come da Tab. 2.3) e teorica (come da Tab.
2.4) per la media calcolata su campioni di dimensione 2 estratti dalla popolazione
uniforme X: 1, 3, 5, 7, 9
Utilizzando i dati riportati nella Tab. 2.4 si derivano le uguaglianze
E  X     5 , Var  X   σ x2 
σ2
4
2
che verificano empiricamente la proprietà che ha il valor medio (valore atteso) della variabile
casuale media campionaria X di essere uguale al valor medio (media aritmetica) della
variabile casuale relativa all'intera popolazione e della varianza che risulta essere pari alla
varianza della popolazione divisa per la numerosità del campione.
Esempio 2.5 (distribuzioni campionarie per campioni estratti da popolazioni discrete)
Si considerino 6 palline identiche a meno della numerazione: {, , , , , }. La
funzione di massa della v.c. X = “risultato dell’estrazione di una pallina” è allora data da
x 1
1 / 2
1 / 3
x3

f(x) = 
x9
1 / 6
 0 altrimenti
Per tale v.c. è facile derivare i principali momenti. Il seguente prospetto riassume il calcolo di
 = E(X) = 3 e 2 = Var(X) = E(X2) – E(X)2 = 17 – 32 = 8.
f(x)
x f(x)
x2 f(x)
1/2
1/2
1/2
1/3
1
3
1/6
3/2
27/2
1
3
17
Tab. 2.5 – Prospetto di calcolo di E(X) e Var(X).
x
1
3
9
Si considerino ora tutti i possibili campioni x = (x1, x2) di dimensione n = 2 che possono essere
161
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
estratti con reimmissione dalla v.c. in oggetto. La “lista” di questi campioni forma l’universo
dei campioni che possono essere estratti dalla v.c. X. L’universo dei campioni può a sua volta
essere rappresentato dalla v.c. doppia X = (X1, X2), i cui valori e la cui distribuzione sono
riportati nella Tab. 2.6 (la probabilità di ciascuna coppia è semplicemente il prodotto delle
probabilità dei singoli, dato che le estrazioni sono indipendenti).
x = (x1, x2) (1,1) (1,3) (1,9) (3,1) (3,3) (3,9) (9,1) (9,3) (9,9)
f(x)
1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36
Tab. 2.6 – Funzione di massa della v.c. doppia X = (X1, X2).
tot
1
Qualunque statistica calcolata su X = (X1, X2) è una v.c. e ha di conseguenza una sua
distribuzione campionaria.
Media campionaria: T(X ) = X = (X1 + X2)/2
La seguente tabella riporta, per ogni campione, la relativa media campionaria con la sua
probabilità
x = (x1, x2) (1,1) (1,3) (1,9) (3,1) (3,3) (3,9) (9,1) (9,3) (9,9) tot
f(x)
1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36 1
x
1
2
5
2
3
6
5
6
9
Tab. 2.7 – Prospetto per la costruzione della funzione di massa della media campionaria.
La funzione di massa della media campionaria è riportata nella tabella seguente
x
f( x )
1
2
3
5
6
9
tot
1/4
1/3
1/9
1/6
1/9
1/36
1
Tab. 2.8 – Funzione di massa della media campionaria X .
Si può verificare che E( X ) = 3 e Var( X ) = 4.
Varianza campionaria corretta: T(X ) = S2 = [(X1 – X )2 + (X2 – X )2]/(2 – 1)
La tabella che segue riporta, per ogni campione, i valori assumili dalla varianza campionaria
corretta con le relative probabilità
x = (x1, x2) (1,1) (1,3) (1,9) (3,1) (3,3) (3,9) (9,1) (9,3) (9,9) tot
f(x)
1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36 1
2
s
0
2
32
2
0
18
32
18
0
Tab. 2.9 – Prospetto per la costruzione della funzione di massa della varianza campionaria
corretta.
Da tale tabella si ricava facilmente la funzione di massa della varianza campionaria corretta,
nella quale si sommano le probabilità relative alle coppie di valori uguali.
162
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
s2
0
2
18
32
tot
2
f(s )
7/18 1/3 1/9 1/6
1
Tab. 2.10 – Funzione di massa della varianza campionaria corretta S 2.
Utilizzando un prospetto di calcolo simile a quello utilizzato per calcolare i momenti di f(x), si
può verificare che E(S2) = 8 e V(S2) = 144.
Minimo campionario: T(X ) = x(m) = min{X1, X2}
La seguente tabella riporta, per ogni campione, il relativo minimo campionario con la sua
probabilità
x = (x1, x2) (1,1) (1,3) (1,9) (3,1) (3,3) (3,9) (9,1) (9,3) (9,9) tot
f(x)
1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36 1
x(m)
1
1
1
1
3
3
1
3
9
Tab. 2.11 – Prospetto per la costruzione della funzione di massa del minimo campionario.
Da tale tabella si ricava facilmente la funzione di massa del minimo campionario, nella quale
si sommano le probabilità relative alle coppie di valori che danno luogo allo stesso minimo.
x(m)
1
3
9
tot
f(x(m))
3/4 2/9 1/36 1
Tab. 2.12 – Funzione di massa del minimo campionario X(m).
Si può verificare che E(x(m)) = 1,67 e Var(x(m)) = 2,26.
Massimo campionario: T(X ) = x(M) = max{X1, X2}
La tabella seguente riporta, per ogni campione, il relativo massimo campionario con la sua
probabilità
x = (x1, x2) (1,1) (1,3) (1,9) (3,1) (3,3) (3,9) (9,1) (9,3) (9,9) tot
f(x)
1/4 1/6 1/12 1/6 1/9 1/18 1/12 1/18 1/36 1
x(M)
1
3
9
3
3
9
9
9
9
Tab. 2.13 – Prospetto per la costruzione della funzione di massa del massimo campionario.
Da tale tabella si ricava facilmente la funzione di massa del massimo campionario, nella quale
si sommano le probabilità relative alle coppie di valori che danno luogo allo stesso massimo.
x(M)
1
3
9
tot
f(x(M))
1/4
4/9 11/36 1
Tab. 2.14 – Funzione di massa del massimo campionario x(M).
Si può verificare che E(x(M)) = 4, 3 e Var(x(M)) = 10, 2 .
163
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
2.4 Campionamento da popolazioni normali
Per campioni estratti da popolazioni normali vale il seguente teorema:
Teorema 1 Se X1, ..,Xn costituiscono un campione casuale di elementi relativi ad una
popolazione normale, di media µ e varianza 2, allora la variabile casuale
campionaria:
1 n
X   Xi
i)
n i 1
è distribuita normalmente con media µ e varianza  2/n;
n
1 n
 X 
2
Y  2   X i  μ    i
 
 
σ i 1
i 1 
2
ii)
è distribuita come un 2 con g = n gradi di libertà;
 X
n
 X
2
(n  1 )S
 i 1
2
σ
σ2
è distribuita come un 2 con g = (n - 1) gradi di libertà.
2
V
iii)
i
Dimostrazione
i)
- La funzione generatrice dei momenti della v.c X è data
 1  Xi t 
n
X t
mx  t   E e
 E  e i 1 




per l'indipendenza delle v.c. X i
n
 
 1  Xi t  n
1
Xi t
n
E  e i 1    E (e n )

 i 1


per la normalità delle v.c. X i
n
n
 E (e
i 1
1
Xi t
n
n
)  e
1
t2
 t
2
n
2 n2
e
 t
t2  2
2 n
i 1
che è la f.g.m. di una v.c. normale di media  e varianza  2 / n.
ii) - La funzione generatrice dei momenti della v.c Y è data da
164
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
 t n  X i   
m y  t   E  e   E  e i 1   






2
Y t
per l'indipendenza delle v.c. X i
 t n  X i   
E  e i 1   


 X  
 n
t i

   E (e    )
 i 1

2
2
per la normalità delle v.c. X i e ricordando che il quadrato
di una v.c. normale standardizzata ha distribuzione χ12
n
 E (e
 X  
t  i

  
2
n
)   ( 1  2 t)
i 1

1
2
 ( 1  2 t)

n
2
i 1
che è la f.g.m. di una v.c. chi quadro con n gradi di libertà  n2 .
iii) - La funzione generatrice dei momenti della v.c Y è data da
my t   E  e
Y t
  (1  2 t)
 n /2
 t n  X i   
 E  e i 1   


2




per l'indipendenza delle v.c. X i
n
m y  t    E (e
 X  
t i

  
2
n
)   E (e
i 1
 X  X  X  
t  i




2
n
)   E (e
i 1
 X X 
t  i

  
2
e
 X  
t 

  
2
)
i 1
se si ipotizza l'indipendenza tra le n v.c. scarto X i  X e la v.c. X si ha
n
 E (e
 X X 
t  i

  
2
e
 X  
t 

  
i 1
= E (e
n
 E (e
t
 Xi  X 
 
i 1
 
 Xi  X 
 
i 1
 
n
)   E (e
 X X 
t  i

  
2
)  E (e
 X  
t 

  
2
)
i 1
n
t
2
2
)  E (e
 X  
t 

 / n 
n
2
)  E (e
t
 Xi  X 
 
i 1
 
2
)  (1  2 t ) 1/ 2 
2
)  E (e
tV
)  E (e
Y t
)(1  2 t )
1/ 2
 (1  2 t )
 n /2
(1  2 t )
1/ 2
 (1  2 t )

che è la f.g.m. di una v.c. chi quadro con n - 1 gradi di libertà  ; quindi, la v.c. V
2
n-1
n 1
2
 n21.
Si dimostra ora l’indipendenza tra il vettore delle v.c. scarto
X 1  X , X 2  X ,.........., X n  X  e la v.c. X    , il che implica l’indipendenza tra
165
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
n
V
 X
i 1
i
X
2
2
n  1 S 2


2
e la v.c. X .
Si consideri la f.g.m. del vettore casuale a n+1 dimensioni
X   , X
 X  , X 2  X  ,.........., X n  X 
1

mx , x1  x , x2  x ,....., xn  x   t , t1 , t2 ,....., tn   E e
X t   X 1  X  t1   X 2  X  t2 .....  X n  X  tn
n
 1  X i t  X i ti  t j 1  X i 
   t  ti  t  X i 
n i 1
n

i 1
j 1
i 1
  E  e i 1  n

 E e








 per la normalità e l'indipendenza delle v.c. X i 
n
n
n
n


1 n 
dove
t

tj 


n
j

1


2

E e


i 1

n

 e
t

  ti  t  X i
n

 n
   e
 i 1
2
t
 2
n t
n  n  ti  t  

   ti  t     
2

i 1  n
i 1
dove e
t 
t 2 2
2 n
e
t
 2
  ti  t  
t

n


t

t


i


2
n

t 
t 2 2
2 n

n
 ti  t 2  2 / 2
 e i 1
è la f.g.m. della v.c. distribuita normalmente X e
n
 ti  t 2  2 /2
e i 1
X
1
è la f.g.m. del vettore casuale a n dimensioni
 X  ,  X 2  X  ,..........,  X n  X 
Pertanto
,
poiché
la
f.g.m.
del
vettore
casuale
a
n+1
dimensioni
 X ,  X 1  X  ,  X 2  X  ,.........., X n  X  è uguale al prodotto di due funzioni
generatrici dei momenti,
una relativa al vettore a n dimensioni
  X1  X  ,  X 2  X  ,..........,  X n  X  l’altra relativa alla v.c.


X
ne deriva
l’indipendenza tra le variabili casuali X e V , quindi la variabile casuale campionaria
X μ
W
Z
V/(n  1)

σ/
n
(n 1) S 2
σ2

X μ
S/ n
dove
T
X μ
S/ n
ha una distribuzione del tipo t di Student con (n - 1) gradi di libertà essendo basata sul
rapporto tra una variabile casuale normale standardizzata e la radice quadrata di una
variabile del tipo 2 divisa per i propri gradi di libertà.
166
B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Sul concetto di gradi di libertà si avrà modo di tornare in seguito, qui basta
sottolineare che i gradi di libertà relativi alla variabile casuale campionaria Y sono n
perché n sono le variabili casuali indipendenti (X1 - ), (X2 - ),…(Xn - ) che entrano
nel suo computo. Mentre i gradi di libertà relativi alla variabile casuale campionaria V
sono (n – 1) in quanto, pur essendo n gli elementi, le n variabili casuali scarto
 X1  X  ,  X 2  X  ,...  X n  X  che entrano nel suo computo , soltanto (n – 1) sono
tra loro indipendenti , infatti, le n variabili scarto sono (per costruzione) soggette al
vincolo
n
 X
i 1
i
 X0
2.5 Campionamento da popolazioni non normali
Nei casi in cui l'evidenza empirica o ragioni teoriche escludono la normalità della
popolazione cui si riferisce il campione (casuale) di dati a disposizione, e non si hanno
altre informazioni sulla popolazione stessa, si può fare ricorso al teorema del limite
centrale che individua la normale come distribuzione approssimata della variabile casuale
media campionaria. Si riporta di nuovo l'enunciato del teorema nella sua forma più
semplice adeguandolo al contesto del campionamento.
Teorema 2 (del limite centrale) - Se X1, X2,...,Xn costituiscono un campione casuale
semplice di n elementi relativi ad una qualunque popolazioni di media µ e
varianza (finita) 2, allora la variabile casuale media campionaria
1 n
X   Xi
n i 1
per n sufficientemente elevato ha una distribuzione approssimativamente
normale, con media µ e varianza 2/n.
Va sottolineato, inoltre, che la tendenza alla normalità della variabile casuale X , si
realizza anche quando le osservazioni campionarie si riferiscono ad n popolazioni
distinte, purché esse abbiano media e varianza finita. Si avrà pertanto che (ricordando
quanto detto a proposito di combinazioni di variabili casuali normali indipendenti) la
distribuzione campionaria di una qualsiasi combinazione lineare di medie calcolate su un
gruppo di campioni indipendenti tende alla normalità al crescere della numerosità di
ciascuno dei campioni considerati.
Benché il teorema del limite centrale riguardi grandi campioni, nelle applicazioni
empiriche più frequenti, l'approssimazione normale risulta soddisfacente anche per
campioni di modeste dimensioni. Se le osservazioni campionarie si riferiscono a
popolazioni distinte, si avrà una buona approssimazione per i piccoli campioni n  30 
solo quando le distribuzioni di tali popolazioni non si discostano troppo dalla
167
B. Chiandotto
Versione 2016
INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
distribuzione normale e le loro varianze non sono molto diverse.
Tornando al problema dell’approssimazione della distribuzione della media
campionaria per campioni riferiti ad una stessa popolazione non normale, si deve
osservare che la bontà dell’approssimazione dipende, oltre che dalla dimensione
campionaria anche dalla natura e dalla forma della distribuzione originaria dalla quale il
campione è stato estratto.
Nella Fig. 2.3 è riportata la distribuzione della media campionaria standardizzata per
campioni di diverse dimensioni estratta da popolazioni continue definite dai modelli:
a) X:
 3x 3
b) X:
x  1 , f(x)  e  x 1
, f(x)  2 3
f ( x)  2 3
f ( x)  e
 x 1
Fig. 2.3 - Distribuzione della media campionaria per campioni di diverse dimensioni estratti
da due diverse popolazioni continue.
Come si può facilmente desumere osservando le figure, a parità di dimensione
campionaria, l’approssimazione migliore è quella relativa alla distribuzione uniforme
(distribuzione simmetrica) rispetto alla distribuzione di tipo esponenziale che presenta
una asimmetria abbastanza pronunciata.
168
B. Chiandotto
Versione 2016
INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Esempio 2.5
Si supponga di estrarre un campione casuale semplice di dimensione n da una popolazione di
tipo dicotomico, cioè da una popolazione caratterizzata dalla presenza o meno di un
determinato carattere; si supponga inoltre che la proporzione delle unità che possiede il
carattere di interesse sia pari a p , mentre 1 - p = q è la proporzione delle unità che non
possiede il carattere in questione. La popolazione dalla quale viene estratto il campione di dati
può essere, in base a quanto detto, rappresentata da una variabile casuale bernoulliana
caratterizzata dal parametro   p del tipo
X : x0 = 0 , x1 = 1
P(X = x0) = q , P(X = x1) = p
il cui valor medio e varianza sono rispettivamente  = p e 2 = p q .
Ora, se si considera il punto campionario (X1, X2,...,Xn ) si vede come, nell’universo dei
campioni, ciascuna componente Xi (i=1, 2, ..., n) sia una variabile casuale del tutto simile alla
variabile casuale X che rappresenta la popolazione.
Si avrà pertanto che la variabile casuale campionaria
n
P  T(X 1 , X 2 ,..., X n )  
i 1
Xi
n
che indica la proporzione delle unità che nel campione presentano quel determinato carattere,
avrà una distribuzione di tipo binomiale (variabile casuale binomiale relativa), con valor
medio E(P) =  = p e varianza  p2 = p q/n . Questa conclusione consente d’interpretare la
variabile casuale binomiale relativa, ottenuta attraverso una combinazione lineare di variabili
casuali di bernoulli indipendenti, come distribuzione campionaria di proporzioni o percentuali.
Ovviamente, se si definisce come variabile casuale campionaria
n
XT   Xi
i 1
cioè il totale di successi nelle n estrazioni campionarie indipendenti effettuate, tale variabile è
esattamente una variabile casuale binomiale con parametri caratteristici n e p , con media
 = n p e varianza  2 = n p q; il che consente d’interpretare la variabile casuale binomiale
come somma di n variabili casuali di bernoulli indipendenti caratterizzate da uno stesso
parametro p.
Nelle Figg. 2.4 e 2.5 è riportata la distribuzione binomiale (opportunamente standardizzata)
per diversi valori di n e di p e la relativa approssimazione con la distribuzione normale.
Come si può facilmente desumere osservando le figure, a parità di dimensione campionaria
l’approssimazione è tanto più buona quanto più p è prossimo al valore 0,5 (distribuzione
simmetrica); ovviamente l’approssimazione migliora al crescere della dimensione
campionaria.
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B. Chiandotto
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Fig. 2.4 - Istogrammi della distribuzione binomiale per p = 0,2 e diversi valori di n e relativa
approssimazione con la variabile casuale normale standardizzata.
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INFERENZA STATISTICA
Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
Fig. 2.5 - Istogrammi della distribuzione binomiale per p = 0,5 e diversi valori di n e
relativa approssimazione con la variabile casuale normale standardizzata
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
2.6 Campionamento da due popolazioni indipendenti
Nelle pagine precedenti sono state calcolate media e varianza delle variabili casuali,
media campionaria X e varianza campionaria (corretta) S2, associate a campioni estratti
da una qualunque popolazione. Di queste due variabili, di loro trasformazioni e del
rapporto tra loro particolari trasformazioni, è stata derivata anche la distribuzione
campionaria nel caso di campionamento da popolazioni normali. Si è, inoltre, data
indicazione della distribuzione asintotica (cioè della distribuzione cui si perviene facendo
tendere ad infinito la dimensione del campione) della media campionaria per campioni
estratti da popolazioni non normali. Si procederà ora alle stesse elaborazioni in
riferimento a differenze tra medie campionarie e al rapporto tra varianze campionarie
facendo specifico riferimento a campioni estratti da due popolazioni normali.
Si supponga ora di estrarre con ripetizione due campioni casuali indipendenti, di
dimensione m ed n , da due popolazioni distinte rappresentate dalle variabili casuali X e
Y, il cui valore medio e varianza sono rispettivamente x ,  x2 , y ,  y2 .
Sugli elementi campionari (X1, X2,...,Xm ) e (Y1, Y2,...,Yn ) si calcolino le quattro
statistiche
1 n
1 m
Y   Yi
;
X   Xi
n i 1
m i 1
S x2 
1 m
X i  X 2 ;

m  1 i 1
S y2 
1 n
Yi  Y 2

n 1 i 1
si calcolino, cioè, le due medie campionarie e le due varianze campionarie corrette, e si
definiscano le nuove entità (differenza tra medie campionarie e differenza tra varianze
campionarie corrette)
V  X Y
W  S x2  S y2
Le due variabili campionarie V e W, nell’universo dei campioni, hanno medie e
varianze espresse dalle uguaglianze seguenti
E (V )   x   y
Var (V )   x2   y2 
E (W )    
2
x
 x2
m

 y2
n
2
y
Var (W )  Var ( S x2 )  Var ( S y2 )
Inoltre, se i due campioni sono estratti da popolazioni normali indipendenti vale il
seguente teorema
Teorema 3 Se X1, X2, ..., Xm costituisce un campione casuale estratto da una
popolazione normale di media x e varianza σ x2 , Y1, Y2, ..., Yn un campione
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Cap. 2 – Campionamento e distribuzioni campionarie
casuale estratto da una popolazione normale di media y e varianza σ y2 ,
1.
allora:
la variabile casuale campionaria
1 m
1 n
U  X  Y   X i   Yi
m i 1
n i 1
è distribuita normalmente con media x - y e varianza

mu  t   E  eU t   E e
x t 
2.
 x2 t 2
y t 

X Y  t
  E e  E e  
Y t
X t

 x   y  t   mx
 2y t 2
2
σ x2 σ y
, infatti:

m
n
m 2
n 2
e
e
e
la variabile casuale campionaria
2
 2y  t 2

n  2


n Y 
 X  x 
i
y
V   i

  
 x  i 1   y
i 1 
2

2
2
  Z x  Z y

2
è distribuita come una variabile casuale  con m+n gradi di libertà, infatti:
2
m

 
mv  t   E eV t  E e
1  2 t 
3.

m
2
 1  2 t 

n
2
Z
2
2
x Zy
t

  E e 
 E eZx
2
 1  2 t 

Z y2 t
t

mn
2
la variabile casuale campionaria
2
2
m
n 
 Xi  X 
(m 1) S2x (n  1) S y
Yi  Y 
W 




  Wx  Wy




σ 2x
σ 2y
σ x  i 1  σ y 
i 1 
2
è distribuita come una variabile casuale 2 con m+n-2 gradi di libertà, infatti:
W t
 W +W  t
mw  t   E  eW t  E e x y  E e Wx t E e y



1  2 t 
4.

m 1
2
 1  2 t 

n 1
2
 

 1  2 t 


mn2
2
la variabile casuale campionaria
( m  1 )S x2
F
 x2
( n  1 )S y2
 y2
/( m  1 )
/( n  1 )
2
S x2  y
 2 2
Sy  x
definita come rapporto tra due variabili casuali 2 indipendenti divise per i rispettivi gradi
di libertà, è distribuita come una variabile casuale F di Fisher-Snedecor con m-1 ed
n-1 gradi di libertà.
Le considerazioni svolte a proposito delle distribuzioni campionarie degli indici
sintetici media e varianza, possono essere naturalmente estese ad altri indici caratteristici
quali mediana, quartili, scostamento quadratico medio, coefficiente di variazione, ecc.
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